人教版教材高中数学必修一《函数与方程》ppt课件
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人教版高中数学必修1《函数的零点与方程的解》PPT课件
•题型二 判断零点所在的区间
• [探究发现]
• (1)什么是函数的零点？ • 提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
• (2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的 什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？ • 提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的 充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定 没有零点．
• (2)函数零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可 以
•推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函 数y
•＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 如图，
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)函数的零点是一个点．
()
•(2)任何函数都有零点．
• [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
()
•(3)函数y＝x的零点是O(0,0)．
()
•(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少
有一个零点．
()
•(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点 的横坐标，是方程f(x)＝0的根．
•2．函数f(x)＝log2x的零点是 (
人教A版高中数学必修一《函数与方程》PPT (1)
解＋:(＋11与)1由与x条轴x件轴的,的抛交交点物点分线分别f(别在x)＝在区区间x2＋间(－(2－1m,01x),和＋0)和(21m,(21＋),2)1
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
人教A版数学必修一函数与方程(31)
ax2 bx c 0 有两不等
实根
的根
X = x1 或
X = x2
有两相等 的实根 X=x1=x2
0
无实根
1、如果二次函数 y = x2 – 4 x + 2a 的图像在 x 轴上方，则 a 的取值范围是_________. 2、如果二次函数 y = x2 – 4 x + 2a 的图像与 x 轴有交点，则 a 的取值范围是______。 3、如果二次方程 x2 – 4 x + 2a = 0 的两根的
高中数学课件
灿若寒星整理制作
教学内容：函数与方程 教学目的：通过教学使学生掌握方程解的
存在的判断方法 教学重点：1、利用函数性质判定方程解
的存在问题 2、二次函数根的分布 教学课时：1课时 教学器材：多媒体电脑
阅读下列表格
a>0 二次函数
y ax2 bx c
0
0
的图象
一元二次方程
6、如果二次方程 x2 – 4 x + 2a = 0 的两根分别 在（0 ， 1）和（ 2 ， 3）内 ，则 a 的 取值范围是_________.
7、如果二次方程 x2 – 4 x + 2a = 0 在[3 ， 4] 上有实数根，则 a 的取值范围是_________.
方法总结： 1、画出二次函数的图像 2、考虑判别式 3、注意关键点① 开口方向、对称轴
符号相反，则 a 的取值范围是_________. 4、如果二次方程 x2 – 4 x + 2a = 0 有两不同
的正根，则 a 的取值范围是_________.
55、、如如果果二二次次方方程程xx22––44xx++22aa== 00的的两两根根中 一都个大根于大1 于，1则，a另的一取个值根范小围于是1_，__则___a_的__. 取值范围是_________.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
高中数学人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件
1 3 1 3
2 a
b a
，解得
a b
12 2
，
所以 2x2 bx a 0 可化为 x2 x 6 0 ，即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 2 x 3 ，
所以不等式 2x2 bx a 0 的解集为{x | 2 x 3} .
11.国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定，农户向国家纳税为： 每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定 积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点. 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性 及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元 二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系.
ax2
bx
c
0
的两根，
2
2
3 3
c
b a
，则
b c
a 6a
，
a
则 a b c 6a 0 ，故 C 错误；
不等式 bx c 0 即 ax 6a 0 ，即 x 6 0 ，解得 x 6 ，故 B 正确；
不等式 cx2
bx
a
0
即 6ax2
ax
a
0
，即 6x2
x
1 0
，解得 x
a
|
2
a
6 5
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共38张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
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6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
高中数学人教版必修1函数与方程 课件PPT
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是间断的，上述原理适应吗？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
理论迁移
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
t
p
1 2
5730
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？
思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？
天次
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
方案一 当天回 报 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 …
累计回 报 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4x 4(x 1)
x
2
4x
3(x
和 1)
g(x) log2x 设h(x) f (x) g(x),试确定
函数h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f (x) 2ax2 x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
问题提出
1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.
