关于银行复利率的探讨
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关于银行存款复利率的探讨
摘要：
复利的计算是银行业务的一个重要概念, 也是日常生活中经常遇到的问题，本文针 对银行计算利率不同的方式进行探讨，建立了不同的模型。 针对问题一，我们可以先以离散时间来统计归纳离散时间条件下一年计算多次复利 率情况下的存款金额， 在采用极限逼近的方式将离散时间转换为连续时间为单位的自变 量，进而反映出存款在一年内的增长情况，和题干得出的模型进行对比，检验模型的正 确性。 针对问题二：我们首先在明确导数意义的情况下，将存款金额与时间的关系的图在 坐标纸上描绘出来，发现是一个近似的线性模型，在以一年后的存款金额与时间的关系 的导数的意义下，建立等式求得一年后的存款金额。然后再在不同的时间段内，算出一 些存款金额与时间的点，描绘出来后，选用不同的方式进行拟合估计，最后得到我们所 需的模型，并在图上检验模型的误差。 针对问题三： 我们在完成前两问的前提下， 已经受到一些启发， 再在题目的要求下， 算出精确的一年后的存款金额，与半年期的、季度的、日期的复利计算方式进行对比， 进而归纳总结出基本的模型，在根据公式的推导，最后即可得出最后的模型，得到准确 的存款金额与时间的关系，并和之前求得的值进行对比分析。
关键词：复利率
连续复利存款利息 计算利息的次数归纳
一、问题重述：
银行存款计算复利时， 其中一种计算的方式如下。 假设初始存款金额为 Q(0)元， i 为年利率，n 为一年中计算利息的次数，则一年后存款数为： Q=(1+������ )nQ(0)。 银行的存款一般有几种不同的计算复利的方式：半年期，季度或按日计算。 问题 1. 若另有一个银行的复利是连续计算的，请就此建立一个数学模型，描述初 始存款在一年内的增长情况。不妨假设年利率给定，比如 10%。Q(t)为时刻的存款
二、问题分析：
问题一的分析： 问题一属于给定条件下的对数据进行分析并建立数学模型的问题， 解决此类 问题一般需要建立适当的模型来体现相关数据之间的联系，进而建立模型来体 现相关数据之间的联系进而预测未来相关数据之间的联系。解决数学描述相关 的问题一般将题目抽象概括为不等式、方程、几何关系或者图像等等的数学表 达，此问中已给出年利率，我们就可以知道一年后的本金和利率。，问题一的 求解是描述初始存款在一年内的增长情况，我们可以先以离散时间来计算，在 采用极限逼近的方式将其转换为连续时间单位的自变量，进而反映出存款在一 年内的增长情况。问题一是针对另一种复利的计算方式，题干中给出复利是连 续计算的，可以理解为是一个连续的。 问题二的分析： 问题二属于给定部分要求条件下以及给出基本建立模型的方法的条件下的 求解数学模型的问题。解决此类问题一般需要我们针对题目给定的要求和给出 的参数条件进行分析，在符合题目要求的条件下，灵活的运用相关模型进行模 拟。解决数学描述相关的问题一般将题目抽象概括为不等式、方程、几何关系 或者图像等等的数学表达，此问前一小问可以通过导数的意义开始接替，此问 后一小问可利用不同的 Δ t 的取值进而得出不同的 Q(t)的表达式进而进行分析 总结，并作出图形来直观的观察结果的正确性与误差。 问题三的分析： 问题三是一个在给定条件下针对前两问的分析结果分析并建模的问题， 解决 此类问题首先要读透题干，并结合已经建立的模型进行分析，在已经得到的模 型的前提下，进行进一步的完善与补充。此问首先根据提示将不同时间段条件 下的 Q 的取值算出系列结果，从结果中总结归纳建立新的模型。
4
Δ t= 0.5 时，即按一年计算两次利息的方式。Q(0.5)= Q(0)(1+ ) Q(1)= Q(0)(1+2)2 得出 Q(t)= Q(0)(1+2)t/0.5=Q(0)(1+2)2t。 如图为得到的近似图像和逼近点：
������ ������ ������ 2
������
Δ t= 0.25 时，即按一年计算四次利息的方式。Q(0.25)= Q(0)(1+4) Q(0.5)= Q(0)(1+4)2
