第一节课 第24章相似三角形

三角形相似复习24.1放缩与相似形教学目标能用图形的放缩运动观点理解相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多边形的意义. 教学重点及难点通过对图形放缩运动的探究，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征及相似形与全等形的关系.一、1．概念辨析（1）图形的放大或缩小称为图形的放缩运动. （2）把形状相同的两个图形称为相似形.（3）如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的） 2．例题分析例题 如图，△ABC 与△DEF 是相似图形，且点A 与点D 对应，点B 与E 对应，点C 与点F 对应AB =1.7cm ,BC =2.9cm ,AC =3.7cm ,DE =3.4cm ,50,70A B ︒︒∠=∠=求DF ,EF 的长度,并求∠C , ∠D , ∠E , ∠F 的度数.3．问题拓展ABCEDF两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形一定是相似图形吗？为什么呢？三、巩固练习（一）、判断题：1、两个直角三角形一定是相似图形……………………（）2、两个等边三角形一定是相似图形……………………（）3、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形……（）4、对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等…………………………………………………（）5、两个图形全等也可以说这两个图形式相似的………（）二、某两地的实际距离是5000米，画在地图上的距离是20厘米，求图距与实际距离之比是多少？四、教学设计说明本课目的是完成相似图形的概念教学；通过例题教学解决了如何寻找对应角和对应边及相关计算；理解放缩是对应角度不变化而对应各边的长度“同样程度”地放缩.24.2（1）比例线段教学内容分析本课主要由两部分组成.第一部分是有关线段比例的基本概念和性质及相关的计算.第二部分是比例的拓展性质.教学目标设计1.知道两条线段比的意义.2.理解比例线段及其有关概念.3.知道比例线段的性质.4. 掌握合比和等比性质,能结合具体图形进行简单的比例线段变形. 教学重点及难点重点:比例线段的概念及它的初步应用; 难点:合比、等比性质的运用.2．思考在学习新知识之前，我们先回想一下两条线段比的定义及求法，请同学们求下面两条线段的比.引例：如图：AB =50，BC =25，''20A B =, ''10B C =. 求'''',AB A BBC B C.DABC[说明]两个数相除又叫做两数的比，记作ab或:a b ，其中a 叫比的前项，b 叫比的后项. 解：∵50225AB BC==,''''20210A B B C==,∴ C B B A BCAB ''''=.二、学习新课1．概念辨析在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.线段d 是a 、D 'B 'A 'C 'b 、c 的第四比例项.提问：比例的基本性质是什么？——两个外项的积等于两个内项的积.（1）请同学们想一想，由::a b c d =能否得到ad bc =？为什么？ 反过来，若a d=bc ，那么能否得到a ：b=c ：d 呢？ （2）由a ：b=b ：c 可得b 2= a c由b 2= a c 可得a ：b=b ：c ，线段 b 叫a 、c 的比例中项. （3）由此可以看出：利用比例的基本性质，可以实现比例式与等积式的互化. [说明]（1）定义告诉我们判定四条线段成比例线段的方法： （其中的一个比例式）⇒=d c b a a 、b 、c 、d 四条线段成比例；（2）定义告诉我们若已知四条线段成比例，则一定有比例式， a 、b 、c 、d 四条线段成比例dc ba =⇒（3）因为两条线段的比是它们的长度的比，实质上就是两个数的比.由于成比例的数具有比例的基本性质，所以成比例的四条线段也具有比例的基本性质. 2．例题分析例题1 已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？⑴a =1mm , b=0.8cm , c=0.02cm , d=4cm;⑵711=acm , b=0.4cm , c=40cm , cmd213=.[说明] 解题小结：①统一单位；②从大到小（从小到大）排列； ③通过求比例或求积判断.⑴方法二、利用比例的基本性质 ∵dc=4×0.02=0.08, a b=0.1×0.8=0.08, ∴a b=dc,∴a 、b 、c 、d 四条线段成比例. 第⑵小题让学生练习. 补充练习：（1）已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝45cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段.（2）已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多长？学生练习：判断下列四条线段是否成比例⑴ a =2, b=5 , c=15 , d=32; ⑵ a =2 , b=3, c=2 , d=3; ⑶ a =4, b=6 , c=5, d=10; ⑷ a =12, b=8, c=15, d=10. 3．问题拓展 合比性质：引导学生运用类似的方法推导出比例的等比性质: 如果a cb d=,那么a c a c kb dbd+===+等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况： 如果,那么 . 证明：设 ；则, ∴.等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握.三、巩固练习例题2（1）已知： ，求证： .证明：方法一：∵ ，∴方法二：∵，∴即11811,8a ab b=∴=（2）（拓展）已知：()0a c b dbd=±≠ ，求证： .证明：a c bd=，a b cd∴=a cb dcd ++∴=（1） 同理a cb d cd--=（2）由（1）÷（2）得：a cb d a cb d++=--.例题3 已知：ECAE DBAD =求证：（1）ECAC DBAB =；（2）AEAC ADAB =拓展练习（1）求ABCDE① ② ③（2）求下列各式中的x . ① ②③ ④（3）把cdab 21=写成比例式，下列写法不正确的是A 、b d c a 2=B 、bd ca =2 C 、bd ca =2 D 、bc da =224.2比例线段（2）教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题． 教学过程、1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，ABAP APPB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.2．例题分析问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？ （3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？ （4） 你还发现了什么？[说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.） 3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AO D BO CS S ∆∆=求证：OACO OBDO =.证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC; （2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ;（2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.A P BD OABDC巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.24.3（1）三角形一边的平行线教学目标1.通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2.经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用. 教学重点及难点三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 成比例的线段中，对应线段的确认. 教学过程一、复习1、同底等高的三角形的面积比是多少？ （1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cdab=，（,,a b c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式： ， （ 让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）,,,,,,,.a d a c cb b d bcd b c a d acb db adca da ac bdbc========问题1：如图若D E ∥B C ，1A DB D=，能否得到1A E E C=?问题2：若将DE向下平行移动能否得到 ？ 已知：A B C ∆,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥B C .求证： .议一议：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？ 今后常用的有三个比例式： EDABCAEDCBABCDEABCDE A DA E DB E C=A D A E D BE C=,,A DA E A D A E DB ECD BE CA BA CA BA C===ABCABCABCDEDEDE讨论：若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.符号语言：∵DE ∥BC , A D A E B DE C∴=,用⇒符号书写：DE ∥BC ⇒ 强调在同一条线段上的比例关系. 2．例题分析例题1如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.三、巩固练习：1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.（2）已知5,4,12===DB EC AC求AD的长.（3）已知=BD AD ：3：2，10=AC，求AE 的长.2、 如图， 在⊿ABC 中，DE ∥BC ， S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长.A BA DB CD E=ABCDE ABCDEB OEFA C D ABC D E3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB · AD.A BCD E G24.3（3）三角形一边的平行线三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.1．证明定理推论ABCDEF分析：D E B C中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例A D A E A BA C=可以看出，除DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明A D C F A BB C=就可以了，这只要过D 作DF∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证BCDE ACAE ABAD ==.证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,DE∥BC ,∴四边形DFCE为平行四边形，得FC =DE ,∵DF ∥EC ,∴AB AD BC FC=, ∴D E A D B CA B=.DE∥BC 得A D A E AB A C=,∴ACAE ABAD BC DE==.EDAB C EDAB C如上图，当的延长线上时的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立2．例题分析例题1 如图，线段BD 与CE 相交于点A , DE ∥BC ,已知2BC =3ED ,AC =8, 求AE 的长.ADB EC，例题2 已知：如图CF BE ,是ABC ∆的中线，交于点G求证：21==GCGF GBGE .GAB CEF重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.例题3 已知：在Rt ABC ∆中，∠090=C，AEBD AB ,,12=是中线交于G 点，求的长.例题4 已知：在Rt ABC ∆中，∠090=C，GBC AB,4,5==是重心，GHAB⊥于H ，求GH 的长.重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.三、巩固练习1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE=2，EC=3，DE=4，求BC 的长.2.如图：BD ∥AC ，CE=3，CD=5，AC=5，求BD 的长.3.已知，△ABC 中，∠C=090，G 是三角形的重心，AB=8， 求：① GC 的长；② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长.NM GCABGBCA4.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.EBCADBEACD第3题第4题24.3（3）三角形一边的平行线教学内容分析本节课是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，第二节课的推论没有逆定理，学生很容易混淆. 教学目标掌握三角形一边的平行线的判定定理； 能运用该定理证明有关两直线平行的问题. 教学重点及难点三角形一边的平行线的判定定理；三角形一边的平行线的判定定理的应用.