异分母分式的加减

北师版八年级数学下册教案

第2课时 异分母分式的加减

1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)

2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)

一、情境导入

小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x ＋1－2x －1

呢？ 二、合作探究

探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母

分式

1x 2

－3x 与2

x 2－9

的最简公分母是________．

解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为x (x ＋3)(x －3)．

方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．

【类型二】 分母是单项式分式的通分

通分．

(1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc

2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2

. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．

解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d

，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是6a 2

bc 2

，b 2a 2c ＝3b 2c

6a 2bc

2，

2a 3bc 2＝4a 3

6a 2bc 2

； (3)最简公分母是10xy 2z 2，

45y 2z

＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5

－2xz 2＝－－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．

【类型三】 分母是多项式分式的通分

通分．

(1)a 2（a ＋1），1

a 2－a ； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9

. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．

解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，

a

2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1），

1

a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， 2mn

4m 2

－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2

，3m

4m 2

－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2

.

方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．

探究点二：异分母分式的加减法

【类型一】异分母分式的加减法运算

计算：

(1)

x

x2－4

－

2

x2＋4x＋4

；

(2)

a2－4

a＋2

＋a＋2；

(3)

m

m－n

－

n

m＋n

＋

2mn

m2－n2

.

解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)

中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、

(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分

式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋

2看成分母为1的式子进行通分．

解：(1)原式＝

x

（x＋2）（x－2）

－

2

（x＋2）2

＝

x（x＋2）

（x＋2）2（x－2）

－

2（x－2）

（x＋2）2（x－2）

＝

x（x＋2）－2（x－2）

（x＋2）2（x－2）

＝

x2＋4

（x＋2）2（x－2）

；

(2)原式＝

a2－4＋（a＋2）2

a＋2

＝

2a（a＋2）

a＋2

＝2a；

(3)原式＝

m（m＋n）

（m＋n）（m－n）

－

n（m－n）

（m＋n）（m－n）

＋

2mn

（m＋n）（m－n）

＝

m2＋2mn＋n2

（m＋n）（m－n）

＝

m＋n

m－n

.

方法总结：分母是多项式时，应先因式

分解，目的是为了找最简公分母以便通

分．对于整式与分式的加减运算，可以将整

式的每一项的分母看成1，再通分，也可以

把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．

【类型二】分式的混合运算

计算：

(1)(

x2－4x＋4

x2－4

－

x

x＋2

)÷

x－1

x＋2

；

(2)

a－5

2a－6

÷(

16

a－3

－a－3)．

解：(1)原式＝[

（x－2）2

（x－2）（x＋2）

－

x

x＋2

]÷

x－1

x＋2

＝(

x－2

x＋2

－

x

x＋2

)÷

x－1

x＋2

＝

－2

x＋2

·

x＋2

x－1

＝－

2

x－1

；

(2)原式＝

a－5

2a－6

÷(

16

a－3

－

a2－9

a－3

)

＝

a－5

2（a－3）

÷

（5＋a）（5－a）

a－3

＝

a－5

2（a－3）

·

a－3

（5＋a）（5－a）

＝－

1

10＋2a

.

方法总结：对于一般的分式混合运算来

讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先

乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要

先算括号里面的．在此基础上，有时也应该

根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

探究点三：分式运算的化简求值

【类型一】先化简，再根据所给字母

的值求分式的值

先化简，再求值：(

1

x－y

＋

1

x＋y

)÷

2x

x2＋2xy＋y2

，其中x＝1，y＝－2.

解析：化简时，先把括号内通分，把除

法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，

最后代值计算．

解：原式＝

2x

（x－y）（x＋y）

·

（x＋y）2

2x＝

x＋y

x－y

，