机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页

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0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
一、位置和姿态的表示
（2）三个典型旋转矩阵
zB
zA
xA xB yB
yB
yA
zB
xB
yA
zA
xA
x
y
z
1 0 0
R(x,) 0 c s 0 s c
c 0 s
c s 0
R(y,)
0
1
0
R(z,) s
c
0
s 0 c
0 0 1
一、位置和姿态的表示
(3)旋转矩阵的几何意义：
•
A B
R
可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐
标系的姿态矩阵。
•
A B
R
可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系{B}中的
点的坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p 。
•
A B
R
可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}
中。
一、位置和姿态的表示
0 0 1 73 10 0 0 0 11 1
三、齐次坐标变换
• 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连 乘形式使计算简化。
Trans (4,3,7) Rot ( y,90 ) Rot ( z,90 ) u
1 0 0 4 0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
3
0
1 0 0 1
二、坐标变换
P
3.复合变换
yB
yC
BP
xB
yA
AP
OB
xC
APBO zC
OA
xA
zB
zA
坐标系A和C之间是平移变换关系 APCPAPC0
坐标系 B和C之间是旋转变换关系 CPCBRBP
坐标系 B和C的原点重合 坐标系 A和C的方位一样
APC0＝APB0
CBRBAR
APB ARBPAPB0
二、坐标变换
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
三、齐次坐标变换

1.齐次变换
APB ARBPAPB0
可以改写为：
A 1P B A0 R AP 1B0 B 1P
齐次 坐标
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A P A x A y A z 1 T ， B P B x B y B z 1 T
三、齐次坐标变换
• 例4－2：求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得 到的新矢量。
1 0 0
4 2 6
0
1
0
3 3 0
0 0 1
7 2 9
0 0 0
1
1
1
三、齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
10 0
c0s
c s0
R (x,) 0c s R (y,) 0 10 R (z,) sc0
二、坐标变换
1.平移坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
APBPAPB0
二、坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}
有相同的原点但方位 不同,则点P的在两个 坐标系中的位置矢量 有如下关系：
APB ARBP
BPBARAP B ARB AR1B ART
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
一、位置和姿态的表示 二、坐标变换 三、齐次坐标变换 四、物体的变换及逆变换
一、位置和姿态的表示
1.位置描述
在直角坐标系A中， 空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向 量(位置矢量)表示：
AP[px
上述矩阵称为旋转矩阵
一、位置和姿态的表示
（1）旋转矩阵的特点
B A R A x BA y BA z B
由于旋转矩阵中每一列为单位向量，所以有
A x B A x B A y B A y B A z B A z B 1
由于旋转矩阵中三列向量两两相互垂直，所以有
A x B A y B A y B A zB A zB A x B 0
0sc
s0c
0 0 1
将上式增广为齐次式：
10 0 0
c 0s0
cs00
R (x,)0 0c s cs0 0
R (y,)0 s1 0c0 0 0R (z,)s0
c
0
00 10
00 0 1
0 001
0 0 01
三、齐次坐标变换
例4-3 ：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90 度。
py
p]T z
位置表示
一、位置和姿态的表示
2.方位描述
A
B
R(Ori空eAn间xtBa物ti体oA nBy)的B可方由A位z某B
个标矢参弦rrr固考组1系量32111 接坐成{[Bxrrr于 标 的}B132,222的y此 系3Bx三,rrr物A3z132的 矩个333B体]单方阵相的位向描对坐主余述于
例4.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}
相对于{A}的ZA轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位， 并沿{A}的YA轴移动6单位。求位置矢量APB0和旋转矩阵 BAR。设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0]，求它 在坐标系{A}中的位置。
0.8660.5 0
12
B ARR(z,30 0)0.5 0.8660;ApB06