第01讲 集合 ................
01第一章 集合与计数原理【讲义】
第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
第01讲第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算课件新人教A版课件
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6.描述法及两种表述形式：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法. ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；
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例6 已知A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且 A B，求实数a的取值范围.
解：由已知，得：A ，或{1}，或{2}.
若A ， a 2 4 0, 2 a 2.
若A
{1}，
12
a
2
a 1 40
10.全集定义：如果集合S含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集，记作U.
1/2/2020
湖北省随州市第二中学 操厚亮
8
新疆 王新敞
奎屯
二名、称 知识点归纳交集新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
已知: （1）(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}； （2）(CUA)∩B＝{1，9}；（3）A∩B＝{2}.求A、B.
解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}
∴ CU(A∪B)＝ {4，6，8}
∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}
UB
1,9
2
A
3,5,7
4，6，8
∴B＝ [(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则 记作A B（B A）
8.真子集的定义：如果A B，并且 A ≠B，则 集合A是集合B的真子集.
第01讲 集合
《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第一讲集合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用V enn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
a∈；若b不是集合A的元（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；素，记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
高中数学高考第1讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
11
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}， 所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)
8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ， 所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、 经典例题
考点一 集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算课件
(2)已知 a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则 a＋b 为(
)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
答案 C 解析 由已知得 a≠0，则ba＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a ＋b＝－1.故选 C.
1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个 数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆ (A∪B)，B⊆ (A∪B). 3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆ A，A∩B⊆ B. 4．A∩B＝A∪B⇔A＝B.
5．A⊆ B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B).
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 集合的基本概念 例 1 (1)已知集合 A＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元 素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9
答案 C
解析 当 x＝0 时，若 y＝0，则 x－y＝0；若 y＝1，则 x－y＝－1；若 y ＝2，则 x－y＝－2.同理可得，当 x＝1 时，x－y＝1，0，－1；当 x＝2 时，x －y＝2，1，0.综上，根据集合中元素的互异性，可知 B 中元素有－2，－1， 0，1，2，共 5 个．
6．(2021·福建泉州质量检测(三))已知集合 A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈ N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则 A∩B 中元素的个数为( )
【暑假预习】2023年新高一数学 第01讲 集合及其表示法(9种题型)(学生版)
01集合及其表示法(9种题型)【课程细目表】一、知识梳理二、考点剖析1.集合的含义2.元素与集合关系的判断3.集合的确定性、互异性、无序性4.集合相等5.有限集与无限集.6.集合的表示法--描述法7.集合的表示法--列举法8.集合的表示法--区间法9.集合的表示法--综合应用三、过关检测【知识梳理】一、集合的意义1.集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．2.集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母A、B、C⋯来表示，集合中的元素用a、b、c⋯表示，如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”3.常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R(正实数集R+)、有理数集Q(负有理数集Q-)、整数集Z(正整数集Z+)、自然数集N(包含零)、不包含零的自然数集N*；4.集合相等如果两个集合A与B的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．5.集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合--空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程x2+1=0的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．6.空集我们把不含任何元素的集合，记作φ。
第01讲 集合旨在运算,正难则反补集法-解析版-高考数学二轮复习
第01讲 集合旨在运算，正难则反补集法典型例题【例1】已知集合 {}2(,)|20,{()|10A x y x mx y B x y x y =+-+==⋅-+=且0x 2}. 若 A B ⋂≠∅, 求实数m 的取值范围. 【解析】【解法1】由 220,10(02)x mx y x y x ⎧+-+=⎨-+=⎩ 消去 y , 得 2(1)10x m x +-+=. （1）∵,A B ⋂≠∅∴ 方程(1)在区间 [0,2] 上至少有一个实数解. 首先, 由 2(1)40m ∆=--, 得 3m 或 1m -.设方程（1）的两个实数根为 12,x x . 当 3m 时, 由 12(1)0x x m +=--< 及1210x x =>知方程（1）只有负根,不符合要求;当 1m - 时,由 12(1)0x x m +=--> 及 1210x x => 知,方程(1)只有正根, 且必有一根在区间 [0,1] 内, 从而方程(1)至少有一个根在 [0,2] 内,综上,实数 m 的取值范围是(,1]-∞-.【解法2】问题等价于方程组 221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩ 在 [0,2] 上有解, 即2(1)10x m x +-+= 在 [0,2] 上有解.令 2()(1)1f x x m x =+-+, 则由 (0)1f = 知抛物线 ()y f x = 过点 (0,1). ∴ 抛物线 ()y f x = 在 [0,2] 上与 x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+或 22(1)40102,2(2)22(1)10m m f m ⎧∆=--⎪-⎪<<⎨⎪=+-+>⎪⎩解(1)得 32m -, 解(2)得 312m -<-. 综上所述,实数 m 的取值范围为 (,1]-∞-.【例2】设集合{}22(,)|(2)40,{(,)|||||}A x y x a x y a B x y y b x =-++==, 若对任 意实数a , 均有 A B ⊆, 则实数b 的最大值为 【解析】【解法1】当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y||b x 成立, 则 b ∈R .当 0a ≠ 时, ()221(,)|24A x y y x ax a a ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭. ()221,24||A B x ax a b x a⊆∴-+I 当 0x = 时, b ∈R ; II 当 0x ≠ 时, 42x a ba x+-. 422,2x a b a x+-∴ 综上, b 的最大值为 2.【解法2】当 0a ≠ 时, (,)|||||y x B x y b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 22(,)|4y x x A x y a a a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭依题意可知, 当直线 y bx = 与抛物线 224y x x =-+相切时,2b =, 切点为 (2, 4). 当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y ||b x 成立, 则 b ∈R .∴b 的最大值为 2.【解法3】以 a 为主元, 原方程整理为 224(2)0a x y a x -++=.由 a ∈R 得 22(2)160x y x ∆=+-.∴(6)(2)0x y x y +-+ 当 0x ≠ 时, 有 620y y x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 解得 2y x 或 6.2y yx x-∴. 当 0x = 时,b ∈R .综上, b 的最大值为 2.【例3】试求实数 k 的取值范围,使抛物线2y x =的所有弦都不能被直线 (3)y k x =-垂直平分. 【解析】【解法1】设抛物线 2y x = 上两点 ()()221122,,,A x x B x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, AB 的中点为 ()00,P x y ,则 22121200,22x x x x x y ++==. 由题设知 2212121x x x x k-=--. ∴12122x x k +=-, 且 AB 的中点 ()00,P x y 在直线 (3)y k x =- 上. ∴221212613222x x x x k k +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 因此中点 161,22k P k+⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于点 P 在 2y x > 的区域内, ∴261122k k +⎛⎫->- ⎪⎝⎭.整理得 ()2(21)6210k k k +-+<, 解得 12k <-, 因此当 12k <-时,抛物线 2y x = 上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称. ∴ 当 12k - 时,抛物线 2y x = 上不存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称, 故实 数 k 的取值范围为 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设抛物线上的两点 ()()221122,,,x x x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, 依题意知, 221121222221(3)221x x x x x x x x k k ⎧⎪⎪⎨-⎪=-⎪+-=⎩+- ,()2212121261x x k x x x x k ⎧+=+-⎪⇒⎨+=-⎪⎩消去 2x , 由此可得2112212610x x k k k++++=. 