高中空间立体几何典型例题

1如图所示，正方体ABC —ABGD 中，侧面对角线AB ,

BG 上分别

有两点E , F ,且B i E=C i F.

求证：EF//平面ABCD

证明 方法一 分别过E , F 作EM L AB 于M FN

丄BC 于 N,连接MN

v BB 丄平面ABCD

••• BB 丄AB BB 丄 BC

••• EM// BB , FN// BB ,

• EM// FN

又 v BE 二CF , • EM=FN

故四边形MNFE^平行四边形，二EF// MN

又MN 平面ABCD EF 二平面ABCD

所以EF//平面ABCD

方法二过E 作EG// AB 交BB 于G, 连接GF ，则誥

詈， v BE 二GF , BA 二GB ,

又 EGH FG=G, ABA BC=B , •平面 EFGI 平面 ABCD 而EF 平面EFG

• EF//平面 ABCD

2已知P

ABC 所在平面外一点，G 、G 、G 分别是△ PAB △ PCB

C i E B i G

C 1B _B 1B ， • FGII B i C // BC

D x G

A A M B

△ PAC勺重心.

(1)求证：平面GG2G//平面ABC

(2) 求S GG2G3 : S A ABC

(1)证明如图所示，连接PG、PG、PG并延长分别与边AB BG AC交于点D E、F,

连接DE EF FD,贝卩有PG : PB=2 : 3,

PG : PE=2 : 3,二GG// DE

又GG不在平面ABC内,

GG2 //平面ABC同理GG //平面ABC

又因为GG Q GG二G,

•••平面GGG//平面ABC

(2)解由(1)知些=竺=2，二GG二ZDE

PD PE 3 ' 3

又DE=1AC,A GG F^AC

2 3

同理GG二丄AB, GG=」BC

•△ GGG S A CAB其相似比为1 : 3,

•S A G1G2G3 : S A AB(=1 : 9.

3如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC SG^A SAB上的高，

D E、F分别是AG BG SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置

关系，并给予证明.

解SG//平面DEF证明如下：方法一连接CG 交DE于点H, 如图所示.

V DE>^ ABC的中位线，

•••DE// AB

在厶ACG中D是AC的中点,

且DH/ AG

• H为CG的中点.

•尸日是厶SCG的中

位线,

又SG平面DEF FH平面DEF

• SG//平面DEF

方法二V SBC的中位线，二EF// SB

B V EF忙平面SAB S吐平面SAB

• EF//平面SAB

同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F,

•平面SAB/平面DEF又SG平面SAB

• SG//平面DEF.

5如图所示，在正方体ABC—ABCD中,

E、F、G H 分别是BG CC、

CD、AA的中点.求证：

(1)BF// HD;

(2)EG//平面BBDD;

(3)平面BDF//平面BDH

证明 (1)如图所示，取BB的中点M

易证四边形HMC1是平行四边形，二HD// MG.

又T MC/ BF,「. BF// HD.

(2)取BD的中点Q连接EQ DQ

贝卩QE 1 DC

2

又DG 1DQ 必QE DG,

•••四边形OEGD是平行四边形，

••• GE// DQ

A B

又DOu平面BBDD,「. EG//平面BBDD

(3)由(1) 知DH// BF,又BD// BD, BD、HD=平面HBD, BF、BD平面BDF 且BDQ HD=D ,

DBH BF=B,A平面BDF// 平面BDH.

6如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD勺一个截面，若截面为平行四边形.

(1)求证：AB// 平面EFGH CD//平面EFGH

(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

(1)证明T四边形EFGH为平行四边形, v HG 平面ABD 二EF// 平面ABD

v EF平面ABC 平面ABD?平面ABCAB, • EF/ AB • AB//平面EFGH EF/

HG

A

同理可证，CD//平面EFGH

⑵解设EF=x （O v x v 4）,由于四边形EFGH为平行四边形,

CB

FG = BF = BC -J CF

BC ~BC

从而FG=6-3X.

2

二四边形EFGH勺周长I =2（x+6-卽）=12*.

又O v x v4,则有8v I v 12,

二四边形EFGH周长的取值范围是（8, 12）7如图所示，在正方体ABC—ABQD中，O为底面ABCD勺中心，P

是DD的中点，设Q是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平

面DBQ/平面PAO

解当Q为CC的中点时，

平面D.BQ//平面PAO

T Q为CG的中点，P为DD的中点，二QB// PA

v P、O为DD、DB的中点，二DB// PO

A B 又Pan PA=P, DB Q QB=B,

DB//平面PAO QB/平面PAO

•••平面DBQ//平面PAO