高考数学易错题汇总及正解20例
高考数学高频易错题举例解析共42页
高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。
【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。
当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f , 解得：).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。
最新高考数学复习 易错题精选
高考数学复习易做易错题精选平面向量一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-错误认为,60BC CA C =︒∴选,从而出错.略解: ︒=120,故⋅202185-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=. 2．关于非零向量a 和b，有下列四个命题：（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b的方向相同”；（2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式b a b a b a+≤±≤-取等号的条件认识不清.答案: B.3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，点P 在线段AB 上且 AP =t AB (0≤t≤1)则² 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA ²OP 即为最大。
4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． 与的夹角等于α-βB ．∥C ．(+)⊥(-)D ． ⊥正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．已知向量 =(2cos ϕ，2sin ϕ)，ϕ∈(ππ,2)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )A ．π32-ϕB ．2π+ϕ C ．ϕ-2π D ．ϕ正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。
6．o 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)²(+-2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。
河南省驻马店市高考数学易错易混解答题精粹含解析
河南省驻马店市高考数学易错易混解答题精粹解答题含答案有解析1．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程.2．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率； （2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？3．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知函数1112()1,()2412x xx x m f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式. 4．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？ （2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm ） 分组频数 频率 [155.5,160.5) 2[160.5,165.5)6[165.5,170.5) 8[170.5,175.5)合计201①完成频率分布表； ②画出其频率分布直方图.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 6．设{}n a 是一个公比为q 的等比数列，且14a ，23a ，32a 成等差数列. （1）求q ；（2）若数列{}n a 前4项的和415S =，令2n n b na =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T . 7．已知函数()2sin 22sin 16x x f x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()()sin 2f x A x ϕ=+，且A 0≥，02ϕπ≤<，求满足条件的A ，ϕ. 8．已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当12a =时，解不等式()0f x ≥； （2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D 为AB 上一点，且1//BC 平面1A CD .（1）求证：CD AB ⊥；（2）若四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2，23ACB π∠=，23AB =，求三楼柱111ABC A B C -的体积. 10．已知函数()23sin cos cos f x m x x m x n =++（0m >）. （1）若()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域为[]1,2，求实数,m n 的值； （2）在（1）的条件下，记ABC ∆的角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若()2f A =-，ABC ∆的面积为3，求边长a 的最小值； （3）当32m =，14n =时，在答题纸上填写下表，用五点法作出()y f x =的图像，并写出它的单调递增区间.2ππ32π2πy11．已知直角梯形ABCD 中， AB CD ∥， AB BC ⊥， 1AB =， 2BC =， 13CD =+，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ， G F 、分别为AD CE 、的中点，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥．（1）求证： BC CDE ⊥平面（2）在线段AE 上找一点R ，使得BDR DCB ⊥平面平面，并说明理由．12．某校准备从高一年级的两个男生,A B 和三个女生,,a b c 中选择2个人去参加一项比赛. （1）若从这5个学生中任选2个人，求这2个人都是女生的概率；（2）若从男生和女生中各选1个人，求这2个人包括A ，但不包括a 的概率. 13．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A b c -=+. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，25b c +=，求ABC ∆的面积.14．已知()()()()1,1,0,1,1,OA OB OC m m R=-=-=∈．若,,A B C 三点共线，求实数m 的值． 15．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由； 第一组：；第二组：；（2）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围．16．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 17．已知函数21()1()f x x a x x R a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭. （I ）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （II ）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.18．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：128a a +=，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．19．（6分）已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=. （1）求C 点坐标； （2）求直线BC 的方程.20．（6分）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC平面α.求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥. 21．（6分）已知函数，（1）写出函数的解析式；（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围； （3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.22．（8分）已知函数()2sin 214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.求： （1）函数()f x 的最大值、最小值及最小正周期； （2）函数()f x 的单调递增区间.23．（8分）设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，()11n n n n a b b n b ++=+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ； （3）设数列21log nn n a c b +=，试问是否存在正整数s ，()t s t ≠，使3c ，s c ，t c 成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由.24．（10分）如图，某广场中间有一块绿地OAB ，扇形OAB 所在圆的圆心为O ，半径为r ,3AOB π∠=，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，设所修建的小路CD 与CE 的总长为s ，COD θ∠=.（1）试将s 表示成θ的函数()s fθ=；（2）当θ取何值时，s 取最大值？求出s 的最大值.25．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段AD 上是否存在点，使得它到平面PCD 3AQQD值；若不存在，请说明理由．26．（12分）某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. （1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.27．（12分）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 28．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中13a =（，）， ,b c 为单位向量. (Ⅰ)若a / /c ，求 c 的坐标；(Ⅱ)若2a b + 与 2a b - 垂直，求a 与 b 的夹角θ.29．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin cos b A B =. （1）求角B ；（2）若3b =，2c a =，求,a c 的值.30．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． 求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.参考答案解答题含答案有解析1．（1）22(1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =．【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程．（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．【详解】（1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ==．直线40x y +-=与圆C 相切，r d ∴==∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-， 即：320kx y k -+-=，d =，又212d +=，1d ∴=．解得：34k =．∴直线l 的方程为：3460x y -+=．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得11y =±，可得弦长2=，满足条件．综上所述l 的方程为：3460x y -+=或2x =． 【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．2．（1）0.15（2）2400（3）25人 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数. 【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯ （2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，0.0004(20001500)0.2⨯-=， 0.0005(25002000)0.25⨯-=，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)20002000400=24000.0005-++=+.