【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全书)同步练习全集 (史上最全版)

（湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总

第4章导数及其应用

4．1导数概念

4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度

一、基础达标

1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d

() A．d>0 B．d<0

C．d＝0 D．d≠0

答案 D

2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲

() A．8 B．8＋2d

C．8d＋2d2D．4d＋2d2

答案 C

解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.

3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲

() A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1

答案 D

解析v＝3＋2.12－3－22

0.1＝4.1.

4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲

s＝1

8t

2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲

()

A．2 B．1 C.1

2 D.

1

4

答案 C

解析Δs

Δt＝

1

8(2＋Δt)

2－

1

8×2

2

Δt＝

1

2＋

1

8Δt→

1

2(Δt→0)．

5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________．

答案4＋2d

解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－1

1＋d－1

＝4＋2d.

6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1.

(1)t＝2到t＝2.1；

(2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.

则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s

7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求:

(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度

v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201

＝－2(m/s)．

(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1)

2－1

＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1

＝－18(m/s)．

(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d

＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d

＝－7d －8d 2－3d 3

d ＝－7－8d －3d 2

→－7(m/s)(d →0)

即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升

8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲

( )

A ．8＋2Δt

B ．4＋2Δt

C ．7＋2Δt

D ．－8＋2Δt

答案 A

解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)

Δt

＝8＋2Δt .

9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式爲h ＝1

2gt 2, 则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1时刻的瞬时速度爲________． 答案 12g g ＋1

2g Δt g 解析 12g ×12－12g ×021－0＝1

2g .

12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋

1

2g Δt . 当Δt →0时, g ＋1

2

g Δt →g .

10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式爲h ＝12gt 2

, t ＝2时的瞬时速度爲19.6, 则g ＝________. 答案 9.8

解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋

1

2g Δt . 当Δt →0时, 2g ＋1

2g Δt →2g . ∴2g ＝19.6, g ＝9.8.

11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度． 解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2, ∴平均速度爲Δs

d ＝9＋2d .

12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别

如图①、②所示．问:

(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?

(2)甲、乙二人百米赛跑, 快到终点时, 谁跑得快(设Δs爲s的增量)?

解(1)由题图①在(0, t]时间段内, 甲、乙跑过的路程s

甲

乙

, 故宥

s甲

t<

s乙

t即在

任一时间段(0, t]内, 甲的平均速度小于乙的平均速度, 所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知, 在终点附近[t－d, t)时间段内, 路程增量Δs乙>Δs甲, 所以

Δs乙d>Δs甲

d即快到终点时, 乙的平均速度大于甲的平均速度, 所以乙比甲跑得

快．

三、探究与创新

13．质量爲10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动, 求运动开始后4秒时物体的动能．

解s(Δt＋4)－s(4)

Δt＝

3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4)

Δt＝3Δt＋25, 当Δt→0时, 3Δt＋25→25.

即4秒时刻的瞬时速度爲25.

∴物质的动能爲1

2m v

2＝

1

2×10×25

2＝3 125(J)

4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线

一、基础达标