高中新课程数学新课标人教B版必修一2.4《函数与方程》课件.ppt
f3>0，
3＋a>0， 即14－ －24＋ ＋aa<<00， ，
9－6＋a>0，
解得－3<a<0. ………………………………………….8 分
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)由方程的两个根都大于零，得
Δ＝4－4a>0，
－－22>0，
解得 0<a<1. …………………..12 分
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)法一 由 x2－1x＝0 得 x2＝1x， 令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象知两图象只有一个 交点， 故函数有一个零点． 法二 令 f(x)＝0 得 x2－1x＝0 即 x3－1＝0(x≠0)， ∴x＝1，即方程只有一个根． ∴函数有一个零点．
活页规范训练
②若 a≠0，则函数 f(x)为二次函数，若其只有一个零点， 则方程 ax2－x－1＝0 仅有一个实数根(也可说成有两个相等的 实数根)，
故判别式 Δ＝1＋4a＝0，a＝－41. 综上，当 a＝0 或 a＝－14时，函数仅有一个零点． 规律方法 判断或求形如函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点时，首 先对 a 分 a≠0 和 a＝0 两种情况讨论，然后对 a≠0 的情况，利 用判别式去判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零 点的情况．
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题型二 函数零点个数问题 【例 2】 若函数 f(x)＝ax2－x－1 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围． [思路探索] 按 a 的取值分一次函数、二次函数判断．
解 ①若 a＝0，则 f(x)＝－x－1 为一次函数，易知函数仅 有一个零点；
3＋a>0， 即14－ －24＋ ＋aa<<00， ，
9－6＋a>0，
解得－3<a<0. ………………………………………….8 分
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(3)由方程的两个根都大于零，得
Δ＝4－4a>0，
－－22>0，
解得 0<a<1. …………………..12 分
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(2)法一 由 x2－1x＝0 得 x2＝1x， 令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象知两图象只有一个 交点， 故函数有一个零点． 法二 令 f(x)＝0 得 x2－1x＝0 即 x3－1＝0(x≠0)， ∴x＝1，即方程只有一个根． ∴函数有一个零点．
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②若 a≠0，则函数 f(x)为二次函数，若其只有一个零点， 则方程 ax2－x－1＝0 仅有一个实数根(也可说成有两个相等的 实数根)，
故判别式 Δ＝1＋4a＝0，a＝－41. 综上，当 a＝0 或 a＝－14时，函数仅有一个零点． 规律方法 判断或求形如函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点时，首 先对 a 分 a≠0 和 a＝0 两种情况讨论，然后对 a≠0 的情况，利 用判别式去判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零 点的情况．
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题型二 函数零点个数问题 【例 2】 若函数 f(x)＝ax2－x－1 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围． [思路探索] 按 a 的取值分一次函数、二次函数判断．
解 ①若 a＝0，则 f(x)＝－x－1 为一次函数，易知函数仅 有一个零点；
新课标人教A版必修一 3.1函数与方程(课件)
⇔
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 如图 我们 的图象(如图 例:观察二次函数 观察二次函数 的图象 如图),我们 发现函数f(x)=x2-2x-3在区间 发现函数 在区间[-2,1]上有零点 计 上有零点.计 在区间 上有零点 的乘积,你能发现这个乘积有什么特 算f(-2)与f(1)的乘积 你能发现这个乘积有什么特 与 的乘积 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢 上是否也具有这种特点呢? 点?在区间 在区间 上是否也具有这种特点呢
函数零点的性质: 函数零点的性质
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线 上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f(a) • f(b)<0,那么 函数 那么,函数 在区间(a,b)内有零 并且有 那么 函数y=f(x)在区间 在区间 内有零 即存在c 使得f(c)=0,这个 也就是方程 这个c也就是方程 点,即存在 ∈ (a,b),使得 即存在 使得 这个 f(x)=0的根 的根. 的根
方法2:将函数 方法 将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为函 将函数 零点个数转化为函 的图象交点的个数. 数y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数 的图象交点的个数
练习:书本 页 ． 练习 书本97页1．２ 书本
小结:1方程的根与函数的零点的关系 小结 方程的根与函数的零点的关系; 方程的根与函数的零点的关系 2.判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤. 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 3体现特殊到一般的思想 数形结合 转化的思想 体现特殊到一般的思想,数形结合 转化的思想. 体现特殊到一般的思想 数形结合,转化的思想
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数 的零点的个数. 例1:求函数 求函数 的零点的个数
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解析 1.5 为区间(1,2)的中点，且 f(1)＜0，f(1.5)＞0，∴方程的
根 x0∈(1,1.5)，又 1.25 是(1,1.5)的中点且 f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.25,1.5)．
答案 B
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题型二 用二分法求函数的零点 【例 2】用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个 零点(精确度 0.01)． [思路探索] 根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间， 直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值． 解 经计算 f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点 x0.取(1,1.5)的中点 x1＝1.25，经计算 f(1.25)＜0，因为 f(1.5)·f(1.25) ＜0，所以 x0∈(1.25,1.5)． 如此继续下去，如下表：
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则令 b＝c(此时零点 x0∈ (a，c) )； ③若 f(c)·f(b)＜0， 则令 a＝c(此时零点 x0∈ (c，b) )． (4)判断是否达到精确度 ε：即若 |a－b|＜ε 似值 a(或 b)；否则重复(2)～(4)．
，则得到零点近
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1.312 5 f(1.25)＜0
f(1.375)＞0
f(1.312 5)＜0
(1.312 5， 1.375)
(1.312 5， 1.343 75)
1.343 75
1.328 125
f(1.312 5) ＜0
f(1.373)＞0
f(1.343 75)＞0
f(1.3125)
＜0
f(1.345 75) ＞0 f(1.328 312 5)＞0
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试一试：2008 年初我国南方遭遇了 50 年不遇的雪灾，雪灾发 生后，停水断电，交通受阻．一日，某市 A 地到 B 地的电话线 路发生故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电 线杆，如何迅速查出故障所在？ 提示 如图所示，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的工 具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；再到 BC 段中 点 D 检查，若 CD 段正常；则故障在 BD 段；再到 BD 段中点 E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一 半，经过 7 次查找，即可将故障范围缩小到 50～100 m 之间， 即可迅速找到故障所在．
