【对应高数】极坐标与极坐标中的积分计算
[高等教育]高数 9-2二重积分的计算_OK
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1x2 y
0 d z
z 1
1 2
y x1
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y)d
y
0
0
1
1
(
x
2x
2
x
3
)dx
1
40
48
2021/8/18
28
cz
例2. 计算三重积分
by a
x
解:
:
c2
c2x2 a2
c2 y2 b2
z
c2
c2x2 a2
c2 y2 b2
S1
D
(x, y)
y
y y2( x)
y y1( x)
简单区域：平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
26
1)先将 x, y 看作定值，将 f (x, y, z)只看作 z 的函数，则
z
z z2(x, y)
F (x, y) z2(x,y) f (x, y, z)dz z1 ( x, y)
4
15
abc3
注：被积函数为一元函数时，多选用截面法
2021/8/18
33
例3 .计算积分
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“截面法” 计算方便 .
D1 z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
数学三极坐标计算二重积分
(1) D : a x y b
2
2
解
f ( x, y )d . 0 d a f r cos , r sin rdr
b
D
2
被积函数奇 偶不确定
(2) D : x y 2 x
2 2
解
f ( x, y )d .
D
2 d
2
2 cos
i i
ri ( ri ri ) ri i 2
i
D
r dr d
面积元素
ri ri i ,
i
d rdrd
D
o
利用扇形的 面积公式
A
极坐标系下区域的面积
rdrd .
CH21-重积分
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含
二、极坐标系下二重积分化累次积分
方法： 极坐标系下区域如图所示：
CH21-重积分
三线 法
确定极坐标系下先r后 积分的方法
=
r 2 ( ).
-型： ,
1 ( ) r 2 ( ).
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos f ( x, y )dxdy
D
x y 1
d
2
1
0
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
CH21-重积分
练习 化二重积分
2 2
f ( x, y )d .为极坐标下的二次积分.
大学高数下 二重积分的计算
1 ( )
D
,
1 ( ) 2 ( ).
2 ( )
o
A
f ( cos , sin )dd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d .
二重积分化为二次积分的公式（２）
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例3
改变积分
0 dx 0
1
1 x
f ( x , y ) dy 的次序.
解
D : 0 y 1 x, 0 x 1
y 1 x
积分区域如图
改写D : 0 x 1 y, 0 y 1
( xy cos x sin y )dxdy (
D D1
A)
( A) 2 cos x sin ydxdy ; (C ) 4 ( xy cos x sin y )dxdy ;
D1
( B ) 2 xydxdy ;
D1
( D) 0
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
例 2 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
极坐标求积分面积公式
极坐标求积分面积公式
哎呀，我的天呐！“极坐标求积分面积公式”？这可真是个让我头疼的大难题呢！
咱先来说说啥是极坐标吧。
就好像我们在操场上跑步，正常情况下我们说从这儿跑到那儿是多远多远，这是咱们熟悉的直角坐标。
可极坐标不一样，它就像是告诉你从中心点出发，转了多少角度，走了多长的线。
那极坐标求积分面积公式到底是啥呢？这就好比是一个神秘的密码，得一点点去解开。
比如说有个图形，用极坐标表示出来，然后要算它的面积。
这时候这个公式就像一个神奇的魔法棒，能帮我们算出到底有多大的地方。
你想想啊，要是没有这个公式，那得多麻烦！就像你要在一堆乱麻里找一根特定的线，难不难？
老师给我们讲的时候，我瞪大眼睛，竖起耳朵，心里直犯嘀咕：“这能听懂吗？” 结果发现，只要认真听，好像也不是完全搞不懂。
同学小明就着急啦，他说：“这咋这么难呢，我脑子都要炸啦！” 我就鼓励他：“别着急，咱们一起慢慢琢磨。
”
后来我们一起讨论，一起研究，发现其实这个公式也没那么可怕。
你说，数学里这些公式是不是就像一个个藏着宝藏的神秘盒子，得我们用心去打开？
反正我觉得吧，极坐标求积分面积公式虽然一开始让人觉得头大，但是只要我们不害怕，肯钻研，就能发现它的奇妙之处，用它来解决好多难题呢！。
【对应高数】极坐标与极坐标中的积分计算
极坐标与极坐标中的积分计算一、何谓极坐标？你大概也看过一些冷战电影，熟悉这样的情节:美国的潜艇在深海中潜行，而就在50英尺外，有艘苏联潜艇，所以在场的每一个人都得非常安静不可，深怕一不小心杯对方发觉，朝自己射鱼雷。
这时屏幕上就出现了一位海军少尉，坐在雷达显示器前面，而显示器上有一条绿色亮光线，像时钟指针般不断扫描。
