【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全书)同步练习全集 (史上最全版)
高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理
4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ， 则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )， 则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)． 答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ， 取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， 取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。
高中数学新湘教版选修2-2 直接证明：分析法与综合法
6．2直接证明与间接证明6．2.1 直接证明：分析法与综合法[读教材·填要点]综合法和分析法[小问题·大思维]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.[自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴ab ≤12.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4. 法二：∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 又∵a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·b a ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．保持例题条件不变，求证：4a ＋1b ≥9.证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋bb ＝4＋4b a ＋a b ＋1 ≥5＋24b a ·ab ＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b ＋1 ≥5＋24b a ·ab ＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B . 证明：∵a 2＝b (b ＋c )，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc ＝c －b 2b，cos 2B ＝2cos 2B －1＝2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2－1＝2⎝⎛⎭⎫b ＋c 2a 2－1＝(b ＋c )2－2b (b ＋c )2b (b ＋c )＝c －b 2b ，∴cos A ＝cos 2B .又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝2B .当a ＋b [自主解答] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论 成立．2．已知a >6，求证：a －3－a －4<a －5－a －6. 证明：法一：要证a －3－a －4<a －5－a －6， 只需证a －3＋a －6<a －5＋a －4 ⇐(a －3＋a －6)2<(a －5＋a －4)2⇐2a －9＋2(a －3)(a －6)<2a －9＋2(a －5)(a －4) ⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4) ⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4) ⇐18<20.因为18<20显然成立，所以原不等式a －3－a －4<a －5－a －6成立． 法二：要证a －3－a －4<a －5－a －6， 只需证1a －3＋a －4<1a －5＋a －6，只需证a －3＋a －4>a －5＋a －6. ∵a >6，∴a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0. 又∵a －3>a －5，∴a －3>a －5， 同理有a －4>a －6，则a －3＋a －4>a －5＋a －6. ∴a －3－a －4<a －5－a －6.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[自主解答] 法一：要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )． 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原式成立．法二：因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2. 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3.即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．3．(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以 x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 又x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy . 于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.已知a ，b ，c ∈R 且不全相等，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca . [证明] 法一：(分析法) 要证a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )，只需证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0.所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立． 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0.所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0. 所以2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )． 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，此过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 答案：B2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下列等式一定成立的是( )A ．A ＝BB ．A ＝CC ．B ＝CD ．A ＝B ＝C解析：∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2＝1－cos (B ＋C )2，∴cos(B ＋C )＝1－2sin B sin C ，∴cos B cos C －sin B sin C ＝1－2sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B ＝C . 答案：C3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证： b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 故选C. 答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x － x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法． 答案：综合法5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，试分别用综合法与分析法证明⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥9. 证明：法一：(综合法)左边＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋y x ⎝⎛⎭⎫1＋x ＋y y ＝⎝⎛⎭⎫2＋y x ⎝⎛⎭⎫2＋x y＝4＋2⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋1≥5＋4＝9.法二：(分析法)要证⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥9成立， ∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x . 只需证明⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋11－x ≥9成立， 即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0， 即证(2x －1)2≥0，此式显然成立，所以原不等式成立．一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b D ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错； 对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错； 对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则D 不成立．答案：C2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1D ．14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B3．已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( ) A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2C.π2<A ＋B <πD.π2≤A ＋B <π 解析：由cos A ＋cos B >0，得cos A >－cos B ， ∴cos A >cos(π－B )． ∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减． ∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π. 答案：A4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c 的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0. ∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.又abc ＞0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc ＜0. 答案：B 二、填空题5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是______________． 解析：利用函数单调性．设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c .答案：c ＜a ＜b7．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________．解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p . 答案：p >q 8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立， 设μ＝x ＋1x ＋3(x >0)．∴只需a ≥1μ恒成立即可．又∵μ＝x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时“＝”成立．∴0<1μ≤15.∴a ≥15.答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 三、解答题9．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)． (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)①又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5，所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0. (1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72. 证明：(1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立， 只需证⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b 2≥4. 根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2 b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1， 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2>0，1a 2＋4b2＝2m －1>0， 所以m ≥72.。
【优化方案】2021-2021学年高中数学 4.4知能演练轻松闯关 湘教版选修2-2(1)
【优化方案】2021-2021学年高中数学 知能演练轻松闯关 湘教版选修2-21.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能够焊成一个铁盒．那么所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 cm B ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3.因此V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0，24)，且此是所做铁盒的容积最大．2.(2021·渝北检测)某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产本钱y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，那么应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经查验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．应选A. 3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，若是第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时转变率的最小值是( ) A ．8 C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时转变率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，因此当x ＝1时，原油温度的瞬时转变率取得最小值－1.4.(2021·梁平质检)某车间靠墙壁要盖一间地面为长方形的小屋，现有存砖只够砌20 m 长的墙壁，那么应围成长为________m ，宽为____________m 的长方形才能使小屋占地面积最大．解析：设长为x m ，宽为y m ，面积为S m 2，则x ＋2y ＝20，即y ＝10－x2，S ＝x ·y ＝x (10－x 2)＝10x －x 22.S ′＝10－x ，因此当x ＝10时，小屋占地面积最大，因此x ＝10，y ＝5. 答案：10 5 一、选择题1.某商品一件的本钱为30元，在某段时刻内，假设以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．( ) A ．105 B ．110 C ．115D ．120解析：选C.利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润最大为7225元．2.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )D ．23V解析：选C.设该直棱柱的底面边长为x ，高为h ，表面积为S ，则V ＝34x 2·h ，h ＝4V 3x 2，表面积S ＝32x 2＋3·x ·4V 3x 2，S ′＝3x ＋－12V 3x2，令S ′＝0，得x ＝34V .应选C.3.(2021·南开调研)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，因此当x >9时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，因此函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，因此x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，因此函数在x ＝9处取得最大值． 4.某公司生产一种产品，固定本钱为20000元，每生产一单位的产品，本钱增加100元，假设总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，那么当总利润最大时，每一年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，因此当x ＝300时，P (x )最大．5.假设一球的半径为r ，那么内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2πr 2解析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ， 则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ. ∴S 侧＝2πR ·l ＝2πr cos θ×2r sin θ ＝4πr 2sin θcos θ.∴由S ′＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧最大，且S 侧最大值为2πr 2.6.(2021·涪陵调研)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽别离为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米解析：选A.要求材料最省确实是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图，设场地宽为x 米，那么长为512x米，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64， ∴堆料场的长为51216＝32(米)．二、填空题7.用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，假设所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，那么当高为______ m 时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ， 则V ＝x (x ＋－2x )， 令V ′＝－6x 2＋＋＝0， 即解15x 2－11x －4＝0， 得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：18.把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．解析：设长为x cm ，那么宽为(30－x ) cm ， 因此面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 159.(2021·沙坪坝质检)做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x dm ，那么高为h ＝256x2dm ，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x， S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，则x ＝8， 那么高h ＝25664＝4 (dm)．答案：4 三、解答题10.(创新题)已知矩形的两个极点A 、D 位于x 轴上，另两个极点B 、C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求那个矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长AD ＝2x ， 则AB ＝4－x 2，∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)． ∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解之得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)．当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.当x ＝233时，S 取最大值为3239. 即矩形的边长别离是433、83时，矩形的面积最大．11.(2020·高考福建卷)某商场销售某种商品的体会说明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价钱x (单位：元/千克)知足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价钱为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)假设该商品的本钱为3元/千克，试确信销售价钱x 的值，使商场每日销售该商品所取得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，因此a2＋10＝11，因此a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，因此商场每日销售该商品所取得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 转变时，f ′(x )，f (x )的转变情形如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．因此，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价钱为4元/千克时，商场每日销售该商品所取得的利润最大． 12.(2020·高考山东卷)某企业拟建如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两头均为半球形，依照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部份每平方米建造费用为3千元，半球形部份每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的概念域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3， 故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.因此建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ， 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2. (2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2 ＝8π（c －2）r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，因此c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0，因此y ′＝8π（c －2）r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时， 当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m ，2)时，y ′>0，因此r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时， 当r ∈(0，2)时，y ′<0，函数单调递减， 因此r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2； 当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.。
【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全集)同步练习汇总
(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)同步练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度一、根底达标1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d() A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠0答案 D2．一物体运动的方程是s＝2t2, 那么从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为() A．8 B．8＋2dC．8d＋2d2D．4d＋2d2答案 C解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.3．一物体的运动方程为s＝3＋t2, 那么在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为() A．4.11 B．4.01 C．4.0答案 D解析v＝错误!＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝18t2, 那么t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度为()A．2 B．1 C.12 D.14答案 C解析ΔsΔt＝18(2＋Δt)2－18×22Δt＝12＋18Δt→12(Δt→0)．5．质点运动规律s＝2t2＋1, 那么从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．答案4＋2d解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－11＋d－1＝4＋2d.6．某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1.(1)t＝2到t;(2)t ＝2到t ; (3)t ＝2到t ＝2.001.那么三个时间段内的平均速度分别为________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数为: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求:(1)开始刹车后1 s 内的平均速度; (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度; (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为: v 2＝s (2)－s (1)2－1＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为: v 3＝s (1＋d )－s (1)d＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d＝－7d －8d 2－3d 3d ＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2, 那么在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2, 那么从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________, 在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________, 在t ＝1时刻的瞬时速度为________． 答案 12g g ＋12g Δt g 解析 12g ×12－12g ×021－0＝12g .12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋12g Δt . 当Δt →0时, g ＋12g Δt →g .10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2, t , 那么g ＝________. 答案解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋12g Δt . 当Δt →0时, 2g ＋12g Δt →2g . ∴2g , g ＝9.8.11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度． 解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2, ∴平均速度为Δsd ＝9＋2d .12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问:(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?(2)甲、乙二人百米赛跑, 快到终点时, 谁跑得快(设Δs为s的增量)?解(1)由题图①在(0, t]时间段内, 甲、乙跑过的路程s甲<s乙, 故有s甲t<s乙t即在任一时间段(0, t]内, 甲的平均速度小于乙的平均速度, 所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知, 在终点附近[t－d, t)时间段内, 路程增量Δs乙>Δs甲, 所以Δs乙d>Δs甲d即快到终点时, 乙的平均速度大于甲的平均速度, 所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动, 求运动开始后4秒时物体的动能．解s(Δt＋4)－s(4)Δt＝3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝3Δt＋25, 当Δt→0时, 3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12m v2＝12×10×252＝3 125(J)4．问题探索- -求作抛物线的切线一、根底达标1．曲线y＝2x2上一点A(1,2), 那么A处的切线斜率等于() A．2 B．4C．6＋6d＋2d2D．6答案 B2．曲线y＝12x2－2上的一点P(1, －32), 那么过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行, 那么切点坐标为() A．(－1, －8) B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1, －1)答案 B4．