椭圆特殊性质

x22 a2
y12 b2
y22 b2
1
1
x1
x2
. x1
a2
x2
y1
y2
. y1
b2
y2
0
∵
k AB
y1 x1
y2 x2
， kOP
y0 x0
，
∴
k AB
kOP
b2 a2
。
6、椭圆的长轴端点为 A1、A 2，P 是椭圆上任一点，连结 A1P、A2P 并延长，交 一准线于 N、M 两点，则 M、N 与对应准线的焦点张角为 900
1
cos
2
2
1
(2
2 cos2
2 1)
2
2
b2 sin 2
cos
b2 tan 2
2
证明(2)：
设点P(x, y)，对于三角形F1PF2，使用余弦定理 (2c)2 r12 r22 2r1r2 cos
其中，r1, r2为点P对应的焦半径 4c2 (a ex)2 (a ex)2 (a ex)(a ex)cos
于是 1 1 = 1 1 AF1 BF1 a ex1 a ex2
=
a2
2a e( x1 ae( x1 x2 )
x2 ) e 2 x1 x2
联立直线与椭圆的方程
(a2k 2 b2 )x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0
由韦达定理
x1
x2
2a 2 km a2k 2 b2
7、圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必
过定点
(
x0 (a2 b2 a2 b2
)
,
y0 (a a2
2 b2 b2
))
证明：
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ),直线AB方程y kx m, 代入椭圆方程 得（a 2 b2k 2 )y2 2b2mky b2m2 a 2b2 0
因此，当x 0时，最大，即F1PF2最大，此时，点P位于短轴的端点。
证明(3)： 根据第（2）问的证明结果，当点 P 在短轴端点时，三角形面积最大。 故（S⊿PF1F2）max= bc
2、 过点 F1 作⊿PF1F2 的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为 M ，则 M 的轨迹 是 x2+y2=a2
证明：
延长 F1M 交 F2P 于 F ，
连接 OM 由已知有 PF1 FP ，
M 为 F1F 中点
∴ OM
1 2
FF2
=
1 2
PF1
PF2
=
a
所以 M 的轨迹方程为 x2 y2 a2 。
3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆 x2+y2=a2 内切
证明：
设点P(x,y)，则以PF1为直径（焦半径）的圆的圆心坐标为x0
4c2 2a2 2(ex)2 (a2 (ex)2)cos
cos
2a2
2(ex)2 4c2 a2 (ex)2
2a2 2(ex)2 4(ex)2 4c2 a2 (ex)2
2
4c2 a2
4(ex)2 (ex)2
2
a2
4b2 (ex)2
在（0，a）范围内，随着x的减小，cos减小，增大，
x0 a a2 a
y0 y1
y1
y0
(a2 c
a)
x0 a
c
∵ 由于 A2, P, N 共线 ，∴
x0 a a2 a
y0 y2
y2
y0
(a2 c
a)
x0 a
c
∴
y1 y2
y0
(a2 a) c
x0 a
y0
( a2 c
x0
a) a
y02 x02 a2
a4
a2c2 c2
，
∵
x02 a2
1 mn sin 2
根据余弦定理
(2c)2 m2 n2 2mn cos
(m n)2 2mn 2mn cos
4a2 2mn 2mn cos
mn
2a2 2c2 1 cos
=
1
2b2 cos
,代入面积公式
SF1PF 2
1 2
mn sin
= b2 1
sin cos
b2 sin 2 b2 2 sin cos
证明：
令
M
a2 c
,
y1
,
N
a2 c
,
y2
,
P
x0
,
y0
，
A1
a,
0
，
A2
a,
0
uuur
∴ A1P x0
uuur
a, y0 , A2P x0
a, y0
,
uuuur A1M
a2 c
a
,
y1
,
uuuur A2 N
a2 c
a
,
y2
∵ 由于 A1、 P 、 M 共线 ，∴
y02 b2
1
y02 x02 a2
b2 a2
∴
y1 y2
b2 a2
a4
a2c2 c2
b4 ，
c2
∵
uuur FM
a2 c
uuur FN
a2 c
c
,
y1
c
,
y
2
uuur FM
uuur FN
b4 c2
y1 y 2
uuur uuur
∴ FM FN 0 ，
∴ M、N 与对应准线的焦点张角为 900
椭圆特殊性质的证明
一、椭圆的几何性质（以
x2 a2
+
y2 b2
=1（a﹥b﹥0）为例）
1、焦点⊿PF1F2 中： （1）S⊿PF1F2= b2 tan
2
（2）当 P 在短轴上时，∠F1PF2 最大
（3）（S⊿PF1F2）max= bc
证明(1)：
设 P F1
m, PF2
n, F1PF2
， 则 SF1PF2
=
x
2
c
,y0
=
y 2
则该圆心到原点的距离为d=
x02
y02
1 2
x2 2xc c2 y2
1 2
x2
2xc c2
b2
b2 a2
x2
1 2
x2
2xc
c2
b2
b2 a2
x2
1 ( c x a)2 1 ( c x a) 1 (a ex)
2a
2a
2
又点P对应的焦半径为r a-ex，因此圆的半径为R= r a-ex 22
根据韦达定理
y1
y2
2b2mk a2 b2k2
, y1y2
b2m2 a2b2 a2 b2k2
(1)
又MA (x1 x0 , y1 y0 )
MB (x2 x0 , y2 y0 ) 且MA MB，所以有
因此，d R 1 (a ex) a-ex a
2
2
故以PF1为直径的圆与圆x2 y2 a2内切
4、过焦点 F 的弦 AB，
1 AF
1 BF
2a b2
(定值)
证明：
设 直 线 方 程 为 y kx m， 交 椭 圆 于 A( x1, y1 ), B ( x2 , y2 )两 点
则 AF1 a ex1，BF1 a ex2
, x1 x2
a2m2 a2b2 a2k 2 b2
代入，得
1 A F1
1 B F1
=
2a b2
5、AB
是椭圆的任意一弦，P
是
AB
中点，则
K AB
K OP
b2 a2
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（定值）
证明：
令 A x1, y1 , B x2 , y2 ， P x0 , y0
则
x1
2
x2
x0
y1
2
y2
y0
x12 a2