然后，镜头扫到了潜艇上的军官，每一个人能都汗流浃背，因为潜艇里拥挤得像沙丁鱼罐头，根本没有空间让船员把止汗除臭剂带上船。
接着，艇长压低了声音说：“安静，任何人都不许出声”，而描述这些细节的同时，雷达显示器上的两线仍是一直转个不不停，而且每转到差不多同一位置，就会出现一个大亮点，指出敌人潜艇的方向跟位置，而且媚扫过那一点，雷达显示器就会“哔”地发出一声怪叫，就想三更半夜的闹钟响。
这时候你坐在电视机前，不由得奇怪，那些俄国人怎么听不见这个哔声？难道耳朵里塞了耳塞？还是他们把美国人潜艇发出的哔声，跟他们自己的搞混了？当然都不是，那哔声响亮到可以把死人吵醒，所以艇长叫大家不得出声，根本是在欺骗没有上过潜艇的老百姓！于是，你坐在自己的家庭电影院里，对着电视告诉艇长：“你根本不用压低声音说话，雷达显示器不可能传递声音。
”而且即使你在这边敞开喉咙大唱：“天佑美国”。
俄国人也稚嫩恶搞在那边说；“同志，你听到了什么声音？”或是“同志，我从他妈的雷达显示器上啥也听不到！”当然，这类电影的场景，至少有80%发生在北极冰帽下面。
原因是美苏两国的潜艇最容易在那儿碰头。
难怪雷达显示器上所用的坐标，可叫做“极”坐标。
稍后，显示器前的少尉也说悄悄话的样子，大声向艇长说（不然就会被显示器的哔声压得根本听不见）：“报告艇长，对方似乎是一搜C 级核动力突击艇，上面看来载有37个男人，12个女人，和一只放养鸡，它的位置离我们50英尺，现在正在接近中。
” 然后这位雷达官加上一句；“它在37度方向。
”意思是说，对方在50英尺外，方向跟x轴之间的夹角为37°。
高数8.2 二重积分的计算方法
（3）由积分表达式写出相应的二次积分
2015年4月29日星期三
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y)dx
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15
例5 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
x2 e 0
dx
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例7的结果, 得
故①式成立 .
2015年4月29日星期三 19
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被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 例8 求球体 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
a
对于曲边梯形 1 ( x0 ) y 2 ( x0 )
0 z f ( x0 , y) 其面积为
S
2 ( x0 )
1 ( x0 )
f ( x0 , y)dy
2
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2015年4月29日星期三
一、利用直角坐标计算二重积分
为便于分析，设曲顶柱体的顶 z f ( x, y) 0 （1）若曲顶柱体的底为 z 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) y a xb 区域称为X-型区域。特点： 穿 D 过D内部并且平行于y轴的直线与D o a bx 的边界最多有两个交点. 由二重积分的几何意义，二重积分的值 等于该曲顶柱体的体积.因此我们可以用这个关系考 虑二重积分的计算.
原式
D
D10_2二重积分的计算 高等数学高数
2
说明: 计算二重积分选择积分次序是重要的。既要考
虑区域D的形状，又要注意被积函数的特点。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先穿刺,后扫描 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
上面讨论的累次积分法仍然有效 .
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
极坐标面积公式定积分
用极坐标面积公式计算定积分在积分学中，极坐标面积公式是一个非常重要的概念，它被广泛地应用于各种数学和物理问题中。
从直观上来讲，极坐标面积公式可以用来计算一个曲线所包围的面积，也可以用来计算一个空间中的体积。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设我们有一个函数f(x)=2cos(x)，其中0≤x≤π/4。
我们想要利用极坐标面积公式来计算函数在这个区间内的面积。
根据极坐标面积公式，我们可以将函数转化为极坐标形式，即r=f(θ)，其中θ是极角，r是极径。
在这个例子中，我们有r=2cos(θ)。
接下来，我们需要确定极角θ的取值范围。
由于函数的定义域为0≤x≤π/4，我们可以将其转化为0≤θ≤π/4。
因此，我们现在有了一个在极坐标系下的曲线，它的方程为r=2cos(θ)，且θ∈[0,π/4]。
我们可以使用极坐标面积公式来计算该曲线所包围的面积。
具体地，极坐标面积公式的形式为：∫[a,b] 1/2r^2 dθ，其中a 和b分别是极角的下限和上限。
对于我们的例子，a=0，b=π/4，r=2cos(θ)。
因此，我们可以将上面的公式代入，得到：S=∫[0,π/4] 1/2(2cos(θ))^2 dθ。
我们可以利用换元积分法将其转化为：S=∫[0,π/4]2cos^2(θ)dθ。
然后，根据三角恒等式cos^2(θ)=1/2+1/2cos(2θ)，我们有：S=∫[0,π/4] (1+cos(2θ)) dθ。