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯. 从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取25001002510000⨯=(人).【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.3．（1）见解析；（2）51a -≤≤；（3）1,012()12,12m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩. 【解析】 【分析】（1）通过判断函数()y f x =的单调性，求出()y f x =的值域，进而可判断()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数a 的取值范围；（3）通过分离常数法求()y g x =的值域，利用新定义进而求得()T m 的解析式． 【详解】（1）当1a =时，11()124x xf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在(,0)-∞上递减，∴()(0)3,f x f >=∴函数()y f x =在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞，故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立，∴函数()y f x =在(,0)-∞上不是有界函数（2）()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，即|()|3f x ≤，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1131324xxa ⎛⎫⎛⎫-≤+⋅+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2313,01at t t -≤++≤<<由213at t ++≤得2(01)a t t t≤-<<， 令2()(01)h t t t t=-<<，()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h t h >= 由213at t ++≥-得4(01)a t t t ⎛⎫≥-+<<⎪⎝⎭， 令4()(01)h t t t t ⎛⎫=-+<<⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)5h t h <=-所以51a -≤≤；（3）122()1,0,01,()1221x x xm g x m x g x m m -⋅==->≤≤∴+⋅⋅+在[]0,1上递减， (1)()(0)g g x g ∴≤≤，即121()121m mg x m m--≤≤++，当1121|2m m m m --≥++时，即当02m <≤时，1|()|1m g x m -≤+ 当1121|2m m m m --<++时，即当m >时，12|()|12m g x m -≤+∴1,012()12,122m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩.【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．4．（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析. 【解析】 【分析】（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样. （2）①直接计算频率即可.②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图. 【详解】某厂生产的一批零件1000个, 差异不明显, 且因需要研究的个体很多. 所以适宜用系统抽样. （2）①频率分布表为合计20 1②频率分布直方图为. 分组频数 频率 频率/组距 [155.5,160.5) 20.10.02[160.5,165.5) 6 0.3 0.06[165.5,170.5) 8 0.4 0.08[170.5,175.5)4 0.2 0.04 合计201【点睛】本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题. 5．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 6．（1）2q ，1q = （2）()1122n n T n +=-⋅+或()1514n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据14a ，23a ，32a 成等差数列，得到2320q q -+=，解得答案.（2）讨论2q 和1q =两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为{}n a 是一个公比为q 的等比数列，所以11n n a a q -=.因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+即2320qq -+=.解得2q ，1q =.（2）①若2q，又它的前4和415s =，得()411151a q q-=-，解得11a =所以12n n a ，因为22n n n b na n ==⋅，（n *∈N ），∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，∴23122222n n n T n +-=++++-⋅，∴()11122212212n n n n T n n +++⎛⎫-=--⋅=-⋅+⎪-⎝⎭②若1q =，又它的前4和415s =，即1415a =，1154a ∴=因为2n n b na =，（n *∈N ），所以()()1515123124n T n n n =++++=+. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 7．A =23ϕπ=【解析】 【分析】利用三角恒等变换，化简()f x 的解析式，从而得出结论． 【详解】 解：()2sin 22sin 16x x f x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()sin cos 2cossin 2cos 266x x x f x ππ=-+∴()13cos 22cos 22cos 222x x x x x f x ∴=+=+1sin 2cos 222x x ⎫=-+⎪⎪⎭()2x ϕ=+，∴A =待定系数，可得1cos 2sin ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又02ϕπ≤<，∴23ϕπ=，∴A =23ϕπ=.本题主要考查三角恒等变换，属于基础题． 8．（1）1{|2x x ≤或}2x ≥；（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）将12a =代入，解对应的二次不等式可得答案； （2）对a 值进行分类讨论，可得不同情况下不等式()0f x ≤的解集． 【详解】 解：（1）当12a =时，有不等式2()1025f x x x =-+≥， 1(2)02x x ⎛⎫∴--≥ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为1{|2x x ≤或}2x ≥ （2）∵不等式1()()0f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭又0a >当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a >时，有1a a <，∴不等式的解集为1|x x a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，不等式的解集为{}1. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．9．（1）见详解；（2）【解析】 【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点E ，连接DE ，利用线面平行的性质定理可得1//DE BC ，从而可得D 为AB 的中点，进而可证出CD AB ⊥（2）利用面面垂直的性质定理可得1BB ⊥平面ABC ，从而可得三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，在ABC ∆中，根据等腰三角形的性质可得2CA CB ==，进而可得棱柱的高为4，利用柱体的体积公式即可求解.（1）连接1AC 交1A C 于点E ，连接DE ，如图：由1//BC 平面1A CD ，且平面1ACD ⋂平面1ABC , 所以1//DE BC ，由E 为1AC 的中点， 所以D 为AB 的中点， 又CA CB =，∴CD AB ⊥（2）由四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ，即三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 在ABC ∆中，CA CB =，23ACB π∠=，23AB = 所以2CA CB ==，因为直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2，在1A AC ∆中，11tan 2AA ACA AC∠==，所以14AA =. 111111123144322A ABC ABC BC V S AA AB CD AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.10．（1）2,1m n ==-；（2）min 23a =；（3）填表见解析，作图见解析， ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式可把()f x 化简为()sin 262mf x m x n π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求出26x π+的范围后根据正弦函数的性质可得关于,m n 的方程组，解方程组可得它们的值.（2）先求出A ，再根据面积求出bc ，最后根据余弦定理和基本不等式可求a 的最小值. （3）根据五点法直接作出图像，再根据正弦函数的性质可得函数的单调增区间.()sin 262m f x m x n π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭. 因为0m >，所以22122m m n m m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由()2sin 226f A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈得23A π=， 又ABC ∆所以1sin 2bc A =4bc =， 所以222222cos 42412a b c bc A b c bc =+-=++≥+=， 当且仅当2b c ==时，min a =. （3）由题意得()3sin 2126f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 填表作图如下图：由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），所以函数()f x 的单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【点睛】本题考查正弦型函数在给定范围上的最值、余弦定理、三角形中的面积公式、正弦型函数的图像与单调性以及基本不等式，本题综合性较高，为中档题. 11．（1）见解析 （2）153【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥⇒⊥，面ABCE DE BC ⇒⊥，BC CE BC ⊥⇒⊥面DCE ；（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下先计算1321222,,,2,2CD BD CR DR CQ =====， 再求得5RQ =， ⇒ 222CQ RQ CR CQ RQ +=⇒⊥ ，再证CQ BD CQ ⊥⇒⊥面BDR ⇒面BDC ⊥ 面BDR ． 试题解析：（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥∴⊥，面ABCE DE BC ∴⊥．，BC CE BC ⊥∴⊥，面DCE（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下：取BD 中点Q ，连接DR BR CR CQ RQ 、、、、容易计算 1321222,,,2,22CD BD CR DR CQ =====， 在BDR 中∵521,222BR DR BD === 可知5RQ =， ∴在CQR 中，222CQ RQ CR CQ RQ +=∴⊥，．又在BDC 中，CD CB Q =，为BD 中点CQ BD CQ ∴⊥∴⊥，面BDR ， ∴面BDC ⊥ 面BDR ．12．（1）310； （2）13. 