广东省湛江一中2020至2021学年高二下学期期中数学
广东省湛江一中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
高二级 数学(理)科试卷考试时间：120分钟 满分:150分本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分， 第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数3z bi =-的虚部是 ( ) A ．bi B ．bi - C ．b - D ．b2、若2121515x x C C ++=，则实数x 的值为 ( ) A ．4 B ．1 C ．4或1 D ．其它3、一个物体的运动方程为21s t t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒4、12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有( )种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A 5、下列函数中,在(0,)+∞上为减函数的是 ( ) A ．xe y x= B ．(1)x y x e =- C ．3y x x =- D ．ln(1)y x x =-+6、某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，则在该地四月份刮东风的条件下，下雨的概率为 ( )A ．830 B ．730 C ．18 D ．787、设数列{a n }的前n 项和为S n ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列a 1，a 2，……，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，……，a 502的“理想数”为2012，那么数列5，a 1，a 2，……，a 502的“理想数”为 ( )A ．2008B ．2014C ．2012D ．20138、某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率f (n )如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最可能是 ( )A ．14发B ．15发C ．16发D ．15或16发第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、已知复数z 满足：33(23i z i =⋅-，那么复数z 在复平面内对应的点位于第 象限10、定积分11()e x dx x+⎰=11、函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是12、类比平面几何中的射影定理：若直角三角形ABC 中(如图)，AB 、AC 互相垂直，AD 是BC边的高，则AB 2=BD ·BC ；AC 2=CD ·BC ．若在三棱锥A -BCD 中(如图)，三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，O 是点A 在平面BCD 上的投影，则三棱锥的侧面面积与它在底面上的投影面积和底面积的之间满足的关系为 (只需填一个)13、二项式33()n x x的展开式中含有x 2项，则n 最小时，展开式中所有系数之和为14、设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|f x ≤||M x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”.现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+； ③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ,2x 均有12|()()|f x f x -≤121||2x x -.其中是“倍约束函数”的有 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、(本题满分12分)在比例的性质中，有等比定理：若,,,a b c d R *∈，且a cb d =，则a ac cb b d d+==+；在不等式中是否也有类似的性质.若有请写出来，并证明；若没有，请举例说明.16、(本题满分12分)函数322()f x x ax bx a =+++，在x =1时有极值10，(1)求a ,b 的值； (2)求曲线()y f x =的切线的斜率的最小值17、(本题满分14分)已知22()nx x的展开式中，(1)若第5项的系数与第3项的系数之 比是56﹕3，求展开式中的常数项；(2)求证：二项式22()n x x 与122()n x x +的展开式中 A B C D AB C DO不可能都有常数项.18、(本题满分14分)已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，sin β是sin θ、cos θ 的等比中项，求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++ 19、(本题满分14分)某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元；若是二等品，则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的总利润不少于10万元的概率.20、(本小题满分14分)已知函数()ln(1)()af x x a R x=-+∈．(1) 若2a =时，试证明：当2x ≥时，()1f x ≥；(2) 如果函数()y f x =是定义域上的增函数，求a 的取值范围； (3)求证：1111ln(1)35721n n +>+++++(*n N ∈)．湛江一中2007—2008学年度第二学期期中考试高二年级数学(理)科答题卷一、选择题(每题5分,共40分)9、__________; 10、__________; 11、_______________;12、 ； 13、_________; 14、_____________.三、解答题(本题共6小题,80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.) 15、(满分12分)16、(满分12分)17、(满分14分)18、(满分14分)19、(满分14分)20、(满分14分)湛江一中2011—2012学年度第二学期期中考试高二年级数学(理)科参考答案一、选择题(每题5分,共40分)二、填空题(每题5分,共30分)9、 一 ； 10、212e +； 11、36π；12、2ABC OBC DBC S S S ∆∆∆=⋅； 13、 64； 14、①， ④， ⑤三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、(本题满分12分)在比例的性质中，有等比定理：若,,,a b c d R *∈，且a cb d=，则a a c c b b d d +==+；在不等式中是否也有类似的性质.若有请写出来，并证明.若没有，请举例说明. 解析：类比比例中有等比定理，在不等式中也有类似的性质：若,,,a b c d R *∈，且a cb d>，则a a c c b b d d+>>+…………………4分 证明如下(分析法)：欲证a a cb b d +>+成立，………………5分因为,,,a b c d R *∈，只需证()()a b d b a c +>+…… ………7分 即证ab ad ba cb +>+，即证ad cb >即a c b d >，而a c b d >成立，所以a a c b b d +>+成立……………10分同理可证a c c b d d +>+，所以若,,,a b c d R *∈，且a cb d>，则a a c c b b d d +>>+成立……12分16、(本题满分12分)函数322(),f x x ax bx a =+++在x =1时有极值10，(1)求a ,b 的值； (2)求曲线()y f x =的切线的斜率的最小值 解析：(1)'2()32f x x ax b =++…………………1分'(1)230f a b =++=，2(1)110f a a b =+++=…………………3分联立2239a b a a b +=-⎧⎨++=⎩，解得34,311a a b b =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或…………………5分 当3a =-时，1x =不是极值点，所以4,11a b ==-………………8分(2)当4,11a b ==-时，22449'()38113()33f x x x x =+-=+-，………………11分所以43x =-时，切线的斜率最小值为493-…………12分17、(本题满分14分)已知22()nx x的展开式中，(1)若第5项的系数与第3项的系数之 比是56：3，求展开式中的常数项；(2)求证：22()n x x 与122()n x x +的展开式中不可 能都有常数项.解析：(1)由通项公式122()rr n n r rT C x+-=,…………………2分 得：44222561032n n C n C =⇒=，或5n =-(舍去)……………………4分由通项公式551021101022()2r rrr r rr T C C x x--+==，所以当r =2时，取到常数项……5分 即3180T =……………6分(2)假设它们的展开式中都有常数项，分别是第r +1和k +1项…………8分则2222122rn r n rr rr rr r nnT C x xC x----+=⋅=是常数项，所以5n r =，即n 是5的倍数…10分11222211122n k n kk kk kkk k n n T C xxC x+-+---+++=⋅=是常数项，所以51n k =-，即n 是被5整除余4的数，……13分所以矛盾，所以假设不成立，原命题成立……14分18、(本题满分14分)已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，sin β是sin θ、cos θ 的等比中项。
广东省湛江第一中学高二数学下学期期中试题理
Oxy BF A广东省湛江第一中学高二数学下学期期中试题理高二级理科数学试卷考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A ．2,2)B ．(1,1)-C ．(1,)i -D ．(2,2)i -2．1(2)xe x dx+⎰等于（ ） A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +3．6(3x x 的展开式的常数项为（ ）A ．540B ．162-C ．162D ． 540-4．如图所示，用五种不同的颜色分别给A 、B 、C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有( ) A ．180种 B ．120种 C ．96种 D ．60种5．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次，则第1次抽到正品，第2次抽到次品的概率是（ ）A ．3245B ．1645C ．845D ． 445 6．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c ，当AB FB ⊥时， 由2b ac =得其离心率为512，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”2222111x y a b -=中，由2111b ac =（1c 为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A ．512B ．312C ．513D ．712-7．已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数()y f x =的图像是（ ）8．函数3211()(21)(1)32f x x b x b b x=-+++在(0,2)内有极小值，则( )A ．01b <<B ．02b <<C ．11b -<<D ．12b -<< 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9. 根据定积分的几何意义，计算204x dx -=⎰10．湛江一中学生会的6名学生会干部按团委的要求分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级安排2名学生会干部，则不同的分配方案有 种. （用数字作答）11. 已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)(x f ',记(1)()(),(1)f a f a A f a B a a +-'==+-，)1(+'=a f C ，则由导数的几何意义和斜率公式可得,,A B C 的大小关系是12.8(x x 的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）13．4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案 有 种（用数字作答）14. 已知()x xf x e =，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算得：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，那么()3f x =A DC BPABCDE根据以上计算所得规律，可推出()n f x =.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15．（本小题满分12分） 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1,(1))M f --处的切线方程为076=+-y x . 求函数)(x f y =的解析式 16．（本小题满分12分）在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？17. （本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ， 且2PD EC =，（1）求证：//BE 平面PDA ；（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；（3）若PDAD =PBE 与平面ABCD 所成的二面角的大小．男女6432性别人数科别甲科室乙科室18．（本小题满分14分）某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率； （3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列.19．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的*n N ∈都有2n n S a n =-,(1)求数列{}n a 的前三项1234,,a a a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式na ,并用数学归纳法证明；(3)求证：对任意*n N ∈都有213243111111n na a a a a a a a +++++<----.20．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高二级理科数学期中考试参考答案二. 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. π 10. 90 11. A B C >>12. 28 13. 36 14. 3xxe - ， (1)()e n x x n --详细解答：一、本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．【解析】B.()()()2121111i z ii i i ⋅-===-++⋅-,故选B2．【解析】C.被积函数22,x x e x e x ++的一个原函数为 1121200(2)()(1)(0).x x e x dx e x e e e ∴+=++-+=⎰｜＝3．【解析】 D.6展开式的常数项为3336(540C ⋅=-4．【解析】A.按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选；第二步B 区域有4种颜色可选；第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可以重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法． 5．【解析】C. “第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而现求的是其中之一的概率。
广东省2021-2021学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
广东省佛山一中、珠海一中、金山中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数满足，则的虚部为（）A. -4B.C. 4D.【答案】D【解析】试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。
至少有一个的对立情况为没有。
故假设为方程没有实根。
详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根。
”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。
常见否定词语的否定形式如下：结论词没有至少有一个至多一个不大于不等于不存在反设词有一个也没有至少两个大于等于存在3.曲线在点处切线斜率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导数，将代入导函数，求得切线的斜率.【详解】解：对函数求导，得，当时，，曲线在点处切线斜率为-1，故选B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，正确求出导函数是解题的关键。
4.函数的图像大致是【答案】A【解析】本题考查了函数的零点、幂函数与指数函数图象的变化趋势，考查了同学们灵活运用所学知识解决函数图象问题的能力。
显然2、4是函数的零点，所以排除B、C；当时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知，故选A5.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．6.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）A. 若成立，则成立B. 若成立，则成立C. 若成立，则当时，均有成立D. 若成立，则当时，均有成立【答案】D【解析】解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当成立时，总可以推出成立，则能推断若成立，则当时，均有成立。
广东省湛江一中高二数学下学期期中试题 文 新人教A版