于是,由 22218610k k k ⎛⎫⎛⎫∆=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 得 12k <-, 此时,抛物线上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称.从而所有弦不能被直线垂直平分的 k 的取值范围是 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 强化训练1. 设 ,a b 是两个实数.集合 {(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z . 集合 {}2(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z . 集合 {}22(,)|144C x y x y =+.是平面 xOy 内的点集,试问是否存在实数 a b 、 能同时满足如下两个条件: 【解析】【解法1】(1) ;(2)(,)A B a b C ⋂≠∅∈.假设存在,a b 使得关于 ,m n 的方程组 2,315n m na b m =⎧⎨+=+⎩至少有一组整数解. 可知点 (),P a b 在直线 ()23150nx y n +-+= 上, 原点 ()0,0O 到此直线的距离为2231122312n d n ++===+=,当 23n = 时等号成立. 但 2,3,12,12n n d OP ∈∴≠∴>∴=>Z .即 22144a b +> 与 22144a b+ 矛盾.故不存在 ,a b ∈Z 能使题中的两个条件同时成立, 即满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法2】假设存在实数 ,a b 同时满足题中的两个条件,则必存在整数 n , 使 ()23150n an b -+-=,于是它的判别式 ()2Δ()12150a b =---, 即 ()21215ab -.又由 22144a b+,得 22144a b -.由此可得 ()21215144b b --, 即 2(6)0b -, 故 6b =.代人上述解 ()21215ab - 及 22144a b -, 得 2108.63a a =∴=±将 3,6a b =±= 代人方程 23150n an b -+-=, 求得 3n =Z .∴ 满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法3】假设存在实数 a b 、 同时满足题意中的两个条件, 即有 222315144,na b n a b ⎧+=+⎨+⎩ 消去 b , 得()()()22222123153151440n a n n a n +-+++-()()()()()2222222Δ2315413151443630n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=--<∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Z又210,n +>∴ 关于 a 的二次不等式无解. ∴ 这样的 a b 、 不存在.2. 集合 A 中的元素个数用符昊 card()A 表示,设 {}22|(ln )ln 0,A x x mx x N =+> 为自 然数集. 若 card()3A N ⋂=, 则实数 m 的取值范围是 【解析】【解法1】由题意,当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故 22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解. 此时, 2ln 0x mx +> 等价于 2ln xm x>- 存在 3 个大于 1 的 整数解.令 ()2ln x f x x =-, 由于 ()32ln 1x f x x -=', 故 ()f x 在 (e 上单调递减,在)∞+ 上单调递增.由答图 11- 知, ()()45f m f <, 即 ln4ln51625m -<-. 解得 ln2ln5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.【解法2】由题意, 当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解.此时, 2ln 0x mx +> 等价于 ln xmx x>-存在 3 个大于 1 的整 数解令ln (),()xf x mxg x x==-，如答图1–2所示,易知 (4)(4)(5)(5)f g f g >⎧⎨⎩，解得ln 2ln 5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.。
第01讲 集合(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练(全国通用版)
第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）AA A =，A ∅=∅，AB B A =． （2）AA A =，A A ∅=，AB B A =． （3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆． （4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( )4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M x x x =+=∣，则1M -∈.( ) 5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( )二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ）A ．{}1,2,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}13．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}13x x << B ．{}12x x << C ．{}3x x ≥ D ．{}2x x ≥4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() U A B ⋂D ．(U A B )高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．124．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．96．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．16B ．18C ．14D ．8高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃= 2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__.3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；5．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-. （1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ） A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|11}x x -<≤C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x -<≤3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()A B =R （ ） A ．[]3,4 B ．[]1,4 C ．[)1,3 D ．[)3,+∞4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ）A ．(]0,2B ．()2,eC ．()0,2D ．[)1,e -5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.7．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A__________.高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂B ．()U B AC ．()U A BD ．()U A B2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB x x x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}x x <<∣ 3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂D ．()U M P S ⋂⋃4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()U A B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A ．[0,1](2,)+∞B ．[0,1)(2,)⋃+∞C ．[0,1]D ．[0,2]3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．94．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．165．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}22．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,53．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3MN =，则a 的值是（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．14．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4} 5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =（ ） A ．{3} B ．{1,6} C ．{5,6} D ．{1,3} 6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x ≤<7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．±14．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B x x A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．165．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ） A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3 8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ）A ．{-2，-1，0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________.10．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________.12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
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第一讲 集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1） （2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3） （4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。
总复习《第01讲 集合的概念与运算》
设A={1，2}，B={0，2}，则 A B 的 所有元素之和为 .
高中数学总复习
第1讲 集合的概念与运算
浙江省嵊州长乐中学
一.概念的理解
集合符号
A x p ( x)
yx
. .
的理解.
研究对象
对象满足的条件
例题1.已知A={y| 则A∩B= 变式1.若A={(x,y)| 则A∩B= 变式2.若A={ y| y 则A∩B=
}, B={y| y
x
},
y x }, B={(x,y)| y x }, x
二.重视空集的“参与”.
例题3. 作业第10题(2)和第7题.
A= 3,5
B x ax 1 0
问题1. 集合B有几个元素？
问题2. 满足
B A 的集合B有几种情况？
三.集合创新题.
例题4. 定义集合运算：
A B z z xy, x A, y B
}, B={ x| 合符号
A x p ( x)
x y
的理解.
研究对象
对象满足的条件
例题2. 讲义P2例1（2）.
x
y
0
1 1
2 2 1
0
0
1 2
1 0
2 1 0
一.概念的理解
2. 子集、真子集和空集.
(1) A中有n个元素： A的子集有 2n 个； A的真子集有 2n-1 个； A的非空真子集有 2n-2 个； (2) 空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
微积分学 P.P.t 标准课件01-第1讲集合与映射
注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得 重复出现.