问题一的模型： 由于银行的复利是连续计算的， 我们需要求解初始存款在一年内的增长情况,我 们假设时间 t 是连续的。 在这种条件下，我们假定一年内分 n 期计算，每期利率取 i/n，一年后的资金总额 为 Q=Q(0)(1 + ������ )n 由于计算的是连续时间，即分期次数无穷大即 n→ ∞，则有： Q(1)=limn →∞ Q(0) 1 + n 模型分析与检验： 由上式可以看出在连续复利的计算方式下，一年以后存款金额为 1.1052Q(0), 一年内存款增长了 0.1052Q(0) 假定按一年后的本息和为检验标准检验如下： 按照通常的利率计算方式 Q(1)=Q(0)(1+10%)=1.1Q(0)， 一年内存款增长了 0.1Q(0)。 按照题干给出的利率计算方式 Q(1)=Q(0)(1+10%)=1.1Q(0)， 一年内存款增长了 0.1Q(0)。 可以看出，建立的模型相比于前两种方式，有一定的误差，但是在衡量一年内 的增长情况，误差较小，是可以用来衡量初始存款在一年内的增长情况的。 问题二的模型： 假定在连续的条件下，由模型一可知： Q(t)= Q(0)eit Q’(t)= Q(0)ieit 假定 Q(0)取 1,i 取 0.1 时做出 Q(t)的图形， 如图一， 可近似将 Q(t)看做是线性 关系
6
������ ������ ������ ������ ������
假定 Q(0)取 1,i 取 0.1 时,按照模型的计算方式 Q(1)=Q(0)e0.1 = 1.1052Q(0) 可以看出，建立的模型相比于前两种方式，有一定的误差，但是在衡量一年 内的增长情况，误差较小，是可以用来衡量 t 时刻的存款金额。
������ 2 4 ������
， 这一点模型待改进。
五、总结：
本文在题目要求的前提下，针对经济生活证较重要的利率的问题进行了较简单的分 析与归纳，在一些较简单的场合可以利用模型进行一些简答的规划与预测，时间仓促， 模型尚有许多不完善之处，后续还需要针对多个部分进行完善。使其更贴近我们的真实 生活。
1
������
金额，假定存期中间不取款 问题 2. 利用导数信息建立近似线性模型，来估计 Q(1)，即一年后存款数额。分 别用时间间隔为 Δ t= 1 ,Δ t=0.5 和 Δ t=0.25 来近似估计 Q(t)， 并画出近似图形， 标出逼近点。 问题 3. 根据复利计算方式，求精确的 Q(1)，与半年期、季度、日期的复利计算 方式所得的 Q 相比较，并加以分析。给出 Q(t)的表达式。
7
三、模型建立与模型分析
符号说明： t（t≥0）是自变量，表示 t 年后。如 t=0.5 表示半年后 Q（t）表示 t 年的本金和利息的和 Q 表示一年后的本息和 i 表示银行的年利率 n 为一年中计算利息的次数
2
模型假设： 假定存期中间不取款的条件下，记 t 时刻的本息和为 t 时刻的存款金额 假设 t 是一个连续变量 假设在连续计算的条件下，一年分 n 期计算，则每期利率取 i/n
四、模型的优缺点与改进：
三个模型通过总结与归纳得出了一个可以用来预测Q（t）的取值的式子，当本金较 小的时候，造成的误差也较小，对整个模型的影响也较小可以用来模拟。 Q(t)=limn →∞ Q(t − 1)(1 + ������ )nt这个式子在规定实际年利率为r的前提下,再取半年期 利率为r /2,返回来用该式计算资金总额,这就把利率调成了r+
参考文献
[1] 李炜. 也谈复利率的连续计算方法——析连续复利计算公式的科学性及实用性 [J]. 数理统计与管理, 1998(6):48-50. [2] 沈慧, 李双东. 基于复利的基金投资数学模型构建[J]. 信息化建设, 2015(6). [3] 赵新民. 单复利计算公式应用与比较[J]. 财经问题研究, 1994(3):31-35. [4] 吴宏亮, 莫俊文. 连续复利连续现金流模型的建立及应用[J]. 兰州交通大学 学报, 2015, 34(3):44-48. [5] 黄玉娟, 于文广. 再论复利率的连续计算公式[J]. 新世纪论丛, 2006(2). [6] 高俊科. 关于复利率的连续计算方法——析国内外经管类教学教材中普遍存在 的一种方法[J]. 数理统计与管理, 1998(2):33-34.