高二级文科数学试卷考试时间：120分钟 满分为150分 一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等（ ） A.2 B.32 C.32- D.23. 圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A. )32,5(π- B. (5,)3π- C. (5,)3π D. 5(5,)3π- 4. 如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程e a bx y ++=（单位：亿元），其中5.0||,2,8.0≤==e a b ，如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过A 9亿B 10亿C 9.5亿D 10.5亿 5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A.若K 2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确.6．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是A 大前提错误B 小前提错误C 推理形式错误D 以上都不是 7.将两个数a ＝8，b ＝17交换，使a ＝17，b ＝8，下面语句正确的一组是 ( )第 1 页 共8页8． 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为 ( )A 3B 7C 8D 11（第8题图）9．给出右面的程序框图，输出的数是（ ）A ．2450B ．2550C ．5050D ．4900 10．已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-（*n ∈N ）则2012321a a a a ⋅⋅⋅的值为A 2 B -3 C 21-D 1 （第9题图） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11、定义运算, a c ad bc b d=-复数z 满足1,1 z i i i=+则z ＝ ；12．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．13. 观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式24n S == 38n S == 412n S ==第 2 页 共8页14．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15 (本小题满分12分)……(1)计算： ii i +-++2)1(3)21(2；(2). 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z16．(本小题满分l2分)以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝6，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．17．（本小题满分14分） 为了研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下表:(1) 画出散点图,判断变量与是否具有相关关系;(2) 若y 与x 之间具有线性相关关系,求y 对x 的回归直线方程;(3.16512=∑=i ix,5.1851=∑=i i i y x )(3) 预测水深为1.95m 水的流速是多少.参考公式： 2121121)())((xn xyx n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑==== x b y a -=第 3 页 共8页18．(本小题满分14分)在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状并证明.19． (本小题满分14分) 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证212221≥+a a ，证明：构造函数2221)()()(a x a x x f -+-=22212222121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842221a a +-=∆≤0,从而得212221≥+a a ，（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
广东省湛江市徐闻县第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
广东省湛江市徐闻县第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-2．已知i 是虚数单位，则复数()21i += A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i3．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．144．已知()()231f x x xf '=+，则()2f '=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知二项式()*2nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-6．设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在正项等比数列{}n a 中，2416a a =，4524a a +=，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．12n n a -= B ．2n n a =C ．3nn a =D ．13-=n n a8．()f x 是定义在0,上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+<，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ） A ．()()af b bf a < B ．()()bf b af a < C ．()()bf a af b < D ．()()af a bf b <二、多选题 9．关于()()202122021012202112x a a x a x a x x -=+⋅+⋅++⋅∈R ，则（ ）A ．01a =B ．202112320213a a a a ++++=C ．3320218a C =D ．20211234202113a a a a a -+-++=-10．设随机变量ξ的分布列为()1,2,3,4,55k P ak k ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．151a =B ．()0.50.80.2P ξ<<=C ．()0.10.50.2P ξ<<=D ．()10.3P ξ==11．已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 12．已知点O 为坐标原点，直线1y x =-与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，则（ ） A ．||8AB =B ．OA OB ⊥C ．AOB 的面积为D ．线段AB 的中点到直线0x =的距离为2三、填空题13．设向量(1,),(2,1)a m b ==，且(2)7b a b ⋅+=，则m =__________.14．某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有_______种（用数字作答）．15．函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为_____________．16．在()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为15，则实数a =_______．四、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,a c A ===. （1）求sin C 的值； （2）求b 的值.18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.19．已知函数2()e x f x ax =-的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为e 2-. （1）求实数a 的值；（2）已知函数()f x 的导函数是()'f x ，记()()g x f x x '=+，求()g x 的极小值.20．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，D 是AB 的中点，E 是1C C 的中点，且1AB =，12AA =.（1）证明：//CD 平面1A EB ； （2）求二面角1B A E D --的余弦值. 21．已知函数()ln f x x x =． （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；22．已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）1C的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.参考答案1．C 【详解】{}1M ⋂N =，故选C ．考点：集合的交集运算． 2．D 【详解】试题分析：()21i +=1+2i+2i =2i 考点：复数运算． 3．B 【分析】可以用直接分类分步方法求解；也可以从反面间接计算. 【详解】解法一：根据题意，选取的２人中，女生人数为１人或２人，选派的方法数有11023232C C C C 617+=+=;解法二：没有女生的选派方法为所选两人都是男生，有23C 种，从5人中选2人总的选派方法有25C ，故至少有一名女生的选派的方法数有2253C C 1037-=-=.故选：B. 4．A 【分析】对函数求导，并令1x =代入可求得()1f '.将()1f '的值代入()f x '可得导函数()f x '，即可求得()2f '的值. 【详解】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，则()11f '=-，所以()()23123f x x x '=+⨯-=-， 则()22231f '=⨯-=， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意()1f '为常数，属于基础题. 5．C 【分析】由二项展开式的通项公式为1(2)rr n rr nT C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中的x 指数为3，即可求得2r ，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rr n rr nT C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以66216(2)2(1)rr n rr r r r r nT C x C x ---+⎛==- ⎝，令3632r -=，解得：2r，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题． 6．D 【分析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】解：根据导函数图像，()y f x =的增区间为(3,1),(0,1)--，减区间为(1,0),(1,3)-， 观察选项可得D 符合， 故选：D ． 【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题． 7．A 【分析】求出3a 的值，进而可求得等比数列{}n a 的公比 ，结合等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >，0q >，由等比中项的性质可得232416a a a =⋅=，解得34a =，所以，()()22453424a a a q q q q +=+=+=，整理可得260q q +-=，0q >，解得2q ，因此，3313422n n n n a a q ---==⨯=.故选：A. 8．B 【分析】构造函数()()g x xf x =，(0,)x ∈+∞，利用导数研究其单调性，进而得到结论． 【详解】解：设()()g x xf x =，(0,)x ∈+∞，则()()()g x xf x f x '='+0<，()g x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，a b <，∴g (b )<g (a ),即()()bf b af a <， 故选：B ． 9．AD 【分析】对于选项A ，B ，D ，分别令0x =、1x =、1x =-代入已知关系式即可求解，选项C ，利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】 令0x =，则202101a =，即01a =，故A 正确；令1x =，则()2021012202112a a a a -=++++，即012320211a a a a a +++++=-，所以12320212a a a a ++++=-，故B 错误；根据二项式展开式的通项公式：()3320183320212021128a C C =⋅⋅-=-，故C 错误；令1x =，则012320211a a a a a +++++=-，令1x =-，则()2021202101232021123a a a a a -+-=+=+-，两式相加可得2021022020312a a a -+++=，① 两式相减可得2021132021132a a a --+++=，② ②-①可得202120212021012342021133132a a a a a a ---+-+-+-++==-，所以20211234202113a a a a a -+-++=-，故D 正确.故选：AD 10．ABC 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得151a =，即可判断A 、D ；由()30.50.85P P ξξ⎛⎫<<== ⎪⎝⎭即可判断B ；由()120.10.555P P P ξξξ⎛⎫⎛⎫<<==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可判断C ；即可得解. 【详解】随机变量ξ的分布列为()1,2,3,4,55k P ak k ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,∴()123415555P P P P P ξξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2345151a a a a a a =++++==， 解得115a =， 故A 正确；∴()310.50.830.2515P P ξξ⎛⎫<<===⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确； ∴()12110.10.520.2551515P P P ξξξ⎛⎫⎛⎫<<==+==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； ∴()11150.3153P ξ==⨯=≠，故D 错误. 故答案为：A 、B 、C. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 11．BC 【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 【详解】()()cos 22sin cos cos 22cos sin 22f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=+⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x A 不正确；()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项B 正确； 因为2842k ππππ⨯+=+，解得：0k =，所以直线8x π=是()f x 的图象的对称轴，故选项C 正确； 令()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 不正确， 故选：BC. 12．AC 【分析】先判断直线过焦点，联立方程组214y x y x =-⎧⎨=⎩结合韦达定理得两根关系，再根据选项一一判断即可． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线2:4C y x =，则2P = ，焦点为()1,0，则直线1y x =-过焦点；联立方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得2610x x -+=， 则12126,1x x x x +==， ()()()121212121114y y x x x x x x =--=-++=-所以12628AB x x P =++=+= ，故A 正确；由12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-≠，所以OA 与OB 不垂直，B 错；原点到直线1y x =-的距离为d ==，所以AOB 的面积为11822S d AB =⨯⨯==，则C 正确；因为线段AB 的中点到直线0x =的距离为126322x x +==，故D 错 故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 13．1- 【分析】向量数量积的坐标表示，列式求m . 【详解】()24,21a b m +=+，()27b a b ⋅+=，24217m ∴⨯++=，解得：1m =-. 故答案为：1- 14．36 【分析】按照特殊位置优先的原则,并利用排列分步计算. 【详解】第一节应从物理、化学、生物中任选一科，有三种选法；其余四节课中任选两节排列剩余的两科，有24A 种安排方法，其余的课安排自习，有1种安排方法，故不同的排法共有2413A 343136⨯=⨯⨯⨯=⨯种，故答案为：36.15．10x y --=【详解】试题分析：，当时，，，所以切线方程，即切线方程是. 考点：导数的几何意义16．5【分析】由题意结合二项式定理写出二项式()521x -的展开式的通项公式，分别令1022r -=、1024r -=即可得3x 的系数，即可得解.【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为：()()()2021155511r r rr r r r x T C C x -+-=⋅⋅-=⋅-⋅， 令1022r -=即4r =，则()()4455115r r C C ⋅-=⋅-=，令1024r -=即3r =，则()()33551110r r C C ⋅-=⋅-=-， 所以()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为510a -， 所以51015a -=即5a =.故答案为：5.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.17．(2)1 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得sin A ,再利用正弦定理求解；（2）利用两角和的正弦公式求得sin B ,然后利用正弦定理求得.【详解】(1)cos sinA A=∴==,由正弦定理得：sin4sin2c ACa===；(2),a c C>∴为锐角，∴3cos4C==, ∴()()sin sin sinB AC A Cπ=-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sinA C A C=+34==2sin1sina BbA∴===.18．（Ⅰ）227na n=-+；（Ⅱ）2328n n-+.【详解】(1)设{a n}的公差为d.由题意，a112＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故a n＝－2n＋27.(2)令S n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n＝2n(a1＋a3n－2)＝2n(－6n＋56)＝－3n2＋28n.19．（1）1；（2）1.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由(1)2f e '=-可得a 值；（2）求出导函数()'g x ，由()'g x 确定函数的单调性后可得极小值．【详解】(1)()2x f x e ax '=-.