函数间断点精品课件

《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
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y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
第三届技能大赛教学能力比赛作品
勾勒世界 演绎无限-应用数学
函数间断点
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微课： 《函数间断点》
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字面含义：间隔 断离 人生路漫漫，或高昂或平直或跌宕，只是千万不要间断
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
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3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例3
讨论函数
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
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如例2中, 令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
2 1
o1
x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
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初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
因为 lim y 7 t20
lim y 5
t20
所以 lim y 不存在，函数在t=2处不连续。 t2
此函数在t=1，2，3处间断。 停车小窍门
由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此 ，在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时 之内。由于一天的停车费最高价格不超过10元 ，因此，超过3小时后，可以不急于取车。
10
0t 1 4t 1 24 t 4
其中 为向上取整函数
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建立如下关系式：
3 0t 1
y
5 7
1t 2 2t 3
9
3t 4
10 4 t 24
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不影响规律、走向和趋势
可去型
o x0
x
y
成年偷窃，付出代价，人生改变
以此处为分界点，走向发生改变
跳跃型
o
x0
x
y
有些底线不能突破，突破了罪不容赦，无法挽回
无穷间断或者震荡，没有了极限
o 无穷型 《应用数学》
x0
x
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连 续
连续与间断是的数学基础概念之一
x,
0 x 1, x1
1 xBiblioteka Baidu x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
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解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
x1
与
间
是植根于工业生活骨髓的概念之一
断 连续与间断是对世界认知的重要概念
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作业
1
在线测试
2
间断的现实例子
《应用数学》
请各位专家批评指正！
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连续与间断应用范围很广，重要的比如流体力 学、固体力学甚至可以应用在电荷守恒上面推 导出基尔霍夫电流定律。连续性更多的是一种 思想。在流体力学中连续性方程的欧拉描述存 在密度与速度之间的关系。几乎所有的工业生 产中都有连续和间断概念的应用。
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[停车场收费] 一个停车场第一个小时（或不到一小时） 收费3元，以后每小时（或不到整时）收费2元， 每天最多收费10元．讨论此函数在th时的连续性 以及此函数的间断点，并说明其实际意义． 解 设停车场第t小时的收费为y
3 y 3 2 t 1
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
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例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
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1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
o
x
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2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例2 讨论函数
f
(
x)
2 1,
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函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0