继续计算，我们得到：S=[θ+1/2sin(2θ)]∣0π/4=S=[π/4+1/2sin(π/2)]-0=S(1+√2)/2。
因此，我们利用极坐标面积公式求得函数f(x)=2cos(x)在区间[0,π/4]内的面积为S=(1+√2)/2。
总之，极坐标面积公式是一个非常实用的定积分工具，它可以帮助我们计算各种曲线的面积和体积。
在实际问题中，极坐标面积公式被广泛地应用于微积分、物理学、工程学等领域。
了解极坐标面积公式的概念和应用，可以帮助我们更好地理解积分学的基础知识。
高数下册之重积分
第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分⎰ba dx x f )(其中)(x f 为被积函数，（a ，b ）为积分区间。
我们若把)(x f 推广到多元函数。
(a ，b)推广到区域。
曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。
〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。
（二）求平方薄片的质量。
（一） 求曲顶柱体体体积：设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。
我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。
现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。
首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ∆（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。
又记i σ∆为T i 的面积，λi 为i σ∆的直径，对于i σ∆来说，由于f(x ，y)在i σ∆连续。
故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ∆上各点的函数值近似相等，从而可视i σ∆上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ∆中任放一点以),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为i i i f σηξ∆),(。
并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：∑∑==∆⋅≈∨=N i Ni i i i i f V 11)(σηξ最后，当分割T 的细度O Max T i →=λ时有：∑=→∆⋅Ni iiiV f 1)(σηξ即：i i i T f Vσηξ∆=→),(lim 0（2）、平面薄电的质量设薄电占有xoy 平面上的区域D 且在点（x 、y ）的D 外的面密度为P （x ，y ）>O 求该平面薄纯的质量M 。
极坐标的面积积分公式
极坐标的面积积分公式极坐标的面积积分公式是计算平面图形面积的重要工具。
它将极坐标系中的图形转化为直角坐标系中的积分计算问题，使得求解面积问题更为简便。
下面我将以人类的视角，用生动的语言来描述极坐标的面积积分公式。
我们来思考一个问题：如何计算一个极坐标下的图形的面积呢？假设我们有一个极坐标下的图形，它的边界由一条曲线围成。
我们可以将这个图形划分为无数个微小的扇形区域，每个扇形的面积都可以近似看作一个矩形。
这样，我们就可以将整个图形的面积表示为所有微小扇形面积的和。
现在，让我们来具体推导一下极坐标的面积积分公式。
假设我们要计算的图形的极坐标方程为$r=f(\theta)$，其中$r$表示极径，$f(\theta)$表示极坐标方程。
我们可以将这个图形划分为许多微小的扇形区域，每个扇形的极径为$r$，扇形的角度为$d\theta$，扇形的面积可以表示为$\frac{1}{2}r^2d\theta$。
为了计算整个图形的面积，我们需要将所有微小扇形的面积相加。
这就是面积积分的概念。
将微小扇形的面积积分表示为$\int \frac{1}{2}r^2d\theta$，其中积分符号$\int$表示对角度的积分。
通过对所有微小扇形的面积积分，我们就可以得到整个图形的面积。
这个面积计算公式就是极坐标的面积积分公式。
极坐标的面积积分公式为$\int \frac{1}{2}r^2d\theta$，其中$r=f(\theta)$表示图形的极坐标方程。
通过使用极坐标的面积积分公式，我们可以轻松计算出各种形状的图形的面积。
这个公式的推导基于对图形的分割和近似，因此在计算过程中需要注意精度的问题。
总结一下，极坐标的面积积分公式是计算平面图形面积的重要工具。
它将极坐标下的图形转化为直角坐标系中的积分计算问题，通过对微小扇形的面积进行积分求和，可以得到整个图形的面积。
这个公式在实际问题中具有广泛的应用，是数学中的一大利器。
极坐标定积分面积公式
极坐标定积分面积公式极坐标定积分面积公式是一种计算极坐标下曲线所围成图形面积的公式。
在极坐标系中，曲线可以用极坐标方程$r=f(\theta)$表示，其中$r$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与极轴的夹角。
假设我们要计算曲线上两个角度$\theta_1$和$\theta_2$之间的区域所围成的面积。
首先，我们可以将这个区域分成无数个小的扇形，每个扇形的角度为$\Delta\theta$。
然后，我们可以用每个扇形的面积来近似曲线所围成区域的面积。
每个扇形的面积可以通过计算扇形的弧长与扇形的半径的乘积得到。
扇形的弧长可以通过$r\Delta \theta$计算，其中$r$表示该扇形的半径。