(1)22f e a e =-=-'解得1a =（2）由（1）知()2x f x e x '=-，(),x g x e x =-()1,x g x e =-'令()0,g x '=得0x =，当(,0)x ∈-∞时，()0,g x '<()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,g x '>()g x 单调递增；故当0x =时，()g x 取极小值(0)1g =．20．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取11A B 的中点M ，连接DM ,分别以DB ,DC ,DM 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得平面1BA E 的法向量，证明直线CD 的方向向量与平面的法向量垂直后，结合CD 不在平面内，证得//CD 平面1A EB ；（2）再求得平面1DA E 的法向量，结合（1）的平面的法向量，利用空间向量的夹角余弦值公式计算即可得到二面角1B A E D --的余弦值.【详解】（1）证明：取11A B 的中点M ，连接DM ,则DM //1BB ,由正棱柱的性质可知1BB ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ,又因为底面△ABC 为正三角形，所以DB 、DC 、DM 两两垂直，分别以DB ,DC ,DM 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系如图所示：因为1AB =，12AA =，所以()1110,0,0,,0,0,,,0,2,22D B C A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面1BA E 的法向量为(),,u x y z =, BE=()11,1,0,2,2BA ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭11·02·20u BE x y z u BA x z ⎧=-+=⎪⎨⎪=-+=⎩, 令1,z =得2,0x y ==,()2,0,1u =,·0000DC u =++=，又∵DC ⊄平面1BA E ，∴//CD 平面1A EB ．（2）设平面1DA E 的法向量为(),,v x y z '''=,DE=11,,0,2,2DA ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13·021·202v DE y z v DA x z⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩'''', 令1,z '=得4,x y ''==,24,3v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 又∵由（1）平面1BA E的法向量为()2,0,1u =, ∴42cos ,41u v u v u v ⨯===+由图可知二面角1B A E D --为锐二面角角，二面角1B A E D --21．（I ）1(0,)e（II ）(,5ln 2]-∞+ 【详解】试题分析：（Ⅰ）由()ln f x x x =，知 ()1ln ,0f x x x ='+>，由此能求出函数f （x ）的减区间；（Ⅱ）由2()6f x x ax ≥-+-在（0，+∞）上恒成立，知 26ln 6ln x x x ax a x x x≥-+-⇒≤++，()6ln g x x x x=++ 由此能够求出实数a 的取值范围试题解析：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得 ln 1x <-10x e∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e ； （Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++ 设6()ln g x x x x =++则 2226(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-== 当(0,2)x ∈时 )'(0g x <，函数()g x 单调递减；当(2,)x ∈+∞时 '()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是 (,5ln 2]-∞+；考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题22．（1）2212x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径，可得a，再由离心率c e a ==，求得b 即可.（2）由（1）可得()1,0F -，分过点F 的直线1l 的斜率不存在，斜率为0，F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，分别求得弦长PQ ，MN ，根据两直线垂直，由12PMQN S MN PQ =求解.【详解】（1）由2a =a =由c e a ==，得1c =，所以1b =. 所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）由（1）可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l的斜率不存在时，MN =PQ =这时11222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，PQ =这时11222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y . 由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m+=+，12212y y m -=+.所以)212212m y m PQ +=-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l的距离d所以MN =所以12PMQN S MN PQ ===由222m +>，得2，即(2,PMQN S ∈. 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．。
2020-2021学年广东省湛江市廉江市高二下学期期中数学复习卷(2)(含解析)
2020-2021学年广东省湛江市廉江市高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若全集U ={1,2，3，4}，集合M ={1,2}，集合N ={2,3}，则集合M ∩∁U N =( )A. {1}B. {1,2}C. {1,4}D. {1,2，4}2. 已知M 是的最小值，N =，则下图所示程序框图输出的S 为( )A. 2B. 1C.D. 03. 已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1+i)(a +i)为纯虚数，则a 的值等于( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 已知实数x 、y 满足{y ≤23x −y −3≤02x +y −2≥0，则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A. 2B. 3C. 7D. 85. “sinα=cosα”是“sin2α=1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( )A. B. C.D.7. 已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−3,t)，且a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则|b ⃗ |=( )A. 3B. √10C. 2√3D. 58. 函数y =sin(π2x +θ)cos(π2x +θ)在x =2时有最大值，则θ的一个值是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 34π9. 双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y =18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于y 轴的弦长为2√33，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 2√33C. 3√22D. √310. 已知定义域为R ，函数f(x)满足f(a +b)=f(a)⋅f(b)(a,b ∈R)，且f(x)>0，若f(1)=12，则f(−2)等于( )A. 12B. 14C. 2D. 411. 已知函数f(x)=ax 2−1的图象在点A(1,f(1))处的切线l 与直线8x −y +2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2015的值为( )A. 40304031B. 20144029C. 20154031D. 4030403112. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C 的面积为2√3π，F 1，F 2分别是C 的两个焦点，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为8，则C 的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为R 上的奇函数，且(x +2)=f(x)，若f(12)=1，则f(32)=______．14. 如下图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且DE//AC ，点C 为BD 与圆交点，若AE =3，DE =6，CD =2，则AD =________．15. 从2名语文老师，2名数学老师，4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为______ .(用数字作答)16. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4+2，a 5成等差数列，a 1=2，则a n =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)若函数y=g(x)的图象是由y=的图象向右平移个单位长度得到，求y=g(x)的单调增区间．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．log2a n⋅log2a n+119.每年的4月23日是“世界读书日”，某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况，随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间t(单位：分钟)，将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图．(1)求a的值；(2)若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为[30,40)，[60,70]的两组中各抽取多少人？20.已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=6，D为BC的中点．(Ⅰ)若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C；(Ⅱ)若E为棱CC1上的任意一点，求证：三棱锥A1−ADE的体积为定值，并求出此定值．γ21.已知函数f(x)=lnx．(Ⅰ)求过点(0,0)，曲线y=f(x)的切线方程；(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)−e x ，求证：函数g(x)有且只有一个极值点； (Ⅲ)若f(x)≤a(x −1)恒成立，求a 的值．22. 设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ⃗ +b ⃗ =2x i+2y j ，a ⃗ −b ⃗ =4j ，|a ⃗ |+|b ⃗ |=8． (1)求动点M(x,y)的轨迹c 的方程；(2)过点(0,3)作直线l 与曲线c 交于A ，B 两点，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是否存在这样的直线l ，使四边形OAPB 是矩形？若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∁U N ={1,4}， 则M ∩∁U N ={1}， 故选：A ．根据集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：试题分析：M =，N =，所以Ｍ<N ，又框图的功能是求M ，N 中的较大值，故输出的值为2．考点：正切的二倍角公式，基本不等式，算法框图．3.答案：C解析：解：(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i 为纯虚数，∴{a −1=0a +1≠0，解得a =1．故选：C ．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：作出不等式对应的平面区域如图， 由z =3x +y ，得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{y =23x −y −3=0，解得{x =53y =2，即C(53,2) 此时z 的最大值为z =3×53+2=7， 故选：C ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5.答案：C解析：解：sinα=cosα，可得α=kπ+π4，k∈Z，2α=2kπ+π2，∴sin2α=1，“sinα=cosα”是“sin2α=1”的充分条件，sin2α=1，可得2α=2kπ+π2，∴α=kπ+π4，k∈Z，可得sinα=cosα，“sinα=cosα”是“sin2α=1”的必要条件，所以“sinα=cosα”是“sin2α=1”的充要条件．故选：C．直接利用充要条件的判断方法，求解判断即可．本题考查充要条件的判断与应用，是基础题．6.答案：B解析：试题分析：由三视图，这个几何体是四棱锥，底面是俯视图，由图得主视图高为为几何体的高，．考点：1.由三视图判断几何体类型；2.锥体的体积公式．7.答案：B解析：解：∵平面向量a⃗,b⃗ 满足a⃗=(1,−2),b⃗ =(−3,t)，且a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=(1,−2)⋅(−2,t−2)=−2+(−2)⋅(t−2)=0，求得t=1，∴b⃗ =(−3,1)，则|b⃗ |=√9+1=√10，故选：B．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出|b⃗ |.本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．8.答案：A解析：本题考点是三角函数的最值，考查利用三角函数的有界性求函数取到最值时参数的值，本题的解题特点是通过函数取到最值时建立关于参数的方程解方程求参数，由于三角函数的同期性性质，满足条件的角很多，故在赋值时计算出结果后与选项进行比对求值．函数y=sin(π2x+θ)cos(π2x+θ)=12sin(πx+2θ)，它在x=2时有最大值故2π+2θ终边落在y轴的非负半轴上，即2π+2θ=2kπ+π2，k∈Z，对k赋值求θ．解：原函数可变为：y=12sin(πx+2θ)，它在x=2时有最大值，即2π+2θ=2kπ+π2，θ=(k−1)π+π4，k∈Z，当k=1时，θ=π4故选A．9.答案：B解析：本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键，属于中档题．先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点F且垂直于实轴的弦长为2√33，求出a，即可求得双曲线的离心率．解：抛物线y=18x2的焦点坐标为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)．令y=2，代入双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，可得4a2−x2b2=1，∴x=±b√4a2−1，∵过点F且垂直于实轴的弦长为2√33，∴2b√4a 2−1=2√33， 且a 2+b 2=4，解得a =√3，b =1，c =2， ∴e =ca =2√33． 故选：B ．10.答案：D解析：函数f(x)满足f(a +b)=f(a)⋅f(b)(a,b ∈R)，且f(x)>0，令x =0可求 f(0)，然后由f(1)=12 可求f(2)，然后由f(0)=f(2)f(−2)=1 可求f(−2)．本题主要考查了利用赋值法求解函数值，关键是要选择特殊的函数值进行求解． 解：∵函数f(x)满足f(a +b)=f(a)⋅f(b)(a,b ∈R)，且f(x)>0， ∴f(0)=f 2(0)，∴f(0)=1， ∵f(1)=12，∴f(2)=f(1).f(1)=14，∴f(0)=f(2)f(−2)=1， ∴f(−2)=4， 故选D ．11.答案：C解析：解：∵函数f(x)=ax 2−1的图象在点A(1,f(1))处的切线l 与直线8x −y +2=0平行， ∴f′(x)|x=1=(2ax)|x=1=2a =8， 解得a =4． ∴f(x)=4x 2−1， f(n)=4n 2−1．∴1f(n)=14n 2−1=12(12n−1−12n+1)．∴数列{1f(n)}的前n 项和为S n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)] =12(1−12n+1)=n2n+1．则S 2015=20154031． 故选：C ．函数f(x)=ax 2−1的图象在点A(1,f(1))处的切线l 与直线8x −y +2=0平行，可得f′(x)|x=1=(2ax)|x=1=2a =8，解得a.可得f(x)=4x 2−1，1f(n)=14n 2−1=12(12n−1−12n+1).利用“裂项求和”即可得出．本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：由题意可知：{2√3π=abπ4a =8，解得，a =2，b =√3，又c 2=a 2−b 2，∴c =1， ∴e =ca =12． 故选：A ．由新定义可知a 与b 的等量关系，由三角形ABF 1的周长可知a 的值，即可解出离心率． 本题考查了新概念，椭圆的定义，属于基础题．13.答案：−1解析：解：∵f(x +2)=f(x) ∴函数f(x)的周期为2∴f(32)=f(−12)又∵f(x)的奇函数∴f(−12) =−f(12)∴f(32) =−f(12)又f(12) =1∴f(3) =−1故答案为：−1根据函数的周期性把函数值转化，再根据奇偶性求函数值本题考查函数的奇偶性和周期性，要注意函数性质的灵活应用．属简单题14.答案：4解析：本题考查了圆的弦切角定理与平行线的性质、切线长定理、三角形相似的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE.解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE//AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴DEBE =AEDE，即6AB+3=36，解得AB=9．由DE//AC，∴BCCD =BAAE，∴BC2=93，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC⋅DB=2×(2+6)=16，解得AD=4．故答案为4．15.答案：44解析：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．