曲线y＝x－2在点P(3,1)处的切线斜率为()A．－12B．0 C.12D．1答案 C解析(3＋Δx)－2－3－2Δx＝Δx＋1－1Δx＝1Δx＋1＋1.当Δx→0时,1Δx＋1＋1→12.5．假设曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2, 那么曲线上该切点的坐标为________．答案(1,2)6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．答案2x－y＋1＝0解析(1＋Δx)2＋2－(12＋2)Δx＝Δx＋2,当Δx→0时, Δx＋2→2.所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2, 其方程为y－3＝2(x－1)．即为2x－y＋1＝0.7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行, 求点P的坐标及切线方程．解设点P(x0, y0),f(x0＋d)－f(x0)d＝(x0＋d)2－x20d＝d＋2x0,d→0时, d＋2x0→2x0.抛物线在点P处的切线的斜率为2x0,由于切线平行于2x－y＋4＝0, ∴2x0＝2, x0＝1, 即P点坐标为(1,1),切线方程为y－1＝2(x－1), 即为2x－y－1＝0.二、能力提升8．曲线y＝－1x在点(1, －1)处的切线方程为()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案 A解析－1Δx＋1－(－11)Δx＝1－1Δx＋1Δx＝1Δx＋1,当Δx→0时,1Δx＋1→1.曲线y＝－1x在点(1, －1)处的切线的斜率为1, 切线方程为y＋1＝1×(x－1),即y＝x－2.9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．答案7解析f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(22＋3×2)Δx＝Δx＋7,当Δx→0时, Δx＋7→7,所以, f(x)在A处的切线的斜率为7.10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7, 那么A点坐标为________．答案(2,10)解析设A点坐标为(x0, x20＋3x0),那么f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)－(x20＋3x0)Δx＝Δx＋(2x0＋3),当Δx→0时, Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3,∴2x0＋3＝7, ∴x0＝2.x20＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．11．抛物线y＝x2＋1, 求过点P(0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0, x20＋1)．那么(x0＋Δx)2＋1－(x20＋1)Δx＝Δx＋2x0.Δx→0时, Δx＋2x0→2x0.∴x20＋1－0x0－0＝2x0, ∴x0＝1或x0＝－1.即切点为(1,2)或(－1,2)．所以, 过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.三、探究与创新12．直线l: y＝x＋a(a≠0)和曲线C: y＝x3－x2＋1相切, 求切点的坐标及a的值．解设切点A(x0, y0),(x0＋d)3－(x0＋d)2＋1－(x30－x20＋1)d＝3x20d＋3x0d2＋d3－2x0d－d2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率为3x 20－2x 0, ∴3x 20－2x 0＝1,∴x 0＝1或x 0＝－13, 代入C 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1 y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13 y 0＝2327代入直线l ,当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝1时, a ＝0(舍去), 当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13 y 0＝2327时, a ＝3227,即切点坐标为(－13, 2327), a ＝3227.4． 导数的概念和几何意义一、根底达标1．设f ′(x 0)＝0, 那么曲线y ＝f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B2．函数y ＝f (x )的图象如图, 那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线, 由题图可知k B>k A, 即f′(x B)>f′(x A)．3．曲线y＝2x2上一点A(2,8), 那么在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数, 由导数定义可求y′＝4x, ∴f′(2)＝8.答案 C4．函数f(x)在x＝1处的导数为3, 那么f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3; f′(x)＝2;f′(x)＝4(x－1); f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________, 该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2, 故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1),即3x－y＋1＝0.6．假设曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3, 那么这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0, y0), 那么由题意知f′(x0)＝4, 即2x0＝4, ∴x0＝2, 代入曲线方程得y0＝3,y－3＝4(x－2), 即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27,∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3), 即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0), (0, －54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时, －Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1), 即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1, f(1))处的切线方程为y＝12x＋2, 那么f(1)＋f′(1)＝________. 答案 3解析 由切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝3.10．假设曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0, b )处的切线方程为x －y ＋1＝0, 那么a , b 的值分别为________, ________. 答案 1 1解析 ∵点(0, b )在切线x －y ＋1＝0上, ∴－b ＋1＝0, b ＝1.又f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx ＝a ＋Δx ,∴f ′(0)＝a ＝1.11．曲线y ＝x 3＋1, 求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点为A (x 0, y 0), 那么y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20, 切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上, ∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时, 切线方程为3x －y －1＝0, 当x 0＝－12时, 切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以, 所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52, 6)的切线方程． 解 由得, Δyd ＝2x ＋d , ∴当d →0时, 2x ＋d →2x , 即y ′＝2x ,设此切线过抛物线上的点(x 0, x 20), 又因为此切线过点(52, 6)和点(x 0, x 20),其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0,由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4), (3,9)．所以切线方程分别为y－4＝4(x－2), y－9＝6(x－3)．化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0,此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a, b), 函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3, 得a＝－1, 代入y＝x3＋3x2－5得, b＝－3, 即P(－1, －3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1), 即3x＋y＋6＝0.4．导数的运算法那么一、根底达标1．设y＝－2e x sin x, 那么y′等于() A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案 D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时, 那么x0＝() A．a B．±a C．－a D．a2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2,由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直, 那么a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1, ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2, 即a ＝－2.4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k , 那么当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2, －8)B ．(－1, －1)或(1,1)C ．(2,8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －18 答案 B解析 y ′＝3x 2, ∵k ＝3, ∴3x 2＝3, ∴x ＝±1, 那么P 点坐标为(－1, －1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2, 曲线y ＝g (x )在点(1, g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1, 那么曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x , f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．f (x )＝13x 3＋3xf ′(0), 那么f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数, 所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0), 令x ＝0, 那么f ′(0)＝0, ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求以下函数的导数: (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1); (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3, ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x , ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22 答案B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2,故y ′|x ＝π4＝12,∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 0处的切线的斜率为12. 9．点P 在曲线y ＝4e x ＋1上, α为曲线在点P 处的切线的倾斜角, 那么α的取值范围是( )A ．[0, π4) B ．[π4, π2) C ．(π2, 3π4] D ．[3π4, π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1, 设t ＝e x ∈(0, ＋∞), 那么y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2, ∵t ＋1t ≥2, ∴y ′∈[－1,0), α∈[3π4, π)． 10．(2021·江西)设函数f (x )在(0, ＋∞)内可导, 且f (e x )＝x ＋e x , 那么f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x , 那么x ＝ln t , 所以函数为f (t )＝ln t ＋t , 即f (x )＝ln x ＋x , 所以f ′(x )＝1x ＋1, 即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上, 可令切点坐标为(x 0, x 30)．由题意, 所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20, 即x 30x 0－2＝3x 20, 解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时, 得切点坐标是(0,0), 斜率k ＝0, 那么所求直线方程是y ＝0; 当x 0＝3时, 得切点坐标是(3,27), 斜率k ＝27, 那么所求直线方程是y －27＝27(x －3), 即27x －y －54＝0.综上, 所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．曲线f (x )＝x 3－3x , 过点A (0,16)作曲线f (x )的切线, 求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0, y 0),那么由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3,∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16, 又切点(x 0, y 0)在切线上, ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16,即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16,解得x 0＝－2,∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx , 曲线y ＝f (x )在点(2, f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明: 曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值, 并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时, y ＝12, ∴f (2)＝12,①又f ′(x )＝a ＋bx 2, ∴f ′(2)＝74,②由①, ②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12 a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0, y 0)为曲线上任一点, 由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0, y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0),即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0, 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 －6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0, 从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0, y 0)处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形的面积为定值, 此定值为6.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表一、根底达标1．以下结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2, 那么y ′＝12; ②y ＝1x 2, 那么y ′|x ＝3＝－227; ③y ＝2x , 那么y ′＝2x ln 2;④y ＝log 2x , 那么y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数, 所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4, 那么点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －2D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4, x ＝±12, 应选B. 3．f (x )＝x a , 假设f ′(－1)＝－4, 那么a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1, f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4, a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2, 设切点为(x 0, y 0), 那么3x 20＝1, 得x 0＝±33, 即在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33 39和点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33 －39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2, ∴y ′|x ＝3＝－1, ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为: y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 6．假设曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18, 那么a ＝________.答案 64 解析∴曲线在点处的切线斜率,∴切线方程为．令x ＝0得; 令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18, ∴a ＝64.7．求以下函数的导数:(1) y ＝7x 3; (2)y ＝1x 4; (3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4;(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x 4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x , ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x , ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线, 那么实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x, 设切点为(x 0, y 0), 那么⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0 y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0, ∴x 0＝1, ∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4, 那么a ＝______. 答案 1解析 y ′＝1x , ∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1, ∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点, 那么点P 到直线y ＝x 的最|小距离为________． 答案 22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0, y 0), 该切点即为与y ＝x 距离最|近的点, 如图．那么在点(x 0, y 0)处的切线斜率为1, 即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ,∴e x 0＝1, 得x 0＝0, 代入y ＝e x , 得y 0＝1, 即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．f (x )＝cos x , g (x )＝x , 求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x , g (x )＝x ,∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x , g ′(x )＝x ′＝1, 由f ′(x )＋g ′(x )≤0, 得－sin x ＋1≤0, 即sin x ≥1, 但sin x ∈[－1,1], ∴sin x ＝1, ∴x ＝2k π＋π2, k ∈Z .12．抛物线y ＝x 2, 直线x －y －2＝0, 求抛物线上的点到直线的最|短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线, 对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最|短, 设切点坐标为(x 0, x 20), 那么y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1,所以x0＝12, 所以切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1214,切点到直线x－y－2＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728,所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最|短距离为728.三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x, f1(x)＝f′0(x), f2(x)＝f′1(x), …, f n＋1(x)＝f′n(x), n∈N, 试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x,f2(x)＝(cos x)′＝－sin x,f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x,f4(x)＝(－cos x)′＝sin x,f5(x)＝(sin x)′＝f1(x),f6(x)＝f2(x), …,f n＋4(x)＝f n(x), 可知周期为4,∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、根底达标1．命题甲: 对任意x∈(a, b), 有f′(x)>0; 命题乙: f(x)在(a, b)内是单调递增的, 那么甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的, 但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1), 故甲是乙的充分不必要条件, 选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞, －1) C．(－∞, 1) D．(－∞, ＋∞)答案 A解析∵y＝12x2－ln x的定义域为(0, ＋∞), ∴y′＝x－1x, 令y′<0,即x－1x<0, 解得: 0<x<1或x<－1.又∵x>0, ∴0<x<1, 应选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c, 其中a, b, c为实数, 当a2－3b＜0时, f(x)是() A．增函数B．减函数C．常函数D．既不是增函数也不是减函数答案 A解析求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b, 导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0, 所以f′(x)＞0恒成立, 故f(x)是增函数．4．以下函数中, 在(0, ＋∞)内为增函数的是() A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x答案 B解析显然y＝sin x在(0, ＋∞)上既有增又有减, 故排除A; 对于函数y＝x e2,因e 2为大于零的常数, 不用求导就知y ＝x e 2在(0, ＋∞)内为增函数; 对于C, y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33,故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －33, ⎝ ⎛⎭⎪⎫33 ＋∞上为增函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33 33上为减函数; 对于D, y ′＝1x －1 (x ＞0)． 故函数在(1, ＋∞)上为减函数, 在(0,1)上为增函数．应选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 3内可导, 其图象如下图, 记y ＝f (x )的导函数为y＝f ′(x ), 那么不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 1∪[2,3) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 答案 (－∞, －1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2, 令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2, 注意到函数定义域为(－∞, －1)∪(2, ＋∞), 故递减区间为(－∞, －1)．7．函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5), 求函数y ＝f (x )的递增区间． 解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间, 那么－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根, ∴af ′(x )＝3x 2－75,令f′(x)＞0, 那么3x2－75＞0, 解得x＞5或x＜－5, ∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞, －5)和(5, ＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图, 那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x), g(x)在[a, b]上可导, 且f′(x)＞g′(x), 那么当a＜x＜b时, 有() A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案 C解析∵f′(x)－g′(x)＞0,∴(f(x)－g(x))′＞0,∴f(x)－g(x)在[a, b]上是增函数,∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a ), ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2021·大纲版)假设函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞是增函数, 那么a 的取值范围是________． 答案 [3, ＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上是增函数, 故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上恒成立, 即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上恒成立． 令h (x )＝1x 2－2x , 那么h ′(x )＝－2x 3－2, 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞时, h ′(x )＜0, 那么h (x )为减函数, 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3, 所以a ≥3.11．求以下函数的单调区间: (1)y ＝x －ln x ; (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0, ＋∞), y ′＝1－1x , 由y ′＞0, 得x ＞1; 由y ′＜0, 得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1, ＋∞), 单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 ＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2,∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0, 即－32＜x ＜－1或x ＞－12时, 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增; 当y ′＜0, 即－1＜x ＜－12时, 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 －1, ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 ＋∞, 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 －12. 