因此，每个扇形的面积可以表示为$r\Delta \theta$。
要计算整个区域的面积，我们可以将所有扇形的面积相加。
当我们将扇形的数量无限接近于无穷大时，扇形的面积之和就会无限接近于区域的面积。
因此，我们可以使用极坐标定积分来计算整个区域的面积。
极坐标定积分面积公式可以表示为：$$A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}r^2 d\theta$$其中，$A$表示曲线所围成区域的面积，$\theta_1$和$\theta_2$表示角度的下界和上界，$r^2$表示曲线在不同角度对应的半径的平方。
这个公式可以将曲线的极坐标方程代入，然后计算定积分来求得曲线所围成区域的面积。
总结起来，极坐标定积分面积公式提供了一种计算极坐标下曲线所围成区域面积的方法。
通过将区域分成无数个小的扇形，并计算每个扇形的面积，我们可以使用极坐标定积分来求解整个区域的面积。
这个公式可以在许多实际应用中非常有用，例如计算圆形、螺旋线等图形的面积。
二重积分在极坐标下的计算方法
二重积分在极坐标下的计算方法二重积分是数学中的一种重要的积分形式，广泛应用于物理、工程和统计学等领域。
在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简便，特别是当积分区域是以原点为中心的圆形或者圆环形时。
在极坐标系下，二重积分的计算方法主要涉及到以下几个步骤：1. 确定积分区域：首先需要确定积分区域在极坐标下的表示形式。
若积分区域是以原点为中心的圆形，则可表示为$0leq r leq R$，$0leq theta leq 2pi$，其中$R$为圆的半径；若积分区域是以原点为中心的圆环形，则可表示为$r_1leq r leq r_2$，$0leq theta leq 2pi$，其中$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
2. 确定被积函数：将被积函数表示为极坐标下的形式，即$f(x,y)$转化为$f(r,theta)$。
3. 确定积分限：将被积函数$f(r,theta)$乘以积分元素$rmathrm{d}rmathrm{d}theta$，并在积分区域上进行累加，最终得到二重积分的值。
根据积分区域的不同，积分限的确定也会有所不同。
例如，对于以原点为中心的圆形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y = int_0^{2pi}int_0^Rf(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$R$为圆的半径。
对于以原点为中心的圆环形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y =int_0^{2pi}int_{r_1}^{r_2}f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
总之，二重积分在极坐标下的计算方法相对简便，而且适用于一些特殊的积分区域，如圆形和圆环形区域。
高数 二重积分
D 2 y +2 D −1 y2 2 −1 2 y+2 y2 2 2 5 −1
6
2
4
3
2
2 −1
2
2
题型 6 −4 交换积分的次序 如果二重积分化为二次积分后, 积分不易计算, 可考虑交换积分次序, 即把先对 x 后 对 y 的积分化为先对 y 后对 x 的积分, 或把先对 y 后对 x 的积分化为先对 x 后对 y 的积分. 交换积分的次序的的关键是根据原二次积分的积分限画出区域 D 的图形. 如果原二次积分是先对 y 后对 x 的积分, 则对 x 的积分的积分区间[a, b]为积分区域 D 在 x 轴上的投影区间, 也就是说积分区域 D 位于直线 x=a 和 x=b 之间; 对 y 的积分的积分 上限ϕ (x)对应积分区域 D 的上边界曲线 y=ϕ (x), 下限ϕ (x)对应积分区域 D 的下边界曲线 y=ϕ (x)(这里假定ϕ (x)≤ϕ (x)). 根据这些分析可画出积分区域的图形. 例 1. 交换积分 ∫ d y ∫ f ( x, y) d x 的积分次序. 解: 这是先对 x 后对 y 的积分, 积分区域 D 位于 直线 y=0 和 y=1 之间, 左边界曲线为 x=0, 右边界曲线 为 x=y, 由此可画出积分区域 D 的图形. 区域 D 在 x 轴上的投影区间为[0, 1], 上边界曲线为 y=1, 下边界 曲线为 y=x, 所以Dຫໍສະໝຸດ 22− xD
0
0
2
2
0
2− x 0
2
2
0
2
3
2 0
例 2. 计算 ∫∫ xy d x d y 其中 D 为由 y=x−2, y =x 所围成的区域. 解: 根据积分区域可选择先对 x 后对 y 的次序求 (1)区域 D 的下边界曲线是分段曲 积分 线(一段抛物线和一段直线), 如果 先对 y 后对 x 的积分次序, 则需要 ∫∫ xy d x d y = ∫ d y ∫ xy d x 分为两个积分进行计算, 计算麻烦, 1 1 故不宜采用. = ∫ [ yx ] d y = ∫ [ y ( y + 2) − y ]d y 2 2 (2)区域 D 的左边界曲线是 x=y , 右 y 1 y 4 5 边界曲线是 x=y+2, 它们都不是分 = [ + y + 2 y − ] =5 . 2 4 3 6 8 段曲线, 故采用先对 x 后对 y 的积 分次序. (3)将区域 D 向 y 轴进行投影, 投影 区间为[−1, 2], 故在对 y 的积分中, 积分下限为−1, 上限为 2; 在对 x 的 积分中 , 积分下限为左边界曲线 x=y 中的 y , 上限为右边界曲线 x=2+y 中的 2+y.
