三角形中的几何计算课件

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第三章 三角函数
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如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝ α，∠ABC＝β.
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 解析： (1)证明：∵AB＝AD， 则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α. 又∠B＋∠C＝90°， 即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α， cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0. ①
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
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解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，
2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
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(2)在△ADC 中，sDinCα＝sAinCβ， 即 sin β＝ 3sin α. ② ①代入②整理得： 2 3sin2β－sin β－ 3＝0. 解得 sin β＝ 23，或 sin β＝－ 33舍去， 又 β 为锐角，则 β＝60°.
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【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝ 10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解 析 ： 在 △ ABD 中 ， 设 BD ＝ x ， 则 BA2 ＝ BD2 ＋ AD2 － 2BD·AD·cos ∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°， 整理得x2－10x－96＝0，
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解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)． 由正弦定理得sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， ∴BC＝sin11635°·sin 30°＝8 2.
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【思考探究】 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示： 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定 一点的位置．
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的 关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A
的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
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【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示： 三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而 方位角是相对于正北方向而言的．
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3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
D．α＋β＝180°
解析： 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．
答案： B
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2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的( )
A．西偏北30°
B．西偏北60°
C．南偏东30°
D．东偏南30°
解析： 如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°.
答案： C
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∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案： 60
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以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优 化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解 决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三 角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解 之．
答案： A
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4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹 角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时 两船之间的距离是________n mile.
解析： 如图，由题意可得 OA＝50， OB＝30. 而 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 120° ＝502＋302－2×50×30×－12 ＝2 500＋900＋1 500＝4 900，∴AB＝70. 答案： 70
第8课时 三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
答案： 8 2
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求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形， 若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理．
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