中考数学相似综合练习题及答案解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．

【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，

， = ,

即

是的切线

（2）解：猜想：MN∥AB．

证明：连结CB．

∵直径AB经过弦CD的中点E，

∴ = , = ,

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∵

∴

∴

∴MN∥AB．

【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；

（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式

，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。

2．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.

（1）球在地面上的影子是什么形状?

（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?

（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?

【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.

（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.

（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：

依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，

在Rt△OAE中，

∴OA= = = (m)，

∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，

∴△OAH∽△OEA，

∴，

∴OH= == (m)，

又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，

∴△OAE∽△AHE，

∴ = ，

∴AH= ==2625 (m).

依题可得：△AHO∽△CFO，

∴ AHCF=OHOF ，

∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m)，

∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).

答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.

【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.

（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.

（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.

3．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．

（1）求证：D是弧EC的中点；

（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK＋DO；

（3）如图3，在(2)的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝，KG＝2，求QH的长

【答案】（1）证明：如图1中，连接OC．

∵AC是⊙O的切线，

∴OC⊥AC，

∴∠ACO=90°，

∴∠A+∠AOC=90°，

∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵EF⊥BC，

∴∠OGB=90°，

∴∠B+∠BOG=90°，

∴∠BOG=∠AOC，

∵∠BOG=∠DOE，

∴∠DOC=∠DOE，

∴点D是的中点

（2）证明：如图2中，连接OC．

∵EF⊥HC，

∴CG=GH，

∴EF垂直平分HC，

∴FC=FH，

∵∠CFK= ∠COE，

∵∠COD=∠DOE，

∴∠CFK=∠COD，

∵∠CHK= ∠COD，

∴∠CHK= ∠CFK，

∴点K在以F为圆心FC为半径的圆上，

∴FC=FK=FH，

∵DO=OF，

∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，

即CF=OK+DO；

（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF= ﹣（2﹣x），

∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，

∴（ +x）2﹣[ -（2﹣x）]2=（）2﹣（2﹣x）2，

解得x= ，

∴CF=5，FG=4，CG=3，OG= ，

∵∠CFE=∠BOG，

∴CF∥OB，

∴ = = ，

可得OB= ，BG= ，BH= ，

由△BHM∽△BOG，可得 = = ，

∴BM= ，HM= ，MQ=OQ﹣OB﹣BM=

在Rt△HMQ中，

QH= = =

【解析】【分析】（1）如图1中，连接OC．根据切线的性质得出OC⊥AC，根据垂直的定义得出∠ACO=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AOC=90°，根据等边对等角得出∠A=∠B，根据垂直的定义得出∠OGB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠BOG=90°，根据等角的余角相等得出∠BOG=∠AOC，根据对顶角相等及等量代换得出∠DOC=∠DOE，根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；

（2）如图2中，连接OC．根据垂径定理得出CG=GH，进而得出EF垂直平分HC，根据线段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH，根据圆周角定理及等量代

换得出∠CFK=∠COD，∠CHK=∠CFK，从而得出点K在以F为圆心FC为半径的圆上，根据同圆的半径相等得出FC=FK=FH，DO=OF，根据线段的和差及等量代换得出CF=OK+DO；

（3）如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF=

﹣（2﹣x），根据勾股定理由CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，列出关于x的方程，求解得出x

的值，从而得出CF=5，FG=4，CG=3，OG= 根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两直线平行得出CF∥OB，根据平行线分线段成比例定理得出C F ∶O B = C G∶ G B = F G ∶G O ，进而可得OB,BG,BH的长，由△BHM∽△BOG，可得 B H ∶O B = B M ∶B G = H M ∶O G，再得出BM,HM,MQ的长，在Rt△HMQ中，根据勾股定理得出QH的长。