高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业
直线与椭圆的位置关系导学案
直线与椭圆的位置关系导学案一、引入本导学案旨在引导学生深入探究直线与椭圆的位置关系。
通过学习，学生将能够了解直线与椭圆之间的相交情况，并能够运用相关知识解决实际问题。
二、基础知识回顾在开始学习直线与椭圆的位置关系之前，我们先回顾一下相关的基础知识。
1. 直线的方程一条直线可以用方程y = mx + c来表示，其中m是直线的斜率，c是直线与y 轴交点的纵坐标。
2. 椭圆的方程一个标准椭圆的方程为((x - h) / a)^2 + ((y - k) / b)^2 = 1，其中(h, k)代表椭圆的中心坐标，a和b代表横轴和纵轴的半长轴。
三、直线与椭圆的位置关系当直线与椭圆相交时，可能存在以下几种情况：1. 直线与椭圆有两个交点当直线与椭圆有两个交点时，意味着直线与椭圆相交于两个不同的点。
这种情况下，直线穿过椭圆。
2. 直线与椭圆有一个交点当直线与椭圆有一个交点时，直线与椭圆相切。
此时，直线的斜率等于椭圆切线的斜率。
3. 直线与椭圆没有交点当直线与椭圆没有交点时，直线与椭圆相离。
四、求解直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与椭圆的交点为了确定直线与椭圆的位置关系，我们需要求解直线与椭圆的交点坐标。
可以通过联立直线和椭圆的方程，解方程组来求解。
2. 判断直线与椭圆的位置关系通过求解方程组得到交点坐标后，可以根据交点的个数来判断直线与椭圆的位置关系。
若方程组有两个实数根，则直线与椭圆有两个交点，直线穿过椭圆。
若方程组有一个实数根，则直线与椭圆有一个交点，直线与椭圆相切。
若方程组无实数根，则直线与椭圆没有交点，直线与椭圆相离。
五、实例分析我们通过一个实例来进一步理解直线与椭圆的位置关系。
示例：求解直线y = 2x + 1和椭圆((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1的位置关系。
解：首先，我们将直线与椭圆的方程化为标准形式。
直线的方程已经是标准形式。
将椭圆的方程展开得到((x - 1) / 4)^2 + ((y - 2) / 3)^2 = 1，可以得出椭圆的中心坐标为(1, 2)，横轴的半长轴为4，纵轴的半长轴为3。
高中数学同步学案 直线与椭圆的位置关系
第二课时 直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 2b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y 得一个一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ<0[小问题·大思维]1．若点A(a,1)在椭圆x 24＋y22＝1的内部,则a 的取值范围是什么？提示：∵点A(a,1)在椭圆x 24＋y22＝1的内部,∴a 24＋12<1,解得－2<a<2, 即a 的取值范围为(－2,2)．2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋3；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆x 22＋y 2＝1各有什么样的位置关系？提示：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4x ＝0.∵Δ＝16＞0, ∴直线与椭圆相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 22＋y 2＝1得3x 2＋43x ＋4＝0.∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0, ∴直线与椭圆相切． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 22＋y 2＝1得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0, ∴直线与椭圆相离．直线与椭圆位置关系对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1,整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切；当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程,消去y 或x,得到关于x 或y 的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时,直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，消去y,得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6,即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48. 当Δ＝72k 2－48>0,即k<－63或k>63时, 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k 2－48＝0,即k ＝63或k ＝－63时, 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k 2－48<0时,即－63<k<63时, 直线和曲线没有公共点．弦长问题已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点,交椭圆于A,B 两点,求弦AB 的长．[自主解答] ∵a 2＝4,b 2＝1,∴c ＝a 2－b 2＝ 3.∴右焦点F(3,0)． ∴直线l 方程为y ＝x － 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得5x 2－83x ＋8＝0.设直线l 与椭圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝835,x 1x 2＝85,∴|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 1－3－x 2＋32＝2x 1－x 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 即弦AB 的长为85.当直线与椭圆相交时,两交点间的距离,称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立,得到关于x 的一元二次方程,然后运用根与系数的关系,再求弦长．不必具体求出方程的根,即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k,方程为y ＝kx ＋b,设端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∴|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22,＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝ 1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2.其中,x 1＋x 2,x 1x 2的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x 轴上,又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625.求椭圆方程．解：∵a ＝2b,且焦点在x 轴上, ∴设椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b 2＋y2b2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝162－2016－4b2＝165b 2－4>0，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.∴|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16. ∴b 2＝4,即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为x 216＋y24＝1.中点弦问题已知椭圆x 22＋y 2＝1,求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程．[自主解答] 法一：由题意可知,该直线的斜率存在,不妨设所求直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即y ＝kx ＋12－12k.