【解析】 【分析】（1）写出从5个学生中任选2个人的所有等可能基本事件，计算事件2个人都是女生所含的基本事件个数；（2）写出从男生和女生中各选1个人的所有等可能基本事件，计算事件2个人包括A ，但不包括a 所含的基本事件个数. 【详解】（1）由题意知，从5个学生中任选2个人，其所有等可能基本事件有：{},A B ，{},A a ，{},A b ，{},A c ，{},B a ，{},B b ，{},B c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，共10个,选2个人都是女生的事件所包含的基本事件有{},a b ，{},a c ，{},b c ，共3个, 则所求事件的概率为310P =. （2）从男生和女生中各选1个人，其所有可能的结果组成的基本事件有{},A a ，{},A b ，{},A c ，{},B a ，{},B b ，{},B c ，共6个,包括A ，但不包括a 的事件所包含的基本事件有{},A b ，{},A c ，共2个, 则所求事件的概率为2163P ==. 【点睛】本题的两问均考查利用古典概型的概率计算公式，求事件发生的概率，求解过程中要求列出所有等可能结果，并指出事件所包含的基本事件个数，最后代入公式计算概率.13．（1）23A π=；（2【解析】 【分析】（1）利用边角互化思想得sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，由()sin sin C A B =+结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，于此得出角A 的大小；（2）由余弦定理()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--可计算出bc ，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆的面积． 【详解】（1）∵,,A B C 是ABC ∆的内角，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+且sin 0B ≠， 又由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==得： sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++，化简得：1cos 2A =-，又∵(0,)A π∈，∴23A π=；（2）∵4a =，b c +=，∴由余弦定理和（1）得2222cos a b c bc A =+- 2()b c bc =+-， 即1620bc =-，可得：4bc =，又∵sin 2A =，故所求ABC ∆的面积为1sin 2ABC S bc A ∆=.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将22b c +配凑为()2222b c b c bc +=+-，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题． 14．3m =- 【解析】 【分析】计算出CA AB ，由,,A B C 三点共线解出即可． 【详解】解：()()2,1,1,2CA m AB =--=-，∵,,A B C 三点共线，∴122m--=-，∴3m =- 【点睛】本题考查3点共线的向量表示，属于基础题． 15．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 【详解】 （1）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（2）因为，所以，不等式在上有解，等价于在上有解，令，则，由，知取得最大值，所以．考点：①创新题型即新定义问题②不等式有解球参数范围问题16．（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+，考虑当3n ≥时，22111111(1211n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。
统计(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(原卷版)
专题13统计易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律）频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝小组频数样本容量.⑤画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数相应的频率＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人.易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.1020.60-++⨯=，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.60180⨯=（人）的错误结论.正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.080.100.1020.24-++++⨯=，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.2472⨯=（人）.故72.易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积.变式1：某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[)66,70、[)70,74、[]74,78，绘制成如下的频率分布直方图：70,78上的男生大约有人．该校体重（单位：kg）在区间[]变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]，样本数据的分组为[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是.1．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.2．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：这400名学生的竞赛成绩分组如下：分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于3．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：图），其中样本数据分组[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)4．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：[[[[,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40,40.5),40.5,41),41,41.5),41.5件数为．5．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数()()()f c p c q c =+，则函数()f c 在区间[95,105]取得最小值时c =．6．某大学有男生10000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[66,70kg []7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…8．某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，9．某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取30,40成绩，将所得的数据分为7组：[)图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于10．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这平均成绩的估计值为．11．将一个容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为组号123456频数10161815若第6组的频率是第3组频率的12．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方图特征数考查）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么()∑==+++=niinxnxxxnx12111叫做这n个数的平均数.总体集中趋势的估计①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是分钟变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.变式3：以下5个命题中真命题的序号有.①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；②若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为S ，则数据1ax b +，2ax b +，3ax b +，…，n ax b +的标准差为aS ；③将二进制数(2)11001000转化成十进制数是200；④x 是区间[0,5]内任意一个整数，则满足“3x <”的概率是35.1．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m=.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均数为x ，则,,e o m m x 的大小关系是．3．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取数据，按[)40,45，[)45,50，[50,55所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是4．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为两位）5．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于按如下方式分成六组：第一组[12,13该100名考生的成绩的中位数（保留一位小数）是6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.7．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为8．某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取10．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.11．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，､､分别表示众数､平均数､形态中，m n p12．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）方差、标准差①假设一组数据为n x x x x ,,,321，则这组数据的平均数()∑==+++=ni i n x n x x x n x 12111 ，方差为()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+-+-=∑∑=2221222212111n ii n i i n x n x n x x n x x x x x x ns ，标准差()211∑=-=ni i x x n s ②若假设一组数据为n x x x x ,,,321，它的平均数为x ，方差为2s ，则一组数据为b ax b ax b ax b ax n ++++ ,,,321，的平均数为b x a +，方差为22s a 。