12．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2), 且在点M (－1, f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式; (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2), 知d ＝2, ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2, f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1, f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0, 知－6－f (－1)＋7＝0, 即f (－1)＝1, f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6 －1＋b －c ＋2＝1 即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3 b －c ＝0 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6xf ′(x )＞0, 得x ＜1－2或x ＞1＋2; 令f ′(x )＜0, 得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞, 1－2)和(1＋2, ＋∞), 单调递减区间为(1－2, 1＋2)． 三、探究与创新13．函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R, m≠0), 函数y＝f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n;(2)求函数f(x)的单调增区间．解(1)由条件得f′(x)＝3mx2＋2nx,又f′(2)＝0, ∴3m＋n＝0, 故n＝－3m.(2)∵n＝－3m, ∴f(x)＝mx3－3mx2,∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)＞0, 即3mx2－6mx＞0,当m＞0时, 解得x＜0或x＞2, 那么函数f(x)的单调增区间是(－∞, 0)和(2, ＋∞);当m＜0时, 解得0＜x＜2, 那么函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上, 当m＞0时, 函数f(x)的单调增区间是(－∞, 0)和(2, ＋∞);当m＜0时, 函数f(x)的单调增区间是(0,2).4.3.2函数的极大值和极小值一、根底达标y＝f(x)的定义域为(a, b), y＝f′(x)的图象如图, 那么函数y＝f(x)在开区间(a, b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点, 左侧f′(x)＜0, 右侧f′(x)＞0时, 该点为极小值点, 观察题图, 只有一个极小值点．2． "函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是 "函数y＝f(x)在这点取得极值〞的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3, f′(x)＝3x2, f′(0)＝0,不能推出f(x)在x＝0处取极值, 反之成立．应选B.3．假设a＞0, b＞0, 且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值, 那么ab 的最|大值等于() A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b, ∵f(x)在x＝1处有极值,∴f′(1)＝12－2a－2b＝0, ∴a＋b＝6.又a＞0, b＞0, ∴a＋b≥2ab, ∴2ab≤6,∴ab≤9, 当且仅当a＝b＝3时等号成立,∴ab的最|大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有() A．极大值5, 极小值－27B．极大值5, 极小值－11C．极大值5, 无极小值D．极小值－27, 无极大值答案 C解析由y′＝3x2－6x－9＝0, 得x＝－1或x＝3, 当x＜－1或x＞3时, y′＞0, 当－1＜x＜3时, y′x＝－1时, 函数有极大值5; x取不到3, 故无极小值．5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值, 那么实数a的取值范围是________．答案(－∞, －1)∪(2, ＋∞)解析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2), 令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0, 即x2＋2ax＋a ＋2＝0, ∵函数f (x )有极大值和极小值, ∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根, 即Δ＝4a 2－4a －8＞0, 解得a ＞2或a ＜－1.6．假设函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值, 那么实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a , 当a ≤0时, y ′≥0, 函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数, 不合题意, 舍去; 当a ＞0时, y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a , 不难分析, 当 1＜a ＜2, 即1＜a ＜4时, 函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R , f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x , 令f ′(x )＝0, 得x ＝0或x ＝2.当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表: x (－∞, 0) 0 (0,2) 2 (2, ＋∞) f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4e －2当x ＝2时, 函数有极大值, 且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．函数f (x ), x ∈R , 且在x ＝1处, f (x )存在极小值, 那么( )A ．当x ∈(－∞, 1)时, f ′(x )＞0; 当x ∈(1, ＋∞)时, f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞, 1)时, f ′(x )＞0; 当x ∈(1, ＋∞)时, f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞, 1)时, f ′(x )＜0; 当x ∈(1, ＋∞)时, f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞, 1)时, f ′(x )＜0; 当x ∈(1, ＋∞)时, f ′(x )＜0 答案 C解析 ∵f (x )在x ＝1处存在极小值, ∴x ＜1时, f ′(x )＜0, x ＞1时, f ′(x )＞0.9．(2021·福建)设函数f (x )的定义域为R , x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点, 以下结论一定正确的选项是( )A ．∀x ∈R , f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点, 并不是最|大值点．故A 错; f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数, 故－x 0应是f (－x )的极大值点, B 错; －f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数, 故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系, C 错; －f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确．y ＝f (x )的导函数的图象如下图, 给出以下判断: ①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3 －12内单调递增; ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 3内单调递减; ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增; ④当x ＝2时, 函数y ＝f (x )有极小值; ⑤当x ＝－12时, 函数y ＝f (x )有极大值． 那么上述判断正确的选项是________．(填序号) 答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定, 当x ∈(－∞, －2)时, f ′(x )＜0, 所以f (x )在(－∞, －2)上为减函数, 同理f (x )在(2,4)上为减函数, 在(－2,2)上是增函数, 在(4, ＋∞)上为增函数, 所以可排除①和②, 可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增, 右侧递减, 所以当x ＝2时, 函数有极大值; 而在x ＝ －12的左右两侧, 函数的导数都是正数, 故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数, 所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数, 且m ＞0)有极大值－52, 求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m ), 令f ′(x )＝0, 那么x ＝－m 或x ＝23m . 当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x (－∞, －m ) －m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 23m 23m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m ＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52, ∴m ＝1. 12．设a 为实数, 函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值;(2)当a 在什么范围内取值时, 曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点? 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0, 那么x ＝－13或x ＝1. 当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 1 1 (1, ＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a , 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1, 由此可知, x 取足够大的正数时, 有f (x )＞0, x 取足够小的负数时, 有f (x )＜0, 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至|少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a , f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点, ∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0, 即527＋a ＜0或a －1＞0, ∴a ＜－527或a ＞1,∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －527∪(1, ＋∞)时, 曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 三、探究与创新13．(2021·新课标Ⅱ)函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点, 求m , 并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时, 证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0, 所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1), 定义域为(－1, ＋∞), f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1, ＋∞)单调递增, 且f ′(0)＝0, 因此当 x ∈(－1,0)时, f ′(x )＜0; 当x ∈(0, ＋∞)时, f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减, 在(0, ＋∞)单调递增． (2)证明 当m ≤2, x ∈(－m , ＋∞)时, ln(x ＋m )≤ ln(x ＋2), 故只需证明当m ＝2时, f (x )＞0. 当m ＝2时, 函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2, ＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0, f′(0)＞0, 故f′(x)＝0在(－2, ＋∞)有唯一实根x0, 且x0∈(－1,0)．当x∈(－2, x0)时, f′(x)＜0; 当x∈(x0, ＋∞)时, f′(x)＞0, 从而当x＝x0时, f(x)取得最|小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2, ln(x0＋2)＝－x0,故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上, 当m≤2时, f(x)＞0.4.3.3三次函数的性质: 单调区间和极值一、根底达标1．函数y＝f(x)在[a, b]上() A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最|大值C．最|大值一定是极大值D．最|大值一定大于极小值答案 D解析由函数的最|值与极值的概念可知, y＝f(x)在[a, b]上的最|大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x, x∈[0,4]的最|大值是()A．0 B.1e C.4e4 D.2e2答案 B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x), 令y′＝0, ∴x＝1,∴f(0)＝0, f(4)＝4e4, f(1)＝e－1＝1e, ∴f(1)为最|大值, 应选B.3．函数y＝ln xx的最|大值为()A．e－1B．e C．e2 D.10 3答案 A解析令y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.(x＞0)解得xx>e时, y′<0; 当0＜x<e时, y′＞0.y极大值＝f(e)＝1e, 在定义域(0, ＋∞)内只有一个极值,所以y max＝1 e.4．函数y＝4xx2＋1在定义域内() A．有最|大值2, 无最|小值B．无最|大值, 有最|小值－2 C．有最|大值2, 最|小值－2 D．无最|值答案 C解析令y′＝4(x2＋1)－4x·2x(x2＋1)2＝－4x2＋4(x2＋1)2＝0,得xx变化时, y′, y随x的变化如下表:x (－∞, －1)－1(－1,1)1(1, ＋∞) y′－0＋0－y 极小值极大值|大值2.5．函数f(x)＝e x－2x＋a有零点, 那么a的取值范围是________．答案(－∞, 2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点, 即方程e x －2x ＋a ＝0有实根, 即函数 g (x )＝2x －e x , y ＝a 有交点, 而g ′(x )＝2－e x , 易知函数g (x )＝2x －e x 在 (－∞, ln 2)上递增, 在(ln 2, ＋∞)上递减, 因而g (x )＝2x －e x 的值域为 (－∞, 2ln 2－2], 所以要使函数g (x )＝2x －e x , y ＝a 有交点, 只需 a ≤2ln 2－2即可．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的最|大值是________． 答案π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ＝0, x ＝π6, 比拟0, π6, π2处的函数值, 得y max ＝π6＋ 3. 7．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最|小值－37, 求a 的值及f (x )在 [－2,2]上的最|大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2), 令f ′(x )＝0, 得x ＝0或x ＝2,当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋0 － 0 f (x )－40＋a极大值a－8＋amin 当x ＝0时, f (x )的最|大值为3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2, g (x )＝ln x 的图象分别交于点M , N , 那么当|MN |到达最|小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 答案 D解析 由题意画出函数图象如下图, 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋22⎝⎛⎭⎪⎫t－22t.当0＜t＜22时, y′＜0, 可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22上单调递减;当t＞22时, y′＞0, 可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22＋∞上单调递增．故当t＝22时, |MN|有最|小值．9．(2021·湖北重点中学检测)函数f(x)＝x3－tx2＋3x, 假设对于任意的a∈[1,2], b ∈(2,3], 函数f(x)在区间[a, b]上单调递减, 那么实数t的取值范围是() A．(－∞, 3] B．(－∞, 5] C．[3, ＋∞) D．[5, ＋∞)答案 D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x, ∴f′(x)＝3x2－2tx＋3, 由于函数f(x)在(a, b)上单调递减, 那么有f′(x)≤0在[a, b]上恒成立, 即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a, b]上恒成立, 即有t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a, b]上恒成立, 而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增, 由于a∈[1,2], b∈(2,3], 当b＝3时, 函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x取得最|大值,即y max＝32⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝5, 所以t≥5, 应选D.10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最|大值是2, 那么f(x)在[－1,1]上的最|小值是________．答案－1 2解析f′(x)＝3x2－3x, 令f′(x)＝0得x＝0, 或x＝1.∵f(0)＝a, f(－1)＝－52＋a, f(1)＝－12＋a,∴f(x)max＝a＝2.∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a , b , c ∈R )．(1)假设函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值, 试求a , b 的值; (2)在(1)的条件下, 当x ∈[－2,6]时, f (x )＜2|c |恒成立, 求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ,∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值, ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3, ∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ,f ′(x )＝3x 2－6x －9, 令f ′(x )＝0, 得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时, f ′(x ), f (x )随x 的变化如下表:x (－∞, －1)－1 (－1,3) 3 (3, ＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值c ＋5极小值 c －27∴当x ∈[－2,6]时, f (x )的最|大值为c ＋54, 要使f (x )＜2|c |恒成立, 只要c ＋54＜2|c |即可, 当c ≥0时, c ＋54＜2c , ∴c ＞54; 当c ＜0时, c ＋54＜－2c , ∴c ＜－18.∴c ∈(－∞, －18)∪(54, ＋∞), 此即为参数c 的取值范围． 12．函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间;(2)假设f (x )在区间[－2,2]上的最|大值为20, 求它在该区间上的最|小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0, 解得x＜－1或x＞3,∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞, －1), (3, ＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a,f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a, ∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20, ∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0, ∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2, －1]上单调递减,∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最|大值和最|小值,∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7, 即f(x)最|小值为－7.三、探究与创新13．(2021·新课标Ⅰ)函数f(x)＝x2＋ax＋b, g(x)＝e x(cx＋d), 假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2), 且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a, b, c, d的值;(2)假设x≥－2时, f(x)≤kg(x), 求k的取值范围．解(1)由得f(0)＝2, g(0)＝2, f′(0)＝4,g′(0)＝4, 而f′(x)＝2x＋a, g′(x)＝e x(cx＋d＋c),∴a＝4, b＝2, c＝2, d＝2.(2)由(1)知, f(x)＝x2＋4x＋2, g(x)＝2e x(x＋1),设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2),F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．有题设可得F(0)≥0, 即k≥1,令F′(x)＝0得, x1＝－ln k, x2＝－2,①假设1≤k＜e2, 那么－2＜x1≤0, ∴当x∈(－2, x1)时,F′(x)＜0, 当x∈(x1, ＋∞)时, F′(x)＞0, 即F(x)在(－2, x1)单调递减,在(x1, ＋∞)单调递增, 故F(x)在x＝x1取最|小值F(x1), 而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当≥－2时, F(x)≥0, 即f(x)≤kg(x)恒成立．②假设k＝e2, 那么F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2),∴当x ≥－2时, F ′(x )≥0, ∴F (x )在(－2, ＋∞)单调递增, 而F (－2)＝0, ∴当x ≥－2时, F (x )≥0, 即f (x )≤kg (x )恒成立,③假设k ＞e 2, 那么F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0, ∴当x ≥－2时, f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上所述, k 的取值范围为[1, e 2].4.4 生活中的优化问题举例一、根底达标1．方底无盖水箱的容积为256, 那么最|省材料时, 它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 答案 A解析 设底面边长为x , 高为h , 那么V (x )＝x 2·h ＝256, ∴h ＝256x 2,∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ,∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0, 解得x ＝8, ∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务, 经预算, 存款量与存款利率的平方成正比, 比例系数为k (k , 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x , x ∈(0,0.0486), 假设使银行获得最|大收益, 那么x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6 答案 B解析 依题意, 得存款量是kx 2, 银行支付的利息是kx 3, 获得的贷款利息是。