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－12k ，得(2＋4k 2)x 2＋4k(1－k)x ＋(1－k)2－4＝0, 设直线与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点, 则x 1＋x 2＝－4k1－k2＋4k2＝1, 解得k ＝－12.∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点, 由题意知,所求直线的斜率存在,设为k, 则x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得y 21－y 22＝－12(x 21－x 22),∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12, 即k ＝－12,∴直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5.∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,则x 1＋x 2＝3, ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32, y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.解题高手 多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试已知椭圆x 24＋y23＝1,直线l ：y ＝4x ＋m,若椭圆上总有两点P,Q 关于直线l 对称,求m 的取值范围．[妙解] 法一：(根与系数的关系)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点,则k PQ ＝－14.设PQ 所在直线方程为y ＝－x4＋b.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x4＋b ，x 24＋y 23＝1，消去y,得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b 2－48)>0.解得b 2<134.①x 1＋x 2＝8b 13,x 1x 2＝16b 2－4813.设PQ 中点为M(x,y),则有x ＝x 1＋x 22＝4b 13,y ＝－14·4b 13＋b ＝12b 13.∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上,∴12b 13＝4·4b 13＋m.∴b ＝－134m.② 把②代入①,得：⎝ ⎛⎭⎪⎫－134m 2<134,解得－21313<m<21313.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.法二：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)是椭圆C 上的两点, M(x,y)是PQ 的中点．则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减,得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2,x 1＋x 2＝2x,y 1＋y 2＝2y, ∴3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ . ∵k PQ ＝－14,∴y ＝3x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m ，y ＝－3m.∴M(－m,－3m)． ∵点M 应在椭圆C 的内部, ∴－m24＋－3m 23<1.解得－21313<m<21313.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.[点评] P,Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P,Q 的中点在直线l 上；②直线PQ 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0,椭圆x 24＋y 2＝1,则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1得x 24＋(3－x)2＝1, 即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0, ∴直线与椭圆相离． 答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y22＝1相切,则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得,(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0,因为直线与椭圆相切,∴Δ＝(12k)2－4(3k 2＋2)×6＝0,解得k ＝±63. 答案：C3．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,则m 的取值范围是( )A ．(1,＋∞)B ．(0,＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5,＋∞)解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点, 若5＞m,则m ≥1, 若5＜m,则必有公共点, ∴m≥1且m≠5. 答案：D4．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y24＝1恒有两个不同的交点,则a 的取值范围是________．解析：由x 23＋y24＝1得－2≤y≤2,∴－2<a<2. 答案：(－2,2)5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1得交点坐标(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12,则|AB|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝322.答案：3226．过点P(2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交,求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A,B 两点,且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 的中点M(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1， ①x 222＋y 22＝1， ②由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12·xy .又∵直线l 的斜率为k PM ＝y －1x －2,∴y －1x －2＝－x2y. 整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为 x 2＋2y 2－2x －2y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫在椭圆x 22＋y 2＝1内的部分.一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交,故选B. 答案：B2．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a ＞0)与以A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，322 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，822 解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外,4＋12＞a 2,解得0＜a ＜322；(2)B 点在椭圆内,16＋92＜a 2,解得a ＞822. 答案：B3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B 两点,O 为坐标原点,则OA ―→·OB ―→＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13解析：椭圆右焦点为(1,0),设l ：y ＝x －1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2.把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1得,3x 2－4x ＝0. ∴A(0,－1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴OA ―→·OB ―→＝－13. 