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A．12C．1 4易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题） 1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ） A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A -- B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．14411．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合） 1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（ ）在车站的个数为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．188．不等式2886x x A A -<⨯的解集为（ ）A ．{2，8}B ．{2，6}C ．{7，12}D ．{8}9．若24C P mm n n =，则m = . 10．已知()1111A A A N ,2n n n n n n x n n -+-+++=∈≥，求x 的值． 11．解关于正整数x 的不等式288P 6P x x -<． 12．解关于正整数n 的方程：4321A 140A n n +=．13．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+的值. 14．（1）解不等式266A 4A x x -<．（2）若2222345C C C C 55n ++++= ，求正整数n ．15．（1）若32213A 2A 6A x x x +=+，则x = .（2）不等式46C C n n >的解集为 .易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理） 1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（）A．81 B．48 C．36 D．245．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种A．24 B．36 C．48 D．606．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（ ）A．30种B．90种C．180种D．270种7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为A．484B．472C．252D．2328．下列说法正确的是（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个9．如图，线路从A到B之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现AB之间线路不通，则下列判断正确的是（）A．至多三个断点的有19种B．至多三个断点的有22种C．共有25种D．共有28种10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法. （1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（）A．42种B．36种C．72种D．46种3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．50种D．60种5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了A､B､C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A､B项目，乙不能参加B､C项目，那么共有（）种不同的选拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？9．用0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？参考答案易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【答案】C【详细分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【答案详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ） A ．144 B ．864 C ．1728 D ．2880【答案】C【详细分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【答案详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=． 故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】D【详细分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A ，然后求学员A 和B 相邻的排列数，两数相减即可.【答案详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.结合以上两方面：学员A 和B 不相邻的不同的排法共有625625A A A 720240480-⋅=-=种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有A E ~共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、A．12C．1 4【答案】B【详细分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【答案详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222A A 8⨯⨯=种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ）A ．70种B ．72种C ．36种D ．12种【答案】C【详细分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【答案详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有3333A A 36=种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）A ．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D ．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC【详细分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【答案详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A 中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有3252A A 120=种排法，所以A 正确；对于B 中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有3333A A 36=种排法，所以B 正确；对于C 中，全体排成一排，男生互不相邻，则有3234A A 72=种排法，所以C 正确；对于D 中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有13A 3=种排法，此时乙有13A 3=种排法，共有113333A A A 54=种排法；C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】AC【详细分析】对于A ，根据社区A 必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B ，根据同学甲必须选择社区A ，有乙丙都有5种选择求解；对于C ，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D ，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；【答案详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确； 对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确； 对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误. 故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】BC【详细分析】利用捆绑法可判断A 、B ；利用插空法可判断C ；利用分步计数法可判断D. 【答案详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【详细分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【答案详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确； 故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 【答案】AD【详细分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次详细分析选项，即可判断. 【答案详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言， 所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确. 故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有120种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错； 故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种 【答案】BCD【详细分析】根据相关的计数原理逐项详细分析.【答案详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24= 种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3= 种排法，再排剩下的3人有33A 6= ，所以总共有243642+⨯= 种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20=种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有720种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可;对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有： 5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A【答案】CD【详细分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【答案详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况． 则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法， 则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法． 故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法故选：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．144【答案】D【详细分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【答案详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法， 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有3434A A 624144=⨯=种不同的排法，故选：D11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种【答案】C【详细分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【答案详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选：C12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64【答案】A【详细分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解. 【答案详解】解：先将其余三人全排列，共有33A 种情况， 再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选：A.。
高三数学错题整理与解析
高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。
对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。
本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。
一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。
解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。
求$a$、$b$、$c$的值。
解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。
将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。
根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。
将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。
综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。
二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。
2020年高考数学(理)易错考点纠错笔记专题：不等式(全国版含解析)
谁就是参数.