例1 A = { 1, 2, 3, }; B = {东,南,西,北 }; G = { ( x, y ) | x 2 + y 2 = 1} ( xy 平面上的单位圆周 ); H = { 1, 1 } = { x | x 2 1 = 0 }.
如果有限集 A 含有n 个元素,则它的幂集 2 A 含有 2 n 项. 空集是任何一个非空集合的幂集的元素:
A ≠ ,则 2 A.
二,集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述上的方便,我们常常用记号 或 X 来表示所考虑的某种对象(元素)的全体所构 成的集合,称之为全集.
在wen图中,用矩形表示全集.
设有集合 A,B,C 及全集 ,则 交换律:
A ∪ B = B∪ A A ∩ B = B∩ A
结合律:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
分配律:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
对偶律:
A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B
幂等律:
A∪A =A
A∩A =A
吸收律:
A ∪ ( A ∩ B) = A
A ∩ ( A ∪ B) = A
= A
A∩ =
A∪A =
A∩A =
(A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C)
O
a
[
x (+∞)
(5) 区间长度
有限区间的长度 = 右端点值-左端点值
不论是闭区间,开区间,半开闭区间, 其长度计算均按此式进行.
中职数学第一抡复习讲义第01章 集合与不等式
答案（1）1.
（2）-3.
.
.
第二节 集合与集合的关系
知识清单
（一）集合的关系
1.子集
（1）定义：对于两个集合A与B，如果集合A中所有元素都
在集合B中，则称集合A为集合B的子集，记作
A⊆ B （或B⊇A）.
（2）性质：
①A ⊆ A.
②Φ ⊆ A.（空集是任何集合的子集）
C. = 2 + 1, ∈ D. = 2 − 1, ∈
答案 D
【点评】N表示自然数，Z表示正数，奇数为不能
被2整除的整数.
知识点3：集合的表示方法（描述法）
6.(1)若2∈ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是___.
(2)若4 ∉ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是
中职数学知识点通关秘籍
第一章 集合与不等式
第一节 集合的表示
第二节 集合的关系及运算
第三节 充要条件
第四节 不等式的性质及区间
第五节 一元二次不等式的解法
第六节 含绝对值的不等式的解法
第一节 集合的表示
知识清单
1.
（1）定义：由某些确定的对象组成的总体称为集合，常用
大写英文字母A，B，C，…表示.其中，组成集
③若A ⊆ B，B ⊆ C，则A ⊆ C.
④含有n个元素的集合子集的个数为 个，其中真子集的个
数为 -1个.非空真子集个数为 -2个。
2.相等集合
如果Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊇B，且B ⊇A，则称集合A与B相等，记作 = .
注意:若两个集合相等，则两个集合所含元素相同.
3.真子集
第01讲 集合的概念 2024-2025年新高一暑假自学课(学生版)
第01讲集合的概念1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用.元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.元素与集合的关系若是集合的元素，则称属于集合，记作∈；若不是集合的元素，则称不属于集合，记作∉.常用数集自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作∗或+；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作.集合的分类有限集，无限集，空集∅.集合的表示方法①列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：{∈Uop}.【题型一】集合的概念相关知识点讲解1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母s s m表示；(2)s s…表示.比如：四十个学生组成的高一(1)班中，班级就是个集合，每个学生就是其中的元素.2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合={1，2，V，就意味≠1且≠2.③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}.【典题1】(多选)下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1，0，5，12，32，64，7个元素变式练习1.下列对象中不能构成一个集合的是()A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形2.(23-24高一上·天津南开·期中)下列给出的对象能构成集合的有()①某校2023年入学的全体高一年级新生；②2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3−10<0的所有正整数解A．1个B．2个C．3个D．4个3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形4.(23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习)下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近5的所有实数B．所有的正方形C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4【题型二】元素与集合间的关系相关知识点讲解1常用数集自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作∗或+；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作.2元素与集合的关系若是集合的元素，则称属于集合，记作∈；若不是集合的元素，则称不属于集合，记作∉.Eg：菱形∈{平行四边形}，0∈，0∉{1，2，3，4}.【典题1】(多选)(23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习)已知s s为非零实数，成的集合A，下列判断正确的是()A．−2∈B．0∉C．−4∈D．4∈【典题2】(23-24高一下·安徽安庆·开学考试)已知实数集满足条件:若∈，则1+1−∈，则集合中所有元素的乘积为()A．1B．−1C．±1D．与的取值有关变式练习1.(2022高一上·全国·专题练习)下列关系中，正确的个数为()①5∈R；②13∈Q；③0=∅；④0∉N；⑤π∈Q；⑥−3∈Z.A．6B．5C．4D．32.(2023·河南驻马店·一模)已知集合=+1=0，那么下列结论正确的是()A．0∈B．1∈C．−1∉D．0∉3.已知集合=4,s2，=−2,2,1−，若=，则实数x的取值集合为()A．{−1,0,2}B．{−2,2}C．−1,0,2D．{−2,1,2}4.(多选)(2024·全国·模拟预测)非空集合A具有如下性质：①若s∈，则∈；②若s∈，则+∈下列判断中，正确的有()A．−1∉B．20222023∈C．若s∈，则B∈D．若s∈，则−∈5.设关于的不等式B2−2+≤0的解集为，若0∈且−1∉，则的取值范围是.【题型三】集合互异性的应用相关知识点讲解互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.Eg：若集合={1，2，V，就意味≠1且≠2.【典题1】(多选)已知集合=−2,22+5,1+2，−3∈，则a的值为().A．−1B．−32C．1D．−2变式练习1.(23-24高三下·山东青岛·开学考试)已知∈1,2,2，则的取值为()A．1B．1或2C．0或2D．0或1或22.(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知集合=−1,2−2+1,−4，若4∈，则a的值可能为()A．−1，3B．−1C．−1，3，8D．−1，83.(2024高三·全国·专题练习)已知集合=0,s2−3+2，且2∈，则实数为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3【题型四】集合的表示方法角度1列举法相关知识点讲解把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.Eg：11以内偶数的集合为{2,4,6,8,10}；一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合为{(1,2)}．【典题1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．变式练习1.用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于−3.5小于12.8的整数的全体；(3)方程2−1+2+1=0的解集；(4)方程−1−2=0的解集；角度2描述法相关知识点讲解用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：{∈Uop}.用符号描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.(3)Eg集合元素化简结果{U2−−2=0}方程2−−2=0的解{−1,2}{U2−−2<0}不等式2−−2<0的解集{U−1<<2}{U=2−−2}函数=2−−2中取值范围(定义域){U=2−−2}函数=2−−2中取值范围(值域){U>−94}{(s p|=2−−2}函数=2−−2的图像上的点----看集合先看元素类型.【典题1】(多选)已知集合=∈∈s−9≤≤9，则满足A中有8个元素的m的值可能为() A．6B．−6C．9D．−9【典题2】(多选)已知集合==3−1,∈，==3+1,∈，==3s∈，且∈，∈，∈，则()A．2∈B．2∈C．+∈D．+∈变式练习1.设集合={−1,1,2}，集合={U∈且2−∉V，则=()A．{1}B．{2}C．{−1,2}D．{1,2}2.若集合=−2,1,4,8，=−2∣∈s∈，则中元素的最大值为()A．4B．5C．7D．103.(22-23高一下·江苏苏州·开学考试)集合s+≤6,s∈N∗中的元素个数为()A．1B．3C．4D．64.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合=UB2−3+2=0,∈，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足()A．=0B．≥98C．=0或≥98D．不确定5.(多选)已知集合==2−1,∈，==2s∈，且1,2∈，3∈，则下列判断正确的是()A．12∈B．23∈C．1+2∈D．1+2+3∈6.(多选)对于集合==2−2,∈s∈.给出如下结论，其中正确的结论是() A．如果1∈，2∈，那么12∈B．如果1∈，2∈，那么1+2∈C．如果==2+1,∈.那么⊆D．若==2s∈.对于∀∈，则有∈【A组---基础题】1.下列说法正确的是()A．0与0的意义相同B．某市文明市民可以组成一个集合C．