-二重积分在极坐标下的计算法及应用
9
在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：
1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界 用极坐标表示较为简单；
2)被积函数具有 f ( x2 y2 ) 等形式时,用极坐标积分
较为容易.
y
y
o
ax
o 1 2x
10
例1 计算 e x2 y2 dxdy ，其中 D是由中心在原点，
Rx
原式 R2 r2 r drd
D
2
d
2
R cos 0
R2 r2 r dr R3 3
2
(
sin
3
1)
d
2
2 R3 2 1 R3 1 (3 4)R3 .
33 3 9
常见错误： 原式
R3 3
R 2R
显然有D1 S D2 ,且 e （x2 +y2） 0, 从而
e d e d e d , (x2y2 )
(x2 y2 )
(x2 y2 )
D1
S
D2
由例1结果,得
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
z
解 V 4 x 2 y2 d (用极坐标)
极坐标下二重积分的计算方法
极坐标下二重积分的计算方法
嘿呀，你知道吗？极坐标下二重积分的计算方法那可真是超级有趣！就好比说，咱平时画地图找地方，极坐标就像是给咱们指了一条特别的路呢。
想象一下，在一个大圆盘上，咱要找到某一块区域的大小，这就是二重积分要做的事儿啦。
比如，要计算一个圆形区域里某种东西的总量，极坐标就能派上大用场咯！咱不用再像以前那样直来直去地找，而是通过角度和距离来精确锁定。
你瞧，要是用直角坐标，可能会觉得有点别扭，就像走路走着走着突然卡住了。
但极坐标呢，就像给你开了个顺畅的通道，一下子就过去了。
这不，上次我和朋友一起做数学作业，碰到一个用直角坐标算起来特别麻烦的题目，我灵机一动，说要不试试极坐标吧！结果嘞，嘿哟，那叫一个轻松就搞定啦，朋友都对我竖起了大拇指，说我太厉害啦！
所以呀，极坐标下二重积分的计算方法真的超棒的呀，大家一定要学会用哦！。
极坐标弧长积分公式推导
极坐标弧长积分公式推导极坐标弧长积分公式是一种计算极坐标曲线弧长的公式。
它是通过对极坐标方程进行参数化，然后对参数进行积分得到的。
在本文中，我们将推导出这个公式，并解释它的应用。
让我们回顾一下极坐标的定义。
在极坐标系统中，一个点的位置由它距离原点的距离（记为r）和与正极轴的夹角（记为θ）确定。
极坐标方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是一个关于θ的函数。
要计算极坐标曲线的弧长，我们可以将曲线分为无数个小线段，然后对每个小线段的长度进行求和。
为了做到这一点，我们需要对曲线进行参数化，将曲线上的每个点表示为一个参数的函数。
我们可以使用参数t来表示曲线上的点，其中t的范围可以是从一个起始点到一个终止点。
然后，我们可以用r = f(θ)将极坐标方程转化为参数方程，即r(t) = f(θ(t))。
接下来，我们需要计算参数方程中的导数，以便计算弧长。
根据链式法则，r'(t) = f'(θ(t)) * θ'(t)。
在这里，f'(θ(t))表示f(θ)对θ的导数，θ'(t)表示θ对t的导数。
为了计算弧长，我们需要计算每个小线段的长度。
我们可以使用勾股定理来计算每个小线段的长度，即dl = √(dx^2 + dy^2)。
在这里，dx和dy分别表示x和y的导数。
根据极坐标的定义，x = r * cosθ，y = r * sinθ。
因此，dx = dr * cosθ - r * sinθ * dθ，dy = dr * sinθ + r * cosθ * dθ。
将这些表达式代入勾股定理，我们可以得到dl = √((dr * cosθ - r * sinθ * dθ)^2 + (dr * sinθ + r * cosθ * dθ)^2)。
将dl的表达式化简后，我们可以得到dl = √(dr^2 + r^2 * dθ^2)。
现在，我们可以将dl代入弧长的积分公式中，即L = ∫dl = ∫√(dr^2 + r^2 * dθ^2)。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算在二维区域上的一些函数的平均值、面积、质心等数值特征。
极坐标系统是一种常用的描述平面点的坐标系，由径向和角度两个坐标变量组成。
在极坐标下，二重积分有一套特定的计算公式。
一、极坐标变换在直角坐标系下，点P的坐标为(x,y)，在极坐标系下，P的坐标可以表示为(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P到正半轴的角度。
我们可以通过以下公式将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分：∬R f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ其中，R为直角坐标系下的二维区域，D为其对应的极坐标系下的二维区域。
f(x,y)为被积函数。
二、极坐标下的积分区域在极坐标下，二重积分的积分区域通常是一个由两个角度θ1和θ2以及两个径向r1和r2确定的扇形区域，可以表示为：D={(r,θ)，r1≤r≤r2,θ1≤θ≤θ2}其中，r和θ的取值范围由具体问题决定。
三、极坐标下的积分公式在极坐标下，二重积分的计算公式包括被积函数的转换、积分区域的确定和积分的计算三个部分。
具体的计算步骤如下：（1）将被积函数f(x, y)转换为极坐标下的形式f(rcosθ, rsinθ)，并根据具体问题进行简化和化简。
（2）确定积分区域D的极坐标表达式，即确定r的取值范围和θ的取值范围。
（3）将被积函数f(rcosθ, rsinθ)乘以极坐标的雅可比行列式r，并根据r和θ的取值范围进行积分计算。
具体的计算公式如下：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ四、极坐标下的面积计算二重积分在极坐标下的一个重要应用是计算二维区域的面积。
