【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

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三角形“四心“的向量统一形式及证明

三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。

以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。

则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。

重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。

设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。

由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。

设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。

由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。

设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。

由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
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9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，

+ ��
sin

= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1

2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；

三角形四心的向量性质及证明

三角形四心的向量性质及证明符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 求证P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{(AB*BC /|AB|＾2*sin2B)+AC*BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP*BC=入{|AB|*|BC|cos(180° -B) /(|AB|＾2*sin2B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{-|AB|*|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP*BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP*BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3. OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线 AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心ACB1e 2e PBCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选 D.变式：若H 为△ABC 所在平面内一点，且222222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA ∙+=∙+∴)()(（平方差公式） =∙--+BA CB CA HB HA )(得0 即=∙+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥，HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3ABCE DO由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD = ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ，得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ；扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心．证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =；又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之．五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证）测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点）进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一），知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ．解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27．解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ．解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=，则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ，故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27．解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差；由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差；联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21．解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23．如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21；则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

平面向量与四心(向量与三角形内心、外心、重心、垂心),含答案,上课直接用

补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）证明：⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.（2）证明：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.*（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠,(λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（）A ．2B ．3C ．23D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21-3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 9.在△ABC 中，已知向量21||||0||||(==⋅+AC ACAB ABBC AC AC AB AB AC AB 满足与，则△ABC 为（） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇答案一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形四心的向量性质及应用(教师用标准答案版)

三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：||||OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，||||BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）由D O A ,,共线，得：0||||=+OD ODOA OA进而得：0||||=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=|||||||| ----------② 由①②得：OA OA OD ⋅||||0||||||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论得+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OABOCA OAB消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆)(AC S SAB S S OA S ABCOAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+=∆∆∆∆∆ )(AC ACAHAB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．AB CODAB CODHFEG反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ．验证式思考：先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ；由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2ββαπβαπβαcos )2sin(21)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 212ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 212βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 212=-+⋅⋅=ααOC OB OA ；有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线，故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立．一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔=='A 'B 'C OABCABCO02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S OAB OCA OBC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S HAB HCA HBC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心．证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =；又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=．又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a cb a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．ABDOHCE略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之．五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证）测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)cos cos (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)sin sin (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，R ∈λ，则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(31OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．23C ．3D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S∆∆=3λ．BCA M N G定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 且21||||=⋅AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 4 ． 19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 22．在ABC ∆中，1,3,==⊥AD BD BC AB AD ，则=⋅AD AC3 ．三．解答题23．如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB =u u u u v u u u v ，AN y AC =u u u v u u u v ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP从而得：3211)(||2121222121=⋅-+=-==OP OP OP OP P P P P 同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21；则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521221|)(|21||22=++=+⋅+=+=b b a a b a AD221162025214421|)2(|21||22=+-=+⋅-=-=b b a a b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=⋅>=<BE AD BEAD BE AD'A 'B 'C OABCA BED C27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论与证明

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论
与证明
一、三角形的重心、垂心、内心、外心的定义
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、三角形的四心与向量的结合的结论和性质
•三角形重心的性质:
•三角形四“心”向量形式的充要条件
三角形四心的向量结论与证明
三角形四心的向量结论的经典例题解析。

三角形四心的向量性质练习.doc

三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知 A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若uuur uuur uuur0．则 G 是△ABC 的重心．GA GB GCuuur uuur uuur证明：如图 1 所示，因为GA GB GC 0，所以uuur uuur uuur GA (GB GC) ．uuur uuur以 GB ， GC 为邻边作平行四边形 BGCD ，uuur uuur uuur uuur uuur则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．又因为在平行四边形BGCD 中， BC 交GD 于点E，uuur uuur uuur uuur所以 BE EC，GE ED ．所以 AE 是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例 1uuur uuurb ，如图 2 所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA a ， OBuuur uuurOC c ，试用 a， b， c 表示 OG ．解：设 AG交 BC于点M，则M是 BC的中点，a OG GAb OG GBc OG GC图 2a b c OG GA GB GC而 a b c 3OG0a b cOG3变式：已知 D ，E ，F分别为 △ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点．则uuur uuur uuur AD BE CF0．证明：如图的所示，AD3GA2BE3 GB 2 CF3 GC2AD BE CF3 (GA GB GC)2GA GB GC 0uuur uuur uuurAD BE CF 0 ．．图 3变式引申：如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点，uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD)．4uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明： Q PO (PA PC) ， PO 2 (PB PD) ，2uuur 1 uuur uuur uuur uuurPO 4 (PA PB PC PD) ．点评：（ 1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则．（ 2）若 Puuur uuur uuur uuur与 O 重合，则上式变为 OA OB OC OD 0．例 2. 已知 O 是平面内一点，A, B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足OP1 ，0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的OAABBC2A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题 2：已知 O 是平面上一定点， A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满uuur uuur uuur uuur[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur解：由已知得 AP (AB AC ) ，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过△ ABC的重心，选 C.题 3：已知 O 是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点Puuur uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过满足OP OA| AB | sin B| AC | sin C△ABC的()A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ，解：由已知得 AP| AB | sin B | AC | sin Cuuur uuur uuuruuur uuur uuur由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ，∴ AP ( AB AC) ，| AB |sin B设 BC的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心，故选 A .题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O 为△ ABC的外心，动点 P 满足uuur uuur(1 uuur(1 2uuurR, 0) ，则P的轨迹一定OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (3通过△ ABC的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点uuur uuur uuur 1 uuur uuur2(1 uuur解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]31 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则3 3uuur uuur0 ，所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上，知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到但不与重心重合，故选 D.uuur uuur uuur题 8：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC =0, 则 O 点是△ABC的 ()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur解：若 OA OB OC =0, 则 OA OBOC ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAC 1 ，设 1 与交于点，则为的中点，有 uuur uuur uuuur ， AB D AB OA OB OC 1 B OC Duuuur uuur 得 OC 1 OC ，即 C 、O 、D 、 C 1 四点共线，同理 AE 、BF 亦为△ ABC 的中线，所以 O 是△ABC 的重心 . 选 C .uuur1 uuur uuur uuur题 9：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 PO(PAPBPC)(其中 P 为平面上任意一点 ), 则 O 点是△ ABC 的()3A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur 解：由已知得 3POOA OP OB OPOC OP ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ 3PO 3OP OA OB OC ，即 OA OB OC = 0，由上题的结论知 O 点是△ ABC 的重心 . 故选 C .例 4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)