答案：B4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③ ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.答案：B二、填空题5．已知点A,B 是椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m>0,n>0)上两点,且AO ―→＝λBO ―→,则λ＝________. 解析：由AO ―→＝λBO ―→知点A,O,B 共线,因椭圆关于原点对称,∴λ＝－1.答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点,则实数m 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点,所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0,解得－52≤m≤52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2,x 1x 2＝－6.∴弦长|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 544＋24＝35.答案：358．已知F 1,F 2为椭圆的两个焦点,以F 1为圆心,且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P,若PF 2恰好与圆F 1相切,则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c,即|PF 1|＝c,又PF 2与圆F 1相切,所以PF 2⊥PF 1,∵|F 1F 2|＝2c,∴|PF 2|＝3c.∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)c ＝2a.∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 答案：3－1三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m,椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②,整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0,即－32<m<32时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0,即m ＝±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0,即m<－32或m>32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A,B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时,求|AB|.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1, 消去y,整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A,B 两个不同的点, 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0,解得－3<b< 3.所以b 的取值范围为(－3,3)．(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),当b ＝1时,方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0,x 2＝－43. 相应地y 1＝1,y 2＝－13. 所以|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.。
2024-2025学年高二上数学课时作业24：直线与椭圆的位置关系
2024-2025学年高二上数学课时作业(二十四)直线与椭圆的位置关系[练基础]1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交2．加斯帕尔·蒙日(图1)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2).则椭圆C ：x 25＋y 24＝1的蒙日圆的半径为()A ．3B ．4C ．5D ．63．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为()A.207B ．227C ．247D ．2674．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上下顶点分别为A ，B ，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A 反射后与椭圆C 交于D 点，则直线BD 的斜率k BD 为()A ．32B ．34C ．52D ．325．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，短轴长等于2，焦距为23，过焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆C 的离心率为34C ．|PQ |＝12D ．|PF 2|＝726．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．7．已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，则以A (1，1)为中点的弦MN 所在的直线方程为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线y ＝12(x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，|AB |＝352，求椭圆C 的标准方程．[提能力]9．椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为()A ．5B ．755C ．955D ．135510．(多选)已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上三点，且A (A 在第一象限)，B 关于原点对称，AB ⊥AC ，过A 作x 轴的垂线交椭圆M 于点D ，交BC 于点E ，若直线AC 与BC 的斜率之积为－12，则()A ．椭圆M 的离心率为22B ．椭圆M 的离心率为14C ．|AE ||AD |＝12D ．|AE ||AD |＝1311．如图，已知椭圆x 28＋y 24＝1的左右顶点分别为A 、B ，点P 是圆O ：x 2＋y 2＝8上不同于A 、B 两点的一动点，直线PB 与椭圆交于点Q ，则直线QA 与直线QB 的斜率之积k QA ·k QB ＝________，若已知直线PA 的斜率k P A ＝32，则直线QA 的斜率k QA ＝________．12．平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝22.记M 的轨迹为C .(1)说明C 是什么曲线，并求C 的方程；(2)已知经过F 2的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AF 1|·|BF 1|＝114，求|AB |.[培优生]13．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为()A ．23B ．34C ．35D ．57答案解析1．解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．答案：A2．解析：由蒙日圆的定义，可知椭圆C ：x 25＋y 24＝1的两条切线x ＝5，y ＝2的交点在圆上，所以R ＝5＋4＝3.答案：A3．解析：由椭圆知，a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝1，所以右焦点坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x －1＋y 23＝1，消y 得，7x 2－8x －8＝0，则x 1＋x 2＝87，x 1·x 2＝－87，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝2×＝247.即弦AB 长为247.答案：C4．解析：依题意，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上顶点A (0，3)，下顶点B (0，－3)，左焦点F 1(－1，0)，右焦点F 2(1，0)，由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点F 2，于是得直线AD 的方程为：y ＝－3x＋3，＝－3x ＋3，x 2＋4y 2＝12，得点，则有k BD ＝－335－（－3）85－0＝34，所以直线BD 的斜率k BD 为34.