集合=s+=2,∈N是无限集D．方程2+2+1=0的解集有二个元素2.由2,2−s4组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值不可以是()A．−1B．2C．3D．63.(23-24高一上·上海·期末)数集={U=2−1,∈V，={U=2s∈V，={U=4−1,∈Z}，若∈，∈，则+∈()A．B．C．D．A，，都有可能4.集合=63−∈Z∈N*，用列举法可以表示为5.已知集合={0,1,2},={(,p|∈,∈,−∈V，则集合B中有个元素．6.设数集由实数构成，且满足：若∈o≠1且≠0)，则11−∈.(1)若2∈，试证明中还有另外两个元素；(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.7.已知n元有限集=1,2,3,⋯,(≥2，∈Z)，若1+2+3+⋯+=1×2×3×⋯×，则称集合A为“n元和谐集”.(1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；(2)若正数集=1,2是“二元和谐集”，试证明：元素1，2中至少有一个大于2；(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.【B组---提高题】1.若=b=2+s∈s∈，则下列结论中正确结论的个数为()∈；②若1,2∈，则1+2∈；③若1,2∈且2≠0，则12∈；④存在∈且∉，满足−2022∈.A．2B．3C．4D．52.(2024·辽宁丹东·一模)若2−80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为．3.已知非空集合⊆．用表示集合中元素的个数．设==+s∈s∈且≠，= =−s∈s∈且>．(1)若=1,2,3，直接写出s以及,,的值．(2)若=4，求+的取值范围．4.已知集合A是由元素x组成的，其中=+2，m，∈．(1)设1=2=9−42，3=1−322，试判断1,2，3与A之间的关系；(2)任取1,2∈，试判断1+2，12与A之间的关系．11。
第01讲 集合的概念(基础训练)高一数学考点专项训练(人教A版2019必修第一册)
第01讲 集合的概念【基础训练】一、单选题1．已知集合{}20M xx x =+=∣，则（ ） A ．{}0M ∈B ．M ∅∈C ．1M -∉D ．1M -∈ 【答案】D【分析】先求得集合M ，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.【详解】 因为集合{}{}2001M xx x =+==-∣，，所以1M -∈， 故选：D.2．下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1}C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D3．下面有四个语句:∈集合N *中最小的数是0;∈-a ∈N ，则a ∈N ;∈a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2;∈x 2+1=2x 的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据题意依次判断即可.【详解】因为N*是不含0的自然数，所以∈错误;取a N，∈N，所以∈错误;对于∈，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以∈错误;对于∈，解集中只含有元素1，故∈错误.故选：A4．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（）A．0B．2019C．1D．0或2019【答案】C【分析】根据集合的元素互异性判断即可.【详解】若集合M中有两个元素，则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.故选：C.5．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数 相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B6．下列说法正确的是（ ）A ．所有著名的作家可以形成一个集合B ．0与 {}0的意义相同C ．集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素【答案】D【分析】根据集合的相关概念逐项分析即可.【详解】所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A 错误；0可以表示一元素，{}0表示的是集合，故B 错误； 集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故C 错误； 由2210x x ++=得1x =-，则方程的解集为{1},- 故D 正确.故选：D.7．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）A ．0N ∈B ．0Z ∈C ．32Q ∈D ．Q π∈ 【答案】D【分析】根据元素与集合的关系直接判断即可.【详解】根据元素与集合的关系可得0N ∈，0Z ∈，32Q ∈，Q π∉，故D 不正确，符合题意. 故选：D.8．已知集合A ={2,2,2a a -}，1A ∈，则a 等于（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或12【答案】D【分析】 根据属于的定义，结合代入法和集合元互异性进行求解即可.【详解】因为1A ∈，所以21a =或21a =，当21a =时，解得1a =或1a =-，当1a =时，此时集合{}1,2,2A =-，符合集合元互异性，当1a =-时，22a =-，不符合集合元互异性，当2=1a 时，12a =，此时1,2,14A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合集合元互异性， 所以a 等于1或12， 故选：D9．集合{}2|60?M x x x =--=，则以下错误的是（ ） A ．－2∈MB ．3∈MC ．M ={－2，3}D ．M ＝－2，3【答案】D【分析】 解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断.【详解】{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈. ∴A 、B 、C 正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D.10．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）A ．2007年所有的欧盟国家B ．校园中长的高大的树木C ．学校篮球水平较高的学生D ．中国经济发达的城市【答案】A【分析】根据集合元素的确定性进行判断即可.【详解】A ：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B ：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C ：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D ：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A11．下列各组对象：∈接近于0的数的全体；∈比较小的正整数全体；∈平面上到点O 的距离等于1的点的全体；∈正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组 【答案】A【分析】根据集合元素满足确定性可判断∈∈∈∈∈中的对象能否构成集合，即可得出结论.【详解】∈“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；∈“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；∈“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；∈“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；”不确定，不能构成集合；故∈∈正确.故选：A.12．设A ＝{y |y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m ∈A ，则必有（ ）A ．m ∈{正有理数}B ．m ∈{负有理数}C ．m ∈{正实数}D ．m ∈{负实数} 【答案】D【分析】求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果【详解】 解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-，所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭； ∈若m ∈A ，则m ＜0，所以m ∈{负实数}.故选：D.13．(){}2414M x R kx k =∈+≤+，对任意的k ∈R ，总有（ ） A ．2,0M M ∉∉B ．2,0M M ∈∈C ．2,0M M ∈∉D ．2,0M M ∉∈ 【答案】B【分析】依次将0x =和2x =代入讨论求解即可得答案.【详解】解：将0x =代入得440k +≥显然成立，故0M ∈将2x =代入不等式得42422k k +≥+，即()22110k +≥﹣ ，显然成立，∈2M ∈；所以2,0M M ∈∈故选：B .14．能够组成集合的是（ ）A ．与2非常数接近的全体实数B ．很著名的科学家的全体C ．某教室内的全体桌子D ．与无理数π相差很小的数【答案】C【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∈不能构成集合；B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∈不能构成集合；C.某教室内的桌子是确定的，∈可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∈不能构成集合.故选：C.15．下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程x 2﹣2x +1=0的解集是{1，1}D ．偶数集为{x |x =2k ，x ∈N }【答案】B【分析】根据集合中元素的特征进行判断即可，对于A ，由于0不是质数，从而可得结论；对于B ，由集合元素的确定性判断即可；对于C ，由集合中元素的互异性判断；对于D ，由于偶数中也包含负偶数，所以可判断其正误【详解】解：10以内的质数集合是{2，3，5，7}，故选项A 不正确；“个子较高的人”不能构成集合，“个子较高的人”不满足集合的确定性，故选项B 正确；方程x 2﹣2x +1=0的解集是{1，1}，不满足集合的互异性，故选项C 不正确；偶数集为{x |x =2k ，k ∈Z }，故选项D 不正确.故选：B.16．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【分析】求出集合B ，由此可得出结果.【详解】因为集合{}1,2,3A =，所以，集合{}{},,2,3,4,5,6B z z x y x A y A ==+∈∈=，因此，集合B 中的元素个数为5.故选：B.17．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．