ABC 的重心，且满足3sin 2sin 0AB A GA C GC +⋅+⋅=，则cos _______是ABC 的重心，所以0GA GB GC ++=,因为3sin 2sin 0AB A GA C GC +⋅+⋅=,由正弦定理可得320AB a GA c GC +⋅+⋅=,()320GB GA a GA c GC ⋅-+⋅+⋅=,即(32)220a b GA bGB cGC -++=, 232c a b =-,则4,3c b a b ==,则由余弦定理可得22222216294232b b ba b c b ab b -+-==⨯⨯+.ABC 中，点2GH OG = 0GA GB GC ++=C ．OH OA OB OC =++D ．OA OB OC == 【答案】ABC 【分析】根据欧拉线定理、外心､垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】如图：根据欧拉线定理可知，点O ､H ､G 共线，且2GH OG =对于A ，因为2GH OG =，所以2GH OG =，故A 正确；对于B ，取BC 的中点为D ，则2GA GB GC GA GD ++=+0=，故B 正确；对于C ，33()OH OG AG AO ==-23()3AD AO =-23AD AO =-2()3AO OD AO =+-2OD AO =-OB OC OA =++，故C 正确；对于D ，OA OB OC ==显然不正确.2．（多选题）已知ABC 是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G ，点P 为ABC 所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（） A ．||2AB AC += B ．2AB AC ⋅=C ．3PA PB PC PG ++=D ．||||AB BC AB CB +=+【答案】BC 【分析】根据平面向量的数量积的定义以及运算律，可判断出A 不正确；故B 正确；D 不正确；根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可知C 正确. 【详解】因为ABC 是边长为2的正三角形，所以||AB AC +=()2AB AC+222AB AB AC AC=+⋅+142224232=+⨯⨯⨯+=，故A 不正确；1||||cos 2222AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯=，故B 正确；根据重心的性质可得21()32AG AB AC =⋅+1()3AB AC =+，所以33PG PA PB PA PC PA -=-+-，所以3PG PA PB PC =++，故C 正确；因为||||2AB BC AC +==，||AB CB +()2AB CB=+222AB CB AB CB =++⋅1442222=++⨯⨯⨯23=，故D 不正确. 3．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ∆的重心且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（）A ．3B ．2C ．12D ．23【答案】C【解析】如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，12CG BG DG BC ⊥∴=，，由重心的性质得，3AD DG =，即32AD BC =，由余弦定理得，22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠，，222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+，，，2222219522AC AB BC BC BC ∴+=+=， 2225b c a ∴+= ，可得：222224222b c a a a cosA bc bc bc+-===，tan sin a A c B λ=，22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcλ∴====⋅．故选D ． 4．过△OAB 的重心G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝h·OA ，OQ ＝k OB ，则11h k+＝____．【答案】3【解析】延长OG 交边AB 与M ，且M 为AB 的中点.所以111111()()2222OM OA OB OP OQ OP OQ h k h k=+=+=+，又32OM OG = ，所以1133OG OP OQ h k =+，且P 、Q 、G 三点共线，且OP 、OQ 不共线.所以11133h k +=，即113h k +=，ABC 的重心，角__________. ABC 的重心,可得0GA GB GC ++=，由题设可知的大小.【详解】是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=，又0578a b c GA GB GC ++=，所以由余弦定理可得222564491cos 802b B ac -+-==又0B π<<，则3B π=。