答案：B5．解析：对于椭圆C b ＝2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2.因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，A 对；椭圆C 的离心率为e ＝c a ＝32，B 错；设点F 1为椭圆C 的左焦点，易知点F 1(－3，0)，将x ＝－3代入椭圆方程可得y ＝±12，故|PQ |＝1，C 错；|PF 1|＝12|PQ |＝12，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝72，D 对．答案：AD6．解析：由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.答案：277．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，x 219＋y 214＝1①x 229＋y 224＝1②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）9＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4（x 1＋x 2）9（y 1＋y 2）＝－4×29×2＝－49.所以直线l 的方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.答案：4x ＋9y －13＝08．解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为(0，b )，左右顶点的坐标分别为(－a ，0)、(a ，0)，∴ba＝－14，即a 2＝4b 2，则a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝3b ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 2b 2＝1x ＋1）得：2x 2＋2x ＋1－4b 2＝0，∴Δ＝32b 2－4＞0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝1－4b 22，∴|AB |＝|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝528b 2－1＝352，解得8b 2－1＝7，∴b 2＝1，满足Δ＞0，∴a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.9．解析：设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x ＋2y ＋b ＝0，则2y ＋b ＝0，＋y 23＝1，2y ＝x ＋b ，x 2＋4y 2＝12，⇒4x 2＋2bx ＋b 2－12＝0，所以Δ＝(2b )2－4×4(b 2－12)＝0⇒b ＝±4,所以椭圆上点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为d ＝|－9－（－4）|12＋22＝5.答案：A10．解析：设A (x 0，y 0)，C (x 1，y 1)，E (x 0，m )，则B (－x 0，－y 0)，x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1，两式相减并化简得－b 2a 2＝y 1－（－y 0）x 1－（－x 0）·y 1－y 0x 1－x 0，即k CA ·k CB ＝－b 2a 2＝－12，则e ＝ca ＝＝22，则A 正确；∵k AB ＝y 0x 0，AB ⊥AC ，∴k CA ＝－x 0y 0，又∵k CA ·k CB ＝－12，∴k CB ＝y 02x 0，即k CB ＝k EB ＝m ＋y 02x 0＝y 02x 0，解得m ＝0，则点E 在x 轴上，且为AD 的中点，即|AE ||AD |＝12，则C 正确．答案：AC11．解析：设Q (x ，y )，A (－22，0)，B (22，0)，∴k QA ·k QB ＝y x ＋22·y x －22＝y 2x 2－8－8＝－12；∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝8上，∴k P A ·k PB ＝－1⇔k P A ·k QB ＝－1，又k QA ·k QB ＝－12.∴kP Ak QA＝2⇒k QA ＝322＝34.答案：－123412．解析：(1)因为|F 1F 2|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝22＞|F 1F 2|，所以C 是以点F 1，F 2为左右焦点的椭圆．于是a ＝2，c ＝1，故b ＝1，因此C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 垂直于x 轴时，|AF 2|＝|BF 2|＝22，|AF 1|·|BF 1|＝92≠114，舍去．当l 不垂直于x 轴时，可设l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为Δ＝8(1＋k 2)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为－2≤x 1≤2，所以|AF 1|＝（x 1＋1）2＋y 21＝（x 1＋1）2＋1－x 212＝22(x 1＋2).同理|BF 1|＝22(x 2＋2).因此|AF 1|·|BF 1|＝x 1x 22＋x 1＋x 2＋2＝1＋9k 21＋2k 2.由1＋9k 21＋2k2＝114可得k 2＝12，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2＝1，于是|AF 1|＋|BF 1|＝22(x 1＋x 2＋4)＝522.根据椭圆定义可知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝42，于是|AB |＝322.13．解析：假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ，反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时，小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c ).∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57.∴椭圆的离心率为57.。
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
人教B版选修2—1 2.5直线与椭圆位置关系学案一
2 2 3.已知椭圆 mx +ny =1 与直线 x+y=1 相交于 A,B 两点，C 为 AB 的中点。AB=2 2 ，OC
练习：1、求直线 y 2 x 4 被椭圆
4x y 1所截得的弦长. 9 9
2
2
2 的斜率为 2 （O 为原点） ，求椭圆方程。
练习：2、已知直线 l： y x m 与椭圆 求弦 AB 的最大值。
A m>1
B m 1 或 0<m<1
C 0<m<5 且 m≠1
D
m≥1 且 m≠5
x2 y2 1 ，当 k 为何值时，直线与椭圆相交、相 3 2
Ax By C 0 2 2 2 2 2 2 b x a y a b
l
， 对方程组解的个数进行讨论， 有两组不同实数解 时， O
y
A
·
B
x
直线与椭圆相交； 有两组相同的实数解 时， 直线与椭圆相切； 无实数解 时， 直线与椭圆相离. 3、当直线与椭圆相交时,要会利用弦长公式求直线被椭圆所截得的弦长
例题探究
类型题一：直线与椭圆位置 例 1：判断直线 kx y 3 0 与椭圆
x2 y2 1 的位置关系 16 4
课堂内容展示
自学指导
复习椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，回答下列填空： 规律总结
x2 y2 2 1 2 b 1、点 P(x0，y0)在椭圆 a 内部的充要条件是_______________；
AB＝ 1 k 2 x1 x2 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
4、若
P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ， O(0, 0) ， OP OQ ，则___________________
高二数学学案第48课时 直线与椭圆的位置关系
学习目标:①理解直线与椭圆的位置关系，能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆所得的弦长，处理与弦长，弦的中点有关的问题.