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超级资源（共13套122页）湘教版高中数学选修1-2讲义与精练习汇总（打包下载）6．1知识结构图[读教材·填要点]1．框图的定义分类及作用分类定义作用知识结构图用框图的形式对一类知识所作的描述能够清晰地表达系统各部分工序流程图对一个生产工艺所作的描述和各环节之间的关系程序框图对一个算法的描述2．知识结构图的分类通过框图描述某领域中各阶段知识展开的主要线索与相互关系时，从不同的角度出发，有不同的描述法：结构关系、分类关系、层次关系、逻辑关系、成分关系等，都能得到很好的体现．[小问题·大思维]知识结构图有何作用？提示：通过框图，能看清知识之间相互渗透与综合的关系，便于从整体上把握知识脉络以及各知识之间的相互联系．知识结构图的画法画出我们已学过的数系的结构图．[自主解答]结构图如图所示．画知识结构图的方法(1)分析知识结构：首先整体把握知识块构成，再由逻辑关系找主线，从属关系找分支，进而确定要素及要素的排列顺序．(2)各要素的呈现形式：①从上到下或从左到右；②从属关系使用“树”形结构，逻辑的先后关系使用“环”形结构．1．小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施、和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．试画出小流域综合治理开发模式的知识结构图．解：根据题意，三类措施为结构图的第一层，每类措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每类措施实施所要达到的治理功能为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构如图所示：知识结构图的应用如图所示：则“函数的应用”包括的主要内容有______________．[自主解答]由框图知“函数的应用”包括的主要内容有“函数与方程”和“函数模型及其应用”．[答案]“函数与方程”和“函数模型及其应用”解读知识结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．2．按边对三角形进行分类的结构图为则①处应填入________．解析：等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不相等的三角形”两类．答案：等边三角形根据图中所示的动物分类结构图，理解图中各元素的从属关系，并设计一个结构框图表示这些关系．属 科 目 纲 门 界⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫ 人属 ……人科 ……灵长目⎭⎪⎬⎪⎫豹属 ……猫科犬属 ……犬科 ……食肉目 ⎭⎪⎬⎪⎫河狸属……河狸科巨松鼠属……松鼠科……啮齿目哺乳纲 ⎭⎪⎬⎪⎫长尾雀属朱雀属……燕雀科……雀形目……鸟纲地龟属……淡水龟科……龟鳖目……爬行纲娟蛙属 ……姬蛙科……无尾目……两栖纲脊索动物门…动物界 [巧思] 根据分类结构图由高级到低级逐级画出即可． [妙解] 结构图如图所示：1．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象和性质”与“幂函数”的关系是()A．并列关系B．从属关系C．包含关系D．交叉关系答案：B2．如图所示是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在()A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位解析：子集属于集合的基本关系中的概念．答案：C3．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是()解析：该题考查结构图之间的从属关系，要注意掌握题中所叙述的事物之间的逻辑关系．答案：A4．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素为________．解析：由于“下位”要素比“上位”要素更为具体，故可知“求简单函数的导数”的“上位”要素为基本导数公式、导数的运算法则．答案：基本导数公式、导数的运算法则5．如图为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．解析：由“基本初等函数”往右读图．答案：指数函数，对数函数，幂函数6．画出本书第5章(推理与证明)的知识结构图．解：如图所示：一、选择题1．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是()解析：A、B、C中的结构图表示的是逻辑关系，只有D中结构图表示的是从属关系．答案：D2．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是()A．“概念”与“分类”是从属关系B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系C．“数列”与“等差数列”是从属关系D．“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系解析：画某一章节的知识结构图时，首先应对本章节的知识有全面的把握，然后明确各知识点之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系．按从上到下、从左到右的顺序画图，在A、B、C、D四个选项中只有C正确．答案：C3．把两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③解析：平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．答案：C4．如图所示的是三角形分类的结构图，其中不．正确的是()解析：等腰三角形包含等边三角形，故C不正确．答案：C二、填空题5．下图是集合运算的知识结构图，则在框①中应填入________．解析：集合的运算包括“交、并、补”三种．答案：补集6．下图中还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填，请补充完整这一结构图：①________；②________；③________.解析：根据结构图及动物间的从属关系，可知①为“哺乳动物”，②为“地龟”，③为“长尾雀”．答案：哺乳动物 地龟 长尾雀7．在图示的结构图中，“等差数列”与“等比数列”的下位要素有________．答案：定义、通项公式、性质、前n 项和公式8．如图所示的结构图中，有________个“环”形结构．解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤数列的通项公式数列的前n 项和 (1个)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤概念性质应用 (2个)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤等差数列等比数列 (1个)，所以共4个． 答案：4 三、解答题9．画出《空间几何体》一章的知识结构图． 解：如图所示．10．画出《平面向量》一章的知识结构图．解：如图所示．6．2工序流程图[读教材·填要点]工序流程图将组成整个工艺过程的所有工序按照其合理的先后顺序及流入生产的位置，用特定的符号和相互间的连线绘制成的工序安排程序的示意图．[小问题·大思维]1．工序流程图描述的加工工序之间的什么过程？提示：动态过程．2．画工序流程图常按什么顺序来画？图形用什么图形表示？流程线有什么特点？提示：工序流程图可以按照从左到右，也可以按照从上到下的顺序来画，图形用矩形、棱形表示，再用流程线相连，流程线是有向线，表示工序进展的方向．画工序流程图商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量．你能用流程图表示出来吗？[自主解答]法一：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量．具体过程如下：立项→北京调研→上海调研→广州调研→投产法二：齐头并进(即平行工序)搞调研，以便提早结束调研，尽早投产使产品占领市场．具体过程如下：通过比较法一和法二的工序流程图可以发现，法二比法一更为可取．工序流程图的画法(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理工作或工序的划分．(2)明确各工作或工序之间的关系．(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后进行逐步细化．1．纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜PE(聚乙烯)，然后用分切机把已经淋膜好的纸分成矩形纸张(印刷后做纸杯壁用)和卷筒纸(做纸杯底用)，再将矩形纸印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，最后黏合成型．请用流程图表示纸杯的加工过程．解：由题意得流程图如下：流程图的应用下图是2018年山东各类成人高考学校招生网上报名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．[自主解答]要完成报名，需依次做好以下工作：(1)网上登记，阅读报名须知；(2)填写考生报名身份证号码，并查看该身份证号码是否已登记(若未登记，则不允许报名，需重新填写身份证号码)；(3)填写《山东省2018年各类成人高考学校招生网上报名登记表》，并检查信息是否有效(若无效需重新填写登记表)；(4)确定报名成功．阅读流程图，获取信息是流程图应用的主要体现，通过流程图，可知问题如何解决，有哪些步骤，需要注意哪些方面，也可以整体把握某问题解决的流程以进行优化，尤其对工序流程图应用更多．2．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图所示：解：拨通10011电话→按1号键→按2号键想沏壶茶喝，当时的情况是：开水没有，烧开水的壶要洗，沏茶的壶和茶杯要洗，茶叶已有，问应如何进行？(各工序所需时间分别为：洗水壶1分钟，洗茶壶、茶杯2分钟，烧开水15分钟，取茶叶1分钟，沏茶1分钟)[解]法一：洗好水壶，灌入凉水，放在炉子上，打开煤气．待水烧开后，洗茶壶、茶杯，取茶叶，沏茶，用流程图表示为：法二：先做好准备工作，即洗水壶、洗茶壶、茶杯，取茶叶、灌凉水烧开水、沏茶，将此方案用流程图表示出来，则有法三：洗好水壶，灌入凉水烧开水，在等待水开的时间内洗茶壶、茶杯，取茶叶，水开后沏茶．如图所示．法三还可用下图表示：[点评]解决此类问题的关键在于分析好每道工序的时差为多少，在这段时差内，哪些工序可以平行进行，以达到省时的目的．1．下列框图中是流程图的是()A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.随机事件→频率→概率C.买票→候车→检票→上车解析：考查流程图的概念，表示动态的过程，有先后顺序．答案：C2．下列判断不．正确的是()A．画工序流程图类似于算法的流程图，要先把每一个工序逐步细化，按自上向下或自左到右的顺序B．在工序流程图中可以出现循环回路，这一点不同于算法流程图C．工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系D．工序流程图中的流程线都是有方向的指向线解析：由工序流程图的画法特点可知，选项B不正确．答案：B3．下图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计解析：由流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．答案：A4．某公司为客户安装门窗的生产工艺流程如下：第一步：设计；第二步：尺寸确定；第三步：裁切；第四步：冲床冲孔；第五步：五金配件；第六步：组合；第七步：包装；第八步：检验；第九步：出货；第十步：安装．用框图表示这一过程如下：则①处填________，②处填________．答案：裁切包装5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为________天．解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．答案：96．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．解：流程图如图所示：一、选择题1．按照下面的流程图做，则得到()A．1,2,3,4,5,6B．2,4,6,8,10C．1,2,4,8,16,32 D．2,4,8,16,32解析：要了解流程图的第一步工作向下依次得到1,2,4,8,16,32.答案：C2．如下图所示的是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填()A．x1＝x2?B．x1≠x2?C．y1＝y2?D．y1≠y2?解析：由程序流程图的功能可知．答案：A3．进入互联网时代，经常发送电子邮件．一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：(a)打开电子信箱；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；(f)点击“发送邮件”．正确的步骤是()A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e解析：可逐步排除，第一步应打开电子信箱，故排除D.第二步应点击“写邮件”，故选C.答案：C4．如图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是()A．26 B．24C．20 D．19解析：由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.答案：D二、填空题5．如图，判断正整数x是奇数还是偶数，①处应填________．解析：由奇数、偶数性质知余数为1时为奇数，再由判断框意义知r＝1.答案：r＝1?6．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．解析：把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭等．答案：177．在工商管理学中，MRP指的是物资需求计划，MRP的体系结构如图所示，根据结构图可知影响基本MRP的因素有________、________、________.答案：主生产计划产品结构库存状态8．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示(距离单位：千米)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是________．解析：要使电厂与四个村庄相连，则需四条线路．注意到最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连，所以4＋5＋5.5＋6＝20.5.答案：20.5三、解答题9．某市环境保护局信访工作流程如下：(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．据上画出该局信访工作流程图．解：流程图如图所示．10．明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，煮牛奶15分钟，吃早饭10分钟，查公交线路图9分钟，给出差在外的父亲发手机短信6分钟，走到公共汽车站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，不幸的是他一下子睡到7：00！请你帮小强安排一下时间，画出一份郊游出行前时间安排流程图，使他还能来得及参加此次郊游．解：出行前时间安排流程图如图所示．这样需要50分钟，故可以赶上7：50的公共汽车，并来得及参加此次郊游．6．3程序框图[读教材·填要点]程序框图程序框图就是算法步骤的直观图示，算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来连接．用程序框图表示的算法，比用自然语言描述的算法更加直观明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序．[小问题·大思维]1．程序框图和流程图有什么区别和联系？ 提示：(1)程序框图是流程图的一种．(2)程序框图有一定的规范和标准，而日常生活中的流程图则相对自由一些，可以使用不同的色彩，也可以添加一些生动的图形元素．2．下列关于流程图、程序框图、工序流程图的说法，哪一个是正确的？ ①流程图只有一个起点和一个终点； ②程序框图只有一个起点和一个终点； ③工序流程图只有一个起点和一个终点．提示：流程图通常有一个起点，一个或多个终点．工序流程图可以有多个终点，而程序框图只有一个终点．故说法②正确．画程序框图国庆期间，某旅行社组团旅游，每团人数x (人)不超过60(人)时的飞机票单价为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900， x ∈(0，20]，850， x ∈(20，40]，800， x ∈(40，60]，试画出计算飞机票单价的程序框图． [自主解答] 程序框图如下：若人数大于60人，给出提示：“超员！”，则如何改动程序框图？ 解：在判断框“――→是”后加一“判断执行框”，其程序框图如图所示：画算法的程序框图时，注意自上而下，分而治之的方法，即为先全局后局部，先整体后细节，先抽象后具体的逐步细化过程．这样得到的程序框图结构清晰，一目了然．1．高二(1)班共有40名学生，每一次考试数学老师总要统计成绩在100分～150分，80分～100分和80分以下的各分数段的人数，请你帮助老师设计一个程序框图，解决上述问题．解：程序框图如图所示．读程序框图(全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()A．2B．3C．4 D．5[自主解答]运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.[答案] B读图的关键是根据程序框图理解算法的功能，进而利用算法读出输出结果．2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．3B．－6C．10 D．－15解析：第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，结束循环，输出的S＝－15.答案：D某工厂2017年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图．[巧思]由题意，2017年的年产量为200万辆，以后每年的年产量都等于前一年的年产量乘以(1＋5%)，考虑利用循环结构设计算法．[妙解]算法如下：第一步，令n＝0，a＝200，r＝0.05.第二步，T＝ar(计算年增量)．第三步：a＝a＋T(计算年产量)．第四步，如果a≤300，那么n＝n＋1，返回第二步；否则执行第五步．第五步，N＝2017＋n＋1.第六步，输出N.程序框图如图所示．1．下列对程序框图的描述正确的是()A．程序框图中的循环可以是无尽的循环B．对一个程序来说，判断框中的条件是唯一的C．任何一个程序框图中都必须有判断框D．任何一个算法都离不开顺序结构解析：顺序结构是最基本、最简单的一种算法结构，其他任何一个算法结构都含有顺序结构．答案：D2．执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x解析：输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝12，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝⎛⎭⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 答案：C3．(全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：执行程序框图，S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2；S ＝100－10＝90，M ＝1， t ＝3，S <91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2.答案：D4．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y 的值为3，那么应输入x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x >6，6，2<x ≤6，5－x ，x ≤2的函数值，由题意，若x ＞6，则当y ＝3时，x －3＝3，解得x ＝6，舍去；若x ≤2，则当y ＝3时，5－x ＝3，解得x ＝2， 故输入的x 值为2. 答案：B5. 按如图所示的程序框图运算，若输入x ＝7，则输出k 的值是________．解析：依题意，执行题中的程序框图，当输入x ＝7时， 进行第一次循环时，x ＝15，k ＝1；x ＝15≤115， 进行第二次循环时，x ＝31，k ＝2；x ＝31≤115， 进行第三次循环时，x ＝63，k ＝3；x ＝63≤115，进行第四次循环时，x ＝127，k ＝4；x ＝127>115，此时结束循环，输出k ＝4. 答案：46．设计程序框图，求出12×⎝⎛⎭⎫－23×34×⎝⎛⎭⎫－45×…×99100的值． 解：程序框图如图所示．一、选择题1．下列问题中，可以只用顺序结构就能解决的是( )A ．求关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根B ．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x ，x <0的值C ．求1＋4＋7＋10＋13的值D ．时钟的运行解析：A 项还应用到条件结构，B 项也应用到条件结构，D 项应用到循环结构． 答案：C2.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34解析：第一次运算：s ＝0×2＋2＝2，k ＝1； 第二次运算：s ＝2×2＋2＝6，k ＝2； 第三次运算：s ＝6×2＋5＝17，k ＝3>2， 结束循环，s ＝17. 答案：C3．执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：执行循环体，第一次循环，M ＝2，S ＝5，k ＝2； 第二次循环，M ＝2，S ＝7，k ＝3.故输出的S ＝7. 答案：D4．(全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n >1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：程序框图中A ＝3n －2n ，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n －2n >1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.答案：D 二、填空题5．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 的值的范围是________．解析：本题是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ， x <－1，x 2， －1≤x ≤1，x ＋1， x >1的值的算法流程．当0≤3－x≤10时，－7≤x＜－1；当0≤x2≤10时，－1≤x≤1；当0≤x＋1≤10时，1＜x≤9.故输入的x的范围是[－7,9]．答案：[－7,9]6．执行如图所示的程序框图，输出的s是________．解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.答案：－67．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．解析：第一步：a＝1＋2＝3；第二步：a＝3＋2＝5；第三步：a＝5＋2＝7；第四步：a＝7＋2＝9>8，满足条件，退出循环，所以输出的a的值为9.答案：98．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s为________．解析：第一次执行后，s 1＝0＋1＝1，s ＝1，i ＝2； 第二次执行后，s 1＝1＋1.5＝2.5，s ＝12×2.5＝1.25，i ＝3；第三次执行后，s 1＝2.5＋1.5＝4，s ＝43，i ＝4；第四次执行后，s 1＝4＋2＝6，s ＝14×6＝1.5，i ＝5>4，结束循环，故输出的结果s 为1.5. 答案：1.5 三、解答题9.如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．并画出程序框图．解：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，2(12－x )， 8＜x ≤12.程序框图如图：10．用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出程序框图．解：购买时付款150元，余款1 000元分20次付清，每次的付款数组成一个数列{a n}．a1＝50＋(1150－150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5(元)，…a n＝50＋[1 150－150－(n－1)×50]×1%＝60－12(n－1)(n＝1,2…，20)，∴a20＝60－12×19＝50.5(元)．总和S＝150＋60＋59.5＋…＋50.5＝1 255(元)．程序框图如图：1．框图的分类框图包括流程图和知识结构图，流程图主要包括程序框图和工序流程图．2．框图的画法(1)流程图的画法：①分解步骤：将整个过程分解为若干个基本单元；②理清关系：分析各个基本单元之间的逻辑关系；③表述关系：将各个基本单元用简洁的语言或符号表述出来；④画图连线：绘制框图，并用流程线连接起来．(2)知识结构图的画法：①确定基本元素：确定组成结构图的基本元素；②确定关系：确定基本元素之间的先后顺序或从属关系；③画图连线：绘制框图，并用连线或方向箭头连接．3．对框图的理解(1)框图是自然语言的直观、明确的表示，根据需要，可以从左到右，也可以从上到下．(2)流程图具有时间特征，是动态过程，而结构图则是静态的．(3)连线可以用线段，也可以用箭头．当流程图或结构图具有一定的方向性时，一定要用箭头．程序框图和工序流程图[例1]已知函数f(x)＝x2，把区间[－3,3]10等分，画出求区间端点及等分点函数值算法的程序框图．[解]x的值依次取－3，－3＋0.6，－3＋0.6×2，－3＋0.6×3，…，－3＋0.6×9,3，共11个值，恰好是公差为0.6的等差数列，可用循环结构实现．程序框图如图所示．画此类程序框图时，一定要弄清用哪种结构能实现题目中要求的功能，其循环的次数一定要不多不少，输出的结果是循环几次之后而得出的，这些都是很容易出错的地方．[例2]某大型公司的职工招聘流程如下：(1)公司有用人要求或公司出现新职位，则申请公司批准招聘职工，否，则终止；是，则看是否有工作说明书；(2)工作说明书，有，则修订；无，则形成工作说明书；。
[2021精选]湘教版数学选修2-2章末检测5数系的扩充与复数 含解析
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章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，假设集合S ＝{－1,0,1}，那么( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i ∈S答案 B2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，那么“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．3．(2021·天津改编)i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，那么m ＋n im －n i＝ ( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i.4．a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，那么a 等于 ( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2 答案 A解析a－i1＋i＝(a－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(a－1)－(a＋1)i2是纯虚数，那么a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.5．假设(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，那么复数x＋y i等于() A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i答案 B解析∵(x－i)i＝y＋2i，x i－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，∴x＋y i＝2＋i.6．2＋a i，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，那么p，q的值为() A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5答案 A解析由条件知2＋a i，b＋i是共轭复数，那么a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.7．(2021·新课标Ⅰ)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A．－4 B．－45C．4 D.45答案 D解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5(3＋4i)25＝35＋45i，故z的虚部等于45，应选D.8．i是虚数单位，假设1＋7i2－i＝a＋b i(a，b∈R)，那么ab的值是()A．－15 B．3 C．－3 D．15 答案 C解析1＋7i 2－i＝(1＋7i )(2＋i )5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.9．(2021·广东)假设复数z 满足i z ＝2＋4i ，那么在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2) 答案 C 解析 z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，应选C.10．f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，那么集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个 答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题11．复平面内，假设z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，那么实数m 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎨⎧m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4. 12．(2021·天津)a ，b ∈R ，i 是虚数单位．假设(a ＋i)(1＋i)＝b i ，那么a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.13．(2021·山东改编)假设复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数z ＝________. 答案 5－i解析 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝z ＝5－i.14．以下说法中正确的序号是________．①假设(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，那么必有⎩⎨⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④假设一个数是实数，那么其虚部不存在；⑤假设z ＝1i ，那么z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，那么⎩⎨⎧2x －1＝y1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 三、解答题15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得mm ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得mm ＝3时，z 是纯虚数．16．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N )，求集合{x |x ＝f (n )}中元素的个数． 解 ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n .设k ∈N .当n ＝4k 时，f (n )＝2，当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k ·i ＋(－i)4k ·(－i)＝0，当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k ·i 2＋(－i)4k ·(－i)2＝－2， 当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k ·i 3＋(－i)4k ·(－i)3＝0， ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．17．(2021·山东德州期中)z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)假设ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)假设z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， |ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2. 18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)假设ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． (1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，那么z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a . 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
湘教版数学选修2-2配套课件：5-3复数的四则运算
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
例3 求满足下列条件的复数z： (1)z2＝－7－24i；
(2)(3－i)z＝4＋2i.
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，依题意得： x2－y2＋2xyi＝－7－24i，x22x－y＝y2－＝2－4，7， 解得xy＝＝3－，4 或xy＝＝－4，3， 则 z＝3－4i或z＝－3＋4i.
规律方法 (1)类比实数运算，若有括号，先计算括 号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再 确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加 减．
跟 踪 演 练 1 (1) 若 z － (1 ＋ i) ＝ 1 ＋ i ， 则 z ＝
________.
(2)计算(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝________. 答案 (1)2＋2i (2)－1－8i
跟踪演练2 计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－ 3i)． 解 原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－4i－3i＋i2)＋(28－21i－4i＋3i2) ＝2(11－7i)＋(25－25i) ＝47－39i.
要点三 在复数范围内求解实系数一元二次方程问 题
解得xy＝＝21， 或xy＝＝－－21. ∴z＝2＋i或z＝－2－i， 即3＋4i的平方根是2＋i或－2－i.