2020年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数【分析】根据集合中元素的三要素判断．【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.故选：B18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由集合元素的互异性可得解.【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.19．在2N,0N ,5Q Z +-∈∈-∈中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据数集的表示方法，逐个判定，即可求解.【详解】由数集的表示方法知N 为自然数集，N +为正整数集，Q 为有理数集，可得2N -∈，0N +∈Q 不正确；5Z -∈正确；故选：A.20．方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．(){}1,2-D ．(){}2,1-【分析】利用代入法和消元法即可求解.【详解】149x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，两式相加可得510x =，所以2x =，将2x =代入1x y +=可得1y =-，所以21x y =⎧⎨=-⎩，所以方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是(){}2,1-，故选：D21．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果.【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-；当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.22．设集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，C ={x +y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】直接求出集合C 即可.集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，C ={x +y |x ∈A ，y ∈B }，所以C ={5，6，7,8}.即C 中元素的个数为4.故选：B.23．设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 由,A B 中元素求出x y +，重复的不另算，即可得．【详解】,x A y B ∈∈时，x y +的值依次为5,6,6,7,7,8，有4个不同值，即{5,6,7,8}C =，因此C 中有4个元素． 故选：B ．24．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1} 【答案】D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：∈当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；∈当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =， 综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．25．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解. 【详解】因为集合{}1,2A =，{}2,4B =， 所以集合{}2,4,8M =， 故选：C26．下列命题中正确的（ ） ∈0与{0}表示同一个集合；∈由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有∈和∈ B ．只有∈和∈ C ．只有∈ D ．以上语句都不对【答案】C 【分析】由集合的表示方法判断∈，∈；由集合中元素的特点判断∈，∈． 【详解】∈{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误； ∈符合集合中元素的无序性，正确； ∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .27．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中； （1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】将x a =+1）、（2）、（3）中，化简并判断,p q 与,a b 是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】对于（1），由2(a p +=+2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=对于（2）2ab p =+=+,2a p d q ==，一一对应，则{|}y y x X X =∈=对于（3）222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭2222,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x=∈=对于（4），1X -，但方程21x -=无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同 故选：B 28．设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据不等式的特征用列举法表示集合A 进行求解即可. 【详解】因为x ∈Z ，所以当0x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0,1y =±； 当1x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =； 当1x =-时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =，当x ∈Z ，1x >时，由1,x y y Z +≤∈可知：不存在整数y 使该不等式成立， 所以{}(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),(1,0)A =--, 因此A 中元素的个数为5. 故选：C29．由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（ ）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】把2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，x ，2x ，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当0x ≠时所含元素最多，此时2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，所以由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B30．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【分析】根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果. 【详解】224x y +≤24x ∴≤， x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =； 当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，2,1,0,1,2y =-- 当1x =时，1,0,1y =-； 当2x =时，0y =； 所以共有13个， 故选：C.31．下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用集合的定义和特点逐一判断即可.【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若1aa，则a2＝1，∈a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．故选：C32．下列集合中不同于另外三个集合的是（）A．{x|x＝1}B．{x|x﹣1＝0}C．{x＝1}D．{1}【答案】C【分析】由集合的表示方法可选出答案.【详解】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；∈C中的集合不同于另外3个集合．故选：C33．下列说法中正确的是（）A．班上爱好足球的同学，可以组成集合B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}C．集合{1，2，3，4}是有限集D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合【分析】根据构成集合中对象的确定性判断A ，由集合中元素的互异性判断B ，根据集合有限集的定义判断C ，分析集合中元素判断D. 【详解】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A 不正确；方程x （x ﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B 不正确； 集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C 正确；集合{x 2+5x +6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D 不正确． 故选：C ．34．集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8,B y y A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【分析】先求得集合A ，再由已知求得集合B ，由此可得选项． 【详解】由已知得2*{|70,}A x x x x N =-<∈{}1,2,3,4,5,6=，又*8,B yy A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣{}1,2,4=，所以*8,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为3个．故选：C.35．非空集合A 具有下列性质：∈若,x y A ∈，则xA y∈；∈若,x y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉（2）20202021A ∈（3）若,x y A ∈，则xy A ∈（4）若,x y A ∈，则x y A -∉ A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【答案】C假设1A -∈，推出矛盾，可判断（1）正确；推导出1A ∈，进而可推导出n N *∀∈，n A ∈，由此可判断（2）的正误；推导出1A y∈，结合∈可判断（3）的正误；若x 、y A ，假设x y A -∈，推出0A ∈，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于（1），若1A -∈，则111A -=-∈，因此110A -+=∈；而对于1x A =-∈，0y A =∈时，1-显然无意义，不满足xA y∈，所以1A -∉，故（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、y A ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给集合的性质，结合性质，确定集合中元素的特征，利用元素与集合之间的关系，结合选项，逐项求解即可. 