三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。

如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。

三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明

三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PPP ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OP P P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

必要性：O 是123PP P ∆的重心⇒1230OP OP OP ++=如图，延长1PO 交23P P 于P ，则P 为23P P 的中点，由重心的性质得12POOP =. ∵()12323122()2=-=-⨯+=-+OP OP OP OP OP OP ∴1230OP OP OP ++= ②点O是123PP P ∆的垂心⇔122O POP O P O P O PO P⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP PP ⊥,123OP P P ⊥31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅. ③点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OPOP ==．证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)P 12PP 3OPABCDO④O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。

三角形四心的向量公式及证明

三角形四心的向量公式及证明在我们的数学世界里，三角形可是个相当重要的角色。

而三角形的“四心”——重心、外心、内心和垂心，更是藏着许多有趣的秘密，特别是它们与向量公式之间的奇妙关系。

先来说说重心。

重心是三角形三条中线的交点。

假设三角形的三个顶点分别是 A(x₁,y₁) 、B(x₂,y₂) 、C(x₃,y₃) ，那么重心 G 的坐标就是 ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) 。

这背后的向量公式是这样的：若有向量 \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\) ，则点 G 就是重心。

给大家举个小例子吧，我曾经在课堂上给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别好奇地问我：“老师，这重心在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“你想想看啊，假如我们要做一个三角形的风筝，要让它飞得稳，重心的位置就得找好，不然它可就歪歪扭扭飞不起来啦！”这一下，同学们都恍然大悟，对重心的理解也更深刻了。

再聊聊外心。

外心是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。

若点 O 是外心，那么 \(|\overrightarrow{OA}| =|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\) 。

说到外心，我想起有一次带学生们在操场上做数学实践活动。

我们用绳子和标杆模拟画出三角形，然后一起找它的外心。

同学们兴致勃勃，七嘴八舌地讨论着，那场面别提多热闹了。

接着是内心。

内心是三角形三条内角平分线的交点，也就是内切圆的圆心。

若点 I 是内心，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{b}\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{c}\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) （其中 a、b、c 是三角形三边的长度）。

三角形四心的向量表示

是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心；
3.（2006陕西）已知非零向量AB与 A满C足
( AB AC ) BC 0且 AB AC 1 ,
| AB | | AC |
| AB | | AC | 2
则△ABC为（） D A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
2.在 ABC中，给出 AD 1 AB AC , 2 等于已知AD是 ABC 中 BC边的中线;
3. O是ABC 的重心 OA OB OC 0
4.PG

1 3
(PA

PB

PC)

G
为 ABC 的重心.
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
a2b1
|
【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
例5.如图,在ABC内求一点P,使得: |AP|2 +|BP|2 +|CP|2 的值最小.
解:设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-b.

| AP |2 | BP |2 | CP |2
三角形“四心”的向量表示
一、外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC

高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)

∆ABC ∆PBC ∆ABC ∆PCA ∆PAB 1 2 3 ∆ABC ∆ABC
1 1 1 1 1 定义 f ( P) = (λ , λ , λ ) ，若 f (G) = ( 1 , , ), f (Q) = ( , , ) 则( ) 3 3 3 2 3 6 A．点 Q 在 ∆ABG 内 B．点 Q 在 ∆BCG 内 C．点 Q 在 ∆CAG 内 D．以上皆不对解析： G 为重心，画图得知例 8．如图，已知点 G 是 ∆ABC 的重心，过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点，
=
1 5
2 1 AB + AC ，用 O 拆开得： 2 ⋅ OA + 2⋅ OB + OC = 0 ，法 2： AO = 5 5
由奔驰定理可得： S
∆BOC
: S ∆COA : S ∆AOB = 2 : 2 : 1
，则 S
∆ABC
: S ∆AOB = (2 + 2 + 1) : 1 = 5 .
A
2 1 4 1 AB + AC = AD + AC ，法 3： AO = 5 （取 D 为 AB 边的中点）， 5 5 5
∆ABC ∆ABC
∆AOC ∆ABC
⋅ AB +
S ∆AOB ⋅ AC S ∆ABC
A
O B C
两边乘以 S 整理可得： − S 移项整理为 (S − S − S 即得 S ⋅ OA + S ⋅ OB + S 注：若简记三个面积： S = S ， S
∆ABC ∆AOC ∆OBC ∆OCA ∆OBC A
A
=λ
，S S
∆AOB ∆ABC
=µ
，S S

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(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

变式：若H 为△ABC 所在平面内一点，且222222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0即=•+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥，HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。

本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变OA OB OC OD +++=0．(四)．将平面向量与三角形外心结合考查ABCE DO例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。

故O 是ABC ∆ 的外心，选B 。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-，同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-，∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、,122(,33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--， 212(,)BC x x y =-2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232(()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y 2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y +--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。