i n ������
=Q(0) limn →∞ 1 + n
i n
= Q(0)ei
将 i=10%代入上式，得 Q(1)的表达式为：Q(1)= Q(0)e0.1 = 1.1052Q(0)
3
图一 则有：
Q(1)− Q(0) 1−0
=Q’(1)=Q(0)ieit
Q(1)= Q(0)(1+ieit) 即Q(1)的值为 Q(0)(1+ieit) Δ t= 1 时，即按一年计算一次利息的方式，Q(1)=Q(0)(1+i) Q(2)=Q(1)(1+i) ……… 得到 Q(t)=Q(0)(1+i)(1+i)……(1+i)=Q(0)(1+i)t 如图为得到的近似图像和逼近点： t=1,2,……
������
������
பைடு நூலகம்
Q(0.75)= Q(0)(1+4)3
������
������
Q(1)= Q(0)(1+4)4
������
������
得出 Q(t)= Q(0)(1+4)t/0.25= Q(0)(1+2)4t。 如下图为得到的近似图像和逼近点
5
模型检验与分析： 模型二针对不同的 Δ t 取值的情况下，得出关于不同的 Q(t)的表达式，都 能在不同的 Δ t 取值的情况下得到较好的模拟，那么如何得到一个统一的 Q(t) 的值呢?我们在模型三中将会进行分析。 问题三的求解： 按照题目中给出的计算复利的方式 Q(1)=Q(0)(1+i)=1.1Q(0)=1.1 以半年期的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+2)2=1.1025 以季度的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+4)4=1.1038 以日期的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+365 )365=1.1052 我们假定一年内分 n 期计算，每期利率取 i/n， 一年后的资金总额为 Q(1)=limn →∞ Q(0)(1 + ������ )n=Q(0)ei t（t≥0）年后的资金总额为 Q(t)=limn →∞ Q(t − 1)(1 + ������ )nt=……= Q(0)eiei……ei= Q(0)eit 模型检验与分析：
摘要：
复利的计算是银行业务的一个重要概念, 也是日常生活中经常遇到的问题，本文针 对银行计算利率不同的方式进行探讨，建立了不同的模型。 针对问题一，我们可以先以离散时间来统计归纳离散时间条件下一年计算多次复利 率情况下的存款金额， 在采用极限逼近的方式将离散时间转换为连续时间为单位的自变 量，进而反映出存款在一年内的增长情况，和题干得出的模型进行对比，检验模型的正 确性。 针对问题二：我们首先在明确导数意义的情况下，将存款金额与时间的关系的图在 坐标纸上描绘出来，发现是一个近似的线性模型，在以一年后的存款金额与时间的关系 的导数的意义下，建立等式求得一年后的存款金额。然后再在不同的时间段内，算出一 些存款金额与时间的点，描绘出来后，选用不同的方式进行拟合估计，最后得到我们所 需的模型，并在图上检验模型的误差。 针对问题三： 我们在完成前两问的前提下， 已经受到一些启发， 再在题目的要求下， 算出精确的一年后的存款金额，与半年期的、季度的、日期的复利计算方式进行对比， 进而归纳总结出基本的模型，在根据公式的推导，最后即可得出最后的模型，得到准确 的存款金额与时间的关系，并和之前求得的值进行对比分析。
关键词：复利率
连续复利存款利息 计算利息的次数归纳
一、问题重述：
银行存款计算复利时， 其中一种计算的方式如下。 假设初始存款金额为 Q(0)元， i 为年利率，n 为一年中计算利息的次数，则一年后存款数为： Q=(1+������ )nQ(0)。 银行的存款一般有几种不同的计算复利的方式：半年期，季度或按日计算。 问题 1. 若另有一个银行的复利是连续计算的，请就此建立一个数学模型，描述初 始存款在一年内的增长情况。不妨假设年利率给定，比如 10%。Q(t)为时刻的存款
二、问题分析：