例题精讲：
例1.中心在原点，一个焦点为F1（0， ）的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程.
例2.过椭圆 =1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线的方程.
5.已知椭圆 =1的焦点是F1，F2，过中心O作直线与椭圆相交于A，B两点，若 =20，求该直线方程.
2.过点M（-2，0）的直线L与椭圆 =1交于P1，P2两点，线段P1P2பைடு நூலகம்中点为P，设直线L的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1，k2的值等于（ ）
A.2 B.-2 C. D.-
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为 的弦AB，则AB的长为.
4.求与椭圆 =1相交于点、A、B，并且线段AB的中点为M（1，1）的直线方程.
例3.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB中点，若|AB|=2 ，OC的斜率为 （O为原点），试确定椭圆方程.
随堂训练：
1.如果椭圆 =1的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （ ）
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
2.1.6椭圆与直线的位置关系导学案
【重点难点】重点：判断直线与椭圆位置关系、会求相交时的弦长； 难点：求椭圆上的点与直线的最大、最小距离。
【典型例题】例1：求下列直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标，并判断直线与椭圆位置关系。
例2：当m 为何值时，直线l ：y x m =+与椭圆C ：22916144x y +=相切、相交、相离．总结：直线y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的位置关系判断方法：联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得一个一元二次方程：例3：求椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是多少？总结：求椭圆上的点与直线的最大、最小距离的方法：例4：求直线12y x =-被椭圆2244x y +=截得的弦长为多少？总结：求直线与椭圆相交形成的弦长的方法：直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x =- = 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．及时练兵1. 若直线y ＝kx ＋1（k∈R）与焦点在x 轴上的椭圆1522=+ty x 恒有公共点， 求t 的范围.2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32⑴这组直线何时与椭圆相交？⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？3.求椭圆1322=+y x 上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值.4. 设直线y=x+1与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长.5.已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.椭圆习题课例1：中心在原点，焦点为1(0,F2F 的椭圆C ，被直线23y x =-+截得的弦的中点横坐标是1，求此椭圆C 的方程．例2.试一试：已知过点（1，0）的直线l 与椭圆12222=+by a x (a>b>0且a 2＋b 2>1)相交于P 、Q 两点，PQ 中点坐标为b a ⊥且)2,2(22（O 为坐标原点）。
教学设计直线和椭圆的位置关系的教案
教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。
2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。
3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。
教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。
3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。
教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
直线与椭圆的位置关系教案
2.2.2直线与椭圆的位置关系教案教学目标知识与技能目标: 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；过程与方法目标进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想情感态度价值观 通过椭圆的学习，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．教学重点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学方法：学导式例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例2、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|解: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 例3、已知椭圆195222=+y x , 直线:45400l x y -+=,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?解: 22450{1259x y k x y -+=+= 消y 得 222582250x kx k ++-= 当0∆=时,得:2264100(225)0k k --= 得: 125k =225k =-当25k =时,直线与椭圆的交点到直线L 的距离最近,此时直线m 的方程为45250x y -+=d = 例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又c a 32=即2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：（点差法）令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴ 又c a 32=即2221131nm m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 小结：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；作业：板书设计：教学反思。
直线和椭圆的位置关系的教学设计
《直线和椭圆的位置关系》的教学设计一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程.学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点.本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二、教材分析《直线与椭圆的位置关系》解析几何中的重要内容之一，又是代数和几何衔接的枢纽，揭示了客观世界中相互依存又相互制约的关系.因而直线与圆锥曲线（椭圆）渗透了数形结合的思想。
在新课程数学教学有着不可代替的作用。
①公共点的个数：联立方程组消元（消还是y）一一元方程②截得弦长、中点等问题（用韦达定理或点差法来解决）三、学情分析高二8班学生通过高二的学习和前面的复习，已初步掌握了圆锥曲线定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，掌握了一定的分析问题和解决问题的能力。
本节课借助多媒体的强大功能，运用运动变化的观念，让学生在自主探究的过程中，直接观察、运动变化，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功，领会到数形结合解决问题的美妙。
四、教学目标、重难点的预设根据教参中提出的教材编写意图和教学建议，结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：1、知识目标：能从“数”和“形”判断直线和圆锥曲线（椭圆）的位置关系。
2、能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
3、情感目标：通过对直线和椭圆的一些常见问题的归纳和总结，减少学生对部分问题的恐惧感，激起学生的兴趣。
重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和椭圆的位置关系;难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。
五、设计思想二、探索研究六、问题探讨:对本节课教材设置的目的,有点困惑.如果本节课主要目的是让学生体会代数法和几何法来解决直线与椭圆的位置关系，则应该例题讲解好以后，就应该当场让学生上黑板练习一下，但起码要花去10分钟时间，因此教学任务就不能按时完成。
高中数学 直线与椭圆的位置关系教案(高二) 教案