一、学习新课1.证明定理 已知 ：ECAE DBAD =，求证：DE ∥BC .证明：联结DC EB , 作BG 垂直直线DE 于点G ， 作CH 垂直直线DE 于点H . 则：,EAD EAD ED B ED C EAD EAD ED BED CED B ED CS S AD AES D B S EC AD AE D BEC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆===∴=∴=∴CHBG=∵B G ∥C HG HAB CDE∴四边形GBCH 是平行四边形 ∴∥BC 根据比例的基本性质ECAE DBAD =，ACEC ABDB ACAE ABAD ==,.知其一可推其二.所以，以上三个比例式知道任何一个都可以推出DE∥BC .三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDABCAED CB如果D ,E 分别在AB ,AC 的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.A BCDE如图，ABAD BCDE =能否推出DE ∥BC ，为什么？（不能）2．例题分析1.已知：如图，点D ,F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BCABAD ADAF = 求证： E F ∥DC .BCDEFA2. 如图，已知：AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′;求证：AB ∥A ′B ′.把上图中的四边形OABC 绕O 点旋转180°得下图，而已知的条件不变，结论还成立吗？(用口答形式)三、巩固练习判断题:1.如图（1），在△ABC 中,点D 与点E 分别在AB 、AC 上, AD =3cm, DB =4cm,AE =1.8cm,CE =2.4cm,则DE //BC. ( ) 2.如图（2），已知:BD 与EC 相交于点A ,AB =8,AE =6,AC =12,AD =9. 则DE ∥BC . ( )3.如图(3),若DFDE ACAB =,则L 1//L 2//L3. ( )图（1） 图（2） 图（3）第1题是正确的，因为43==CE AE DBAD，所以DE ∥BC .第2题是错误的，因为,98=ADAB而,612=AEAC则AEAC ADAB≠；所以DE 与BC 不平行.第3题是错误的，因为这个定理是判定与三角形的一边平行的判定定理.24.3三角形一边的平行线（4）教学内容分析本节课是三角形一边平行线的最后两个定理，而平行线分线段成比例定理的图形有很多变形，这节课我把几种变形列举出来，让学生学会识图.教学目标本节课主要讲平行线分线段成比例定理和它的推论的证明和应用，要使学生学会并且不要和前面的定理混淆. 教学重点及难点平行线分线段成比例定理及其合适的定理解决问题.1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.FE D CB A FED CB A用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF, ,,A B D E B C E F A B D E B CE FA CD FA CD F∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE C F AB BCD E D F ⎫⇒=⎬=⎭.熟悉定理的几种变形井字型 A 字型 X 字型 倒 A 字型 畸形(O 无用)OFE D CB ACF DBE A例题分析例题1 如图AD ∥BE ∥CF ，AB =3，AC =8，DF =10，求DE ,EF 的长.例题2 已知线段a ,b ,c ,求作线段x ,使a :b =c :x三、巩固练习 书第20页1)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，且AE ：EB =5：3，DC =16cm ，求FC 的长.2）．如图，已知AD ∥EB ∥FC ，AC =12，DB =3，BF =7，求EC 的长.a b cBOACDMNa bcxD BCEFA1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似；(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似；(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似；(6)直角三角形相似的判定方法. ①以上各种判定方法均适用;②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 2.判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2. (2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法.[说明]一般不用定义来判定三角形的相似. 3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系 全等的判定SAS SSSAAS(ASA) 直角三角形相似的判定两边成比例夹角相等三边对应成比例两角相等一直角边与斜边对应成比例4、相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段成比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.5、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.练习1：选择题下列四组图形，必是相似形的是（）Ａ、有一个角为040的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为050的两个等腰梯形；Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为0100的两个等腰三角形.练习2：判定两个三角形全等的方法有哪几种？练习3、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G.求证：2AG＝AF·FC..练习4、如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于H，则图中相似的三角形共有( )对.A.3B.4C.5D.6练习5、如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是( )A.A C A DB CB D= B.A C AB B CA D=C.2AB ＝CD ·BCD.2AB ＝BD·BC练习6、已知过平行四边形ABCD 的顶点C 作一直线CF 交BD 于点E ，交DA 的延长线于点F ，交AB 于点M .求证：EMEF EC ∙=2.FEDMBCA7、（1）已知:如图5-58,直线BE ,DC 交于A , ∠E =∠C .求证:DA ·AC =BA ·AE.