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想一想：用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？ 提示 看清题目要求的精确度，当零点所在区间的两个端点值 之差的绝对值小于精确度 ε 时，则二分法步骤结束．
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名师点睛 1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地 将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足 够小的空间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似 地表示真正的零点．
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误区警示 因对“二分法”精确度的理解不 正确而出错 【示例】 用二分法求方程 x2－5＝0 的一个非负近似解(精确度 为 0.1)． [错解] 令 f(x)＝x2－5， 因为 f(2.2)＝2.22－5＝0.16＜0， f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0， 所以 f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0，
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取区间(a， (a，b)
f(a)
b)
的中点
(1,1.5) 1.25 f(1)＜0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.25)＜0
f(b)
f(1.5)＞0 f(1.5)＞0
a＋b f( 2 ) f(1.25)＜0 f(1.375)＞0
(1.25， 1.375)
(1.125,1 .25)
1.187 5
f(1.125) f(1.25)＞0 f(1.187 5)＜0
＜0
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数 f(x)＝2x＋3x－6 精确度为 0.1 的零点可取为 1.25.
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题型三 用二分法求方程的近似解 【例 3】 (12 分)借助计算器或计算机用二分法求方程 2x＋3x＝ 7 的近似解(精确度为 0.1)． 审题指导 可利用转化思想，构造函数 f(x)＝2x＋3x－7 转化成 求函数的零点近似值． [规范解答] 原方程 2x＋3x－7＝0，令 f(x)＝2x＋3x－7，用计算 器或计算机作出函数 f(x)＝2x＋3x－7 的对应值表.
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2．用二分法求方程的近似解要注意的问题 (1)看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零 点是连续不间断的，且在该零点左右函数值异号． (2)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束． (3)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是 相同的，但二分的次数却相差较大，零点所在区间的选取要尽 可能小． (4)在二分法的第四步中，由|a－b|＜ε 便可判断零点近似值为 a 或 b.
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取区间
(a，b) 的中点 f(a)
f(b)
(a，b)
fa＋2 b
(1,1.5)＞0
(1,1.5)
1.25
f(1)＜0 f(1.5)＞0 f(1.25)＞0
(1,1.25)
1.125
f(1)＜0 f(1.25)＞0 f(1.125)＜0
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[思路探索] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备二分法 的条件．
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解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异 号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点． 答案 B 规律方法 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有 满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能 应用“二分法”求函数零点．
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2．二分法的步骤 给定精确度 ε，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 c； (3)计算 f(c)； ①若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(c)＜0，
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(1.312 5， 1.328 125)
1.320 312 5
f(1.312 5) ＜0
f(1.328 125) ＞0
f(1.320 312 5) ＜0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数 f(x) ＝x3－x－1 的一个精确度为 0.01 的近似零点可取为 1.328 125.
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f(2.375)＜0，f(2.5)＞0⇒x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0⇒x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.4375|＝0.0625＜0.1， ∵方程 x2＝2x＋1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.
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【题后反思】 求方程近似解时常用方法 对于求形如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求 形如 F(x)＝f(x)－g(x)＝0 的方程的近似解，然后按照二分法求 函数零点近似值的步骤求解．
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【变式 3】 求方程 x2＝2x＋1 的一个近似解(精确度 0.1)． 解 设 f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)内方程 x2－2x－1＝ 0 有一解，记为 x0. 取 2 与 3 的平均数 2.5， ∵f(2.5)＝0.25＞0，∴2＜x0＜2.5； 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0， ∴2.25＜x0＜2.5；如此继续下去，有
3．1.2 用二分法求方程的近似解
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【课标要求】 1．理解二分法求方程近似解的原理． 2．能用二分法求出方程的近似解． 3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼 近”的思想． 【核心扫描】 1．利用二分法求方程的近似解．(重点) 2．判断函数零点所在的区间．(难点) 3．精确度 ε 与近似值．(易混点)
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自学导引 1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上 连续不断且f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间
的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法，叫 做二分法．
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【变式 1】 设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0
在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，
则方程的根落在区间( )．
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
x
0 1 23 4 5