再见
编后语
湘教版高中数学选修2-2《几个幂函数的导数》导学案
3.2.1 几个幂函数的导数典例剖析:题型一求函数的导数例1.求函数3()y f x x==的导数题型二求函数的导数值例2.函数2()y f xx==，求)2(f'的值。
备选题例3：证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1<x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.点击双基1.质点运动方程是S=3t 。
则质点在t=2时的瞬时速度为（ ）A ．6B ．12C ．8D ．92.求曲线f(x)= 2x 在点P （-2，4）处的切线方程为（ ）A ．y=4x-4,B ．y=4x+4C ．y=-4x+4D ．y=-4x-43.下列各式中不正确的是（ ）A ．y=8,则'y =0,B ．y=3x, ,则'y =3C ．y=x 1,则'y =21x. D ．y=3x ,则'y =32x 4.曲线y=21x 在点（2，21）处的切线斜率k= . 5.抛物线y=2x 上到直线x+2y+4=0距离最短的点的坐标 . 课外作业一．选择题，1.曲线3x -y=0在点（-2，-8）处切线方程是（ ）A ．y=12x-16B ．y=6x-16C ．y=12x+16D ．y=6x+82.曲线f(x)=x 点（4，2）处切线方程是（ ）A ．x-4y+4=0B ．x+4y+4=0C ．4x-y+4=0.D ．4x+y+4=03.曲线2y x =在点（21，41）处的倾斜角为（ ） A ．1 B ．4π C ．4π- D ．45π 4.已知3)(x x f =，则)3(f '的值为（ ）A ．3B ．9C ．27D ．- 275.曲线f(x)= 2x 在点P （2，4）处的切线与x 轴以及 M直线x=3所围成的三角形的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 6.曲线3x -y=0在点P 处切线方程是3x-y-2=0,则P 点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，-1）C ．（1，1），（-1，-1）D ．（2，8）7.曲线xy=1在点（1，1）处的切线与直线y=x 的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．6π D ．0 8.若右图是y=f(x)的导数图像则f(x)的解析式可能是（ ）A ． y=3xB ．y=-2xC ．y=2xD ．y=-3x 0 x 二．填空题9.已知y x =，则在5=x 处的导数 .10.如果曲线3x -y=0的切线与直线y=6x+3平行，则切线方程是 .11.抛物线y=2x 上的点到直线y=x-2的最短距离为 .三．解答题12.求f(x)=3x 在点P （1，1）处的导数及切线方程。
2020湘教版高二数学选修2-2(理科)电子课本课件【全册】
第4章 导数及其应用
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第4章 导数及其应用 4.1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度 4.1.3 导数的概念和几何意义 4.2.1 几个幂函数的导数 4.2.3 导数的运算法则 4.3.1 利用导数研究函数的单调性 4.3.3 三级函数的性质：单调区间和极值 4.5 定积分与微积分基本定理 *4.5.2 计算变力所做的功 4.5.4 微积分基本定理 5.1 解方程与数系的扩充 5.3 复数的四则运算 第6章 推理与证明 6.1.1 归纳 6.1.3 演绎推理 6.2 直接证明与间接证明 6.2.2 间接证明：反证法
高中数学 6.3 数学归纳法同步精练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题
高中数学 6.3 数学归纳法同步精练 湘教版选修2-21．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，验证n ＝1时等式的左边为( )．A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．03．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )． A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确 D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )．A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k＋15．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )．A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 6．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．7．将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N ＋)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n ＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)，都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f (2)＝2，f (3)＝__________，…，f (n )＝__________.甲乙8．证明tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n －1)α·tan nα＝tan nαtan α－n (n ≥2，n ∈N ＋)．9．某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍代的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量．(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2≈0.30)参考答案1．C 当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.2．C 在凸n 边形中，边数最少的是三角形． 3．B4．C 增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k.5．D 对于选项A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于选项B ，要求递推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于选项C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误． 对于选项D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立． 6．25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·32k ＋2当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·33k ＋2.7．10316(n ＋1)(n ＋2)8．证明：(1)n ＝2时，左边＝tan α·tan 2α，右边＝tan 2αtan α－2＝2tan α1－tan 2α·1tan α－2＝21－tan 2α－2＝2tan 2α1－tan 2α＝tan α·2tan α1－tan 2α＝tan α·tan 2α.∵左边＝右边，∴等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tankα＝tan kαtan α－k .当n ＝k ＋1时，tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＋tan kα·tan(k ＋1)α＝tan kαtan α－k ＋tan kα·tan(k ＋1)α＝tan kα[1＋tan α·tan (k ＋1)α]tan α－k＝1tan αtan(k ＋1)α－tan α]－k ＝tan(k ＋1)αtan α－(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 故由(1)(2)知，n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．9．解：(1)设第一年后的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ， ∴a 1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫54a －b －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542a －⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋1b ，a 3＝54a 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫543a －⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋54＋1b ，由上面的a 1，a 2，a 3推测a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2＋…＋⎦⎥⎤54＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1b (n ∈N ＋)．证明如下：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，结论成立．②假设当n ＝k 时，a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54k a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k －1b 成立． 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫54k a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k －1b －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54k ＋1a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k ＋1－1b . 也就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①和②可知，对n ∈N ＋结论成立．(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于79a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －11972a ＜79a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n＞5. 两边取常用对数，得n lg 54＞lg 5，即n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈7.∴经过8年后该地区就开始水土流失．。
湘教版高中数学选修2-2同步精练：5.4 复数的几何表示 含解析
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（)．A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i2．满足条件｜z｜＝|3＋4i｜的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）．A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆3．若x∈C，则方程|x｜＝1＋3i－x的解是（)．A．错误!＋错误!i B．－1或4C．－4＋3i D．错误!＋错误!i4．设z的共轭复数是错误!，若z＋错误!＝4，z·错误!＝8，则错误!等于（)．A．i B．－i C．±1D．±i5．已知复数z＝1－2i，那么错误!等于( )．A．错误!＋错误!i B．错误!－错误!iC．错误!＋错误!i D．错误!－错误!i6．若复数3－5i,1－i和－2＋a i在复平面内对应的点在一条直线上，则实数a＝________。
7．若z是实系数方程x2＋2x＋p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝__________。
8．已知z1＝2(1－i),｜z｜＝1，则|z－z1|的最大值是________．9．在复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|错误!|。
10．已知复数z1＝2＋i,2z2＝错误!。
（1)求z2；（2）若△ABC三内角A，B，C依次成等差数列,且u＝cos A＋2icos2错误!，求｜u＋z2｜的取值范围．参考答案1．C 6＋5i对应点A（6,5)，－2＋3i对应点B(－2，3)，则C错误!，即C(2，4)，所以点C对应的复数为2＋4i.2．C ∵｜3＋4i|＝5,∴|z|＝5表示以原点为圆心，以5为半径的圆．3．C 设x＝a＋b i，则错误!＝1＋3i－a－b i。
∴错误!⇒错误!即x＝－4＋3i。
4．D 设z＝a＋b i，则错误!＝a－b i（a，b∈R），∵z＋z＝4，z·z＝8，∴a＝2，a2＋b2＝8.∴b＝±2。
【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全集)课堂练习汇总
(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)课堂练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2, 那么在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1, d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．以下表达正确的选项是() A．在时间段[t0, t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1, t2, t3, t4＝1.000 1, 这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d, t0]与[t0, t0＋d](d>0)内当d趋于0时, 两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．s＝12gt2, v＝________.答案g解析v＝12g2－12g·323.1－3＝g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2, 那么在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2, d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值, 即用时间除位移得到, 而瞬时速度是物体在某一时间点的速度, 当时间段越来越小的过程中, 平均速度就越来越接近一个数值, 这个数值就是瞬时速度, 可以说, 瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的 "飞跃〞．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t), 那么求物体在t时刻瞬时速度的步骤为:(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d, 其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量;(2)对上式化简, 并令d趋于0, 得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.4．问题探索- -求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动, 其运动到圆周A处时() A．运动方向指向圆心OB．运动方向所在直线与OA垂直C．速度与在圆周其他点处相同D．不确定答案 B2．假设函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy), 那么Δy d等于() A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d答案 C解析Δyd＝2(1＋d)2－1－(2×12－1)d＝4＋2d.3．过曲线y＝2x上两点(0,1), (1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知, k＝2－11－0＝1.4．函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1, －2)及邻近一点(－1＋d, －2＋Δy), 那么Δyd＝________.解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1)＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d.∴Δyd＝－d2＋3dd＝－d＋3.答案－d＋31．求曲线y＝f(x)上一点(x0, y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy, 即f(x0＋d)－f(x0)．(2)化简Δyd, 用x0与d表示化简结果．(3)令d→0, 求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线 "在点(u, v)处的切线方程〞和 "过点(u, v)的切线方程〞．前者以点(u, v)为切点, 后者点可能在曲线上, 也可能不在曲线上, 即使在曲线上, 也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势, 刻画了曲线在这一区间升降的程度, 而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态, 它实现了由割线向切线质的飞跃．4．导数的概念和几何意义1．f(x)在x＝x0处可导, 那么limh→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关, 而与h无关C．仅与h有关, 而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．假设f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2, 以下选项正确的选项是() A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0答案 C3．函数y＝f(x)图象如图, 那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是() A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 A4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2), 那么在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________, 在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.答案3＋d 31．求导数的步骤主要有三步:(1)求函数值的增量: Δy＝f(x0＋d)－f(x0);(2)求平均变化率: Δyd＝f(x0＋d)－f(x0)d;(3)取极限: f′(x0)＝Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量, 其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．(2)f′(x)是指随x变化, 过曲线上的点(x, f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.4．导数的运算法那么1．以下结论不正确的选项是() A．假设y＝3, 那么y′＝0B．假设f(x)＝3x＋1, 那么f′(1)＝3C．假设y＝－x＋x, 那么y′＝－12x＋1D．假设y＝sin x＋cos x, 那么y′＝cos x＋sin x答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法那么求解．D项, ∵y＝sin x＋cos x,∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1, －1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2,∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2,∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1), 即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线, 那么实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0, y 0), ∵ y ′＝1x , ∴12＝1x 0,∴x 0＝2, ∴y 0＝ln 2, ln 2＝12×2＋b , ∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为根本函数的和、差、积、商, 再利用运算法那么求导数．在求导过程中, 要仔细分析出函数解析式的结构特征, 根据导数运算法那么, 联系根本函数的导数公式．对于不具备导数运算法那么结构形式的要进行适当恒等变形, 转化为较易求导的结构形式, 再求导数, 进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.4．2导数的运算4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表1．f(x)＝x2, 那么f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2, ∴f′(x)＝2x, ∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x, 那么f′(3)等于()A.36B．0 C.12xD.32答案 A解析∵f′(x)＝(x)′＝12x, ∴f′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y＝sin x上一点P, 以点P为切点的切线为直线l, 那么直线l的倾斜角的范围是()A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π B ．[0, π) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 3π4 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x , ∵k l ＝cos x , ∴－1≤k l ≤1, ∴αl ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π.4．曲线y ＝e x 在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x , ∴k ＝e 2,∴曲线在点(2, e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2), 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时, y ＝－e 2, 当y ＝0时, x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比拟简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式．解题时, 能认真观察函数的结构特征, 积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x , 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数, 一是注意函数的变化, 二是注意符号的变化．4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是减函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是增函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是减函数答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时, f ′(x )＝1＋1x ＞0, ∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数, 假设y ＝f ′(x )的图象如下图, 那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知, 当x ＜0时, f ′(x )＞0, 即函数f (x )为增函数; 当0＜x＜2时, f′(x)＜0, 即f(x)为减函数; 当x＞2时, f′(x)＞0, 即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．假设函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减, 那么实数a的取值范围是() A．[1, ＋∞) B．a＝1C．(－∞, 1] D．(0,1)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1, 又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立, ∴f′(0)≤0, 且f′(1)≤0, ∴a≥1.4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________, 减区间为________．答案(2, ＋∞)(－∞, 2)解析y′＝2x－4, 令y′＞0, 得x＞2; 令y′＜0, 得x＜2,所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2, ＋∞), 减区间为(－∞, 2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性, 导数绝|对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．4.3.2函数的极大值和极小值1．以下关于函数的极值的说法正确的选项是() A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．假设f(x)在(a, b)内有极值, 那么f(x)在(a, b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R, 导函数f′(x)的图象如下图, 那么函数f(x)() A．无极大值点, 有四个极小值点B．有三个极大值点, 两个极小值点C．有两个极大值点, 两个极小值点D．有四个极大值点, 无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧, f′(x)的符号由正变负, 那么f(x0)是极大值; f′(x)的符号由负变正, 那么f(x0)是极小值, 由图象易知有两个极大值点, 两个极小值点．3．f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值, 那么a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0,解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.假设f(x)的两个极值点为x1, x2, 且x1x2＝1, 那么实数a的值为________．解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由f′(x1)＝f′(x2)＝0, 从而x1x2＝2a18＝1,所以a＝9.1．在极值的定义中, 取得极值的点称为极值点, 极值点指的是自变量的值, 极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值, 解决一些方程的解和图象的交点问题.4.3.3三次函数的性质: 单调区间和极值1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7, 在x∈[3,5]上的最|大值和最|小值分别是() A．f(2), f(3) B．f(3), f(5)C．f(2), f(5) D．f(5), f(3)答案 B解析∵f′(x)＝－2x＋4,∴当x∈[3,5]时, f′(x)<0,故f(x)在[3,5]上单调递减,故f(x)的最|大值和最|小值分别是f(3), f(5)．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)() A．有最|大值, 但无最|小值B．有最|大值, 也有最|小值C．无最|大值, 但有最|小值D．既无最|大值, 也无最|小值解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1), 当x ∈(－1,1)时, f ′(x )＜0, 所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数, 无最|大值和最|小值, 应选D. 3．函数y ＝x －sin x , x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π的最|大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析 因为y ′＝1－cos x , 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π, 时, y ′＞0, 那么函数在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π上为增函数, 所以y 的最|大值为y max ＝π－sin π＝π, 应选C. 4．(2021·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的值域为 ( )A. B.C.D.答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2, f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调增函数, ∴f (x )min ＝f (0)＝0, f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最|大值为10, 那么其最|小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76, f(3)＝k－27,f(－1)＝k＋5, f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10, 得k＝5,∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数y＝f(x)在[a, b]上的最|值(1)极值是局部区间内的函数的最|值, 而最|值是相对整个区间内的最|大或最|小值．(2)求最|值的步骤:①求出函数y＝f(x)在(a, b)内的极值;②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比拟, 其中最|大的一个是最|大值, 最|小的一个是最|小值．2．极值与最|值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质, 是在局部对函数值的比拟;函数的最|值是表示函数在一个区间上的情况, 是对函数在整个区间上的函数值的比拟．(2)函数的极值不一定是最|值, 需要将极值和区间端点的函数值进行比拟, 或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值, 那么极大值就是最|大值, 极小值就是最|小值．(4)可导函数在极值点的导数为零, 但是导数为零的点不一定是极值点．例如,函数y＝x3在x＝0处导数为零, 但x＝0不是极值点．4.4生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热, 如果第x小时,原油温度(单位: ℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5), 那么, 原油温度的瞬时变化率的最|小值是()A．8 B.203C．－1 D．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5), 所以当x＝1时, 原油温度的瞬时变化率取得最|小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V, 那么其外表积最|小时底面边长为()A.3VB.32VC.34V D．23V答案 C解析设底面边长为x, 那么外表积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0, 得x＝34V.3. 