36．下列说法正确的是（ ）A330y +=的解集是1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．方程260x x --=的解集为{(-2，3)}C ．集合M ={y |y =x 2+1，x ∈R }与集合P ={(x ，y )|y =x 2+1，x ∈R }表示同一个集合D ．方程组2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解集是{(x ，y )|x =-1且y =2}【答案】D 【分析】根据集合表示方法依次判断即可. 【详解】对于A 330y +=的解集是1,12⎧⎫⎛⎫-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，故A 错误；对于B ，方程260x x --=的解集为{}2,3-，故B 错误；对于C ，集合M 表示数集，集合N 表示点集，故不是同一集合，故C 错误；对于D ，由2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得1,2x y =-=，故解集为{(x ，y )|x =-1且y =2}，故D 正确.故选：D.37．方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}2,3x y ==B ．{}2,3C ．(){}2,3D ．23x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【分析】首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集； 【详解】 解：因为5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩ 所以方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为(){}2,3故选：C38．已知集合{}1,2,3,,4A a A =∈，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】{}1,2,3,,4A a A =∈,4a ∴=故选：D39．若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．14B ．0C ．4D ．0或14【答案】D 【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合{}210x ax x -+=中只有一个元素可求得实数a 的值. 【详解】当0a =时，{}{}{}210101x ax x x x -+==-==，合乎题意；当0a ≠时，关于x 的方程210ax x -+=有两个相等的实根，则140a ∆=-=，解得14a =. 综上所述，0a =或14. 故选：D.40．下列叙述正确的是（ ）．A ．方程2210x x -+=的根构成的集合为{}1,1-B ．{}22401030x x R x x R x ⎧⎫+>⎧∈+==∈⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭C ．集合(){,5M x y x y =+=且}20x y -=表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是不同的集合 【答案】B 【分析】解出2210x x -+=、520x y x y +=⎧⎨-=⎩可判断AC 的正误，由集合的无序性可得D 的正误，{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，可得B 的正误. 【详解】方程2210x x -+=的根为1x =，故A 错误；{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，故B 正确； 由520x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得53103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 错误；集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是相同的集合，故D 错误 故选：B二、多选题 41．已知集合{}22133A a aa =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2-【答案】ABD 【分析】由已知条件可得出关于实数a 的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数a 的值. 【详解】 已知集合{}22133A a aa =+++,,且1A ∈，则11a +=或2331a a ++=，解得0a =或1a =-或2a =-. 若0a =，则{}2,1,3A =，合乎题意； 若1a =-，则{}2,0,1A =，合乎题意； 若2a =-，则{}2,1,1A =-，合乎题意.综上所述，0a =或1a =-或2a =-. 故选：ABD.42．由实数0、x 、x -、x ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AC 【分析】分0x =，0x >，0x <三种情况讨论,,|x x x -求得集合中元素的最多个数. 【详解】||x =，||x =-，故当0x =时，这几个实数均为0，含有元素的个数为1个； 当0x >时，它们分别是0,,,,,x x x x x --，含有元素的个数为3个； 当0x <时，它们分别是0,,,,,x x x x x ---.，含有元素的个数为3个； 故选：AC 【点睛】解题关键在于根据元素的互异性进行分类讨论即可，属于基础题43．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（ ） A ．数域必含有0，1两个数； B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集． 【答案】AD 【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可． 【详解】数集P 有两个元素m ，N ，则一定有m －m ＝0，mm＝1(设m ≠0)，A 正确；因为1∈Z ，2∈Z ，12Z ∉，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M Q =⋃，则1M ∈，但1M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确．故选：AD44．下面表示同一个集合的是（ ）A ．{}2|10,,P x x x R Q =+=∈=∅ B ．{2,5},{5,2}P Q ==C ．{(2,5)},{(5,2)}P Q ==D ．{|21,},{|21,}P x x m m Z Q x x m m Z ==+∈==-∈【答案】ABD【分析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可.【详解】A 选项中，集合P 中方程210x +=无实数根，故P Q ==∅，表示同一个集合；B 选项中，集合P 中有两个元素2，5，集合Q 中页有两个元素2，5，表示同一个集合；C 选项中，集合P 中有一个元素是点(2,5)，集合 Q 中有一个元素是点(5,2)，元素不同，不是同一集合；D 选项中，集合{|21,}P x x m m Z ==+∈表示所有奇数构成的集合，集合{|21,}Q x x m m Z ==-∈也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合.故选：ABD.45．已知全集U =R ，集合A 、B 满足A B ，则下列选项正确的有（ ） A ．A B B = B ．A B B ⋃= C ．U A B D ．()U A B =∅【答案】BD【分析】根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意得，集合U 、A 、B 关系如图所示：全集U =R ，集合A 、B 满足A B ， 则A B A =，A B B ⋃=，()U A B ≠∅，()U A B =∅．故选：BD ．三、填空题46．定义集合运算(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得0,6,12=z ，进而可得结果.【详解】当0,2,0==∴=x y z当1,2,6==∴=x y z当0,3,0==∴=x y z当1,3,12==∴=x y z和为0+6+12=18故答案为：1847．集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________【答案】0，2或18【分析】集合A 是单元素集合，即方程只有一个根，分0a =和0a ≠两种情况，求出实数a 即可．【详解】当0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，令()2680a a ∆=--=，即220360a a -+=，解得2a =或18故答案为：0，2或1848．集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}-【分析】 由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】 由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ，当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意；当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.49．已知{}21,2,x x ∈，则x 的值为__________． 【答案】0或2【分析】根据{}21,2,x x ∈，由1x =，2x =，2x x =， 并利用集合的特性判断求解. 【详解】 因为{}21,2,x x ∈，所以当1x =时，集合为 {}1,2,1不成立；当 2x =时，集合为 {}1,2,4，成立；当 2x x =时，解得 1x =（舍去）或0x =，若0x =，则集合为{}1,2,0，成立.所以x 的值为0或2故答案为：0或250．已知{}20,,A a a =，若1A ∈，则实数a 的值是______． 【答案】1-【分析】利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．【详解】1A ∈，1a 或21a =，当1a =时，21a =，则{0,1,1}A =，不满足集合的互异性，舍去．当21a =时，解得：1a =-，1a =（舍去），此时{0,1,1}A =-符合题意．故答案为：1-51．{}2,A y y x a x R ==+∈，1A ∈，则a 的取值范围_________；{}2(,),A x y y x a x R ==+∈，(1,2)A ∈，则a =____．