【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
![【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)](https://img.360docs.net/img67/1c1noarwhf4nhjrse6px2wq0osy0tp9q-71.webp)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下:
一. 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;
若O 是ABC ∆的重心,则
ABC AOB AOC BOC S 31
S S S ∆∆∆∆=
==故0OC OB OA =++;
1()3
PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.
2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;
若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ::
::=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++
3)O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ∆的外心
则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆::
:: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++
4)O 是内心ABC ∆的充要条件是
|
CB |CB |
CA |CA OC |
BC |BC |
BA |BA OB AC
AC |
AB |AB OA =-
⋅=-
⋅=-
⋅
引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是
ABC ∆内心的充要条件可以写成:0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆
故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分
线所在直线);
二. 范例
(一
).将平面向量与三角形内心结合考查
例
1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足AC AB OA OP +
+=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )
(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心
B
C
H
A
图6
解析:因为
AB
AB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和,又
AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.
点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先
AB
AB 是什么?没见过!想想,一个非零
向量除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2. H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,
同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))
例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的(D ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.
即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.
点评:本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
变式:若H 为△ABC 所在平面内一点,且2
22222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心
证明: 2
2
2
2
BC CA HB HA -=-
BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0
即=•+BA HC HC )(0
HC AB ⊥∴
同理HB AC ⊥,HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4. G 是△ABC 所在平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右,图中GE GC GB =+
连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.