易错点 4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式
a(x 2) x 1
1(a
R)
．
【错解】原不等式可化为
a(x 2) x 1
1
0
，即
a(x
2) (x x 1
1)
0
，
等价于[(a 1)x (2a 1)](x 1) 0 ，即 (x 2a 1)(x 1) 0 ， a 1
2ax
b
0
的解集为
1 2
,
，求
f
x ，解不等式 f x 0 的解集.
2
【答案】（1）
1 2
,1
；（2）见解析
【解析】（1）
f
x
2ax b x 1
.
∵不等式
2ax
b
0
的解集为
1 2
,
a
b
4
①
3
，①＋②得：
a 3，
1
②−①得：
b 1.
②
2
2
由此得 4≤ f (2) =4a−2b≤11，所以 f (2) 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f (2) 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 f (2) =m f (1) ＋n f (1) (m、n 为待定系数)，则 4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
错点 3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于 x 的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 恒成立，则 m 的取值范围为______________． 【错解】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 所以 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0， 解得 m＜0．故实数 m 的取值范围为(－∞，0)． 【错因分析】由于本题中 x2 的系数含有参数，且当 m＝0 时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨 论 m 的值是否为 0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解． 【试题解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0 对一切实数 x 都成立， 当 m＝0 时，－1＜0 恒成立；当 m≠0 时，易知 m＜0 且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0． 综上，实数 m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0]
高考数学易错题专项突破__易错点30抛物线及其性质含解析
易错点30 抛物线及其性质一、单选题1. 以抛物线y 2=2yy (y >0)的焦半径|yy |为直径的圆与y 轴的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定2. 设抛物线y 2=8y 的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线交于点A ,B ,与圆y 2+y 2−4y +3=0交于点P ,Q ,其中点A ,P 在第一象限,则2|yy |+|yy |的最小值为A. 2√2+3B. 2√2+5C. 4√2+3D. 4√2+53. 已知P 为抛物线y 2=12y 上一个动点,Q 为圆(y −4)2+y 2=1上一个动点,则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是 A. 4B. 3C. 2D. 14. 抛物线y 2=4y 的焦点为F ,点y (y ,y )为该抛物线上的动点,又点y (−1,0),则|yy ||yy |的最小值是 A. 12B. √22C. √32D.2√235. 已知y 1,y 2分别是椭圆y 2y2+y2y2=1(y >y >0)的左、右焦点,以y 2为焦点的抛物线与椭圆交于点P ,且∠yy 1y 2=y4,则椭圆的离心率是 A. √3−1B. √2−1C. √22D. √326. 已知抛物线y 2=2yy (y >0),F 为抛物线的焦点,O 为坐标原点,y (y 1,y 1),y (y 2,y 2)为抛物线上的两点,y ,y 的中点到抛物线准线的距离为5,yyyy 的重心为F ,则y = A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线y :y 2=4y 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于y ,y 两点,且|yy |=2|yy |,则直线l 的斜率为A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√248. 设抛物线y 2=4y 的焦点为F ,过点y (2,0)的直线与抛物线相交于y ,y 两点,与抛物线的准线相交于C ,若|BF |=2,则ΔBCF与ΔACF的面积之比yyyyyy yyyy =A. 35B. 25C. 32D. 23二、填空题9.设抛物线y:y2=2px(y>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于y,y两点,若∠ABD=90°,且ΔABF的面积为9√3,则此抛物线的方程为_________．10.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4y,直线l过抛物线的焦点,直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB长为8,则直线l的方程为________．11.若双曲线y:y2y2−y2y2=1(y>0,y>0)的两条渐近线与抛物线y2=4y的准线围成的三角形面积为2,则双曲线C的离心率为.12.抛物线y2=2yy(y>0)上的点到直线y=y−5的最短距离为√2,则正数p的值为_____________________。
高考数学易错题解题方法 15例
设直线 PF1 的斜率为 k，则 PF1： y k (x 4) 4 ， 即 kx y 4k 4 0 ． ∵ 直 线 PF1 与 圆 C 相 切 ，
∴ | k 0 4k 4 | 5 ．解得 k 11, 或k 1 ．
k2 1
2
2
当 k＝ 11 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ，不合题意，舍去．
（1）求 m 的值与椭圆 E 的方程；
（2）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求 AP AQ 的取值范围．
【错解分析】本题易错点（1）在于计算椭圆的方程的量本 身就大，方法和计算技巧的运用很重要。
解：（1）点 A 代入圆 C 方程，得 (3 m)2 1 5 ．
∵m＜3，∴m＝1．圆 C： (x 1)2 y2 5 ．
13
12
y
P2
P1
P0
O
x
2
坐标为 4 ，则 cos 的值等于
.