【答案】(],1-∞ 1【分析】由1A ∈得21x a +=即可求a 范围，由(1,2)A ∈得221a =+可求a 值.【详解】∈由1A ∈得22111x a a x +=⇒=-≤；∈由(1,2)A ∈得2211a a =+⇒=故答案为：(],1-∞；152．设直线23y x =+上的点集为P ，则P ＝__________．点（2，7）与P 的关系为（2，7）___P ．【答案】(){},23x y y x =+ ∈【分析】(){},23P x y y x ==+，然后判断点()2,7适不适合方程23y x =+即可得到答案.【详解】 点用（x ，y ）表示，(){},23x y y x =+指在直线23y x =+上的所有的点的集合， 即(){},23P x y y x ==+而点（2，7）适合方程y ＝2x +3∈点（2，7）在直线上，从而点属于集合P故答案为：(){},23x y y x =+；∈53．数列12:,,,(3),n A a a a n ≥令{},1,A i j T x x a a i j n ==+≤<≤()A card T 表示集合A T 中元素个数.（1）假设:A 1，3，5，7，9，那么()A card T =____________________；（2）假设1i i a a c +-=（c 为常数11i n ≤≤-），那么()A card T =____________________；【答案】7 1,(0)23,(0)c n c =⎧⎨-≠⎩（1）根据题意写出所有A T ,中的元素即可；（2）需要进行分类讨论，0c和0c ≠两种情况，结合等差数列性质即可求解； 【详解】（1）当:A 1，3，5，7，9，有5个数时，{}4,6,8,10,12,14,16AT =，故()7A card T =； （2）当0c 时，说明数列是常数列，则n a m =，m 为常数，则2i j a a m +=，故()=1A card T ； 当0c ≠时，假设数列首项为1，公差为1，则:1,2,A n ……，{}3,4,5,21A T n =-，()213123A card T n n =--+=-，利用类比推理可得，假设1i i a a c +-=（c 为常数11i n ≤≤-），那么()23A card T n =-；综上所述，1,(0)()23,(0)A c card T n c =⎧=⎨-≠⎩【点睛】本题考查数列与集合新定义结合的理解，学会利用数列研究集合中元素性质是关键，本题中采用的类比推理法，从特殊到一般，在处理复杂问题时，值得借鉴，属于中档题54．设{},10U x x N x +=∈≤，{A x x =为质数},x U ∈，{B x x =为奇数},x U ∈，则()U A B =_____；()()U U A B =__________ .【答案】{}4,6,8,10 {}4,6,8,10【分析】由题意可知，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，根据集合的运算，求解即可.【详解】{},10U x x N x +=∈≤ {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U ∴={A x x =为质数}{},2,3,5,7x U ∈=，{B x x =为奇数}{},1,3,5,7,9x U ∈={}1,2,3,5,7,9A B ∴=，{}U 1,4,6,8,9,10A =，{}U 2,4,6,8,10B = (){}U 4,6,8,10A B ∴=，()(){}U U 4,6,8,10A B =故答案为：{}4,6,8,10；{}4,6,8,10【点睛】本题考查集合的运算，注意()()()U U U A B A B =，()()()U U U A B A B =，属于较易题. 55．设全集{}2,3,23U a =-，{}2,A b =，{}5U C A =，则a =______________，b =______________.【答案】4 3【分析】根据{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，即可求解,a b 的值，得到答案. 【详解】由题意，全集{}2,3,23U a =-，集合{}2,A b =，因为{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，解得4,3a b ==. 故答案为：4,3a b ==.【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.五、解答题56．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∈A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.【分析】根据题意求依次求解即可.【详解】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 57．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.58．已知数列{}n a 中，1n a >，21log 3=a ，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记n a 所有可能取值的集合为n A ，其元素和为()*n S n N ∈． （1）证明2A 为单元素集，并用列举法写出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，设*k N ∈，归纳出21k A +，22k A +（只要求写出结果），并求21k S +，指出22k S +与21k S +的倍数关系．【答案】（1）证明见解析，{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =；（2）答案见解析. 【分析】（1）由1n a >，()12log 31,2a =∈，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得2A 为单元素集，进而可列举出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，归纳得21k A +，22k A +，并利用等比数列求和公式计算出21k S +，进而得出22k S +与21k S +的倍数关系．【详解】（1）证明：∈()12log 31,2a =∈，数列中任意相邻两项具有2倍关系，∈2112a a =或12a ． ∈1112a <，而1n a >，∈212a a =．∈{}212A a =为单元素集．由此，得{}311,4A a a =，{}4112,8A a a =， 则{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =．（2）由（1）的结果，归纳得{}211111,4,16,,4k k A a a a a +=⋅⋅⋅， {}2211112,8,32,,24k k A a a a a +=⋅⋅⋅⨯．112111111241414164log 333k k kk S a a a a a +++--=+++⋅⋅⋅+==， 因为21k A +中的每一个元素的两倍构成的集合等于22k A +，所以22212k k S S ++=．59．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值． 【答案】1a =-【分析】分a ＝0、a ﹣1＝0、a 2﹣1＝0三种情况讨论即可.【详解】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∈a ≠0；若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；∈a ＝﹣1．60．若集合A 中含有三个元素3a -，21a -，24a -，且3A -∈，求实数a 的值.【答案】0a =或1a =.【分析】由已知得33a -=-或213a -=-或243a -=-，解之可求得实数a 的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.【详解】∈若33a -=-，则0a =，此时{}3,1,4A =---，满足题意.∈若213a -=-，则1a =-，此时{}4,3,3A =---，不满足元素的互异性.∈若243a -=-，则1a =±.当1a =时，{}2,1,3A =--，满足题意；当1a =-时，由∈知不合题意. 综上可知0a =或1a =.61．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0}．（1）若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；（2）若A ∈B ＝A ，求实数a 的取值范围；（3）若U ＝R ，A ∩(∈U B )＝A ，求实数a 的取值范围．【答案】（1） －1或－3； （2） a ≤－3 ；（3） a <－3或－3<a <－11a <－1或－1<a <－1a >－1【分析】（1）根据题意可知2B ∈，将2代入方程222(1)50x a x a 求出a ，再求出集合B ，根据集合的运算结果验证a 的值即可.（2）根据题意可得B A ⊆，讨论B =∅或B ≠∅，利用判断式求出实数a 的取值范围即可.（3）根据题意可得A B ∅＝∩，讨论B =∅或B ≠∅，解方程组即可求解.【详解】由题意知A ＝{1，2}．（1）∈A ∩B ＝{2}，∈2∈B ，将x ＝2代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{2}，也满足条件．综上可得，a 的值为－1或－3.（2）∈A ∈B ＝A ，∈B ∈A .对于方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，∈当Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)<0，即a <－3时，B ＝∈，满足条件；∈当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；∈当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．综上可知，a 的取值范围是a ≤－3.（3）∈A ∩(∈U B )＝A ，∈A ∈∈U B ，∈A ∩B ＝∈.对于方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，∈当Δ<0，即a <－3时，B ＝∈，满足条件．∈当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，A ∩B ＝{2}，不满足条件．∈当Δ>0，即a >－3时，只需1∈B 且2∈B 即可．将x ＝2代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a ＝－1或a ＝－3；将x ＝1代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a ＝－∈a ≠－1，a ≠－3且a ≠－综上，a 的取值范围是a <－3或－3<a <－11a <－1或－1<a <－1a >－1 62．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若AB A =，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a >；（2）1a ≤-【分析】（1）由AB A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围； （2）由AB =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围. 