空间向量定比分点公式及应用

即
x x1e1 y y1e2 z z1e3 x2 xe1 y2 ye2 z2 ze3.
也就是
x x1 x2 xe1 y y1 y2 ye2 z z1 z2 ze3 0.
2.平面向量r 的坐标运算r ： (r1).r已知 a (x1, y1),b r(x2r, y2),
a rb (x1 x2, y1 y2), a b (x1 x2, y1 y2)
a (x1, y1)
(2).若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)

x y z
x1 y1 z1

1
1
1
x2 y2 z2

x1 , y1 , z1 .
上一页
返回
从而

x

y


z

x1 x2 1 y1 y2 1 z1 z2 1
也可能与P2更靠近.,设P的坐标是x, y, z,
分情况讨论: ( A) P靠近点P1,则P是分向量P1P2
定比为 1的分点.由定比分点公式,
3 得 P的坐标是 1 , 1 , 3 .
4 4 4
( A) P靠近点P2 ,则P是分向量P1P2
定比为 3的分点.由定比分点公式,
这些向量后, 再化简就可以了.
上一页
返回
由于P是分向量P1P2
定比为的分点,即
P1P PP2 ,
又P1P2 P1P PP2, 所以
P1P

1
P1 P2 .
即
x x1, y y1, z z1 上一页

1

x2

x1,
y2

y1,
z2

z1.
返回
也就是
(2) 由于P与P2的x坐标不相同, 所以P与P2
不重合.又点P位于P1P2所在的直线上,
故可设P是分向量P1P2定比为( 1)
的分点.于是有
1 2 5,
1
即
2.
从而,由(1)知点P的坐标是 5,2,8.
(3) 由于P是线段P1P2的四等分点, 所以点P 位于线段P1P2内部.P可能与P1更靠近,当然
P1M1, P1P2
P1P3
,
即G x1 x2 x3 , y1 y2 y3 , z1 z2 z3上一页.
3
3
3
返回
附: 代数法确定定比分点坐标公式
设P的坐标为x, y, z,则.
设P的坐标为x, y, z,则 P1P x x1, y y1, z z1, PP2 x2 x, y2 y, z2 z.
新课:
问题: (1) 设有向线段 P1P2 所在的直线为l , 在 l 上任
也可能与P2更靠近.,设P的坐标是x, y, z,
分情况讨论: ( A) P靠近点P1,则P是分向量P1P2
定比为 1的分点.由定比分点公式,
3 得 P的坐标是 1 , 1 , 3 .
4 4 4
( A) P靠近点P2 ,则P是分向量P1P2
定比为 3的分点.由定比分点公式,
得P的坐标是 5 , 3 , 7 . 4 4 4
解 : 设P的坐标为x, y, z,则 P1P x x1, y y1, z z1, PP2 x2 x, y2 y, z2 z.
由于P1P PP2.
所以
x x1, y y1, z z1 x2 x, y2 y, z2 z.
定比分点公式得G的坐标是

x1
2
x2
2
x3
,
y1
2
y2
2
y3
,
z1
2
z2
2
z3
,
1 2
1 2
1 2


即G x1 x2 x3 , y1 y2 y3 , z1 z2 z3 .
3
3
3
上一页
返回
思考题
1. P与P2重合, ?能否用此公式
(2) 由于P与P2的x坐标不相同, 所以P与P2
不重合.又点P位于P1P2所在的直线上,
故可设P是分向量P1P2定比为( 1)
的分点.于是有
1 2 5,
1
即
2.
从而,由(1)知点P的坐标是 5,2,8.
(3) 由于P是线段P1P2的四等分点, 所以点P 位于线段P1P2内部.P可能与P1更靠近,当然
上一页
返回
问题5 取定标架O;e1, e2, e3 ,点Pi的坐标
为xi , yi , zi .点P为分向量P1P2定比为的分点.
点P的坐标是什么? 分析:
方法一(向量法) P1P PP2,可以直接
用向量P1P2来表示向量P1P.
方法二(代数法) P1P PP2,用坐标表示出
由于P1P PP2.
所以 上一页
x x1, y y1, z z1 x2 x, y2 y, z2 z. 返回
即
x x1e1 y y1e2 z z1e3 x2 xe1 y2 ye2 z2 ze3.
确定P的坐标.
(3) P是线段P1P2的四等分点,确定P的坐标.
解: (1)设P的坐标是x, y, z,由定比分点
公式, 得
zxy1011212222221232, 58,.
所以点P的坐标是- 5,2,8.
也就是
x x1 x2 xe1 y y1 y2 ye2 z z1 z2 ze3 0.
上一页
返回
显然有
0e1 0e2 0e2 0.
又由于e1、e2、e2不共面, 所以用e1、e2、e2
线性表示0的方法唯一.
确定P的坐标.
(3) P是线段P1P2的四等分点,确定P的坐标.
解: (1)设P的坐标是x, y, z,由定比分点
公式, 得
zxy1011212222221232, 58,.
所以点P的坐标是- 5,2,8.
2.平面向量r 的坐标运算r ： (r1).r已知 a (x1, y1),b r(x2r, y2),
a rb (x1 x2, y1 y2), a b (x1 x2, y1 y2)
a (x1, y1)
(2).若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)
所以
x x1 x2 x 0,
y y1 y2 y 0,
上一页
z z1 z2 z 0.
返回
从而