根据题意，按4种情况讨论，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，按4种情况讨论：①，2名语文老师，2名数学老师，1名英语老师，有C41=4种，②，1名语文老师，2名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，③，2名语文老师，1名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，④，1名语文老师，1名数学老师，3名英语老师，有C21C21C43=16种，则一共有4+12+12+16=44种选派方法．故答案为：44．16.答案：2n解析：解：设各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，a2，a4+2，a5成等差数列，a1=2，可得2(a4+2)=a2+a5，即2(2q3+2)=2q+2q4，即(q−2)(1+q3)=0，解得q=2(−1舍去)．则a n=a1q n−1=2⋅2n−1=2n．故答案为：2n．设各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式．本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=，依题意得，故．(Ⅱ)依题意得．由(k∈Z)，解得(k∈Z)．故g(x)的单调增区间为［］(k∈Z)．解析：本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，要求学生熟记有关三角公式，能够运用公式性质进行灵活变形．18.答案：解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).①当n=1时，S1=a1=2a1−2，解得：a1=2．当n≥2时，S n−1=2a n−1−2②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，则：a n=2a n−1，即：a na n−1=2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．则：a n=2⋅2n−1=2n．当n=1时，首项符合通项．故：a n=2n．(2)由于a n=2n，所以：b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则：T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1，=1−1n+1，=nn+1．解析：(1)利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步求出b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，再利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：(1)由已知，得0.008×10+a×10+0.012×10×2+0.036+×10=1，解得a=0.032；(2)阅读时间在[30,40)分钟内的人数为200×0.032×10=64，阅读时间在[60,70)分钟内的人数为200×0.012×10=24，用分层抽样选人的抽样比为25200=18，∴阅读时间在[30,40)内分钟的应选64×18=8人，阅读时间在[60,70)分钟内的应选24×18=3人．解析：(1)由频率和为1，列方程求得a的值；(2)根据频率、频数与样本容量的关系，求得对应小组内抽取的人数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．20.答案：证明：(Ⅰ)连接AC1，BC1，则由D为BC的中点，E为棱CC1的中点，则DE//BC1，正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C，侧棱AA 1垂直于底面ABC ，则AA 1⊥AB ， 又AB ⊥AC ，则有AB ⊥平面ACC 1A 1， 则AB ⊥A 1C ，即有A 1C ⊥平面ABC 1， 则A 1C ⊥BC 1，由于DE//BC 1， 则DE ⊥A 1C ；(Ⅱ)三棱锥A 1−ADE 的体积即为三棱锥D −A 1AE 的体积． 在三角形ABC 中，取AC 中点H ，连接DH ，DH//AB ， 由于AB ⊥平面ACC 1A 1，即有DH ⊥平面ACC 1A 1，则三棱锥D −A 1AE 的体积13×DH ×12AC ⋅AA 1=13×3×12×6×6=18． 则三棱锥A 1−ADE 的体积为定值，且为18．解析：(Ⅰ)连接AC 1，BC 1，运用线面垂直的判定和性质，即可得证；(Ⅱ)三棱锥A 1−ADE 的体积即为三棱锥D −A 1AE 的体积．在三角形ABC 中，取AC 中点H ，连接DH ，证得DH ⊥平面ACC 1A 1，再由棱锥的体积公式，即可得证．本题考查空间直线和平面垂直的性质和判定定理及运用，考查三棱锥的体积和等积法的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．21.答案：(Ⅰ)解：设切点为(m,n)，函数f(x)=lnx 的导数为f′(x)=1x ， 则切线的斜率为k =1m ，切线方程为y −lnm =1m (x −m)， 代入原点，可得lnm =1，解得m =e ， 即有切线方程为y =1e x ；(Ⅱ)证明：设函数g(x)=f(x)−e x =lnx −e x ，x >0， g′(x)=1x −e x ，令ℎ(x)=g′(x)，ℎ′(x)=−1x 2−e x <0恒成立，即有ℎ(x)在(0,+∞)上递减，ℎ(12)=g′(12)=2−e 12>0，ℎ(1)=g′(1)=1−e <0，即有g′(x)=0在(12,1)有且只有一个实根， 则函数g(x)有且只有一个极值点；(Ⅲ)解：若f(x)≤a(x−1)恒成立，即有lnx≤a(x−1)恒成立，即有lnx−a(x−1)≤0恒成立，令t(x)=lnx−a(x−1)，t′(x)=1x −a=1−axx，当a≤0时，t′(x)>0，t(x)在(0,+∞)递增，不恒成立；当a>0时，当x>1a时，t′(x)<0，t(x)递减，当0<x<1a时，t′(x)>0，t(x)递增，即有x=1a处t(x)取得极大值，也为最大值，即有ln1a −a(1a−1)≤0，即为lna≥a−1，由于y=lna−a+1的导数为y′=1a−1，当a>1时，y′<0，当0<a<1时，y′>0，即有a=1处取得极大值，也为最大值，且为0．即有lna−a+1≤0，即有lna=a−1，解得a=1．解析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的零点存在定理的运用，同时考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，属于中档题．(Ⅰ)求出导数，设切点为(m,n)，求得切线的斜率和切线方程，代入原点，解得m=e，即可得到切线方程；(Ⅱ)求出g(x)的导数，运用零点存在定理，即可得证；(Ⅲ)若f(x)≤a(x−1)恒成立，即有lnx−a(x−1)≤0恒成立，令t(x)=lnx−a(x−1)，求出导数，对a讨论，判断单调性，求出最大值，即可得到a=1．22.答案：(1)解：∵向量a⃗+b⃗ =2x i+2y j，a⃗−b⃗ =4j，可得a⃗=(x,y+2)，b⃗ =(x,y−2)，由|a⃗|+|b⃗ |=8，可得√x2+(y+2)2+√x2+(y−2)2=8，∴点M(x,y)到两个定点F1(0,−2)，F2(0,2)的距离之和为8．c=2，a=4，则b=√16−4=2√3，∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为x212+y216=1．(2)∵l 过y 轴上的点(0,3)，若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点． ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．∴直线l 的斜率存在．设l 方程为y =kx +3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由y =kx +3，x 212+y 216=1消y 得(4+3k 2)x 2+18kx −21=0．此时，△=(18k)2+84(4+3k 2)>0恒成立 且x 1+x 2=−18k4+3k 2，x 1x 2=−214+3k 2． ∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ， 即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 即(1+k 2)x 1x 2+3k(x 1+x 2)+9=0， 即(1+k 2)⋅(−214+3k 2)+3k ⋅(−18k4+3k 2)+9=0，即k 2=516，得k =±√54．∴存在直线l ：y =±√54x +3，使得四边形OAPB 是矩形．解析：(1)根据向量的表达式和|a ⃗ |+|b ⃗ |=8的值可推断出点M(x,y)到两个定点F 1(0,−2)，F 2(0,2)的距离之和为8.根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆，进而根据c 和a ，求得b ，则椭圆方程可得； (2)先看当直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点．根据OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可推断出P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．不可知直线的斜率一定存在，设出直线方程，和A ，B 的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得x 1+x 2和x 1x 2的表达式，根据OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和矩形的性质判断出OA ⊥OB ，即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求得x 1x 2+y 1y 2=0，进而求得k ． 本题考查轨迹方程的求法，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了向量的坐标化等数学思想方法，。
广东省湛江市2021版高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
广东省湛江市2021版高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）四位同学参加某项竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两题中任选一题作答，选甲题答对得10分，答错得﹣10分；选乙题答对得5分，答错得﹣5分．若4位同学的总得分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A . 48种B . 46种C . 36种D . 24种2. （2分） (2017高二上·清城期末) 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180C . 200D . 2803. （2分）一次抛掷两枚质地均匀的骰子，当至少有一枚5点或一枚6点时，即认定这次试验成功．则在10次试验中成功次数X的数学期望为（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题中:①“”是“”的充要条件;②已知随机变量X服从正态分布,,则;③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为r=-1;④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2019高二下·赣县期中) 4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是A . 12B . 10C . 8D . 66. （2分） (2017高二上·清城期末) （x+ ）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A . 2520B . 1440C . ﹣1440D . ﹣25207. （2分）某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。
广东省湛江第一中学高二数学下学期期中试题理
高二级数学科试卷（理）考试时间： 120 分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务势必自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。
2、每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，不可以答在试卷上。
3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并回收。
一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，满分60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
）1．正弦函数是奇函数， f ( x)sin( x21) 是正弦函数，所以 f ( x)sin( x21) 是奇函数，以上推理 ()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确2. “a 1”是“函数 f x ax cosx 在,上单一递加”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3．以下计算错误的是（）．．A. πB.1C.1 D.1212sin xdx021dx02dx 11x dx 20x dx πx44 ．已知三个方程：①x t2②x tant③x sin t( 都是以 t 为参数 ) ．那么表示y t y2y2tan t sin t同一曲线的方程是 ()A．①②③B．①②C．①③D．②③5. 已知定义在 R 上的函数f ( x)知足f ( 3) f (5)1，f ' ( )x 为 f ( x) 的导函数，且导函数 y f ' ( x) 的图象如下图，则不等式 f ( x) 1 的解集是()A． ( －3，0) B．( －3，5)C ．(0，5)D．( －∞，－ 3) ∪ (5 ，＋∞ )6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若 D 是 BC 的中点， G 是三角形 ABC 的重心，则 AG2 ”．若把该结论推行到空间，则有结论：在棱长都相等的四周体A BCD 中，GDAO 等于若△ BCD 的中心为 M ，四周体内部一点 O 到四周体各面的距离都相等，则()OMA ． 1B ． 2C ． 3D ． 47. 在极坐系中点A.2B.2,与圆2 cos的圆心之间的距离为 () 32C.2D.413998．已知函数 f ( x)x 3ax 2( a 6) x3 有两个极值点， 则实数 a 的取值范围是 ()A ．3,6B.,3 (6,)C.3,6D., 3 6,9． 用数学概括法证明不等式1 1......n 1 1 n 1,n N * 的过程中， 从n 1n2n 2n k 到 nk 1时左侧需增添的代数式是( )A ．1B ．1 1 C．1 1 D ．1 2k 212k212k 22k 12k2k10. 正方 形的 四个 极点 A( 1, 1), B(1,1), C (1, 1), D( 1,1) 分 别在 抛物 线 yx2和y x 2上，如下图，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中暗影地区的概率是 ()A.2B.1 33 C.1D.1 6211．设函数f ( x) e xex以下结论必定错误 的是 ( )， ．．A ． f '(x) 2B ．若 f ( x 22x 2) ee 1 ，则 x 的取值范围是2,3 .C ． 函数 y f ( x) 在 ( ,) 上单一递加D ．函数 f (x) 有零点12．已知函数f x 是定义在 R 上的偶函数， 当 x 0 时， xf xfx ，若 f 20 ，f x则不等式x的解集为（）A ． x | 2 x 0 或 0 x 2B ． x | x2 或 x 2C ．x | 2 x 0 或 x 2D ．x | x 2 或 0 x 2第Ⅱ卷（非共 90分） 二、 填空 （本大 共4 小 ，每小5 分，共 20 分）13． 察以下等式 : (1 1) 2 1(2 1)(22)22 1 3(3 1)(3 2)(3 3) 23 13 5⋯照此 律 , 第 n 个等式可 .x5 3 t55交于 B 、C 两点 ,14. 已知直 参数方程(t 参数 ) ，直 与 y3 4t5段 BC 中点直角坐 ________.15. 已知函数f ( x) x 3 3ax 2 bx a 2 , 若函数 g( x) f ( x) sin 2x 在点 (0, g(0)) 的切 平行于 x ， 数 b 的 是 ______ __．16．若函数 h x ax 3bx 2cx d a0 象的 称中心 M x 0 , h x 0 ， 函数 h x 的 函 数g x， 有 g x 00 ， 函 数 f xx 3 3x 22 ,1 24032 f4033fff________．2017201720172017三、解答 :解答 写出文字 明， 明 程或演算步.17. （本小 分10 分）x 3t , 平面直角坐 系xoy 中，直 l 的参数方程2 3（ t 参数）， C 的参数方ty3x 2cos , 参数），以坐 原点O 极点， x 的非 半 极 成立极坐程2sin（ y ,系．( Ⅰ ) 求直 l 和 C 的极坐 方程； （ 5 分）( Ⅱ ) 设直线 l 和圆 C 订交于 A, B 两点，求弦 AB 与其所对劣弧所围成的图形面积． （ 5 分）18. ( 本小题满分 12 分 ) 已知数列a n 的前 n 项和 S n 1 na n (n N * ) ．（ 1）计算 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ；（ 4 分）（ 2）猜想 a n 的表达式，并用数学概括法证明你的结论． （8 分）19 . （本小题满分12 分）（ 1）若 x ， y 都是正实数，且xy 2 ，求证：1x 2 与 1 y2 中起码有一个yx成立．（ 6 分）（ 2）求证：n 1 nn 2n 1 nN * （6 分）20．（本小题满分 12 分）某食品厂进行蘑菇的深加工， 每公斤蘑菇的成本 20 元，而且每公斤蘑菇的加工费为t元（ t 为常数，且 2 t 5) ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元（ 25 x 40 ），依据市场检查，销售量 q 与 e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30 元时，日销售量为 100 公斤．（Ⅰ）求该工厂的每天收益y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式； （6 分）（Ⅱ）若 t5 ，当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时，该工厂的收益 y 最大，并求最大值．（ 6 分）21. （本小题满分 12 分）已知函数f ( x) ln(1x) xkx 2 ( k 0) ． （Ⅰ）当 k 2 时，求曲线 y2f (x) 在点 1, f (1) 处的切线方程； （ 5 分）（Ⅱ）求 f ( x) 的单一区间．（ 7 分）22. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)e 1 x ( a cos x)(aR ) .( Ⅰ ) 若函数 f ( x) 存在单一递减区间，务实数 a 的取值范围； （ 5 分）( Ⅱ ) 若 a0 ，证明：x [ 1, 1] ，总有 f ( x1) 2 f ( x) cos(x1) 0.