力矩 刚体定轴转动的转动定律

dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
2
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
18
(2)
d M J J dt
d k J dt
2
t＝0时， 0 ，两边积分
dJ r dm 2 r dr
2 3
J dJ
第3章 刚体力学基础
R
0
1 2 r dr mR 2 2
3
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第3章 刚体力学基础
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
m
R o
m
m
T
m
o R
T'
P y
ay 2mg (2m m' ) T m' mg /(2m m' ) 2mg [(2m m' ) R]
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
16
例3.3 质量均为m的两物体A、B。A放在倾角为θ 的 光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。 定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m，物体运动 时，绳与滑轮无相对滑动。求绳中张力及物体的加 速度大小
M dM
圆盘角加速度
R
0
停止转动需时
第3章 刚体力学基础
2Nr 2dr 2 NR 2 R 3 M 3 N J 4 MR 0 3 m R0 t 4 N
0
dr
R
r
dl
dF f
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动. 试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角 速度. 解 细杆受重力和
M Ft r
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 4） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
物理学教程 （第二版）
M ij
O
Mij M ji
rj
j
f ij
M ji
对转轴的合内力矩为零.
第四章 刚体转动
d
i ri
f ji
结论：刚体内各质点间的作用力
M Mij 0

1 0 3
0
d

2

t
0
k dt J
2J t . k0
故当 1 0 时，制动经历的时间为 3
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律 例 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω 0绕通过圆心 垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称 刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N 均匀地作用在盘面上, 从 而使其转速逐渐变慢.设正压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数μ 均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?
Mi (mi )ri
z
O
Fit
at r
ri
mi
2
M M i (mi )ri (mi )ri
2
2

转动惯量
J
2 mi ri
转动定律
第四章 刚体转动
M J
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
7
d M M iz J J dt
F
* P
d
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
讨论
不在转动平面内，可把力分解为平行于 和垂直于转轴方向（即在转动平面上）的两个分量
1）若力 F
F Fz F
故力对转轴的力矩
其中 F 对转轴的力矩为零， z
z
k
Fz
F
M z k r F M z rF sin
J mr
2
2
质点系
若物体质量连续分布
J mi ri
2 m
J r dm r dV
m
2
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
9
例3.1 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
转动惯量物理意义：转动惯性的量度.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
8
三
转动惯量
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．
对于单个质点
四 转动定律的应用
例 如图, 有一半径为 R 质量为 m 的匀质圆盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一 端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
R o
m
m
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
O
r
F
M M1 M 2 M 3
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
3）力在转动平面内的分量，又可分解为两个方向：切向Ft和 法向Fn。 因为法向分量Fn指向转轴，因而不提供力矩，对刚体的 定轴转动无影响。 我们只考虑力的切向分量Ft即可。
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律 一 力矩
1
刚体绕 O z 轴旋转 , 力
且在转动平面内,
矢.
r
F作用在刚体上点 P ,
为由点O 到力的作用点 P 的径
M r F M Fr sin
方向遵循右手定则。
第3章 刚体力学基础
F 对转轴 Z 的力矩
M
M
O
z
r
解: 在圆盘上取面积微元, 面积 元所受对转轴的摩擦力矩大小
0
dr
N rdF f r 2 2rdr πR
第3章 刚体力学基础
r
dl
dF f
刹车片
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律 面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
圆盘所受摩擦力矩
N rdF f r 2rdr 2 πR 2 2Nr dr dM rdF f R2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
对于刚体的定轴转动，有效的力矩只有两个方向， 不妨把矢量M转化为标量M，正负表示方向。
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
二
刚体定轴转动的转动定律
Fit (mi )ait
M i ri Fit (mi )ait ri
T
m
解：1） 分析受力
o R
2）选取坐标
T'
P y
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
3）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量
mg T may T R J a y R T T 2 J m' R / 2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
17
例3.4 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速 度为 0 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小 与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零 1 的常数)，当 时，飞轮的角加速度是多少？ 0 3 从开始制动到现在经历的时间是多少？