《直线与椭圆的位置关系》教案知识点归纳1、椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=ca 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1（3）焦半径：21()a PF e x a ex c=+=+，22()aPF e x a ex c=-=-.2、直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与椭圆的相交问题要用好化归思想和等价转化思想3、涉及直线与椭圆相交弦的问题：主要有这样几个方面：有弦长,弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）4、涉及到椭圆焦点弦的问题：可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义）5、韦达定理的运用：由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用6、弦长公式：若直线b kx y +=与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=；若直线t my x +=与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为AB =7、椭圆的参数方程22221x y a b +=的参数方程为：cos ()sin x a y b ααα=⎧⎨=⎩为参数，22221x y b a +=的参数方程为：x y =⎧⎨=⎩典型示例：【例1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d 49sin 3sin 34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b 成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ． 由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，． 【变式】求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．【例2】已知椭圆1222=+y x ，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过)1,2(A 引椭 圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；③求过点)21,21(P 且被P 平分的弦所在的直线方程．解：设弦的两端分别为),(11y x M 、),(22y x N ，MN 的中点为),(y x R ，则222121=+y x ，222222=+y x ，两式相减并除以)(12x x -得：0)(212121212=--⋅+++x x y y y y x x而x x x 221=+，y y y 221=+021212=--⋅+∴x x y y y x （*）①将21212=--x x y y 代入（*）式，得所求的轨迹方程为04=+y x （椭圆内部分）②将211212--=--x y x x y y 代入（*）式，得所求的轨迹方程为022222=--+y x y x （椭圆内部分）③将121=+x x ，121=+y y 代入（*）式，得：211212-=--x x y y ，故所求的直线方程为0=-y x【变式】求以椭圆22185x y +=内的点(2,1)A -为中点的弦所在直线方程. 解：（法一）当直线斜率不存在时，A 点不可能上弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-， 它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221(2)185y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=，∴12216(21)85k k x x k ++=+， 又∵(2,1)A -为弦MN 的中点，∴124x x +=，即216(21)485k k k +=+，∴54k =，从而直线方程为54140x y --=． （法二）当直线斜率不存在时，A 点不可能上弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-， 它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221122225840 (1)5840 (2)x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，(2)(1)-得：222221215()8()0x x y y -+-=，∵(2,1)A -为MN 中点，∴124x x +=，122y y +=-， ∴2121205164y y x x -==-，即54k =，所以，直线方程为54140x y --=．（2）AB 中点433(【例4】已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ，∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5121-=x ．① 另一方面221≤≤-x ．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在【变式】已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59. 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2） 由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2×59由此得出x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）则x 0=28221=+x x =4. 【例5】（2010某某文数）（21）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为(,0)a -。
高二数学《椭圆与直线的位置关系(一)》学案苏教版
椭圆与直线的位置关系（1）教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。
教学重、难点：能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。
教学过程：（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法； （1）代数方法：消元，判断△；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较。
（二）新课讲解：1．椭圆与直线的位置关系的判定：例1．当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？ 解：由221169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222532161440x mx m ++-=，∴22(32)425(16144)m m ∆=-⨯⨯- ()2244925m =⨯⨯- 3294(25)m =⨯-当0∆>，即55m -<<时，直线和椭圆相交； 当0∆=，即5m =±时，直线和椭圆相切；当0∆<，即5m >或5m <-时，直线和椭圆相离。
说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断。
例2．如图，已知椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程。
解：∵2(5,0)F ，∴可设AB 所在直线方程为 x my =，由2214520x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(2045)900m y +-∴21||y y -=，∴22211||||2ABF S OF y y ∆=⋅-=，20=得34m=±，∴直线AB的方程为34x y=±，即430x y±=．说明：⑴此题要能注意到2ABF∆是有公共边的两个2AOF∆和2BOF∆的面积之和，故只需构造关于y的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和21||y y-；⑵设直线方程为x my=比设y kx=好，可避免讨论斜率不存在的情况。
数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)含解析
第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)题型一 弦长问题例1 已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程. 考点 题点解 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )， 由题意得k P A ·k PB ＝－12.∴yx ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设直线l 与曲线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.Δ＝16k 2－4(1＋2k 2)＝8k 2－4>0， ∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0，解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意． ∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2⎝⎛⎭⎫或|P 1P 2|)＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练1 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 考点 题点解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.题型二 中点弦问题例2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．考点 题点解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.跟踪训练2 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例3 已知椭圆C ：4x 2＋y 2＝1.(1)P (m ，n )是椭圆C 上一点，求m 2＋n 2的取值范围；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)m 2＋n 2表示原点O 到椭圆C 上点P 的距离的平方， 则m 2＋n 2∈⎣⎡⎦⎤14，1.(2)可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋12·⎝⎛⎭⎫－2m 52－4·m 2－15＝2510－8m 2，Δ＝(2m )2－4×5(m 2－1)＝20－16m 2>0，－52<m <52，所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×2510－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14.