（7分）2湛江一中2017-2018 学年度第二学期期中考高二理科数学卷参照答案及分准一、：（每 5 分，分60 分）号123456789101112答案C A C B B C D B B A B C二、填空：（每 5 分，分20 分）13.(n1)(n2)(n3) L (n n)2n 1 3 5 L(2n1)14.44, 3315.-216.0252516. 【分析】由意得，g x f x3x26x0 ， g x6x 6 0 解得 x 1 ，f10，因f1x f 1x133 1 x233 1x20 ，即函数x2 1 x2f x 的象对于点1,0 称，1240324033f 14033ff f f2017f20172017201720172017240322016201810 ，故答案0．f f f f f201720172017201717. 解：（Ⅰ）求直 l 的一般方程x3y 2 0（ 1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）将 xcos, ysin代入（ 1）得cos3sin20化得直 l 的方程cos() 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）3C 的极坐方程 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）22（Ⅱ）解之得： A(2,0) ,B(2,分）) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 cos133AOB2,S扇形AOB1r 21244⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）32233SAOB 1OA OB sin3SS扇形AOBSAOB43⋯⋯⋯（ 10 分）2318.解：（ 1）由已知得当 n 1 ，有 S11a1a1a1 1 ；2当 n 2 ，有s212a2a1a2a21；同理可得a31,a4161220（明： a1， a2， a3， a4一个1分）⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）猜想：a n1(n N*)⋯⋯⋯⋯ 5 分n( n1)明：①当 n 1 ，由（1）得 a1111，等式成立⋯⋯6分22②假当 n k (k N*) ， a n1成立⋯⋯⋯⋯ 7 分k (k1)当 n k1，有a k 1S k 1S k[1 (k 1)a k 1 ] (1 ka k ) ka k(k 1) a k 1⋯⋯9分ak 1k akk11⋯⋯⋯⋯ 10 分k k2k (k1)( k1)[( k1)1]2即当 n k 1 ，等式也成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分合①②可知a n1全部 n N*都成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分n(n1)19.明：（ 1）假1x＜ 2 和1y＜ 2 都不可立，即1x≥ 2 和1y≥ 2 同成立．y x y x∵ x＞0且 y＞0，∴1x≥2 y ，且 1 y≥ 2x ．两式相加得 2 x y≥2 x2y ，∴ x y 2 ．与已知条件 x y2矛盾，∴1y x＜ 2 和1y＜ 2 中起码有一个成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）x（ 2）原式子等价于2n1n2n n N *，两平方获得4 n 1 2n 2 2 n 1 n2n 2 2 n 2 n n 1n 2n20．解：（Ⅰ） 日 量 qk x , 则 k30 100, k 100e 30 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）e e日 量 q100e 30y 100e 30( x20 t )(25 x 40) ． ⋯⋯（ 6 分）e xe x（Ⅱ）当 t5 ，y 100e 30 ( x 25)7 分）ex⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（100e 30 (26 x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）ye x由 y 0得 x 26， 由 y 0得 x 26y 在 25，26 上单一递加，在 26， 40上单一递减 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）当 x 26时, y max 100e 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11 分）当每公斤蘑菇的出厂价26 元 ， 工厂的利 最大，最大 100e 4 元．（12 分）2121．解（ I ）当 k ＝2， f ( x ) ＝ ln(1 ＋ x ) － x ＋x ，f ′ ( x ) ＝ 1＋ x －1＋ 2x .⋯⋯⋯（ 2 分）因为 f (1) ＝ ln 2 ， f ′ (1) 34 分）＝ 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3所以曲 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 的切 方程 y －ln 2 ＝ 2( x － 1) ，即 3x － 2y ＋ 2ln 2－ 3＝ 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （5 分）（ II ）f ′ ( x ) ＝ x kx ＋ － 16 分）k ， x ∈ ( － 1，＋∞ ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1＋ xx当 k ＝0 ， f ′( x ) ＝－ 1＋ x .所以，在区 ( － 1,0) 上， f ′ ( x )> 0；在区 (0 ，＋∞ ) 上， f ′ ( x )<0.故 f ( x ) 的 增区 是 ( － 1,0) ， 减区 是 (0 ，＋∞ ) ．⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）当 0< <1 ，由f ′ ( x ) ＝ xkx ＋k － 1 ＝0，得 x 1＝ 0， 2＝ 1－ k >0.k1＋x xk1－ k1－ k所以，在区 ( － 1,0)和 ( k ，＋∞ ) 上， f ′ ( x )>0 ；在区 (0 ， k ) 上，f ′ ( x )<0.故 f ( x ) 的 增区 是 ( －1,0)1－ k 1－k和 (k ，＋∞ ) ， 减区 是(0 ， k ) （ 9分）当 k ＝1 ， f ′( x ) ＝x 2 . 故 f ( x ) 的 增区 是 ( － 1，＋∞ ) ⋯⋯⋯⋯（10 分）x1＋x kx ＋ k － 1＝ 0，得 x ＝ 1－ k当 k >1 ， 由 f ′( x ) ＝1＋ xk ∈ ( － 1,0) ， x ＝ 0.1－ k1－k所以，在区 ( － 1， k ) 和 (0 ，＋∞ ) 上， f ′( x )>0 ；在区 ( k， 0) 上， f ′ ( x )<0.故 f ( x ) 的 增区 是 1－ k1－ k ( －1，k ) 和 (0 ，＋∞ ) ， 减区 是(k ， 0) （12 分）22．解： ( Ⅰ ) 由 意得 f( x)e 1 x (a sin x cos x) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）若函数 f ( x) 存在 减区 ，f ( x)e 1 x ( a sin xcos x) 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）即 a sin x cosx 0 存在取 区 ， 即 a2 sin( x) 存在取 区 ⋯⋯⋯ （4 分）4所以 a2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）( Ⅱ ) 当 a 0 ， f ( x) e 1 x cosx, f ( x) e 1 x (sin x cos x)f ( x 1) 2 f( x) cos(x 1) cos(x1) [ e x 22 2e 1 x sin( x)] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）4由 x1有 x 13[0,] ，进而 cos(x1) 0 ，1,0,222要 原不等式成立， 只需 ex22 2e1 xsin( x) 0x1,1恒成立（7 分）42第一令 g( x) e 2x 1(2x 2) ，由 g (x)2e 2x12，可知，当 x (1 ,) g ( x) 增，当x ( , 1 ) g( x) 减，21)2所以g(x) e 2x 1 ( 2x 2)g( 0 ，有 e 2 x12x 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 9 分）2结构函数 h( x)2x2 2 2 sin( x) ， x1,1，42因h ( x)2 2 2 cos( x) 2 2 (2 cos( x)) ，244可 ，在 x1,0 ， h ( x) 0 ，即 h( x) 在 1,0 上是减函数，在 x0,1， h (x)0 ，即 h(x) 在 0,1上是增函数，22所以,在1,1上， h( x) minh(0)0 ，所以 g( x) 0 .2所以， 2 2 sin( x) 2x 2 ，等号成立当且 当 x0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （11 分）4上： e 2 x 12x 2 2 2 sin( x) ，因为取等条件不一样，4故 e 2 x 1 2 2 sin( x) 0 ，所以原不等式成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）4。
广东省湛江第一中学高二数学下学期期中试题文
湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试高二级数学文科试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
中元素的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．设错误！未找到引用源。
为虚数单位，则复数错误！未找到引用源。
在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1), b=(x-2,-2),若a∥b，则a-b等于（）A.(-2，-1)B.(-2，1)C.(2，-1)D.(2，1)4．下列函数为偶函数的是( )A. y=lnx B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
5.若错误！未找到引用源。
满足约束条件错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
的最小值为( )A．5 B．6 C．7 D．96.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图,则“计划”受影响的主要因()A.4个B.3个C.2个D7个7、命题“错误！未找到引用源。
”的否定是( )A.错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
.D. 错误！未找到引用源。
8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两个品牌的彩电都齐全的概率是（）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
9．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(4,4)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )A．错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－错误！未找到引用源。
＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝78，则n＝( )．A．20 B．19 C．10 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、函数错误！未找到引用源。
广东省湛江第一中学高二数学下学期中段考试题 理
高二下学期中段考数学（理）试题考试时间：120分钟 满分：150分选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．1．复数22)()1(i a i -+-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．1±D ．0 2.分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A.必要条件 B.充分条件C.充要条件D.必要条件或充分条件3.定积分31(3)()d x -⎰等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．34.曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ ）A. B. C. D. 5．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是( ）A ．25Ｂ．20Ｃ．16 Ｄ．126.函数32()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是( )A ．5 , －15B ．5,－4C ．－4,－15D ．5,－167.函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为 ( ) A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. (,0)-∞ D. (0,2) 8. 设f ′(x)是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和y ＝f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )(1,3)(3,3)(6,12)-(2,4)填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.设为虚数单位，则______.10.如图所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．11.设曲线11xyx+=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y++=垂直，则a= .12.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．13.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为__________．14.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表: x -1 0 4 5 f(x)1221下列关于f(x)的命题: ①函数f(x)是周期函数; ②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④当1<a<2时,函数y=f(x)-a 有4个零点; ⑤函数y=f(x)-a 的零点个数可能为0, 1,2,3,4个. 其中正确命题的序号是 .解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.(本小题满分12分)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？(2) 现要从中选出4名教师去参加会议，求男、女教师各选2名的概率.16.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c －1)≥8.17.(本小题满分14分) 已知函数.ln )(x ax x f -=()a R ∈ （I ）求函数)(x f 的单调增区间；（II ）若2a =-，求函数()[1,].f x e 在上的最小值12311111,13355779,,,(14)n S S S S ⨯⨯⨯⨯⨯L 18.已知数列，，，，，（2n-1）(2n+1)计算由此推测的计算公式，并用数学归纳法证明.本小题满分分19.(本小题满分14分)湛江为建设国家卫生城市，现计划在相距20 km 的赤坎区（记为A ）霞山区（记为B ）两城区外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对市区的影响度与所选地点到市区的距离有关，对赤坎区和霞山区的总影响度为两市区的影响度之和，记C 点到赤坎区的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时，对两市区的总影响度为0.065. (1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到赤坎区的距离；若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，O 是l 外一点，向量OAOBOC u u u r u u u r u u u r ，，满足：.0])32[ln()123(2=⋅-+-⋅+-OC y x OB x OA 记y ＝f(x)．（Ⅰ）求函数y ＝f(x)的解析式：（Ⅱ）若对任意],3161[，∈x 不等式'ln ln ()3a x f x x ⎡⎤>+-⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围：（Ⅲ）若关于x 的方程f(x)＝2x ＋b 在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．湛江一中2013－2014学年度第二学期期中考试 高二级数学（理科）试卷 试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题第10题第一空2分，第二空3分． 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．15．（本小题满分12分）解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．………………5分(2)410109871042104321C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯从名教师中选名共有＝＝种，……7分从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C26·C24＝6×52×1·4×32×1＝90(种)．………………9分所以男、女教师各选2名的概率903.2107P ＝＝ ………………11分答：男、女教师各选2名的概率是37。
广东省湛江市2021年高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