5
答案： 3 3 4 10
【错解分析】本题常见错误写成 3 3 4 的相反数，这样的错误常常是忽略角度所在的象限。 10
【解题指导】本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。
【练习 7】已知 sin x sin cos , cos x sin cos ,则cos 2x
6 7 8 9
为( ) A．(1005,1004) C．(2009,2008)
B．(1004.1003) D．(2008,2007)
5
0
1
10 x
4
3
2
11
【范例 7】如图，点 P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置 P0 开
始沿单位圆按逆时针方向运动角
（
0
【高考数学】高三易错题138道
高三易错题一：集合与命题易错题错误原因分析1.已知集合{}220,M x x x m x R =-+=∈非空，则集合M 中所有元素之和为.入选理由：集合的互异性考的比较隐蔽2.已知A 是由实数组成的数集，满足：A a ∈则A a∈-11；且A ∉1.（1）若A ∈2，则A 中至少含有哪些元素；（2）A 能否为单元素集合？若能，求出集合A ；若不能，说明理由；（3）若A a ∈，则a11-是A 中的元素吗？说明理由.入选理由：集合新定义的理解3.已知集合A {|25}x x =-≤≤,B {|121}x m x m =+≤≤-,满足B A ⊆,求实数m 的取值范围入选理由：交并集运算注意∅是否存在以及端点处是否可取4.非空集合P 满足（1）{}54321，，，，⊆P ；(2)若a P ∈,则6a P -∈，符合上述两个条件的集合P 的个数是_______________入选理由：子集个数的运算。
对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n 21n -22n-.高三易错题二：不等式易错题错误原因分析1.已知41,145a c a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围．入选理由：待定系数法的应用2.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集入选理由：字母讨论不全，没有条理导致分类不全3.若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a ++>的解集。
入选理由：韦达定理的应用4.入选理由：图像法求不等式8.若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．入选理由：绝对值函数的值域高三易错题三：函数16.已知18361log 9,18,,log 455n m m n -==试用表示．入选理由：对数的基本性质可否熟练高三易错题三：三角比和三角函数易错题错误原因分析1.已知sin sin(2)(1),m m βαβ=+≠求证：1tan()tan .1mmαβα++=-入选理由：角的拼凑（由结论去找条件）9.将一块圆心角为120︒，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．入选理由：模拟考试中得分率很低高三易错题四：数列1.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围入选理由：数列单调性与函数单调性的区别错误原因分析2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若{}nS 也是等差数列，且公差和{}n a 的公差相同，则数列{}n a 的首项和公差的和_________1=+d a ；入选理由：等差数列和前n 项和的公式入选理由：奇数项和偶数项之间的关系（相除和相减）项的和在等差数列10.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式；入选理由：对于分式递推公式。
高考数学易错易误易忘题分类汇总及解析(61页)
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错，易混，易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏，怪，难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若AB B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性，无序性，互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=求r 的取值范围。
备战2023年高考数学考试易错题-易错点 一元二次不等式及一元二次方程
专题 一元二次不等式、一元二次不等式易错知识1．解分式不等式时要注意分母不能为零；2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；易错分析一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错1．不等式2x ＋1≤1的解集是________．【错解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}．【错因】因为x ＋1为分母，所以x ＋1不等于零。
【正解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得x －1＝0或(x －1)(x ＋1)>0，得x ＝1或x <－1或x >1，得x <－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |x <－1或x ≥1}．二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2]D ．[－2,2]一元二次不等式、一元二次不等式分式不等式忽视分母不为零解一元二次不等式忽视二次项系数的正负一元二次方程根的分布条件列举不全一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭解一元二次不等式忽视两根的大小关系【错解】原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＞0，(4－2m )2－4×4(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2.综上知实数m 的取值范围是(－2,2)， 选A ．【错因】没有对二次项系数m 讨论。
2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项（导数及其应用） 练习 易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）(2)讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的零点个数． 10．设函数2()(1)e x f x mx x -=++，其中m ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点，设极大值点为a ，b 为()f x 的零点，求证：ln 2a b -≥． 11．已知函数()()ln f x x x =- (1)求()f x 的单调区间和极值；(2)讨论()()2g e x x xf ax -=-的零点个数．参考答案易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）1．已知函数()ln f x x =与()g x 的图象关于直线y x =对称，直线l 与()()1,e 1x g x h x +=-的图象均相切，则l的倾斜角为（）8．已知函数()f x=(1)若12a=，求曲线(2)讨论()f x的单调性；的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）1．已知函数()()2ln R x f x kx x kx k =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（ ）由图象知要使直线y a=与只需a<0或2e14a+ =，综上所述：易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）1．已知函数()3296f x x x x a =-+-（R a ∈）.。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(攻克“会儿不对,对而不全”这一制约高考分数的秘诀)
（2）由 a 1即
f
x
2x 2x
1
，设
1
y
f
x ,则 2x 1
y 1
y 由于
y
1故 2x
1 1
y y
，x
1 y
log
1 2
y
，而
f
x
2x 2x
1 1
1
2 2x
1
1,1
所以
f
1
x
1 x
log
1 2
x
1
x