问题一的分析： 问题一属于给定条件下的对数据进行分析并建立数学模型的问题， 解决此类 问题一般需要建立适当的模型来体现相关数据之间的联系，进而建立模型来体 现相关数据之间的联系进而预测未来相关数据之间的联系。解决数学描述相关 的问题一般将题目抽象概括为不等式、方程、几何关系或者图像等等的数学表 达，此问中已给出年利率，我们就可以知道一年后的本金和利率。，问题一的 求解是描述初始存款在一年内的增长情况，我们可以先以离散时间来计算，在 采用极限逼近的方式将其转换为连续时间单位的自变量，进而反映出存款在一 年内的增长情况。问题一是针对另一种复利的计算方式，题干中给出复利是连 续计算的，可以理解为是一个连续的。 问题二的分析： 问题二属于给定部分要求条件下以及给出基本建立模型的方法的条件下的 求解数学模型的问题。解决此类问题一般需要我们针对题目给定的要求和给出 的参数条件进行分析，在符合题目要求的条件下，灵活的运用相关模型进行模 拟。解决数学描述相关的问题一般将题目抽象概括为不等式、方程、几何关系 或者图像等等的数学表达，此问前一小问可以通过导数的意义开始接替，此问 后一小问可利用不同的 Δ t 的取值进而得出不同的 Q(t)的表达式进而进行分析 总结，并作出图形来直观的观察结果的正确性与误差。 问题三的分析： 问题三是一个在给定条件下针对前两问的分析结果分析并建模的问题， 解决 此类问题首先要读透题干，并结合已经建立的模型进行分析，在已经得到的模 型的前提下，进行进一步的完善与补充。此问首先根据提示将不同时间段条件 下的 Q 的取值算出系列结果，从结果中总结归纳建立新的模型。
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Δ t= 0.5 时，即按一年计算两次利息的方式。Q(0.5)= Q(0)(1+ ) Q(1)= Q(0)(1+2)2 得出 Q(t)= Q(0)(1+2)t/0.5=Q(0)(1+2)2t。 如图为得到的近似图像和逼近点：
������ ������ ������ 2
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Δ t= 0.25 时，即按一年计算四次利息的方式。Q(0.25)= Q(0)(1+4) Q(0.5)= Q(0)(1+4)2
问题一的模型： 由于银行的复利是连续计算的， 我们需要求解初始存款在一年内的增长情况,我 们假设时间 t 是连续的。 在这种条件下，我们假定一年内分 n 期计算，每期利率取 i/n，一年后的资金总额 为 Q=Q(0)(1 + ������ )n 由于计算的是连续时间，即分期次数无穷大即 n→ ∞，则有： Q(1)=limn →∞ Q(0) 1 + n 模型分析与检验： 由上式可以看出在连续复利的计算方式下，一年以后存款金额为 1.1052Q(0), 一年内存款增长了 0.1052Q(0) 假定按一年后的本息和为检验标准检验如下： 按照通常的利率计算方式 Q(1)=Q(0)(1+10%)=1.1Q(0)， 一年内存款增长了 0.1Q(0)。 按照题干给出的利率计算方式 Q(1)=Q(0)(1+10%)=1.1Q(0)， 一年内存款增长了 0.1Q(0)。 可以看出，建立的模型相比于前两种方式，有一定的误差，但是在衡量一年内 的增长情况，误差较小，是可以用来衡量初始存款在一年内的增长情况的。 问题二的模型： 假定在连续的条件下，由模型一可知： Q(t)= Q(0)eit Q’(t)= Q(0)ieit 假定 Q(0)取 1,i 取 0.1 时做出 Q(t)的图形， 如图一， 可近似将 Q(t)看做是线性 关系
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假定 Q(0)取 1,i 取 0.1 时,按照模型的计算方式 Q(1)=Q(0)e0.1 = 1.1052Q(0) 可以看出，建立的模型相比于前两种方式，有一定的误差，但是在衡量一年 内的增长情况，误差较小，是可以用来衡量 t 时刻的存款金额。
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， 这一点模型待改进。
五、总结：
本文在题目要求的前提下，针对经济生活证较重要的利率的问题进行了较简单的分 析与归纳，在一些较简单的场合可以利用模型进行一些简答的规划与预测，时间仓促， 模型尚有许多不完善之处，后续还需要针对多个部分进行完善。使其更贴近我们的真实 生活。
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金额，假定存期中间不取款 问题 2. 利用导数信息建立近似线性模型，来估计 Q(1)，即一年后存款数额。分 别用时间间隔为 Δ t= 1 ,Δ t=0.5 和 Δ t=0.25 来近似估计 Q(t)， 并画出近似图形， 标出逼近点。 问题 3. 根据复利计算方式，求精确的 Q(1)，与半年期、季度、日期的复利计算 方式所得的 Q 相比较，并加以分析。给出 Q(t)的表达式。
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三、模型建立与模型分析