广东省湛江市2021年高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·原平期末) 命题使得的否定形式是（）A . 使得B . 使得C . 使得D . 使得2. （2分） (2018高三上·长春期中) 函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·湖南期中) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2019·石家庄模拟) 已知，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一下·长春期末) 设且，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2012·广东) 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A . 12B . 11C . 3D . ﹣17. （2分）不等式组的解集记为D，下列命题中正确的是（）A . ∀（x，y）∈D，x+2y≤3B . ∀（x，y）∈D，x+2y≥2C . ∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D . ∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣18. （2分） (2018高二上·榆林期末) 设命题：若，则，则其否命题为（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则9. （2分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A . 2B . 3C . 6D . 910. （2分） (2017高二下·眉山期中) 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，e4）D . （e4 ，+∞）11. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·定州期末) 曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）不等式|x+3|﹣|x﹣3|＞3的解集是________14. （1分） (2017高二下·延安期中) 物体的运动方程是s=﹣ t3+2t2﹣5，则物体在t=3时的瞬时速度为________．15. （1分） (2017高二上·清城期末) 已知函数f（x）= ，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．16. （1分） (2016高二上·如东期中) 不等式x2+x﹣2≤0的解集是________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （10分）(2019·东北三省模拟) 已知 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.18. （10分） (2015高二下·九江期中) 已知函数f（x）=ln（ax+1）+ ﹣x2﹣ax（a∈R）（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a≥ 时，设g（x）=ln[x2（ax+1）]+ ﹣3ax﹣f（x）（x＞0）的两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）恰为φ（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）φ′（）的最小值．19. （5分） (2017高三上·济宁期末) 2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元）之间满足关系式：y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件．（Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．20. （10分） (2019高二下·浙江期中) 设函数．（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
广东省湛江第一中学2020-2021学年高二上学期第二次大考数学(理)试题
【全国百强校】广东省湛江第一中学2020-2021学年高二上学期第二次大考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．2x R,x 0∀∈>”的否定是200x R,x 0∃∈<B ．命题“设a,b R ∈，若a b 4+≠，则a 2≠或b 2≠是一个假命题C ．“m ＝1”是“函数()2m 2f x m x+=为幂函数”的充分不必要条件D ．向量()()a 3,4,b 0,1==，则a 在b 方向上的投影为5 2．数列3579,,,24816--，…的一个通项公式为（ ） A ．()n nn n21a 12+=-⋅B ．()nn n 2n 1a 12+=-⋅C ．()n n 1n n 21a 12++=-⋅ D ．()n 1n n2n 1a 12++=-⋅ 3．双曲线2212x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3114a a +=，则13S =（ ） A ．13B ．26C ．39D ．525．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是 A ．.60x y +-= B ．60x y ++= C ．20x y --= D ．20x y -+=6．下列结论正确的是（ ）A ．当x ＞0且x ≠1时，lgx +1lgx≥2 B ．当x ＞1≥2 C ．当x ≥2时，x +1x有最小值2 D ．当0＜x≤2时，x ﹣1x 有最大值327．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．[4，＋∞)8．ABC ∆中，,A B ∠∠的对边分别为,a b ，5,4a b ==，且60A ∠=，那么满足条件的ABC ∆( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解D ．不能确定9．若两个正实数,x y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．210．等比数列{}n a 满足13a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为( ) A ．1B ．-1C ．-2D ．211．已知变量,x y 满足约束条件290230x y y x y ＞--≤⎧⎪≤⎨⎪+-⎩，若使z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{}2,0-B ．{}1,2-C ．{}0,1D ．{}2,0,1-12．已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ） A1 B．2C．2D．2二、填空题13．如图所示，为测一建筑物CD 的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45，且,A B 两点间的距离为20m ，则该建筑物的高度为________m .14．已知函数4(1)1y x x x =+>-，则函数的最小值是___． 15．已知命题2:,1p x R x m ∀∈+>；命题:()(3)x q f x m =-是增函数.若“p q ∧”为假命题且“p q ∨”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.16．已知数列{}n a 满足n n 1a 2a 1-=+（*n N ∈，n 2≥），且1a 1=，n n b a 1=+．则数列{}n nb 的前n 项和n T 为_____________．三、解答题17．在锐角ABC ∆2sin c A =. （1）求角C 的值；（2）若c =ABC S ∆=+a b 的值. 18．已知正项数列{}n a 满足：2423n n n S a a =+-，其中n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 通项公式. （2）设211n n b a =-，求数列{}n b 前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求证：CD AE ⊥； （2）求证：PD ⊥面ABE ； （3）求二面角E-AB-C 的正切值．20．已知圆C:()()22122x y -+-=,P 点的坐标为(2,-1),过点P 作圆C 的切线,切点为A,B ．（1）求直线PA ,PB 的方程;（2）求过P 点的圆的切线长即PA ,PB 的长.21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点；（2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(4y x x =--<<上，求AB 的最大值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆C 的短轴恰好是圆224x y +=的一条直径. (1)求椭圆C 的方程(2)设12,A A 分别是椭圆C 的左，右顶点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意点，是否存在直线x m =，使直线1A P 交直线x m =于点Q ，且满足221PA QA k k ⋅=-，若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．C 【分析】对于A 选项，用全称命题的否定是特称命题来判断.对于B 选项，用它的逆否命题来判断.对于C 选项，利用幂函数的定义来判断.对于D 选项，利用a b b⋅来验证选项.【详解】对于A 选项，全称命题的否定是特称命题，要注意否定结论，故A 选项错误.对于B 选项，原命题的逆否命题是“若2a =且2b =，则4a b +=”为真命题，故原命题为真命题，故B 选项错误.对于C 选项，()f x 是幂函数，需满足21,1m m ==±，故C 选项正确.对于D 选项，441a b b⋅==故错误.综上所述，选C. 【点睛】本小题考查全称命题与特称命题，考查原命题和逆否命题真假性，考查充要条件以及向量投影等知识，属于中档题. 2．D 【分析】根据分子、分母还有正负号的变化，得到正确的选项. 【详解】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，()12112n n nn a ++=-⋅.故选D. 【点睛】本小题主要考查根据给定数列的前几项，猜想数列的通项公式.通过分子、分母还有正负号的变化，来得到正确的选项.属于基础题. 3．D 【解析】双曲线2212x y -=-的渐近线方程为2202x y -=，化简得到：2y x =±。
广东省湛江市普通高中2020-2021学年高二年级下学期期末调研考试数学试题及答案
绝密★启用前广东省湛江市普通高中2020-2021学年高二年级下学期期末质量调研考试数学试题(本卷满分150分，考试用时120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案。
4.不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|－1<x<2},B ＝{x|x>1},则A ∪B ＝A.{x|－1<x<1}B.{x|1<x<2}C.{x|x>－1}D.{x|x>1}2.设z ＝i(2＋i),则z 的共轭复数z ＝A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i3.已知f(x)是奇函数,且当x ≥0时,f(x)＝e x －1,则当x<0时,f(x)＝A.e －x －1B.e －x ＋1C.－e －x －1D.－e －x ＋14.抛物线y ＝2x 2的准线方程是A.y ＝－18B.y ＝－14C.y ＝－12D.y ＝－1 5.若x>1,则4x ＋1＋11x -的最小值为 A.6 B.9 C.4 D.16.若函数f(x)＝cosx －sinx 在[0,a]上是减函数,则a 的最大值为 A.4π B.2π C.34π D.π7.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查,调查样本中女生人数是男生人数的12,男生追星的人数占男生人数的16,女生追星的人数占女生人数的23,若有95%的把握认为是否追星和性别有关,则调查样本中男生至少有参考数据及公式如下：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++A.12人B.11人C.10人D.18人8.设F为双曲线C：22221 x ya b-=(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P、Q两点、若|PQ|＝|OF|,则C的离心率为2 B.3 C.2 5二、选择题：本题共4小题,每题5分,共20分。
2020-2021学年湛江一中高二(下)期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年湛江一中高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 2.按“三段论”的推理模式，下列三句话排列顺序正确的是()①(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③(x∈R)是周期函数。
A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①2.已知函数y=f(x)为R上可导函数，且对∀x∈R都有f(2x)=x3f′(1)−10x成立，则函数y=f(x)，x∈[−1,1]的值域为()A. RB. [−6,6]C. [0,6]D. (−∞,0)3.曲线y=sinx与x轴在区间[0,2π]上所围成阴影部分的面积为()A. −4B. −2C. 2D. 44.与参数方程为等价的普通方程为()A. B.C. D.5.已知函数f(x)=x3−3ax，若f(x)存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是()A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]6.已知正三角形内切圆的半径是高的1，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是()3A. 正四面体的内切球的半径是高的12B. 正四面体的内切球的半径是高的13C. 正四面体的内切球的半径是高的14D. 正四面体的内切球的半径是高的167.点的直角坐标是，则点的极坐标为()A.B. C. D.8. 已知函数f(x)=e −x −e x +ax(a 为常数)有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)9. 现有3个命题：P 1：函数f(x)=lgx −|x −2|有2个零点．P 2：面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n >7,n ∈N)分的邮资．P 3：若a +b =c +d =2，ac +bd >4，则a 、b 、c 、d 中至少有1个为负数．那么，这3个命题中，真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 310. 一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为( ) A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 11. 若函数f (x )= x 2+ ax +在是增函数，则a 的取值范围是( )． A. [−1,0] B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞) 12. 已知函数f(x)=e −x −e x−2+12x ，则不等式f(2020+x)+f(2021−2x)≤1的解集是( )A. (−∞,4039]B. [4039,+∞)C. (−∞,4042]D. [4042,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 把数列{2n +1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…，循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11，13)，(15,17，19，21)，(23)，(25,27)，…，则第20个括号内各数之和为______ ．14. 在直角坐标系中，直线l ：{x =2ty =1+4t (t 为参数).在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C ：ρ=2cosθ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______． 15. 函数f(x)=e x (x +sinx −1)在x =0处的切线方程为______．16. 若函数f(x)=12(x −1)2+1的定义域和值域都是[1,b]，则b 的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =ty =6+t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2−2ρ2cos 2θ=3．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上动点，求点P 到曲线C 1的最小距离．18. 已知数列{a n }中，a 1=4，a n >0，前n 项和为S n ，且当n ≥2，n ∈N ∗时，a n =√S n +√S n−1．(1)证明：数列{√S n }为等差数列； (2)记T n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ，求T n ．19. 已知函数． (1)当且时，证明：； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，证明：．20.已知函数g(x)=ax=ax−5lnx，其中a∈R，函数ℎ(x)=x2−mx+4，其中m∈R．(Ⅰ)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；(Ⅱ)设当a=2时，若∃x1∈(0,1)，∀x2∈[1,2]，总有g(x1)≥ℎ(x2)成立，求实数m的取值范围．21.已知函数f(x)=ax+ln(x−1)，其中a为常数．(Ⅰ)试讨论f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=11−e 时，存在x使得不等式|f(x)|−ee−1≤2lnx+bx2x成立，求b的取值范围．22.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；]上的最大值和最小值．(Ⅱ)求f(x)在[0,π2【答案与解析】1.答案：B解析：解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx((x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx((x∈R)是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B2.答案：B解析：解：设t=2x，则x=12t，代入f(2x)=x3f′(1)−10x得，y=18t3f′(1)−5t，则f(x)=18x3f′(1)−5x，所以f′(x)=38x2f′(1)−5，令x=1代入上式可得，f′(1)=38×f′(1)−5，解得f′(1)=−8，所以f(x)=−x3−5x，则f′(x)=−3x2−5<0，则函数f(x)在[−1,1]上是减函数，当x=−1时，函数f(x)取到最大值f(−1)=6，当x=1时，函数f(x)取到最小值f(1)=−6，所以所求的函数值域是[−6,6]，故选：B．设t=2x则x=12t，代入f(2x)=x3f′(1)−10x化简，把t换成x求出f(x)的解析式，由求导公式求出f′(x)，令x=1代入列出方程求出f′(1)，代入f′(x)并判断符号，从而得到函数f(x)在[−1,1]上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域．本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题．3.