1
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函 数的定义域为 R 可省略）。
答案：B
【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
lg 1 x2
例5、 判断函数 f (x)
的奇偶性。
x2 2
lg 1 x2
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： f (x)
f x 从而得出函数 f x 为非奇
x2 2
非偶函数的错误结论。
x1 x2
f
x1 f x2 x1 x2
【练 1】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2a 1 x a2 1 0 ，若 B A ，则实数 a 的取值范围
是
。答案： a 1 或 a 1。
【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例 2、已知 x 2 2 y2 1,求 x2 y2 的取值范围
t
2x 1 2x 1
1
2 2x 1
在
,
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
高中数学例题错题详解
高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝,N=｛e、g、h｝,从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射;函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数;函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应;映射与函数特殊对应的共同特点：错误!可以是“一对一”；错误!可以是“多对一”；错误!不能“一对多”；错误!A中不能有剩余元素；错误!B中可以有剩余元素;映射的特点：1多元性：映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等；2方向性：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；3映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象；4唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；5一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C分析根据映射的特点错误!不能“一对多”,所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数特殊对应的全部5个特点;本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题;【例2】已知集合A=R,B={x、y︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→x+1、x2,1求2在B中的对应元素；22、1在A中的对应元素分析1将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为2+1、1；2由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1, 即2、1在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求：1可建立从A到B的映射个数；2可建立从B到A的映射个数分析如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9；32=8例4 若函数fx为奇函数,且当x﹥0时,fx=x-1,则当x﹤0时,有A、fx ﹥0B、fx ﹤0C、fx·f-x≤0D、fx-f-x ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f-x = - fx；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f0=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；2、满足f-x = fx ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有fx=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数即对所有x,fx=0; 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2; 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数; 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数; 两个偶函数的乘积为一个偶函数; 两个奇函数的乘积为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数; 两个偶函数的商为一个偶函数; 两个奇函数的商为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数; 一个偶函数的导数为一个奇函数; 一个奇函数的导数为一个偶函数;两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数; 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数分析 fx 为奇函数,则f-x = -fx,当X ﹤0时,fx = -f-x = ---x – 1 = -x+1>0,所以A 正确,B 错误； fx·f-x=x-1-x+1﹤0,故C 错误； fx-f-x= x-1--x+1﹤0,故D 错误例5 已知函数fx 是偶函数,且x ≤0时,fx=xx-+11,求：1f5的值； 2fx=0时x 的值；3当x ＞0时,fx 的解析式考点 函数奇偶性的性质 专题计算题,函数的性质及应用 分析及解答1根据题意,由偶函数的性质fx= f-x,可得f5= f-5=）（）（5--15-1+=—322当x ≤0时,fx=0 可求x,然后结合fx= f-x,即可求解满足条件的x, 即当x ≤0时,xx-+11=0 可得x=—1；又f1= f-1,所以当fx=0时,x=±1 3当x ＞0时,根据偶函数性质fx= f-x=)(1)(1x x ---+=xx+-11例6 若fx=e x +ae -x 为偶函数,则fx-1＜ee 12+的解集为A.2,+∞B.0,2C.-∞,2D.-∞,0∪2,+∞考点 函数奇偶性的性质 专题转化思想；综合法；函数的性质及应用 分析及解答根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵fx=e x +ae -x 为偶函数,∴f-x=e -x +ae x = fx= e x +ae -x ,∴a=1, ∴fx=e x +e -x 在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,则由fx-1＜ee 12+=e+e 1, ∴ -1 ＜x-1＜1, 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 例7 函数fx=21xb ax ++是定义在-1,1上的奇函数,且f 21=52,1确定函数fx 的解析式；2证明fx 在-1,1上为增函数；3解不等式f2x-1+ fx ＜0考点 函数奇偶性与单调性的综合 专题函数的性质及应用 分析及解答（1） 因为fx 为-1,1上的奇函数,所以f0=0,可得b=0,由f 21=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以fx= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1,fx 1—fx 2=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1,所以x 1-x 2＜0,1—x 1x 2＞0,所以fx 1—fx 2 ＜0, 得出fx 1 ＜fx 2,即fx 在-1,1上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可：f2x-1+ fx= ＜0,f2x-1 ＜—fx,由于fx 为奇函数,所以f2x-1 ＜f —x,因为fx 在-1,1上为增函数,所以2x-1＜—x 错误!, 因为-1 ＜2x-1＜1错误!,-1 ＜x ＜1错误!,联立错误!错误!错误!