符号说明： t（t≥0）是自变量，表示 t 年后。如 t=0.5 表示半年后 Q（t）表示 t 年的本金和利息的和 Q 表示一年后的本息和 i 表示银行的年利率 n 为一年中计算利息的次数
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模型假设： 假定存期中间不取款的条件下，记 t 时刻的本息和为 t 时刻的存款金额 假设 t 是一个连续变量 假设在连续计算的条件下，一年分 n 期计算，则每期利率取 i/n
四、模型的优缺点与改进：
三个模型通过总结与归纳得出了一个可以用来预测Q（t）的取值的式子，当本金较 小的时候，造成的误差也较小，对整个模型的影响也较小可以用来模拟。 Q(t)=limn →∞ Q(t − 1)(1 + ������ )nt这个式子在规定实际年利率为r的前提下,再取半年期 利率为r /2,返回来用该式计算资金总额,这就把利率调成了r+
参考文献
[1] 李炜. 也谈复利率的连续计算方法——析连续复利计算公式的科学性及实用性 [J]. 数理统计与管理, 1998(6):48-50. [2] 沈慧, 李双东. 基于复利的基金投资数学模型构建[J]. 信息化建设, 2015(6). [3] 赵新民. 单复利计算公式应用与比较[J]. 财经问题研究, 1994(3):31-35. [4] 吴宏亮, 莫俊文. 连续复利连续现金流模型的建立及应用[J]. 兰州交通大学 学报, 2015, 34(3):44-48. [5] 黄玉娟, 于文广. 再论复利率的连续计算公式[J]. 新世纪论丛, 2006(2). [6] 高俊科. 关于复利率的连续计算方法——析国内外经管类教学教材中普遍存在 的一种方法[J]. 数理统计与管理, 1998(2):33-34.
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=Q(0) limn →∞ 1 + n
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= Q(0)ei
将 i=10%代入上式，得 Q(1)的表达式为：Q(1)= Q(0)e0.1 = 1.1052Q(0)
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图一 则有：
Q(1)− Q(0) 1−0
=Q’(1)=Q(0)ieit
Q(1)= Q(0)(1+ieit) 即Q(1)的值为 Q(0)(1+ieit) Δ t= 1 时，即按一年计算一次利息的方式，Q(1)=Q(0)(1+i) Q(2)=Q(1)(1+i) ……… 得到 Q(t)=Q(0)(1+i)(1+i)……(1+i)=Q(0)(1+i)t 如图为得到的近似图像和逼近点： t=1,2,……
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பைடு நூலகம்
Q(0.75)= Q(0)(1+4)3
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Q(1)= Q(0)(1+4)4
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得出 Q(t)= Q(0)(1+4)t/0.25= Q(0)(1+2)4t。 如下图为得到的近似图像和逼近点
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模型检验与分析： 模型二针对不同的 Δ t 取值的情况下，得出关于不同的 Q(t)的表达式，都 能在不同的 Δ t 取值的情况下得到较好的模拟，那么如何得到一个统一的 Q(t) 的值呢?我们在模型三中将会进行分析。 问题三的求解： 按照题目中给出的计算复利的方式 Q(1)=Q(0)(1+i)=1.1Q(0)=1.1 以半年期的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+2)2=1.1025 以季度的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+4)4=1.1038 以日期的复利计算方式 Q(1)= Q(0)(1+365 )365=1.1052 我们假定一年内分 n 期计算，每期利率取 i/n， 一年后的资金总额为 Q(1)=limn →∞ Q(0)(1 + ������ )n=Q(0)ei t（t≥0）年后的资金总额为 Q(t)=limn →∞ Q(t − 1)(1 + ������ )nt=……= Q(0)eiei……ei= Q(0)eit 模型检验与分析：