【详解】（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-.63．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【答案】（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥【分析】（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.【详解】（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-.（2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.【点睛】易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.64．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(1x ≠且0x ≠)，则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.【分析】 （1）根据x A ∈，则11A x∈-，由2A ∈求解. （2）根据x A ∈，11A x ∈-，进行递推求解. 【详解】（1）∈若x A ∈，则11A x ∈-， 又∈2A ∈， ∈1112A =-∈-， ∈1A -∈，∈()11112A =-∈-，∈A 中另外两个元素分别为-1，12. （2）∈x A ∈，11A x∈-， ∈1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 所以集合A 中至少有3个元素，所以集合A 不是双元素集合.65．已知集合{}2210A x ax x =-+=.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A .【答案】（1）1a >；（2）答案见解析.【分析】（1）若A 是空集，则只需二次方程2210-+=ax x 无解，∆<0；（2）若A 为空集，当0a =时显然成立，当0a ≠时，只需0∆=.【详解】解：（1）若A 是空集，则关于x 的方程2210-+=ax x 没有实数解.当0a =时，12x =，不满足题意，所以0a ≠，且440a ∆=-<，所以1a >. （2）若A 中只有一个元素. ∈当0a =时，12x =，满足题意； ∈当0a ≠时，440a ∆=-=，所以1a =.综上所述，a 的集合为{}0,1.若0a =，则有12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若1a =，则有{}1A =.【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.66．已知集合A 中的元素1，4，a ，且实数a 满足2a A ∈，求实数a 的值.【答案】1,2--，2，0.【分析】由实数a 满足：2{1a ∈，4，}a ，得到21a =或24a =，或2a a =，结合互异性能求出实数a 的取值．【详解】因为实数a 满足2a A ∈，所以24a =或21a =或2a a =，解得2a =-或2a =或1a =-或1a =或0a =，当1a =时，集合A 中含有1，4，1，不合题意；当1a =-或2a =±或0a =时，满足题意.所以实数a 的值为1,2--，2，0.【点睛】本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题．67．已知集合{}24A x x =<<，()(){}30B x x a x a =--<．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（3）若{}34A B x x ⋂=<<，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）423aa ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）243a a a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或（3）{}3 【分析】 （1）先分0a =，0a >，0a <三种情况讨论分别得到集合B ，再对每一种情况列出要使A B ⊆成立的关于a 的不等式（组），求得实数a 的取值范围；（2）先分0a =，0a >，0a <三种情况讨论分别得到集合B ，再对每一种情况列出要使AB =∅成立的关于a 的不等式（组），求得实数a 的取值范围；（3）显然0a =时不满足，再分0a >时，需3a =且需满足34a ≥；0a <时，33a =且需满足4a ≥，从而得到实数a 的取值范围．【详解】（1）若A B ⊆，。
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高三新数学第一轮复习教案（讲座1）集 合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。
2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。
4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。
交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。
（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。
四．典例解析题型1：集合的概念例1．设集合},4121|{Z k k x x A ∈+==，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．A x ⊂}{解：由于4124121+=+k k 中12+k 只能取到所有的奇数，而41829=中18为偶数。
则A A ⊂∉}29{,29。
选项为D ；点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。
例2．设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P =QD ．P ∩Q =Q解：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立＝，对m 分类： ①m =0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0。
综合①②知m ≤0， ∴Q ={m ∈R |m ≤0}。
答案为A 。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。
集合Q 中含有参数m ，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质例3．（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．3 D ．4解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。
选项为A ；点评：该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集∅是任何非空集合的真子集。
同时，A 不是A 的真子集。
变式题：同时满足条件：①};5,4,3,2,1{⊆M ②若M a M a ∈∈－则6,，这样的集合M 有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M 有8个。
例4．已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。
解：∵}0{=A C S ；∴A S ∉∈00且，即322x x x --＝0，解得1230,1,2x x x ==-=当0=x 时，112=-x ，为A 中元素； 当1-=x 时，S x ∈=-312 当2x =时，213x S -=∈∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =。
另法：∵}0{=A C S ∴A S ∉∈00且，3A ∈ ∴322x x x --＝0且213x -= ∴1x =-或2x =。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当0=x 时，112=-x ”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号}0{=A C S 是两层含义：A S ∉∈00且。
变式题：已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值。
解：由B A =可知，（1）⎩⎨⎧=+=+22mq d m mq d m ，或（2）⎩⎨⎧=+=+mqd m mq d m 22解（1）得1=q ， 解（2）得21,1-==q q 或， 又因为当1=q 时，2mq mq m ==与题意不符， 所以，21-=q 。
题型3：集合的运算例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3}C ．｛x |1＜x ＜3}D ．｛x |2＜x ＜3}解：由对数函数的性质，且2>1，显然由1log 2>x 易得),2(+∞=B 。
从而)3,2(=⋂B A 。
故选项为D 。
点评：该题考察了不等式和集合交运算。
例6．（06安徽理，1）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。
点评：该题考察了集合的交、补运算。
题型4：图解法解集合问题例7．（2003上海春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _。
轴上覆盖关系：解：∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数如图所示，因此有a ≤－2。
点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）A ．I ＝A ∪B B ．I ＝（IC A ）∪B C ．I ＝A ∪（I C B ）D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ）解：方法一：I C A 中元素是非2的倍数的自然数，I C B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所以I C B ＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪I C B ，故答案为Ｃ.方法三：因B A ，所以（I C ）A （I C ）B ，（I C ）A ∩（I C B ）＝I C A ，故I ＝A ∪（I C A ）＝A ∪（I C B ）。
方法四：根据题意，我们画出Venn 图来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I =A ∪（I C B ）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5：集合的应用例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。