答案：D解析：解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0(x )dx =2(−cos (x ))|0π=4．故选：D ．由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0(x )dx ，即可得出结论．本题主要考查了积分基本定理及积分的几何意义的简单应用，属于基础试题 4.答案：D解析：本题主要考查参数方程的应用，熟悉参数方程转化普通方程的方法是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：由参数方程为{x =√t y =2√1−t (t 为参数)， ∴{t ≥01−t ≥0，解得0≤t ≤1，从而得0≤x ≤1，0≤y ≤2； 将参数方程中参数消去得x2+y 24=1． 因此与参数方程为{x =√t y =2√1−t(t 为参数)等价的普通方程为x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)． 故选D ．5.答案：D解析：本题考查了导数中的零点问题，及分类讨论思想的应用，属于中档题．求导f′(x)=3x 2−3a ，分类讨论以确定函数的单调性，再判断零点个数即可求出a 的取值范围． 解：∵f(x)=x 3−3ax ，∴f′(x)=3x 2−3a ，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，则f (x )在R 上是增函数，且f(0)=0，故f(x)存在唯一的零点；当a >0时，令f′(x)=0，则x =±√a在(−∞,−√a)上是增函数，在(−√a,√a)上是减函数，在(√a,+∞)上是增函数，且f(0)=0，故f(x)有三个零点，不符合题意；综上所述，a的取值范围为(−∞,0]，故选：D．6.答案：C解析：本题考查类比推理，解题的关键是明确类比的方法，明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法．连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：如图示：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×13S×r=13×S×ℎ，r=14ℎ，(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)故选C．7.答案：C解析：试题分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是(−1,)后化成极坐标即可．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=−，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为，故选C．考点：极坐标点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得8.答案：C解析：解：由题意可得，f′(x)=−e−x−e x+a=0有2个不同的实数根，即a=e x+e−x有2个不同的实数根，令g(x)=e x+e−x，则g′(x)=e x−e−x在R上单调递增且g(0)=0，故当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(0)=2，故a>2．故选：C．由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．本题考查了导数的综合应用，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．9.答案：D解析：解：令f(x)=lgx−|x−2|=0，得到lgx=|x−2|，作出y=lgx，y=|x−2|的图象可知，它们有2个交点，从而函数f(x)=lgx−|x−2|有2个零点，故p1是真命题；P2：面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n>7,n∈N)分的邮资，是真命题．用数学归纳法证明：①当n=8，9，10时，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5，知命题成立；②假设当n=k(k>7,n∈N)时，命题成立，则k=8+3m，或k=9+3m，或k=10+3m，m∈N∗，∴当n=k+1时，则n=9+3m，或n=10+3m，或n=11+3m=8+3(m+1)，m∈N∗，∴当n=k+1时，命题成立．由①②知P2：面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n>7,n∈N)分的邮资，是真命题．P3：若a+b=c+d=2，ac+bd>4，则a、b、c、d中至少有1个为负数，是真命题．用反证法证明：假设a，b，c，d没有1个为负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，∴ad+bc≥0，∵a+b=c+d=2，∴(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc=4，∵ac+bd>4，∴ad+bc<0，这与ad+bc≥0矛盾，故假设不成立，∴若a+b=c+d=2，ac+bd>4，则a、b、c、d中至少有1个为负数，故P3为真命题．故选：D．令f(x)=lgx−|x−2|=0，得到lgx=|x−2|，作出y=lgx，y=|x−2|的图象可知，它p1是真命题；用数学归纳法能证明P2是真命题；利用反证法能证明P3为真命题．本题考查命题真假的判断，涉及到对数函数、含绝对值的函数、数学归纳法、反证法、作图法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．10.答案：B解析：本题考查几何概型的计算，解题时要特别注意蚂蚁在三角形的边上爬行，而不是在三角形内部爬行．解：根据题意，如图△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，AD=AI=BE=BF=CG=CH=1，则△ABC的周长为12，由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过1的部分为线段DE、FG、HI上，即其长度为12−6×1=6，则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率612=12，故选B．11.答案：D解析：由条件知f ′(x )=2 x + a −≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴ a ≥3.故选D ．12.答案：A解析：解：∵f(x)=e −x −e x−2+12x ，∴f(2−x)=e −(2−x)−e (2−x)−2+12(2−x)=e x−2−e −x +1−12x ，则f(x)+f(2−x)=1，即是f(x)关于(1,12)对称，由f(2020+x)+f(2021−2x)≤1得f(2021−2x)≤1−f(2020+x)=f(2−(2020+x))=f(−x −2018)，f′(x)=−e −x −e x−2+12，令g(x)=f′(x)=−e −x −e x−2+12，g′(x)=e −x −e x−2，为减函数，且当x <1时，g′(x)>0，f′(x)单调递增， 当x >1时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，即当x =1时，f′(x)取得极大值f′(1)=−2e −1+12<0， 即f′(x)<0恒成立，则f(x)在R 上是减函数，则不等式f(2021−2x)≤f(−x −2018)，等价为2021−2x ≥−x −2018， 即x ≤2021+2018=4039， 即不等式的解集为(−∞,4039]， 故选：A ．根据条件得到f(x)+f(2−x)=1，然后将把不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件得到f(x)+f(2−x)=1，以及求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．13.答案：392解析：解：由题意知20÷4=5，∴第20个括号中最后一个数字是2×50+1=101， ∴95+97+99+101=392， 故答案为：392括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第20括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第5次循环，最后一个数是2×50+1，得出结论．本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运用，试题较易．14.答案：3√55解析：解：∵直线l ：{x =2ty =1+4t (t 为参数)，∴直线l 的普通方程为：2x −y +1=0， ∵圆C ：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x =0， ∴圆C 的圆心C(1,0)到直线l 的距离为d =√4+1=3√55． 故答案为：3√55． 求出直线l 的普通方程和圆C 的普通方程，利用点到直线的距离公式能求出圆C 的圆心到直线l 的距离．本题考查圆心到直线的距离的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.答案：x −y −1=0解析：解：f′(x)=e x (sinx +cosx +x)， f′(0)=1，f(0)=−1， 故切线方程是：y +1=x ， 即x −y −1=0， 故答案为：x −y −1=0．求出函数的导数，可得在x =0处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程． 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．16.答案：3解析：解：∵函数f(x)=12(x −1)2+1的定义域和值域都是[1,b]，且f(x)在[1,b]上为增函数， ∴当x =1时，f(x)=1，当x =b 时，f(x)=12(b −1)2+1=b ， 解得：b =3或b =1(舍去)， ∴b 的值为3， 故答案为：3．本题考查了函数的值域，先根据f(x)在[1,b]上为增函数，当x =1时，f(x)=1，当x =b 时，f(x)=12(b −1)2+1=b ，可得然后把b 代入即可得出答案．17.答案：解：(1)把{x =ty =6+t (t 为参数)消去参数t ，可得曲线C 1的普通方程为x −y +6=0．由3ρ2−2ρ2cos 2θ=3，及x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得3(x 2+y 2)−2x 2=3， 即x 23+y 2=1．∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23+y 2=1；(2)设P(√3cosθ,sinθ)， 点P 到曲线C 1的距离d =√3cosθ−sinθ+6|2=|2cos(θ+π6)+6|2．∴当cos(θ+π6)=−1时，d 的值最小，即点P 到曲线C 1的最小距离为2√2．解析：(1)直接把曲线C 1的参数消去，即可得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P(√3cosθ,sinθ)，写出点P 到曲线C 1的距离，利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．18.答案：解：(1)证明：当n ≥2，n ∈N ∗时，a n =√S n +√S n−1．可得S n −S n−1=√S n +√S n−1，即(√S n +√S n−1)(√S n −√S n−1)=√S n +√S n−1， 可得√S n −√S n−1=1，则数列{√S n }为首项为2，公差为1的等差数列； (2)√S n =2+n −1=n +1，即S n =(n +1)2，n =1时，a 1=4；n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n +1)2−n 2=2n +1， 当n =1时，T 1=4；当n ≥2时，T n =4+2(22+32+⋯+n 2)+(2+3+⋯+n) =4+2[n(n+1)(2n+1)6−1]+(n−1)(n+2)2=16(4n 3+9n 2+5n +6)，则T n ={4,n =116(4n 3+9n 2+5n +6),n ≥2．解析：(1)运用数列的递推式和等差数列的定义，即可得证；(2)运用等差数列的通项公式和数列的递推式可得a n ，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式和自然数的平方和公式，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的递推式的运用，以及数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：要证，即证，令，则，在单调递增，，，即成立；(2)由且可得，令，，由(1)知，，函数在上单调递增，当时，，；(3)当时，，则，要证，即证，由(1)可知，又，，，，故．解析：本题主要考查了利用导数证明函数不等式，参数分离法，直线的斜率，放缩法，属于难题．(1)将代入函数的解析式，构造新函数，问题转化为证明，只需利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来证明该不等式；(2)利用参数分离法将不等式转化为在上恒成立，构造新函数，问题转化为来处理；(3)利用分析法将问题等价转化为证明不等式，结合(1)中的结论结合放缩法证明，最后利用累加法证明相关不等式证明．20.答案：解：(Ⅰ)∵g(x)=ax−ax−5lnx，∴g′(x)=a+ax2−5x=ax2−5x+ax2，由g′(x)>0，得ax2−5x+a>0在x>0上成立，∴a>5xx2+1=5x+1x，∵5x+1x ≤2√x⋅x=52(x=1时等号成立)，∴a>52；(Ⅱ)当a=2时，g(x)=2x−2x−5lnx，ℎ(x)=x2−mx+4=(x−m2)2+4−m24，∃x1∈(0,1)，∀x2∈[1,2]，总有g(x1)≥ℎ(x2)成立，∴要求g(x)的最大值大于ℎ(x)的最大值即可，g′(x)=2x2−5x+2x2=(2x−1)(x−2)x2，令g′(x)=0，解得x1=12，x2=2，当0<x<12，x>2时，g′(x)>0，g(x)为增函数；当12<x<2时，g′(x)<0，g(x)为减函数．∵x1∈(0,1)，∴g(x)在x=12出取得极大值，也是最大值，∴g(x)max=g(12)=1−4+5ln2=5ln2−3，∵ℎ(x)=x2−mx+4=(x−m2)2+4−m24，若m≤3，ℎmax(x)=ℎ(2)=4−2m+4=8−2m，∴5ln2−3≥8−2m，∴m≥11−5ln22，∵11−5ln22>3，故m不存在；若m>3时，ℎmax(x)=ℎ(1)=5−m，∴5ln2−3≥5−m，∴m≥8−5ln2，则实数m的取值范围是：[8−5ln2,+∞)．解析：(1)将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，求出a的范围；(2)对ℎ(x)进行配方，讨论其最值问题，根据题意∃x1∈(0,1)，∀x2∈[1,2]，总有g(x1)≥ℎ(x2)成立，只要要求g(x)max≥ℎ(x)max，即可，从而求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：(Ⅰ)由已知易得函数f(x)的定义域为：{x|x>1}，f′(x)=a+1x−1=ax−a+1x−1，当a≥0时，f′(x)>0在定义域内恒成立，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，当a<0时，由f′(x)=0得x=1−1a>1，当x∈(1,1−1a)时，f′(x)>0，当x∈(1−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)的单调递增区间为(1,1−1a )，递减区间为(1−1a,+∞)；(Ⅱ)由(I)知当a=11−e 时，f(x)=11−ex+ln(x−1)，且f(x)的单调增区间为(1,e)，单调减区间为(e,+∞)，所以f(x)max=f(e)=e1−e+ln(e−1)<0，所以|f(x)|≥−f(e)=ee−1−ln(e−1)恒成立，(当x=e时取等号)令g(x)=2lnx+bx2x ，则g′(x)=1−lnxx2，当1<x<e时，g(x)>0；当x>e时，g(x)<0，从而g(x)在区间(1,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(e)=1e +b2，所以，存在x使得不等式|f(x)|−ee−1≤2lnx+bx2x成立，只需ee−1−ln(e−1)−ee−1≤1e+b2，即：b≥−2e−2ln(e−1)．解析：(Ⅰ)先求函数f(x)的定义域及f′(x)=ax−a+1x−1，再分a≥0时、a<0时两种情况考虑即可；(Ⅱ)由(I)可得f(x)max=e1−e +ln(e−1)<0，令g(x)=2lnx+bx2x，求出g(x)的单调区间，从而可得g(x)max=g(e)=1e +b2，所以原不等式成立只需ee−1−ln(e−1)−ee−1≤1e+b2，解之即可．本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22.答案：解：(I)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴ƒ(x)的最小正周期T=π，∴ω=2πT=2，又∵f(x)图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，∵−π2≤φ<π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x−π6)；(II)由(I)知f(x)=2sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]，，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)min=f(0)=−1,f(x)max=f(π3)=2．解析：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．(I)由题意易得周期为π，可得ω，再由对称轴可得φ值，可得解析式；(II)由x范围结合三角函数的性质可得最值．。
广东省湛江市2020版高二下学期数学期中考试试卷(II)卷