在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的方底箱子, 箱底边长为多少时, 箱子容积最|大? 最|大容积是多少?解设箱底边长为x cm, 那么箱高h＝60－x2cm, 箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0,解得x＝0(舍去)或x＝40, 并求得V(40)＝16 000.由题意知, 当x过小(接近0)或过大(接近60)时, 箱子容积很小, 因此, 16 000是最|大值．答当x＝40 cm时, 箱子容积最|大, 最|大容积是16 000 cm3.4．统计说明: 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．甲、乙两地相距100千米, 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最|少? 最|少为多少升?解 当速度为x 千米/时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时, 设耗油量为h (x )升,依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120),h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0, 得x ＝80.因为x ∈(0,80)时, h ′(x )<0, h (x )是减函数; x ∈(80,120)时, h ′(x )>0, h (x )是增函数,所以当x ＝80时, h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值, 所以它是最|小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最|少, 最|少为．1．解有关函数最|大值、最|小值的实际问题, 在分析问题中的各个变量之间的关系的根底上, 列出符合题意的函数关系式, 并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时, 有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0, 如果函数在该点取得极大(小)值, 极值就是函数的最|大(小)值, 因此在求有关实际问题的最|值时, 一般不考虑端点．4．5.3 定积分的概念1．定积分⎠⎛011d x 的值等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．2 答案 B2．⎠⎛13f (x )d x ＝56, 那么 ( )A.⎠⎛12f (x )d x ＝28B.⎠⎛23f (x )d x ＝28C.⎠⎛122f (x )d x ＝56 D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝56 答案 D3．如下图, ⎠⎛a b f 1(x )d x ＝M , ⎠⎛ab f 2(x )d x ＝N , 那么阴影局部的面积为( )A ．M ＋NB ．MC ．ND ．M －N 答案 D4．不用计算, 根据图形, 用不等号连接以下各式( )(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x (图1); (2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x (图2); (3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)<1．定积分可以表示图形的面积从几何上看, 如果在区间[a , b ]上, 函数f (x )连续且恒有f (x )≥0, 那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 就表示由直线x ＝a , x ＝b (a ≠b ), y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积, 这就是定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义．2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的, 定积分的值也为正, 如果被积函数是负的, 函数曲线在x 轴之下, 定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时, 定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．3．此外, 定积分还有更多的实际意义, 比方在物理学中, 可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．4．定积分是一个数值(极限值), 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性), 另外定积分⎠⎛a b f (x )d x 与积分区间[a , b ]息息相关, 不同的积分区间, 所得的值也不同, 例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.4．5.4 微积分根本定理1．(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ,＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2, 那么a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2, 解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.答案 43解析 ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43.4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π0≤x ≤π2cos xπ2<x ≤π, 计算⎠⎛0πf (x )d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx , 那么F 1′(x )＝4x －2π; 取F 2(x )＝sin x , 那么F 2′(x )＝cos x .1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数, 要先化简, 再求积分．(2)假设被积函数是分段函数, 依据定积分 "对区间的可加性〞, 分段积分再求和．(3)对于含有绝|对值符号的被积函数, 要去掉绝|对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值, 也可取负值, 还可以取0, 而面积是正值, 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和, 而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．4.5定积分与微积分根本定理4．5.1曲边梯形的面积4．5.2计算变力所做的功1．由直线x＝1, x＝2, y＝0和y＝x＋1围成的图形的面积为()A.32B．2 C.52D．3答案 C解析 S ＝12(2＋3)×1＝52.2．抛物线y ＝x 2与直线x ＝0, x ＝1, y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 B3.∑6k ＝1(1k －1k ＋1)＝________.答案 674．和式1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)当n →∞时, 能无限趋近于一个常数A , 此时, A的几何意义是表示由y ＝f (x )和x ＝0, x ＝1以及x 轴围成的图形面积, 根据和式, 可以确定f (x )＝________. 答案 x p解析 因为1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝1n ·[(1n )p ＋(2n )p ＋…＋(n n )p ],所以当n →∞时, 和式表示函数f (x )＝x p 和x ＝0, x ＝1, 以及x 轴围成的曲边梯形面积, 填x p .1．曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积, 不能用已有的面积公式计算, 为了计算曲边梯形的面积, 可以将它分割成许多个小曲边梯形, 每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替, 对这些近似值求和, 就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时, 这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 2．变力所做的功变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的, 仍然是 "化整为零, 以直代曲〞的策略．虽然它们的意义不同, 但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题, 能使我们更好地了解定积分的概念．5．3 复数的四那么运算1．假设z－3－2i＝4＋i, 那么z等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．假设复数z1＝1＋i, z2＝3－i, 那么z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i, 应选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法那么设z1＝a＋b i, z2＝c＋d i(a, b, c, d∈R), 那么有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减), 就是把实部与实部、虚部与虚局部别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法那么(1)复数乘法的法那么复数的乘法与多项式的乘法是类似的, 但必须在所得的结果中把i2换成－1, 并且把实部、虚局部别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z1, z2, z3∈C, 有z1·z2＝z2·z1(交换律),(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律),z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法那么在无理式的除法中, 利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地, 在复数的除法运算中, 也存在所谓 "分母实数化〞问题．将商a＋b ic＋d i的分子、分母同乘以c－d i, 最|后结果写成实部、虚局部开的形式: a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝(ac＋bd)＋(－ad＋bc)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋－ad＋bcc2＋d2i即可.5．4 复数的几何表示1．在复平面内, 复数z＝i＋2i2对应的点位于() A．第|一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i, ∴实部小于0, 虚部大于0, 故复数z对应的点位于第二象限．2．当0<m <1时, z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 ∵0<m <1, ∴m ＋1>0, －1<m －1<0, 故对应的点在第四象限内． 3．在复平面内, O 为原点, 向量OA→对应的复数为－1＋2i, 假设点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B , 那么向量OB→对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1), ∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上, 那么实数m 的值为________． 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上, ∴m －3＝2m , 解之得m ＝9.1．复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1, 而不是i.(3)当a ＝0时, 对任何b ≠0, a ＋b i ＝0＋b i ＝b i(a , b ∈R )是纯虚数, 所以纵轴上的点(0, b )(b ≠0)都表示纯虚数．(4)复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R )中的z , 书写时应小写, 复平面内点Z (a , b )中的Z , 书写时应大写． 2．共轭复数当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做共轭复数．设复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R ), 那么其共轭复数z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．5．1 解方程与数系的扩充5．2 复数的概念1．复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚局部别是2和3, 那么实数a , b 的值分别是( )A.2, 1B.2, 5 C ．±2, 5 D ．±2, 1 答案 C解析 令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3, 得a ＝±2, b ＝5.2．以下复数中, 满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i 答案 C3．以下命题正确的选项是( )A ．假设a ∈R , 那么(a ＋1)i 是纯虚数B ．假设a , b ∈R 且a >b , 那么a ＋i>b ＋iC ．假设(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数, 那么实数x ＝±1D ．两个虚数不能比拟大小 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a , b ∈R ), 当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A中, 假设a＝－1, 那么(a＋1)i不是纯虚数, 故A错误;在B中, 两个虚数不能比拟大小, 故B错误;在C中, 假设x＝－1, 不成立, 故C错误; D正确．4．在以下几个命题中, 正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;③1－a i(a∈R)是一个复数;④虚数的平方不小于0;⑤－1的平方根只有一个, 即为－i;⑥i是方程x4－1＝0的一个根;⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案 B解析命题①②③⑥正确, ④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋b i(a, b∈R), 可以限制a, b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等, 要先确定两个复数的实、虚部, 再利用两个复数相等的条件进行判断.第6章推理与证明6．1合情推理和演绎推理6．1.1 归纳1．关于归纳推理以下说法正确的选项是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到特殊的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23,1＋35＋3＞15, ,7＋0.5)＞37, 运用归纳推理, 可猜测出的合理结论是()A.c＋ba＋b>caB.1＋1 n＋1>1nC．假设a, b, c∈(0, ＋∞), 那么b＋ca＋c ＞b aD．假设a＞b＞0, c＞0, 那么b＋ca＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20, x,47, …中的x等于________．答案324．观察以下不等式: |2＋3|≤|2|＋|3|, |(－3)＋5|≤|－3|＋|5|, |－2－3|≤|－2|＋|－3|, |4＋4|≤|4|＋|4|, 归纳出一般结论为______________________(x, y∈R)．答案|x＋y|≤|x|＋|y|解析观察易发现: 两个实数和的绝|对值不大于这两个数的绝|对值的和, 即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系, 前提正确, 其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点: (1)归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理, 因此, 由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质, 结论不一定真实, 因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理得到的猜测可以作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题.6．1.2类比1．下面几种推理是类比推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°, 归纳出所有三角形的内角和都是180°;③张军某次考试成绩是100分, 由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形的内角和为180°, 四边形的内角和为360°, 五边形的内角和为540°,由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．①②B．①③C．①D．②④答案 C2．下面使用类比推理恰当的是() A． "假设a·3＝b·3, 那么a＝b〞类推出 "假设a·0＝b·0, 那么a＝b〞B． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc〞C． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc(c≠0)〞D． "(ab)n＝a n b n〞类推出 "(a＋b)n＝a n＋b n〞答案 C解析由类比推理的特点可知．3．扇形的弧长为l, 半径为r, 类比三角形的面积公式S＝底×高2, 可推知扇形的面积公式S扇形等于________．答案lr 24．由三角形的性质通过类比推理, 得到四面体的如下性质: 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体内切球的球心, 那么原来三角形的性质为________．答案 三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心 解析 二面角类比角, 平分面类比平分线, 故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心．1．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行比照, 找出假设干相同或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 类比推理所引出的结论并不一定真实．2．类比推理的特点: ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性, 它以旧的认识作根底, 类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的, 尽管不一定可靠, 但它却具有发现的功能.6.1.3 演绎推理6．1.4 合情推理与演绎推理的关系1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行, 同旁内角互补, 如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角, 那么∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人, 2班有54人, 3班有52人, 由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质, 推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2), 由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析A是演绎推理, B、D是归纳推理, C是类比推理．2． "因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提), 又y＝x是对数函数(小前提), 所以y＝x是增函数(结论)．〞以下说法正确的选项是() A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错．3．把 "函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线〞恢复成三段论, 那么大前提: ________; 小前提: ________; 结论: ________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4. "如图, 在△ABC中, AC>BC, CD是AB边上的高, 求证: ∠ACD>BCD〞．证明在△ABC中,因为CD⊥AB, AC>BC,①所以AD>BD,②于是∠ACD>∠BCD.③那么在上面证明的过程中错误的选项是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD, 得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是 "在同一三角形中, 大边对大角〞, 小前提是"AD>BD〞, 而AD与BD不在同一三角形中, 故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发, 推出某个特殊情况的推理方法; 只要前提和推理形式正确, 通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中, 证明命题的正确性都要使用演绎推理, 推理的一般模式是三段论, 证题过程中常省略三段论的大前提．6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明: 分析法与综合法1．y>x>0, 且x＋y＝1, 那么()A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y答案 D解析∵y>x>0, 且x＋y＝1, ∴设y＝34, x＝14,那么x＋y2＝12, 2xy＝38, ∴x<2xy<x＋y2<y, 应选D.2．欲证2－3<6－7成立, 只需证() A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质, a>b>0时, 才有a2>b2,∴只需证: 2＋7<6＋3,只需证: (2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证: 1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a ＝log a b , 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2, 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．1－tan α2＋tan α＝1, 求证: cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α), 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3, 只需证1－tan α1＋tan α＝3,只需证1－tan α＝3(1＋tan α), 只需证tan α＝－12, ∵1－tan α2＋tan α＝1, ∴1－tan α＝2＋tan α, 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立, ∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发, 由因导果; 分析法是从结论出发, 执果索因． 2．分析法证题时, 一定要恰当地运用 "要证〞、 "只需证〞、 "即证〞等词语． 3．在实际证题过程中, 分析法与综合法是统一运用的, 把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合; 没有综合也没有分析．问题仅在于, 在构建命题的证明路径时, 有时分析法居主导地位, 综合法伴随着它; 有时却刚刚相反, 是综合法居主导地位, 而分析法伴随着它.6.2.2 间接证明: 反证法。
湘教版高中数学选修2-2同步精练：4.2.3 导数的运算法则 含解析
1．设f(x）＝x ln x，若f′（x0)＝2,则x0的值是( )．A．e2B．e C．错误!D．ln 22．函数f(x）＝错误!的导数是（)．A．错误!（x＞0）B．错误!（x＞0）C．错误!(x＞0) D．错误!(x＞0）3．有下列求导运算：①(2x3－cos x)′＝6x2＋sin x；②错误!′＝错误!；③（3＋x2)(2－x3）]′＝2x（2－x3)＋3x2(3＋x2）；④错误!′＝错误!；⑤错误!′＝错误!；⑥(tan x)′＝错误!。
其中正确的有（)．A．①②③⑤B．②④⑤⑥C．①②⑤⑥D．①②③④⑤⑥4．已知函数f（x)＝x(x2＋1）（x3＋2）…(x2 010＋2 009)，则f′(0)＝（)．（注:1×2×3×…×n＝n!)A．2 009! B．2 010! C．2 011! D．x!5．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为( ）．A．(2，15) B．(15,2)C．(2，－15）D．（－2,15）6．曲线y＝f（x）＝错误!在原点处的切线的倾斜角是________．7．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________．8．半径为r的圆的面积S（r）＝πr2,周长C(r)＝2πr,若将r看作(0，＋∞)上的变量，则（πr2)′＝2πr,该式子可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：________,该式子可用语言叙述为__________________________________________________________．9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1），且在点(2,－1）处与直线y＝x－3相切,求a，b，c的值．10．求经过原点与曲线y＝错误!相切的直线的方程．参考答案1．B ∵f ′(x )＝(x ln x ）′＝ln x ＋1，∴f ′（x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e.2．C ∵f (x ）＝17118824x x x x ⋅⋅=，∴f ′（x )＝1878x -（x ＞0)． 3．C ③中,(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3）－3x 2（3＋x 2）．④中，错误!′＝错误!，故③④错误，①②⑤⑥正确．4．A 设g （x ）＝(x 2＋1)（x 3＋2）…(x 2 010＋2 009 )，则g (0)＝1×2×3×…×2 009＝2 009!.又∵f (x )＝xg (x ），∴f ′(x ）＝g (x )＋xg ′(x )．∴f ′（0)＝g (0)＋0×g ′（0）＝g (0)＝2 009!.5．D ∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)（x 0＜0），则点P 处的切线斜率k ＝3x 02－10＝2，∴x 0＝－2。
2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步练习：6.3 数学归纳法应用案巩固提升 Wor
姓名，年级：时间：[A 基础达标]1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( ）A．2 B．3C．5 D．6解析：选C.当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5，故选C。
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k ＋2时命题也成立,则( )A．该命题对于n〉2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k的取值无关D．以上答案都不对解析：选B.因为n＝2时成立，若n＝k取2时，n＝k＋2为偶数也成立,即该命题对所有正偶数都成立．3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＊）B．假设n＝2k－1时正确,再推n＝2k＋1时正确（k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确（k∈N＊）D．假设n≤k（k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析：选B.n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N＊)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N＊）时成立，就完成了归纳递推．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )A．k2＋1B．(k＋1)2C.错误!D．（k2＋1)＋（k2＋2)＋…＋(k＋1）2解析：选D。
当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2,当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2）＋…＋（k＋1)2,故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2，故选D.5．若k棱柱有f(k）个对角面,则k＋1棱柱的对角面的个数为（）A．f(k）＋k－1B．f（k）＋kC．f(k)＋k＋1D．f(k)＋k－2解析：选A。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 6.3 数学归纳法》
教学设计上杭一中游华秀【教学内容剖析】《数学归纳法》是湘教版选修教材2—2第六章第三节内容，本节课是第一课时。
前面学生已经学习了推理与证明的各种方法，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。
并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
【教学目标确定】1、知识和技能1 了解数学归纳法的原理；2 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；3 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。
进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。
为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．【教学过程设计】一、问题导入在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．问题：数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）使第一张牌能倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 4.3.2 函数的极大值和极小值》
函数的极值与导数一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性二．教学目标1 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；2 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；3 会用导数求函数的极值；4 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；5 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点重点：会用导数求函数的极值．难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程、创设情景，导入新课【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。
[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。
不到长城非好汉，屈指行程二万。
6.3数学归纳法_课件-湘教版数学选修2-2
∵3k1＋2＋3k1＋4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k2＋1，
∴3k1＋2＋3k1＋4－3k2＋1>0.
∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254.
n＝1， n≥2.
(2)证明：①当 n＝2 时，a2＝5×22－2＝5，猜想 成立．
②假设 n＝k 时成立，即 ak＝5×2k－2(k≥2，k∈ N＋)，
当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有
ak＋ 1＝ Sk＝ a1＋ a2＋ … ＋ak＝5＋ 5＋ 10＋ …＋ 5×2k－2
＝ 5＋5 11－－22k－ 1＝ 5× 2k－1.
3n1＋1>2a4对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的
最大值，并证明你的结论． 证明：取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，
令2264>2a4⇒a<26，而 a∈N＋，∴取 a＝25.
下
面
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 n＋
1
＋
1 n＋
2
＋
…
＋
1 25 3n＋1>24.
(1)n＝1 时，已证结论正确． (2)假设 n＝k(k∈N＋)时，k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k1＋1>2254 成立，则当 n＝k＋1 时， 有k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3
当 n＝k＋1 时，
1 2×4
＋
1 4×6
湘教版数学选修2-1高二上学期同步测试选修.docx
图10-11学年高二上学期同步测试数学：选修2-1第3单元（湘教版）选修2-1第3单元说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。
1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相 等的向量是（ ）A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．c b a +-2121D ．c b a +--21213．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是图图AA 1DCB B 1C 1图（ ）A ．1715B ．21 C ．178D ．235．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ） A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 6．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离 （ ） A ．515B ．55 C ．552 D ．1057．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点。
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（湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度一、基础达标1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d() A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠0答案 D2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲() A．8 B．8＋2dC．8d＋2d2D．4d＋2d2答案 C解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲() A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1答案 D解析v＝3＋2.12－3－220.1＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲s＝18t2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲()A．2 B．1 C.12 D.14答案 C解析ΔsΔt＝18(2＋Δt)2－18×22Δt＝12＋18Δt→12(Δt→0)．5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________．答案4＋2d解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－11＋d－1＝4＋2d.6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1.(1)t＝2到t＝2.1；(2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求:(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1)2－1＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d＝－7d －8d 2－3d 3d ＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式爲h ＝12gt 2, 则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1时刻的瞬时速度爲________． 答案 12g g ＋12g Δt g 解析 12g ×12－12g ×021－0＝12g .12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋12g Δt . 当Δt →0时, g ＋12g Δt →g .10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式爲h ＝12gt 2, t ＝2时的瞬时速度爲19.6, 则g ＝________. 答案 9.8解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋12g Δt . 当Δt →0时, 2g ＋12g Δt →2g . ∴2g ＝19.6, g ＝9.8.11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度． 解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2, ∴平均速度爲Δsd ＝9＋2d .12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问:(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?(2)甲、乙二人百米赛跑, 快到终点时, 谁跑得快(设Δs爲s的增量)?解(1)由题图①在(0, t]时间段内, 甲、乙跑过的路程s甲<s乙, 故宥s甲t<s乙t即在任一时间段(0, t]内, 甲的平均速度小于乙的平均速度, 所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知, 在终点附近[t－d, t)时间段内, 路程增量Δs乙>Δs甲, 所以Δs乙d>Δs甲d即快到终点时, 乙的平均速度大于甲的平均速度, 所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量爲10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动, 求运动开始后4秒时物体的动能．解s(Δt＋4)－s(4)Δt＝3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝3Δt＋25, 当Δt→0时, 3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度爲25.∴物质的动能爲12m v2＝12×10×252＝3 125(J)4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线一、基础达标1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2), 则A处的切线斜率等于() A．2 B．4C．6＋6d＋2d2D．6答案 B2．已知曲线y＝12x2－2上的一点P(1, －32), 则过点P的切线的倾斜角爲()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行, 则切点坐标爲() A．(－1, －8) B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1, －1)答案 B4．曲线y＝x－2在点P(3,1)处的切线斜率爲()A．－12B．0 C.12D．1答案 C解析(3＋Δx)－2－3－2Δx＝Δx＋1－1Δx＝1Δx＋1＋1.当Δx→0时,1Δx＋1＋1→12.5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率爲2, 则曲线上该切点的坐标爲________．答案(1,2)6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程爲________．答案2x－y＋1＝0解析(1＋Δx)2＋2－(12＋2)Δx＝Δx＋2,当Δx→0时, Δx＋2→2.所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率爲2, 其方程爲y－3＝2(x－1)．即爲2x－y＋1＝0.7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行, 求点P的坐标及切线方程．解设点P(x0, y0),f(x0＋d)－f(x0)d＝(x0＋d)2－x20d＝d＋2x0,d→0时, d＋2x0→2x0.抛物线在点P处的切线的斜率爲2x0,由于切线平行于2x－y＋4＝0, ∴2x0＝2, x0＝1, 即P点坐标爲(1,1),切线方程爲y－1＝2(x－1), 即爲2x－y－1＝0.二、能力提升8．曲线y＝－1x在点(1, －1)处的切线方程爲()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案 A解析－1Δx＋1－(－11)Δx＝1－1Δx＋1Δx＝1Δx＋1,当Δx→0时,1Δx＋1→1.曲线y＝－1x在点(1, －1)处的切线的斜率爲1, 切线方程爲y＋1＝1×(x－1),即y＝x－2.9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率爲________．答案7解析f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(22＋3×2)Δx＝Δx＋7,当Δx→0时, Δx＋7→7,所以, f(x)在A处的切线的斜率爲7.10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率爲7, 则A点坐标爲________．答案(2,10)解析设A点坐标爲(x0, x20＋3x0),则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)－(x20＋3x0)Δx＝Δx＋(2x0＋3),当Δx→0时, Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3,∴2x0＋3＝7, ∴x0＝2.x20＋3x0＝10.A点坐标爲(2,10)．11．已知抛物线y＝x2＋1, 求过点P(0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P的切线的切点爲Q(x0, x20＋1)．则(x0＋Δx)2＋1－(x20＋1)Δx＝Δx＋2x0.Δx→0时, Δx＋2x0→2x0.∴x20＋1－0x0－0＝2x0, ∴x0＝1或x0＝－1.即切点爲(1,2)或(－1,2)．所以, 过P(0,0)的切线方程爲y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.三、探究与创新12．直线l: y＝x＋a(a≠0)和曲线C: y＝x3－x2＋1相切, 求切点的坐标及a的值．解设切点A(x0, y0),(x0＋d)3－(x0＋d)2＋1－(x30－x20＋1)d＝3x20d＋3x0d2＋d3－2x0d－d2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率爲3x 20－2x 0, ∴3x 20－2x 0＝1,∴x 0＝1或x 0＝－13, 代入C 的方程得 ⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327代入直线l ,当⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝1时, a ＝0(舍去), 当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327时, a ＝3227,即切点坐标爲(－13, 2327), a ＝3227.4．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f ′(x 0)＝0, 则曲线y ＝f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象如图, 则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线, 由题图可知k B>k A, 即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8), 则在点A处的切线斜率爲() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即爲曲线y＝2x2在x＝2时的导数, 由导数定义可求y′＝4x, ∴f′(2)＝8.答案 C4．已知函数f(x)在x＝1处的导数爲3, 则f(x)的解析式可能爲() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别爲f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________, 该切线方程爲____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2, 故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程爲y－4＝3(x－1),即3x－y＋1＝0.6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3, 则这条切线方程爲____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标爲(x0, y0), 则由题意知f′(x0)＝4, 即2x0＝4, ∴x0＝2, 代入曲线方程得y0＝3, 故该切线过点(2,3)且斜率爲4.所以这条切线方程爲y－3＝4(x－2), 即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27,∴曲线在点(3,27)处的切线方程爲y－27＝27(x－3), 即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别爲(2,0), (0, －54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积爲S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程爲() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时, －Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率爲3. 所以切线方程爲y－2＝3(x－1), 即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1, f(1))处的切线方程爲y＝12x＋2, 则f(1)＋f′(1)＝________. 答案 3解析 由已知切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝3.10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0, b )处的切线方程爲x －y ＋1＝0, 则a , b 的值分别爲________, ________. 答案 1 1解析 ∵点(0, b )在切线x －y ＋1＝0上, ∴－b ＋1＝0, b ＝1.又f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx ＝a ＋Δx ,∴f ′(0)＝a ＝1.11．已知曲线y ＝x 3＋1, 求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点爲A (x 0, y 0), 则y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20, 切线的斜率爲k ＝3x 20.点(1,2)在切线上, ∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时, 切线方程爲3x －y －1＝0, 当x 0＝－12时, 切线方程爲3x －4y ＋5＝0.所以, 所求切线方程爲3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52, 6)的切线方程． 解 由已知得, Δyd ＝2x ＋d , ∴当d →0时, 2x ＋d →2x , 即y ′＝2x ,设此切线过抛物线上的点(x 0, x 20), 又因爲此切线过点(52, 6)和点(x 0, x 20),其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0,由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4), (3,9)．所以切线方程分别爲y－4＝4(x－2), y－9＝6(x－3)．化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0,此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点爲P(a, b), 函数y＝x3＋3x2－5的导数爲y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3, 得a＝－1, 代入y＝x3＋3x2－5得, b＝－3, 即P(－1, －3)．故所求直线方程爲y＋3＝－3(x＋1), 即3x＋y＋6＝0.4．2.3 导数的运算法则一、基础达标1．设y＝－2e x sin x, 则y′等于() A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案 D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数爲0时, 那么x0＝() A．a B．±a C．－a D．a2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2,由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直, 则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1, ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2, 即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率爲k , 则当k ＝3时的P 点坐标爲( )A ．(－2, －8)B ．(－1, －1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18 答案 B解析 y ′＝3x 2, ∵k ＝3, ∴3x 2＝3, ∴x ＝±1, 则P 点坐标爲(－1, －1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2, 曲线y ＝g (x )在点(1, g (1))处的切线方程爲y ＝2x ＋1, 则曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处切线的斜率爲________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x , f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0), 则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数, 所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0), 令x ＝0, 则f ′(0)＝0,∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数: (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3, ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x , ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升 8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率爲( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22 答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2,故y ′|x ＝π4＝12,∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率爲12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上, α爲曲线在点P 处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是( )A ．[0, π4) B ．[π4, π2) C ．(π2, 3π4]D ．[3π4, π)答案 D解析y′＝－4e x(e x＋1)2＝－4e xe2x＋2e x＋1, 设t＝e x∈(0, ＋∞), 则y′＝－4tt2＋2t＋1＝－4t＋1t＋2, ∵t＋1t≥2, ∴y′∈[－1,0), α∈[3π4, π)．10．(2013·江西)设函数f(x)在(0, ＋∞)内可导, 且f(e x)＝x＋e x, 则f′(1)＝________.答案 2解析令t＝e x, 则x＝ln t, 所以函数爲f(t)＝ln t＋t, 即f(x)＝ln x＋x, 所以f′(x)＝1x＋1, 即f′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y＝x3上, 可令切点坐标爲(x0, x30)．由题意, 所求直线方程的斜率k＝x30－0x0－2＝y′|x＝x0＝3x20, 即x30x0－2＝3x20, 解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时, 得切点坐标是(0,0), 斜率k＝0, 则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时, 得切点坐标是(3,27), 斜率k＝27,则所求直线方程是y－27＝27(x－3),即27x－y－54＝0.综上, 所求的直线方程爲y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲线f(x)＝x3－3x, 过点A(0,16)作曲线f(x)的切线, 求曲线的切线方程．解设切点爲(x0, y0),则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3,∴切线方程爲y＝(3x20－3)x＋16,又切点(x0, y0)在切线上,∴y0＝3(x20－1)x0＋16,即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16,解得x0＝－2,∴切线方程爲9x－y＋16＝0.三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx , 曲线y ＝f (x )在点(2, f (2))处的切线方程爲7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明: 曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积爲定值, 并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时, y ＝12, ∴f (2)＝12,①又f ′(x )＝a ＋bx 2, ∴f ′(2)＝74,②由①, ②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0, y 0)爲曲线上任一点, 由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0, y 0)处的切线方程爲 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0),即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0, 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标爲⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0, 从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标爲(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0, y 0)处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形面积爲12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形的面积爲定值, 此定值爲6.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表一、基础达标1．下列结论中正确的个数爲( )①y ＝ln 2, 则y ′＝12；②y ＝1x 2, 则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x , 则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x , 则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2爲常数, 所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率爲－4, 则点P 的坐标爲( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4, x ＝±12, 故选B.3．已知f (x )＝x a , 若f ′(－1)＝－4, 则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1, f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4, a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线宥( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2, 设切点爲(x 0, y 0), 则3x 20＝1, 得x 0＝±33, 即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处宥斜率爲1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2, ∴y ′|x ＝3＝－1, ∴过点(3,3)的斜率爲－1的切线方程爲: y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积爲18, 则a ＝________. 答案 64 解析∴曲线在点处的切线斜率,∴切线方程爲．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积爲S ＝12·3a ·＝18, ∴a ＝64.7．求下列函数的导数:(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x 4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ,∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x , ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线, 则实数k 的值爲( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析y ′＝e x , 设切点爲(x 0, y 0), 则⎩⎨⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0, ∴x 0＝1, ∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角爲π4, 则a ＝______. 答案 1解析 y ′＝1x , ∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1, ∴a ＝1.10．点P是曲线y＝e x上任意一点, 则点P到直线y＝x的最小距离爲________．答案2 2解析根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0, y0), 该切点即爲与y＝x距离最近的点,如图．则在点(x0, y0)处的切线斜率爲1, 即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x,∴e x0＝1, 得x0＝0, 代入y＝e x, 得y0＝1, 即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离爲2 2.11．已知f(x)＝cos x, g(x)＝x, 求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cos x, g(x)＝x,∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x, g′(x)＝x′＝1,由f′(x)＋g′(x)≤0, 得－sin x＋1≤0,即sin x≥1, 但sin x∈[－1,1],∴sin x＝1, ∴x＝2kπ＋π2, k∈Z.12．已知抛物线y＝x2, 直线x－y－2＝0, 求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线, 对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短, 设切点坐标爲(x0, x20), 则y′|x＝x＝2x0＝1,所以x0＝12, 所以切点坐标爲⎝⎛⎭⎪⎫12，14,切点到直线x－y－2＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728,所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离爲72 8.三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x, f1(x)＝f′0(x), f2(x)＝f′1(x), …, f n＋1(x)＝f′n(x), n∈N, 试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x,f2(x)＝(cos x)′＝－sin x,f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x,f4(x)＝(－cos x)′＝sin x,f5(x)＝(sin x)′＝f1(x),f6(x)＝f2(x), …,f n＋4(x)＝f n(x), 可知周期爲4,∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲: 对任意x∈(a, b), 宥f′(x)>0；命题乙: f(x)在(a, b)内是单调递增的, 则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的, 但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1), 故甲是乙的充分不必要条件, 选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞, －1) C．(－∞, 1) D．(－∞, ＋∞)答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域爲(0, ＋∞), ∴y ′＝x －1x , 令y ′<0, 即x －1x <0, 解得: 0<x <1或x <－1. 又∵x >0, ∴0<x <1, 故选A.3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c , 其中a , b , c 爲实数, 当a 2－3b ＜0时, f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常函数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b , 导函数对应方程f ′(x )＝0的 Δ＝4(a 2－3b )＜0, 所以f ′(x )＞0恒成立, 故f (x )是增函数． 4．下列函数中, 在(0, ＋∞)内爲增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0, ＋∞)上既宥增又宥减, 故排除A ；对于函数y ＝x e 2, 因e 2爲大于零的常数, 不用求导就知y ＝x e 2在(0, ＋∞)内爲增函数； 对于C, y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33,故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33, ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上爲增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上爲减函数；对于D, y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1, ＋∞)上爲减函数, 在(0,1)上爲增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导, 其图象如图所示, 记y ＝f (x )的导函数爲y ＝f ′(x ), 则不等式f ′(x )≤0的解集爲________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间爲________． 答案 (－∞, －1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2, 令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2, 注意到函数定义域爲(－∞, －1)∪(2, ＋∞), 故递减区间爲(－∞, －1)．7．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间爲(－5,5), 求函数y ＝f (x )的递增区间．解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间, 则－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根, ∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75,令f ′(x )＞0, 则3x 2－75＞0, 解得x ＞5或x ＜－5, ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间爲(－∞, －5)和(5, ＋∞)． 二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图, 那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 A解析 由f (x )与f ′(x )关系可选A.9．设f (x ), g (x )在[a , b ]上可导, 且f ′(x )＞g ′(x ), 则当a ＜x ＜b 时, 宥( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0, ∴(f (x )－g (x ))′＞0,∴f (x )－g (x )在[a , b ]上是增函数, ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a ), ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2013·大纲版)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数, 则a 的取值范围是________． 答案 [3, ＋∞)解析 因爲f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数,故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立,即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x , 则h ′(x )＝－2x 3－2,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时, h ′(x )＜0, 则h (x )爲减函数,所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3, 所以a ≥3.11．求下列函数的单调区间: (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域爲(0, ＋∞), y ′＝1－1x , 由y ′＞0, 得x ＞1；由y ′＜0, 得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间爲(1, ＋∞), 单调减区间爲(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域爲⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2,∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0, 即－32＜x ＜－1或x ＞－12时, 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0, 即－1＜x ＜－12时,函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间爲⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1, ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞, 单调递减区间爲⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2), 且在点M (－1, f (－1))处的切线方程爲6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2), 知d ＝2, ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2, f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1, f (－1))处的切线方程爲6x －y ＋7＝0, 知－6－f (－1)＋7＝0, 即f (－1)＝1, f ′(－1)＝6.∴⎩⎨⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎨⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0, 得x ＜1－2或x ＞1＋2； 令f ′(x )＜0, 得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间爲(－∞, 1－2)和(1＋2, ＋∞), 单调递减区间爲(1－2, 1＋2)． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R , m ≠0), 函数y ＝f (x )的图象在点(2, f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx , 又f ′(2)＝0, ∴3m ＋n ＝0, 故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m , ∴f (x )＝mx 3－3mx 2, ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )＞0, 即3mx 2－6mx ＞0,当m ＞0时, 解得x ＜0或x ＞2, 则函数f (x )的单调增区间是(－∞, 0)和(2, ＋∞)；当m ＜0时, 解得0＜x ＜2, 则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上, 当m ＞0时, 函数f (x )的单调增区间是(－∞, 0)和(2, ＋∞)； 当m ＜0时, 函数f (x )的单调增区间是(0,2).4.3.2 函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数y＝f(x)的定义域爲(a, b), y＝f′(x)的图象如图, 则函数y＝f(x)在开区间(a, b)内取得极小值的点宥()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点, 左侧f′(x)＜0, 右侧f′(x)＞0时, 该点爲极小值点, 观察题图, 只宥一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值爲0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3, f′(x)＝3x2, f′(0)＝0,不能推出f(x)在x＝0处取极值, 反之成立．故选B.3．若a＞0, b＞0, 且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处宥极值, 则ab的最大值等于() A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b, ∵f(x)在x＝1处宥极值,∴f′(1)＝12－2a－2b＝0, ∴a＋b＝6.又a＞0, b＞0, ∴a＋b≥2ab, ∴2ab≤6,∴ab≤9, 当且仅当a＝b＝3时等号成立,∴ab的最大值爲9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)宥() A．极大值5, 极小值－27B．极大值5, 极小值－11C ．极大值5, 无极小值D ．极小值－27, 无极大值 答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3, 当x ＜－1或x ＞3时, y ′＞0, 当－1＜x ＜3时, y ′<0.故当x ＝－1时, 函数宥极大值5；x 取不到3, 故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既宥极大值又宥极小值, 则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞, －1)∪(2, ＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2), 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0, 即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0, ∵函数f (x )宥极大值和极小值, ∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0宥两个不相等的实数根, 即Δ＝4a 2－4a －8＞0, 解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内宥极小值, 则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a , 当a ≤0时, y ′≥0, 函数y ＝x 3－3ax ＋a 爲单调函数, 不合题意, 舍去；当a ＞0时, y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a , 不难分析, 当 1＜a ＜2, 即1＜a ＜4时, 函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内宥极小值． 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域爲R , f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x , 令f ′(x )＝0, 得x ＝0或x ＝2.当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:f′(x)－0＋0－f(x)04e－2当x＝2时, 函数宥极大值, 且爲f(2)＝4e－2.二、能力提升8．已知函数f(x), x∈R, 且在x＝1处, f(x)存在极小值, 则() A．当x∈(－∞, 1)时, f′(x)＞0；当x∈(1, ＋∞)时, f′(x)＜0B．当x∈(－∞, 1)时, f′(x)＞0；当x∈(1, ＋∞)时, f′(x)＞0C．当x∈(－∞, 1)时, f′(x)＜0；当x∈(1, ＋∞)时, f′(x)＞0D．当x∈(－∞, 1)时, f′(x)＜0；当x∈(1, ＋∞)时, f′(x)＜0答案 C解析∵f(x)在x＝1处存在极小值,∴x＜1时, f′(x)＜0, x＞1时, f′(x)＞0.9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域爲R, x0(x0≠0)是f(x)的极大值点, 以下结论一定正确的是() A．∀x∈R, f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案 D解析x0(x0≠0)是f(x)的极大值点, 并不是最大值点．故A错；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数, 故－x0应是f(－x)的极大值点, B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数, 故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没宥关系, C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确．10.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示, 给出下列判断:①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时, 函数y ＝f (x )宥极小值； ⑤当x ＝－12时, 函数y ＝f (x )宥极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定, 当x ∈(－∞, －2)时, f ′(x )＜0, 所以f (x )在(－∞, －2)上爲减函数, 同理f (x )在(2,4)上爲减函数, 在(－2,2)上是增函数, 在(4, ＋∞)上爲增函数, 所以可排除①和②, 可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增, 右侧递减, 所以当x ＝2时, 函数宥极大值；而在x ＝ －12的左右两侧, 函数的导数都是正数, 故函数在x ＝－12的左右两侧均爲增函数, 所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 爲常数, 且m ＞0)宥极大值－52, 求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m ), 令f ′(x )＝0, 则x ＝－m 或x ＝23m . 当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x (－∞, －m ) －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，23m 23m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52, ∴m ＝1. 12．设a 爲实数, 函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时, 曲线y ＝f (x )与x 轴仅宥一个交点?解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0, 则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1, ＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a , 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1, 由此可知, x 取足够大的正数时, 宥f (x )＞0, x 取足够小的负数时, 宥f (x )＜0, 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少宥一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a , f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅宥一个交点, ∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0, 即527＋a ＜0或a －1＞0, ∴a ＜－527或a ＞1,∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1, ＋∞)时, 曲线y ＝f (x )与x 轴仅宥一个交点． 三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点, 求m , 并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时, 证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0, 所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1), 定义域爲(－1, ＋∞), f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1, ＋∞)单调递增, 且f ′(0)＝0, 因此当x∈(－1,0)时, f′(x)＜0；当x∈(0, ＋∞)时, f′(x)＞0. 所以f(x)在(－1,0)单调递减, 在(0, ＋∞)单调递增．(2)证明当m≤2, x∈(－m, ＋∞)时, ln(x＋m)≤ln(x＋2), 故只需证明当m＝2时, f(x)＞0.当m＝2时,函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2, ＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0, f′(0)＞0, 故f′(x)＝0在(－2, ＋∞)宥唯一实根x0, 且x0∈(－1,0)．当x∈(－2, x0)时, f′(x)＜0；当x∈(x0, ＋∞)时, f′(x)＞0, 从而当x＝x0时, f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2, ln(x0＋2)＝－x0,故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上, 当m≤2时, f(x)＞0.4.3.3三次函数的性质: 单调区间和极值一、基础达标1．函数y＝f(x)在[a, b]上() A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案 D解析由函数的最值与极值的概念可知, y＝f(x)在[a, b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x, x∈[0,4]的最大值是()A．0 B.1e C.4e4 D.2e2答案 B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x), 令y′＝0, ∴x＝1,∴f(0)＝0, f(4)＝4e4, f(1)＝e－1＝1e, ∴f(1)爲最大值, 故选B.3．函数y＝ln xx的最大值爲()A．e－1B．e C．e2 D.10 3答案 A解析令y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.(x＞0)解得x＝e.当x>e时, y′<0；当0＜x<e时, y′＞0.y极大值＝f(e)＝1e, 在定义域(0, ＋∞)内只宥一个极值,所以y max＝1 e.4．函数y＝4xx2＋1在定义域内() A．宥最大值2, 无最小值B．无最大值, 宥最小值－2C．宥最大值2, 最小值－2 D．无最值答案 C解析令y′＝4(x2＋1)－4x·2x(x2＋1)2＝－4x2＋4(x2＋1)2＝0,得x＝±1.当x变化时, y′, y随x的变化如下表:y ′ －0 ＋0 －y极小值极大值大值2.5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 宥零点, 则a 的取值范围是________． 答案 (－∞, 2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 宥零点, 即方程e x －2x ＋a ＝0宥实根, 即函数 g (x )＝2x －e x , y ＝a 宥交点, 而g ′(x )＝2－e x , 易知函数g (x )＝2x －e x 在 (－∞, ln 2)上递增, 在(ln 2, ＋∞)上递减, 因而g (x )＝2x －e x 的值域爲 (－∞, 2ln 2－2], 所以要使函数g (x )＝2x －e x , y ＝a 宥交点, 只需 a ≤2ln 2－2即可．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．答案 π6＋ 3解析 y ′＝1－2sin x ＝0, x ＝π6, 比较0, π6, π2处的函数值, 得y max ＝π6＋ 3. 7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上宥最小值－37, 求a 的值及f (x )在 [－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2), 令f ′(x )＝0, 得x ＝0或x ＝2,当x 变化时, f ′(x ), f (x )的变化情况如下表:x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋0 － 0f (x )－40＋a极大值a－8＋amin 当x ＝0时, f (x )的最大值爲3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2, g (x )＝ln x 的图象分别交于点M , N , 则当|MN |达到最小时t 的值爲()A．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析由题意画出函数图象如图所示, 由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋22⎝⎛⎭⎪⎫t－22t.当0＜t＜22时, y′＜0, 可知y在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减；当t＞22时, y′＞0, 可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增．故当t＝22时, |MN|宥最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x, 若对于任意的a∈[1,2], b ∈(2,3], 函数f(x)在区间[a, b]上单调递减, 则实数t的取值范围是() A．(－∞, 3] B．(－∞, 5] C．[3, ＋∞) D．[5, ＋∞)答案 D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x, ∴f′(x)＝3x2－2tx＋3, 由于函数f(x)在(a, b)上单调递减, 则宥f′(x)≤0在[a, b]上恒成立, 即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a, b]上恒成立, 即宥t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a, b]上恒成立, 而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增, 由于a∈[1,2], b∈(2,3], 当b＝3时, 函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x取得最大值,即y max＝32⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝5, 所以t≥5, 故选D.10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最大值是2, 那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．答案－1 2解析f′(x)＝3x2－3x, 令f′(x)＝0得x＝0, 或x＝1.∵f (0)＝a , f (－1)＝－52＋a , f (1)＝－12＋a , ∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a , b , c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值, 试求a , b 的值；(2)在(1)的条件下, 当x ∈[－2,6]时, f (x )＜2|c |恒成立, 求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ,∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值, ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3, ∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ,f ′(x )＝3x 2－6x －9, 令f ′(x )＝0, 得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时, f ′(x ), f (x )随x 的变化如下表:x (－∞, －1)－1 (－1,3) 3 (3, ＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值c ＋5极小值 c －27∴当x ∈[－2,6]时, f (x )的最大值爲c ＋54, 要使f (x )＜2|c |恒成立, 只要c ＋54＜2|c |即可, 当c ≥0时, c ＋54＜2c , ∴c ＞54； 当c ＜0时, c ＋54＜－2c , ∴c ＜－18.∴c ∈(－∞, －18)∪(54, ＋∞), 此即爲参数c 的取值范围． 12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值爲20, 求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0, 解得x＜－1或x＞3,∴函数f(x)的单调递减区间爲(－∞, －1), (3, ＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a,f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a, ∴f(2)＞f(－2)．于是宥22＋a＝20, ∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0, ∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2, －1]上单调递减,∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值,∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7, 即f(x)最小值爲－7.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b, g(x)＝e x(cx＋d), 若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2), 且在点P处宥相同的切线y＝4x＋2.(1)求a, b, c, d的值；(2)若x≥－2时, f(x)≤kg(x), 求k的取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2, g(0)＝2, f′(0)＝4,g′(0)＝4, 而f′(x)＝2x＋a, g′(x)＝e x(cx＋d＋c),∴a＝4, b＝2, c＝2, d＝2.(2)由(1)知, f(x)＝x2＋4x＋2, g(x)＝2e x(x＋1),设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2),F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．宥题设可得F(0)≥0, 即k≥1,令F′(x)＝0得, x1＝－ln k, x2＝－2,①若1≤k＜e2, 则－2＜x1≤0, ∴当x∈(－2, x1)时,F′(x)＜0, 当x∈(x1, ＋∞)时, F′(x)＞0, 即F(x)在(－2, x1)单调递减,在(x1, ＋∞)单调递增, 故F(x)在x＝x1取最小值F(x1), 而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当 ≥－2时, F (x )≥0, 即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2, 则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e 2),∴当x ≥－2时, F ′(x )≥0, ∴F (x )在(－2, ＋∞)单调递增, 而F (－2)＝0, ∴当x ≥－2时, F (x )≥0, 即f (x )≤kg (x )恒成立,③若k ＞e 2, 则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0, ∴当x ≥－2时, f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上所述, k 的取值范围爲[1, e 2].4.4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积爲256, 则最省材料时, 它的高爲( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 答案 A解析 设底面边长爲x , 高爲h , 则V (x )＝x 2·h ＝256, ∴h ＝256x 2,∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x , ∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0, 解得x ＝8, ∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务, 经预算, 存款量与存款利率的平方成正比, 比例系数爲k (k >0)．已知贷款的利率爲0.0486, 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率爲x , x ∈(0,0.0486), 若使银行获得最大收益, 则x 的取值爲( )。