对于一个在极坐标下表示的简单闭合曲线，其面积可以通过以下公式进行计算：A=1/2∬Dr^2dθ其中，A为二维区域的面积，D为二维区域在极坐标下的表示，r为点到极坐标原点的距离。
极坐标的积分公式
极坐标的积分公式
极坐标积分公式是x=r/cos/theta，y=r/sin/theta。
极坐标，属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。
极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标，是用于平面中定位点的系统，它以一个固定点O（原点）和一条从原点发出的射线（通常是正x轴）作为参考。
坐标用（r，θ）表示，其中r是原点到任意点P的距离，θ是线段OP与轴线之间的夹角。
笛卡尔坐标（x，y）和极坐标（r，θ）之间存在一个简单的关系，即：x=r cosθ和y=r sinθ。
在极坐标被公认为一种通用的几何工具之前，它被用于一些特殊目的和研究特定的曲线。
最早使用极坐标的数学家是邦纳文图拉·卡瓦列里，他用它通过与抛物线外的面积联系起来的方法来计算阿基米德螺旋线内的面积。
第一位将极坐标视为平面中任何点定位手段的数学家是牛顿。
雅各布·伯努利写出了以极坐标形式给出的曲线的曲率半径表达式。
第一位想到在三维空间中使用极坐标的数学家是克莱罗，但他只是简单地提到了这种可能性。
第一个发展它的人是欧拉，即极坐标和极角坐标。
极坐标计算二重积分
设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形 见下图.
图中分割的其中一小块的面积为
1 (r r)2 1 r 2
2
2
y
rr 1 (r)2 .
2
略去高阶无穷小 1 (r)2 , 则有
放映结束 感谢各位观看！
谢 谢！
让我们共同进步
.
y
2
2
x2 y2dxdy
2 d
2acos r 2dr
0
0
D 2a
D
O
2
2 (2a cos )3d
30
x
32 a3. 9
例4
求
2a
a a2 x2
2 dx
xdy (a>0).
0
x
解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,
原式 =
2
o
rr,
故
d = rdrd.
于是, 二重积分
k k k
k
r rk x
f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd.
D
D
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
的三种情形
r 1( )
r 2( )
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1） 2
x2 y2 4
D
o 2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
极坐标面积公式定积分
极坐标面积公式定积分极坐标面积公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算在极坐标系下的图形的面积。
在本文中，我们将介绍极坐标面积公式的推导过程，并通过一些例子来帮助读者更好地理解和应用这个公式。
让我们来回顾一下极坐标系的基本概念。
在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来表示一个点的位置，而在极坐标系中，我们使用极径r和极角θ来表示一个点的位置。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴正向的夹角。
现在，我们来推导极坐标面积公式。
假设我们有一个曲线C在极坐标系下的方程为r=f(θ)，其中f(θ)是一个连续函数。
我们将曲线C 分成一段段小弧，每个小弧对应的极角范围为[θ,θ+dθ]，对应的极径范围为[r,r+dr]。
我们可以将这个小弧近似看作一个扇形，其面积可以近似表示为一个三角形的面积。
这个三角形的底边长度为r，高度为dθ，因此其面积为1/2 * r * dθ。
为了计算整个曲线C的面积，我们需要将所有小弧的面积相加。
由于dθ是一个无穷小量，我们可以使用定积分来表示这个和。
因此，曲线C的面积可以表示为：A = ∫[θ1,θ2] 1/2 * r * dθ其中，θ1和θ2分别是曲线C的起始极角和终止极角。
通过这个公式，我们可以计算出曲线C所围成的图形的面积。
需要注意的是，曲线C必须是封闭的，即起始极角和终止极角相等。
现在，让我们通过一些例子来应用极坐标面积公式。
例子1：计算圆的面积考虑一个圆的极坐标方程为r=a，其中a是一个常数。
我们知道，圆的极径是恒定的，即r=a。
因此，根据极坐标面积公式，圆的面积可以表示为：A = ∫[0,2π] 1/2 * a * dθ由于θ的范围是从0到2π，我们可以将上述定积分化简为：A = 1/2 * a * 2π = πa^2这正是我们熟知的圆的面积公式。
例子2：计算心形线的面积考虑一个心形线的极坐标方程为r=a(1+cosθ)，其中a是一个常数。
我们可以将心形线分成两个对称的部分，因此只需要计算其中一部分的面积，然后乘以2即可。
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然后这位雷达官加上一句；“它在37度方向。”意思是说，对方在50英尺外，方向跟x轴之间的夹角为37°。若是用极坐标来表示，我们该说点的坐标是
解:第一步：把题目做个图解，圆r=1很简单，r=2cosθ借助前面的公式课的是一个圆心为(1,0)半径为1的圆。如图13所示
图13
所以这个题目就是要我们求出途中那块弦月的面积
第二步：我们需要找出两个圆的交点，由于在交点上，r值相等，所以
第三步:现在一切就绪，我们可以写下积分过程，求出面积了
嘿，怎么半天都没听到你声音了？
图11
解：那片血渍的形状如图11所示。利用前面方框里面的公式:
看样子，你只有赶紧去找家洗车点喽
曲线所围成的面积
也许你也曾注意到，挡风玻璃上的雨刷，并非每次都会回到雨刷从车体伸出来的地方。从实用观点来看应是好事，因为那地方刮了不但没啥效果，雨刷也比较容易磨损。不管道理在哪儿。结果是我们得知道，如何求两条极坐标曲线之间的面积。
θ
0
...