得0 ＜ x ＜31,所以解不等式f2x-1+ fx ＜0的解集为0,31 点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理;例8 定义在R 上的奇函数fx 在0,+∞上是增函数, 又f-3=0,则不等式x fx ＜0的解集为 考点 函数单调性的性质 专题综合题；函数的性质及应用分析及解答 易判断fx 在-∞,0上的单调性及fx 图像所过特殊点,作出fx 草图,根据图像可解不等式; 解：∵ fx 在R 上是奇函数,且fx 在0,+∞上是增函数,∴ fx 在-∞,0上也是增函数,由f-3=0,可得- f3=0,即f3=0,由f-0=-f0,得f0=0 作出fx 的草图,如图所示：由图像得：x fx ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴ x fx ＜0的解集为：-3,0∪0,3,故答案为：-3,0∪0,3点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键; 例9 已知fx+1的定义域为-2,3,则f2x+1的定义域为抽象函数定义域求法总结：1函数y=fgx 的定义域是a,b,求fx 的定义域：利用a ＜x ＜b,求得gx 的范围就是fx 的定义域；2函数y=fx 的定义域是a,b,求y=fgx 的定义域：利用a ＜gx ＜b,求得x 的范围就是y=fgx 的定义域;考点 函数定义域极其求法分析及解答 由fx+1的定义域为-2,3,求出 fx 的定义域,再由2x+1在函数fx 的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f2x+1的定义域;解：由fx+1的定义域是-2,3,得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25 ∴ f2x+1的定义域是0,25,故选A 点评 本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数fgx 的定义域是a,b,求函数fx 的定义域,就是求x ∈a,b 内的gx 的值域；给出函数fx 的定义域是a,b,只需由a ＜gx ＜b,求解x 的取值集合即可; 例10 已知函数fx=x 7+ax 5+bx-5,且f-3= 5,则f3=A. -15B. 15 考点 函数的值；奇函数分析及解答 令gx= x 75当时,函数图像如图,由图知：只有当时,函数的图像在x 轴上方,即时,因为函数收偶函数,偶函数的图像关于y 轴对称,所以时,函数的图像在x 轴上方时,只有则不等式的解集为故选D 18、如果函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4行单调递减,那么实数a 的取值范围是 ≦-3 ≧-3 ≦5 ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a,b,总有ba b f a f --)()(>0成立,则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加,后减少 D.函数)(x f 是先减少,后增加解：利用函数单调性定义,在定义域上任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,因为ba b f a f --)()(>0 所以fa-fb<0,所以)(x f 在R 上是增函数;20、对于定义域R 上的函数fx,有下列命题：1若fx 满足f2>f1,则fx 在R 上时减函数；2若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是奇函数；3若函数fx 在区间-∞,0上是减函数,在区间0,+∞也是减函数,则fx在R 上也是减函数；4若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是偶函数；其中正确的是_____________________21、函数fx=x ∣x-2∣,1求作函数Y=fx 的图象；2写出函数fx 的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数不必证明3已知fx=1,求x 的值22、函数Fx 是定义域为R 的偶函数,当x ≧0 时,fx=x2-x,1画出函数fx 的图象不列表；2求函数fx的解析式；3讨论方程fx-k=0的根的情况23、已知fx 的定义域为-2,3,则f2x-1的定义域为A.0,5/2B.-4,4C.-5,5D.-3,724、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧〉-≤++=)0(10)0(63)(2x x x x a x f 且fa=10,则a= 或125、已知函数fx=x7+ax 5+bx-5,则f3=26、若函数fx=4x 2-kx-8在区间5,8上是单调函数,则k 的取值范围是A.-∞,0B.40,64C.- ∞,40∪64,+∞D.64,+ ∞27、已知二次函数fx=x 2+x+aa>0,若fm<0,则fm+1的值为A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关 28、函数fx=∣x 2-2x ∣-m 有两个零点,m 的取值范围__________29、已知函数fx 和gx 均为奇函数,hx=afx+bgx+2,在区间0,+∞有最大值5,那么hx 在区间0,+∞的最小值为________30、对于每个实数x,设fx 取y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出fx 的解析式,求出fx 的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A0,1；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B-1/3,2/3；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C-1/4,1/2.由图像容易看出：1x ＜-1/3时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时fx=-2x;2-1/3≤x ≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的fx=x+1;3x ＞0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的fx=2x+1.所以fx=-2x ；x ＜-1/3,x+1；-1/3≤x ≤0,2x+1.x ＞01考察函数的图像由射线—线段—射线组成的折线可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数fx=x 2+ax+3,1当X ∈R 时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；2当X ∈-2,2时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；3若对一切a ∈-3,3,不等式fx ≥a 恒成立,那么实数x 的取值范围是什么 1fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有△=a 2-43-a ≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2；2当x ∈-2,2时,令gx=x 2+ax+3-a,当x ∈-2,2时,fx ≥a 恒成立,转化为gx min ≥a,分以下三种情况讨论：①当-a/2≤-2,即a ≥4时,gx 在-2,2上是增函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g-2=7-3a,∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解②当-a/2≥-2,即a ≤4时,gx 在-2,2上是递减函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g2=7+a,∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4③当-2<a/2<2时,即-4＜a ＜4时,gx 在-2,2上的最小值为34)2(22+--=a a a g ⇒ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-+-4434a -2a a -4＜a ≤2,解得-4＜a ≤2,综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2；3不等式fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令ha=x-1a+x 2+3,要使ha ≥0在-3,3上恒成立,只需⎩⎨⎧≥≥-0)3(0)3(h h 即⎩⎨⎧≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3。