x

y


z

x1 x2 1 y1 y2 1 z1 z2 1

• 定P把义向P量为分向成量了P两1P个2所共在线的向直量线、上,如任果意,设一,点称PP,点
为分向量定比为的分点.
复习回顾:
1.向量共线充要条件:
(1).a // b(b 0) 存在唯一实数,使a b.
(2).若a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
则a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0,即x1 y2 x2 y1
7. 搜集一些现实生活中使用定比分点的
上一页
问题,并尝试解决它.
返回
作业 第33页第9、10题.
上一页
返回
附 向量法确定三角形的重心坐标
由于M1是边P2P3的中点, 所以
P1M1
1 2
P1P2 P1P3
,
又G是P1M1定比 2的分点,
所以 P1G 从而P1G

2 31 3
求P的坐标?
2. P1、P2重合, P不与它们重合 , ?
能否用此公式求得 P的坐标 ?
3. 中学里, 平面上点分线段的定比
分点公式是什么?它与空间定比分点
上一页
公式有何联系与区别?
返回
4. 试用第4节例1证明三角形三中线共点 .
5. 试用第4节习题3的结论证明三角形 三中线共点.
6. 试用第4节习题3的结论推导空间向量 定比分点坐标公式 .
上一页
返回
分析 : 三角形的重心G
是三中线的交点, 且G是分
向量PiM i i 1,2,3定比
2的点.为确定G的
坐标,需确定M i的坐标.
M
是所在边的中点
i
,即M
是分所在边
i
的向量定比 1的分点.
连续使用两次定比分点 公式,即可确上定一页
G的坐标.
返回
解
:
由于M
1是边P2
得P的坐标是 5 , 3 , 7 . 4 4 4Leabharlann 感谢各位指导复习回顾:
1.向量共线充要条件:
(1).a // b(b 0) 存在唯一实数,使a b.
(2).若a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
则a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0,即x1 y2 x2 y1
, , .
空间向量定比分点坐标公式 上一页
返回
感谢评委的指导 感谢老师们光临 感谢同学们配合 感谢系领导支持
感谢徐德明老师的帮助与建议
数学和自然科学系 王琦
例 已知P11, 0,2，P2 2, 1,3.
(1)P分P1P2的定比是 2.确定P的坐标.
(2)P 5, y, z位于P1P2所在的直线上,
P3的中点,即点M
是
1
分向量 P2P3定比 1的分点,由定比分点
公式得
M
的坐标是
1
x2 1 x3 , y2 1 y3 , z2 1 z3 ,
11
11
11
即M1
x2
2
x3
,
y2
2
y3
,
z2
2
z3
.
上一页
返回
又G是分向量P1M1定比 2的分点,再由
课程名称：解析几何 授课班级：12数学本科 授课地点： 4101 授课时间：2012年10月16日
数学和自然科学系
王琦
实验1 悬挂法测定三角形的重 心.
实验2 重心的作用.
上一页 下一页
返回
问题1. 在向量P1P2所在直线上任取一点P, 点P可能出现在哪些位置?
P
P1
P2
P
P1
P2
P1 P
P2
P
P1
P2
P1
P2 P
问题2 点P的位置与 P把向量 P1P2分得的两个向量上一页
下一页
P1P、PP2的方向有何关系 ?
返回
问题3. 无论点P的位置,两个向量P1P、PP2 的有何位置关系?
定义 P为向量P1P2所在直线上的一点, 点P把向量P1P2分成两个共线向量P1P、PP2 ,
如果PP2 0,设P1P PP2.称点P为分向量 P1P2定比为的分点. 问题4. P的位置与 的取值有何关系 ?
, , .
空间向定比分点坐标公式
上一页
返回
问题6 P是P1P2的中点, ?
P的坐标是什么?
问题7 若P1与P2不重合, -1,
P1、P、P2有何关系?
上一页
返回
例 取定某标架,三角形的三顶点
为Pi xi,, yi,, zi i 1, 2, 3, Mi为Pi对应
边的中点.求此三角形的重心G的坐标.
y


z

x1 x2 1 y1 y2 1 z1 z2 1
, , .
空间向量定比分点坐标公式
例1 已知P11, 0,2，P2 2, 1,3.
(1)P分P1P2的定比是 2.确定P的坐标.
(2)P 5, y, z位于P1P2所在的直线上,
显然有
0e1 0e2 0e2 0.
又由于e1、e2、e2不共面, 所以用e1、e2、e2
线性表示0的方法唯一.
所以
x y

x1 y1



x2 y2

x y
0, 0,
z z1 z2 z 0.
从而

x