r=2sinθ
0
2
0
...
吧以上这些点连起来之后，就会得到图5所示的圆。请注意，如果我们让θ从0变化到2π，我们实际上饶了图中这个圆2次。
方法2:上述描点非常机械化，我们不防变化一下，换个解题方式。首先，在等号两边各乘r
这不就是半径为1、圆心在(0,1)的圆吗？
图5
由此，我们很容易看出:
同样地
当然，我们跟海军不同。我们使用弧度，这是因为所有的数学家都同意，弧度计算起来比较方便。如果你只是为找到鱼雷的位置，用“度”也还算方便，不是一旦涉及到积分、微分运算，你就必须用弧度了。
为了用极坐标来表示平面上的一点，我们得先说出该店跟原点之间的距离，此距离称为r,然后是它与圆点的连线，跟正x轴之间存在反时针方向的夹角θ.如此一来，我们就把一点表示成 如图1所示
于是，你坐在自己的家庭电影院里，对着电视告诉艇长：“你根本不用压低声音说话，雷达显示器不可能传递声音。”而且即使你在这边敞开喉咙大唱：“天佑美国”。俄国人也稚嫩恶搞在那边说；“同志，你听到了什么声音？”或是“同志，我从他妈的雷达显示器上啥也听不到！”
当然，这类电影的场景，至少有80%发生在北极冰帽下面。原因是美苏两国的潜艇最容易在那儿碰头。难怪雷达显示器上所用的坐标，可叫做“极”坐标。
来源:《微积分之倚天宝剑》(C.亚当斯J.哈斯A.汤普森)
F
如图6所示
图6
例题3试绘r=1+sinθ
解:这题比较诡诈。如果我们依照上题的办法，试图把原方程转换成直角坐标，恐怕会弄得一团糟。所以，我们还是老老实实的描绘点比较好.
θ
0
r=1+sinθ
1
1.707
2
1.707
1
0.293
0.293
1
图7
把这些点连起来后，得到图7.这个图形和心脏的外形相似，所以命名为“心脏线”。西洋情人节期间满街可看到“心形”，根真的心脏比起来，长相根本就差了一大截，图7这个图形，才是真正的心形--因为它有个拉丁名字！
假设我们相求，由两径向线θ=α根θ=β，,以及两曲线 所围城的面积(其中，对α跟β之间的所有θ来说, ，如图12所示
图12
由于两条径向线跟曲线 所围城的面积 ,而两径向线跟另一条取下你 所围城的面积 ,则两条曲线间的面积，就等于关于前者减去后者:
例题2试求在圆r=2cosθ之内却在圆r=1之外的区域的面积
图2
从图3以及勾股定理，我们可以得到几个换算直角坐标与极坐标的基本关系式
图3
框框里的4个方程式，值得知道，但是不须硬背下来。原因是你只要记得图3，就能非常容易从图上看出了，现在让我们画一些极坐标方程式的图.
