网络最大流问题ppt

s2
13
C （ V ,V ） 3 2 5 11
（4） 流量4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
v1 （2，2） v3
最大流最小割定理： M（ a f） x M v（ iV n ,V ） C 11
第四节 网络最大流问题
问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点
集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧 （vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上 通过的总流量v最大？
v2
4
例如：
3
vs
1
1
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0） vt
（5，1）
（2，1）
（2v）1 可增（值2，链2（）增广v3链）
D中vs由 至 vt的， 链 记 ： ： 中 中的 的反 正 ， 向 向 若 中 中 弧 弧 弧 弧 集 集 ， 皆 皆则 非 未 为 D称 中 零 饱关于 f的
(19,11)
(4,4) -
44
(5,2)
(4+,2)
最大流最小截集的标号法举例
(9,9)
(14,14) 11
(15,10) s
33
(6,5)
(16,15)
(3,1)
(13,12) 66
2 (12,10) 55
(6,3)
(5,5)
44
(4,4)
(7,5)
(22,22)
t
(4+,2)
(19,11)
最小截集
(14,14)
11
(s+,) s (15,12)
(16,15)
(s+,3)(3,1)
(13,12) 6
– (2) (i, j)是前向弧且未饱和，则节点 j 标号为[i+,q(j)]， 表示从节点 i 正向流出，可增广 q(j)=min[q(i),cijfij] ；
– (3) (j, i)是后向弧，若 fji=0，则节点 j 不标号；
– (4) (j, i)是后向弧，若 fji>0，则节点 j 标号为[i,q(j)]， 表示从节点j 流向i，可增广 q(j)=min[q(i),fji] ；
v( f ) i s
• 平衡条件：
fij
f
ji
0
i s,t
v jA(vi )
v jB(vi )
v( f ) i t
• 满足上述条件的网络流称为可行流，总存在最大可行流
(1弧 ) 按流量未 饱 分饱 和 为和 弧fij 弧 ： ficjij： cij 零流弧f-ij： 0
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
一条可增值v链。 （4，3） v
（3，3） 2
4 （5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
v
-
（2，2） v
（2，1）
（3） 截集与截量
截集（割集 V分） 为： 二将 非空 V1与V 互 1，补 使 vs 集 V1,vt V1。
称弧 （v集 i,vj） viV1,vjV1为D的一个截集V1， ,V1）记 。为
[,v s ]vs•
（1，1）（1，10）（3，0）
• vt [1,v ] 3
[,v ] s
（5，1） 2
v1•
0 （2，2）
v• 3
（2，1） 2
[4,v ] s
[3,v ] s
[1,v ] 2
解：第一次标号及所得可增值链如图，调量q =1，调后进
行第二次标号如图。第二次标号未进行到底，得最大流如
1、对增广链中的前向弧，令 f=f+q(t)，q(t) 为节点 t 的
标记值
2、对增广链中的后向弧，令 f=fq(t)
3、非增广链上的所有支路流量保持不变 第三步：抹除图上所有标号，回到第一步
-
例1 用标号法求下面网络的最大流。
[1,v ]
[1,v ]
1
2
（3，3） v2• （4，3） v•4 （5，3）
图，最大流量v=5，同时得最小截
（ V ,V ） （ v,v）v ， ,v） 。 （
11
s2
13
-
例2 最大流最小截集的标号法举例
(s+,)
(14,14) 11 ss (15,9)
(16,15)
(3,1)
(s+,6)
22 (12,10)
(13,12) 66
5
(6,3)
(5,5)
(6,6)
(9,9)
v4 5
3
vt
5
2
v1
-
2 v3
7.4.1 网络的最大流的概念 • 网络流一般在有向图上讨论
B(vi)
vi
A(vi)
• 定义网络上弧的容量为其最大通过能力，记为 cij ，弧 上的实际流量记为 fij
• 图中规定一个发点s，一个收点t
• 节点没有容量限制，流在节点不会存储
• 容量限制条件：0 fij cij
-
3、重复步骤 2，可能出现两种情况： (1) 节点 t 尚未标号，但无法继续标记，说明网路中已不存在 增广链，当前流 v(f) 就是最大流；所有获标号的节点在 V 中， 未获标号节点在 V 中，V 与 V 间的弧即为最小截集；算法结 束 (2)节点 t 获得标号，找到一条增广链，由节点 t 标号回溯可 找出该增广链；到第二步 第二步：增广过程
33
(2,6)
(4,3)
44
(3+,1)
(7,5)
(22,22)
tt
(19,10)
(4+,1)
(9,9)
(14,14) 11
(s+,) s (15,10)
3
(6,5)
(16,15)
(3,1)
(s+,5)
2 (12,10)
(13,12) 66 55
(22,22)
tt
(7,5)
(5,5() 2+,2)
(6,3)
（5） 最大流的判别条件
可行f是 流最大流的充D中 要不 条存 件在 是 f的 关
可增广链。
-
7.4.2 确定网络最大流的标号法
最大流最小截的标号法步骤
• 第一步：标号过程，找一条增广链
– 1、给源点 s 标号[s+,q(s)=]，表示从 s 点有无限流出潜力
– 2、找出与已标号节点 i 相邻的所有未标号节点 j，若 – (1) (i, j)是前向弧且饱和，则节点 j 不标号；
截量：截集上所有弧的容量和，记C（V， 。V）
1
1
例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截集与截量。
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1） （1，1）
（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
解：
v1 （2，2） v3
（ V ,V ） （ v,v）v， ,v） ， （
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