广东省湛江市2020版高二下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设复数，则的最大值是（）A .B .C .D .2. （2分） C +C +…+C +…+C 的值为（）A . 22n﹣1﹣1B . 22n﹣1C . 2n﹣1D . 2n3. （2分）(2018·吉林模拟) 设是虚数单位，若复数，则 =（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）在R上满足，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率是（）A . 2B . 1C . 3D . -25. （2分）已知函数则的值为（）A . -20B . -10C . 10D . 206. （2分）若函数f（x）=﹣3x﹣1，则f′（x）=（）A . 0B . 3C . ﹣3D . ﹣3x7. （2分）在（x+ ）n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x3的系数为（）A . 15B . 45C . 135D . 4058. （2分）某电视台连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A . 720种B . 48种C . 96种D . 192种9. （2分） (2015高二下·沈丘期中) 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A . f（2）＜f（0）＜f（﹣3）B . f（﹣3）＜f（0）＜f（2）C . f（0）＜f（2）＜f（﹣3）D . f（2）＜f（﹣3）＜f（0）10. （2分） (2016高三上·太原期中) 函数的单调减区间是（）A . （﹣∞，1]B . （1，+∞]C . （0，1]D . （﹣∞，0）和（0，1]二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高二下·顺德期中) 定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A . -3是的一个极小值点；B . -2和-1都是的极大值点；C . 的单调递增区间是；D . 的单调递减区间是．12. （3分） (2020高二下·顺德期中) 设函数，则下列说法正确的是（）A . 定义域是（0，+ ）B . x∈（0，1）时，图象位于x轴下方C . 存在单调递增区间D . 有且仅有两个极值点三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·如皋模拟) 复数，其中为虚数单位,则的虚部为________.14. （1分）若二项式的展开式中的常数项为﹣160，则=________15. （1分） (2019高二下·上海月考) 若，则 ________.16. （1分）(2020·海南模拟) 函数的图象在点处的切线的倾斜角为________.四、解答题 (共6题；共80分)17. （15分）设复数z＝2m＋(4－m2)i，当实数m取何值时，复数z对应的点：（1）位于虚轴上？（2）位于一、三象限？（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上？18. （15分） (2016高二下·广州期中) 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．19. （15分） (2018高二下·河南月考) 已知的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大（1）求的值；（2）求展开式中系数的最大的项.20. （10分） (2016高一上·红桥期中) 求下列函数的定义域（1） f（x）= ；（2） f（x）= ；（3） f（x）= ．21. （10分）已知．（1）若a=1时，求曲线在点x=1处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．22. （15分） (2017高二下·濮阳期末) 已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、多选题 (共2题；共6分)11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共80分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、18-4、18-5、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
【数学】广东省湛江一中高二数学下学期期中试题文新人教A版
【关键字】数学湛江一中度第二学期期中考试高二级数学（文科）试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．点的极坐标化为直角坐标为（）A. B. C. D.2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）.A．C4H9 B．C4H C．C4H11 D．C6H123.用反证法证明命题“若则、全为（、），其反设正确的是（）A．、至少有一个为0 B．、至少有一个不为0C．、全不为0 D．、中只有一个为04．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果与是两条平行直线的同旁内角，则B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质D.在数列中，，由此归纳出的通项公式.5. 直线(t为参数)的倾斜角是( )6A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心7.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的的值是（）A．B．C．D．8．给出下列结论：（1）在返回分析中，可用的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；（2）在返回分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在返回分析中，可用的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；（4）在返回分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的有（）个．A．1 B．．3 D．49.已知函数、，且，则的值一定（）A．大于零B．小于零C．等于零D．正负都有可能10.观察，， ...由归纳推理得：若定义域为的函数满足，记为的导函数，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图2所示，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知PA ＝6，AB ＝，PO ＝12，则⊙O 的半径是________．12.如图3所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则13.已知复数,,,它们所对应的点分别为、、,若 ，则的值是___________.14．在极坐标系中，直线的方程为，则点M 到直线的距离为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15. （本小题共12分）在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，在80名男性乘客中，其中有10人晕机，70人不晕机；而在30名女性乘客中有10人晕机，其它20人不晕机. （1）请根据题设数据完成如下列联表； （2）判断晕机与性别是否有关？ 16．（本小题共12分）已知是复数，均为实数，（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17.（本小题共14分）某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：2 4 5 6 83040605070（1）请画出上表数据的散点图；（2） 请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出 y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ； (参考数据：5222262124568145ii x==++++=∑511380i ii x y==∑ )（3）据此估计广告费用为10（万元）销售收入y 的值.18.（本小题共14分）对a 、b a b ≠>,0，已知下列不等式成立： ①;222b a ab +<②;3322b a b a ab +<+③;4433b a b a ab +<+④.5544b a b a ab +<+（1）用类比的方法写出;_______________66b a +<（2）若a 、b b a ≠>,0，证明：;3322b a b a ab +<+（3）将上述不等式推广到一般情形，请写出你所得结论的数学表达式（不必证明）.晕机不晕机 合计 男 女 合计19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为8，离心率为21， （1）求椭圆的标准方程；（2）在椭圆上任取一点P ，求P 到直线:l 0122=--y x 的距离的最小值.20．（本小题共14分）数列}{n a 中，2,841==a a ，且满足)(,212*++∈-=N n a a a n n n（1）求2a 、3a ，并求数列}{n a 的通项公式；（2）设||...||||21n n a a a S +++=，求n S ；（3）设)(,...),()12(121**∈+++=∈-=N n b b b T N n a n b n n n n ，是否存在最大的正整数m ，使得对任意*∈N n 均有32mT n >成立？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由.湛江一中 度第二学期期中考试 高二级数学（文科）试卷答案考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：WHY一、单项选择题，本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
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湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试高二级文科数学试卷考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等（ ） A.2 B.32 C.32- D.23. 圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A. )32,5(π- B. (5,)3π- C. (5,)3π D. 5(5,)3π- 4. 如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程e a bx y ++=（单位：亿元），其中5.0||,2,8.0≤==e a b ，如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过A 9亿B 10亿C 9.5亿D 10.5亿 5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A.若K 2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确.6．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是A 大前提错误B 小前提错误C 推理形式错误D 以上都不是 7.将两个数a ＝8，b ＝17交换，使a ＝17，b ＝8，下面语句正确的一组是 ()第 1 页 共8页8． 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为( )A 3B 7C 8D 11（第8题图）9．给出右面的程序框图，输出的数是（ ）A ．2450B ．2550C ．5050D ．490010．已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-（*n ∈N 则2012321a a a a ⋅⋅⋅的值为A 2 B -3 C 21-D 1 （第9题图） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11、定义运算, a c ad bc b d=-复数z 满足1,1 z i i i=+则z ＝ ；12．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．13. 观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式24n S == 38n S == 412n S ==第 2 页 共8页14．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15 (本小题满分12分)……(1)计算： ii i +-++2)1(3)21(2；(2). 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z16．(本小题满分l2分)以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝6，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．17．（本小题满分14分） 为了研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下表:(1) 画出散点图,判断变量y 与是否具有相关关系;(2) 若y 与x 之间具有线性相关关系,求y 对x 的回归直线方程;(3.16512=∑=i ix,5.1851=∑=i i i y x )(3) 预测水深为1.95m 水的流速是多少.参考公式： 2121121)())((xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑==== x b y a -=第 3 页 共8页18．(本小题满分14分)在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状并证明.19． (本小题满分14分) 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证212221≥+a a ，证明：构造函数2221)()()(a x a x x f -+-=22212222121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842221a a +-=∆≤0,从而得212221≥+a a ，（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。
20. (本小题满分l4分)已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k=5,k=10时，分别有S=115和S=2110. （1）试求数列{a n }的通项；（2）令n an b 2=,求b 1+b 2+…+b m 的值.第 4 页 共8页湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试高二级文科数学答题卷考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．）题号1 2 3 4 5 6 78910答案二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．）11． 12。
13． 14。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15．(本小题满分12分)第 5页共8页16．(本小题满分12分)17．（本小题满分14分）第 6页共8页18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）第 7页共8页20．（本小题满分14分）第 8页 共8页湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试高二级文科数学答案考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADCABCAD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．） 11．i -2 12。
22221111h a b c=++ 13．22(2)n n -- =4n-4 14。
3105三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15 (本小题满分12分)解：(1) iii i i i +-++-=+-++233432)1(3)21(2=+=i i 2i i i 52515)2(+=-……………6分 (2)解:设yi x z R y R x yi x z -=∈∈+=则),,(=-++=-+=+i y x y x yi x i z i )2()2())(21()21(i 34+…….9分则3242=-=+y x y x ,解得 12==y x∴z=2+i ，…………….12分16．(本小题满分l2分)解：由ρsin(θ－π3)＝ρ(12sin θ－32cos θ)＝6得ρsin θ－3ρcos θ＝12. ∴y －3x ＝12.。
4分 圆C::22210=+y x 圆心C （0，0），10=r∴点C 到直线的距离为d ＝|0＋0＋12|3＋1＝6.。
8分∴直线l 被圆截得的弦长为2102－62＝16.。
12分第 1页 共3页17．（本小题满分14分）解：（1）散点图略，有相关关系。
…………3分 （2）经计算可得 8.1=x ，2=y ，3.16512=∑=i ix，5.1851=∑=i i i y x …………5分b =25125155x xyx yx i ii ii⨯-⨯-∑∑===58.153.1628.155.182=⨯-⨯⨯- ……7分a =y －b x =2－58.1⨯=-7. …………9分故所求的回归直线方程为y=5x -7. …………10分 (3)当95.1=x 时，75.2795.15=-⨯=y。
即水深为1.95m 时水的流速约是2.75m/s. …………14分 18．(本小题满分14分) 解:π=++++=C B A C B CB A ,cos cos sin sin sin 。
2分)sin()sin(cos sin cos sin B A C A C A B A +++=+∴。
5分 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C 。
8分 的内角为ABC C B A ∆,,20cos ,0sin sin π=⇒=∴≠+A A B C 。
12分所以三角形ABC 是直角三角形。
14分第 2页 共3页19． (本小题满分14分)解：（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，求证：nn a a a 122221≥+++ …………………………………………………6分（2）证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-= …8 分22221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= ………………10分 2222122n a a a x nx ++++-= ……………12分因为对一切x ∈R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(4422221n a a a n +++- ≤0, 从而证得：nn a a a 122221≥+++ . ……………14分20. (本小题满分l4分)解：由框图可知.11113221++⋅⋅⋅++=k k a a a a a a S …………………………..1分 因为{a n }是等差数列，设公差为d,则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++111111k k k k a a d a a ，………2分 所以.11111111111113221⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+-+-=++k k k a a d a a a a a a d S ………4分（1）由题意可知，k=5时，115=S ;k=10时，2110=S . 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2110111,11511111161a a d a a d 解得⎩⎨⎧==2,11d a 或⎩⎨⎧-=-=2,11d a （舍去）………………8分故a n =a 1+(n-1)d=2n-1…………………………………………………………10分 （2）由（1）可得：1222-==n a n nb ，……………………………………11分所以123121222-+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++m m b b b打印版打印版 ())14(3241412-=--=m m …………………………………………………14分 第 3页 共3页。