例题1:试绘出r=3
解:你一定会喜欢这题！题目是要我们把平面上满足r=3所有的点 找出来，由于方程式中根本没有θ,表示θ可以等于任何值；但是r不然，它固定在3这个距离上。因此，我们得到的图形就是以原点为圆心、半径为3的圆。图4显示的就是这个图形。
如果你搞不清楚数学系聚餐是怎么回事，现在你心里应该有点谱才是，当然好戏还在后头，等到吃完了饭要付帐的时候，你就会大开眼界啦！闲话少说，言归正传，让我们回到图8的问题
图10
现在看看图10.我们吧介于α到β的这个角分成n个等分，每一等份的大小为△θ,而在每一个等分角中，我们再任选一个角 来代表它的角度位置，那么第i个楔形小块的半径就是 ,而面积就等于
假设我们要知道的面积，夹在两条径向线θ=α根θ=β，以及曲线 之间，而θ的范围当然是 .图8所示
图8
一看到这个图，你可以把它当做一块派或比萨，分切成许多等份，来估算它的总面积。
图9
说道派，数学系聚餐时常有一道饭后甜点就是柠檬派，每当柠檬派分送到每个人面前，大家所做的第一件事，就是议论应该如何计算面前这块派的面积（每个人心里想的，实际上是究竟是谁拿到了最大的那一块）。如果这块派的半径为r,圆心角为φ,就像图9那样，那简单地说，整个派的面积就是πr²,而你面前的那一份是整个派ude2π分之φ,也就是说，你的那一块派面积等于
接着，艇长压低了声音说：“安静，任何人都不许出声”，而描述这些细节的同时，雷达显示器上的两线仍是一直转个不不停，而且每转到差不多同一位置，就会出现一个大亮点，指出敌人潜艇的方向跟位置，而且媚扫过那一点，雷达显示器就会“哔”地发出一声怪叫，就想三更半夜的闹钟响。这时候你坐在电视机前，不由得奇怪，那些俄国人怎么听不见这个哔声？难道耳朵里塞了耳塞？还是他们把美国人潜艇发出的哔声，跟他们自己的搞混了？当然都不是，那哔声响亮到可以把死人吵醒，所以艇长叫大家不得出声，根本是在欺骗没有上过潜艇的老百姓！
以上这几题，可以说是极坐标方程里最著名的方程式，而且经常在考卷上露脸，所以若要得到好成绩，最好弄得一清二楚。
二、极坐标中的面积
如同直角坐标中的曲线“围住”一块面积，极坐标中的曲线也围住了一块面积。我们已经学过，如何求直角坐标中两条曲线之间的面积，所以原则上，我们可以吧以极坐标表示的曲线，先转成直角坐标，然后求面积。不过，这有点像吧美国诗人Rober Frost写的诗，先译成俄文，然后才去决定我们喜不喜欢。因此我们最好还是来瞧瞧，如何在极坐标上直接求面积。
所以，整个区域的面积约等于这些小块派的面积和，写成数学式子就是:
如果我们吧派饼分得更细，然后取其极限，那么这个总和变成从α到β的积分，我们也就出了整块派的面积：
例题1:（看不透挡风玻璃的问题）话说你要去球场看少年棒球赛，正沿着球场旁边开着车，这时不知哪个乡巴佬有意无意的吐了一口槟榔汁，一滩血似的东西正巧落在你的挡风玻璃上。修养到家的你，一句恶言也不发，马上启动雨刷，来回刷了几下，结果是挡风玻璃上的“血渍”就散开来，成了一块介于 的区域（r的单位是英尺).那么请问，你那片看不同的红渍印的面积究竟有多大？
凡是形式为 的方程式，画出来的图形都是心脏线。中国人常说：“某某人胸怀大志”洋人则说：“She has a heart as big as the great outdoors.(他得心脏很大)”指的就是a的大小，a愈大，心脏也愈大。方程式用的三角函数是sin还是cos,决定了这个心脏线是竖着还是横着，至于方程里的正负号，决定了凹进去的部位是朝下还是朝上.
极坐标与极坐标中的积分计算
一、何谓极坐标？
你大概也看过一些冷战电影，熟悉这样的情节:美国的潜艇在深海中潜行，而就在50英尺外，有艘苏联潜艇，所以在场的每一个人都得非常安静不可，深怕一不小心杯对方发觉，朝自己射鱼雷。这时屏幕上就出现了一位海军少尉，坐在雷达显示器前面，而显示器上有一条绿色亮光线，像时钟指针般不断扫描。然后，镜头扫到了潜艇上的军官，每一个人能都汗流浃背，因为潜艇里拥挤得像沙丁鱼罐头，根本没有空间让船员把止汗除臭剂带上船。
图1
在极坐标上，对同一点不止一个表示方法，就拿直角坐标系(x,y)上的点(1,0)为例，它离原点的距离是1，而跟正x轴之间的夹角为0弧度，所以用极坐标表示词典它是 ,但是我们也可以写成, 等等，这还不算稀奇，除了(0,0)还可以写成 等等
如果r是负值,表示从原点走出去时朝着负x轴的方向走。所以说如图2所示, 这一点，跟 事实上为同一点.
图4
反过来说，这个圆的极坐标方程仅仅是r=3,比直角坐标圆方程 简单得多。这正是数学家喜欢极坐标方程的一个原因；这种方程式大大简化了某些常用图形表示方法，特别是是以原点为圆心的圆.
例题2试绘出r=2sinθ
解:方法1：标出一些点，然后连起来。在绘图时，这是一个经久不衰的传统方法。当你不是很确定，或是杯五花八门的“捷径”弄得迷迷糊糊、不知所从，这时最靠得住的方法就是返璞归真，把一些点标示出来，然后一个个连起来.