（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.8、已知:如图,Rt △ABC 中, ∠ABC =90°,BD ⊥AC 于D . (1) 图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?(2) 用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.9、D 在的△ABC 边AB 上,且2AC =AD •AB ，则△ABC ∽△ACD ,理由是___________________ . 10、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形__________________ 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”) 11、如图，在A B C ∆中，若AEDB∠=∠，则下列比例式正确的是：EDCB A()A D A E AB D EC =()A D A CB A EA B=()D E A E C B CB D=()A C A D D A BE D=12、在A B C ∆和D E F∆中,036,12,15,36,16A AB AC D D E ∠===∠==则当DF =______时, A B C∆∽DEF ∆ .13、如图,P 为AB 上一点(AB >AC ),要使ACP ∆∽ABC ∆,可添加一个条件_____.14、 如图，D 是△ABC 一边BC 上的一点，△ABC ∽△DBA 的条件是( )()A C A D AB CB D=()A C AB B B CA D=(C)BCCD AB ∙=2(D)BCBD AB ∙=215、如图，在A B C ∆中，AB =AC ，D 点是CB 的延长线上一点，E 是BC 延长线上的一点，且满足2AB =DB ·CE.求证：（1）△ADB ∽ △EAC （2）若∠BAC =040，求∠DAE 的度数.CBDEA16、以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC 相似的三角形图形为（ ）17、如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与ABC ∆不相似的是______________.（A ）△BDE ； （B ）△BCD ；（C ）△FGH ； （D ）△BFG .18、：如图，在A B C ∆中，A DB C⊥于D ，下列条件:（1）090B DAC∠+∠=（2）B D A C ∠=∠（3）C DA C A DA B=（4）BCBD AB ∙=2，其中一定能判定A B C ∆是直角三角形的共有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个DCBA19、：在A B C ∆中，090,A AC C E C D BC ∠=⋅=⋅，求证：ED BC ⊥ABCABCDBCD AEFGHKEDCBA20：已知，在A B C ∆中，090,C C D AB ∠=⊥，E 是BC 的中点，DE 交AC 的延长线于点F .求证：A D C FC D D F⋅=⋅.FEDCB A24.5相似三角形的性质相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.数学符号语言表示出相似三角形性质定理1ABC∆∽111C B A ∆，AD 、11D A 分别是ABC ∆、111C B A ∆的角平分线⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===11111111C B BCC A AC B A ABD A AD 或相似三角形的性质定理2：相似三角形周长比等于相似比.相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.Ⅰ．判断下列结论是否正确： ⑴相似三角形的中线比等于相似比；⑵两个相似三角形的高的比等于它们边长的比． 一．填空题：⑴已知ABC ∆∽'''C B A ∆的相似比为32:，则它们对应中线的比为_______； ⑵已知两个相似三角形对应高的比是14:，则它们的对应角平分线的比是_______；⑶已知ABC ∆∽'''C B A ∆，AD 、''D A 分别是ABC ∆和'''C B A ∆的角平分线，且23=''DA AD ，9=AB ，则_______''=B A⑷ABC∆∽DEF ∆且3=BC ，6=EF ，DE 边上的中线为10 ，求AB 边上的中线．５.两个相似三角形的相似比为1：4，则对应边的高的比为______，对应角的平分线的比为_______,周长的比为______,面积的比为_______.６.已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，对应边的中线之比为32，△A ’B ’C ’的周长为24cm ，面积为18c ㎡,则''A B A B =_______，△ABC 的周长等于______cm ，△ABC 的面积为_____c ㎡.７．如图，△ABC 中，DE//BC,且AD:BD=4:3,则DE:BC=_______,AED BC EDS S ∆=______.ABCDEBD E FCA（第1题图）８．△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为3：4，且两个三角形的面积之差为28cm 2,则△ABC 的面积为______cm 2, △A ’B ’C ’的面积为_____cm 2.９.如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AC/BD 交于点O ，S △AOD =4,S △BOC =9,则A D B C=_______,S △AOB ＝_____,S 梯形ABCD ＝________.１１．某时刻量得一棵树 AB 在地面上的影子长 BE=30 米，同时测得在 BE 方向上竖起的一根与地面垂直的标杆 CD 的影长DF 为 3 米，已知标杆高DC=2米，则树AB 的高度是 .１２.已知DE // BC , CD 与 BE 相交于点 O ，并且S △DOE ：S △COB=4：9则 AE : AC =（ ）.( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 2 １３.竿高1.5米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高是_________米.１４、已知：如图，梯形ABCD 中，CD//AB ，∠ABC 的平行线BE ⊥AD 于E ，且21=AEDE ，求ABE BC D ES S ∆四边形.oABCD（第７题图）OEDCBA（第１２题应用举例10,16,12,,ABC AB AC BC P D BC AC BP APD B C D ∆====∠=∠例题1 在中，点和分别在和上，求的长.例题 2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？（思考：如果BC 和AD 的长度不变，三角形形状变化，那么内接正方形的边长变化吗？为什么？说说你的理由。