当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52. 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 考点 题点解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)． 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题典例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2， 由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3， ∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)． 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1，由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y Mx M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根．故这样的k 不存在．[素养评析] 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D 与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k 的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±2考点 题点 答案 B解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 考点 题点 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.4．过椭圆x 216＋y 29＝1的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的面积是________． 考点 题点 答案81π16解析 由题意可知，在x 216＋y 29＝1中，c ＝16－9＝7，故F (7，0)． 当x ＝7时，y ＝±31－716＝±94， 所以|AB |＝92，所以以AB 为直径的圆的面积是π×⎝⎛⎭⎫942＝81π16.5．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．考点 题点解 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 2．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12考点题点答案 D解析 S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12. 3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为( ) A.423 B.833 C.823 D.1623考点题点答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题答案 A解析 联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n， 所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22. 5．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B ．2 C. 2 D.423考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 D 解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0， 得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫43，－13， 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫－13－12＝423. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 B解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)． 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 7．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.13考点题点答案 C解析 两个交点横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为⎝⎛⎭⎫－c ，－22c ，⎝⎛⎭⎫c ，22c ， 代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b2＝1， 两边乘以2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，(2a 2－c 2)(a 2－2c 2)＝0，c 2a 2＝2或12， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝22. 二、填空题8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 9．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．考点题点答案 32解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14， 故椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32. 11．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 三、解答题12．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 考点题点解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8.(2)由(1)可得F 1(－1,0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1·⎝⎛⎭⎫672－4×⎝⎛⎭⎫－97＝247. 13．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题解 易知a >0，b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题意得ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1，② ②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.∵y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， ∴b ＝2a .又|AB |＝1＋k 2AB |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4， 将b ＝2a 代入上式，得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 3解析 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1 ，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.15．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫x 2，y ，∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0， 其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，∴y 1＋y 2＝－2mtt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ∴△AOB 面积的最大值为1.。
高二数学直线与椭圆的位置关系(高一也可使用)教案
直线与椭圆的位置关系〖考试内容〗椭圆及其标准方程，焦点、焦距，范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线，椭圆的画法. 〖复习要求〗掌握直线与椭圆位置关系的判定方法——“△”法；掌握弦长公式||1212x x k d -⋅+=；“韦达定理、设而不求”的技巧在解题中的使用.〖知识点训练〗1、直线x =2与椭圆13422=+y x 的交点个数为…………………………………………………（ ） (A )0个 (B )1个 (C ) 2个 (D ) 3个2、直线y =1被椭圆12422=+y x 截得的线段长为………………………………………………（ ） (A )42 (B )32 (C ) 22 (D ) 23、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=………………………………（ ）(A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 544、椭圆13422=+y x 的长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为…………………………………………………………………………………………（ ） (A )－43 (B )－34 (C ) 43 (D ) 34 〖例题分析〗1、椭圆22194x y +=的焦点为12,F F 点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围.2、已知椭圆C的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
3、椭圆E ：141622=+y x 内有一点P （2，1），求经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程.4、过P (－3,0)作一直线l 交椭圆E ：11x 2＋y 2=9于M 、N 两点，问l 的倾斜角多大时，以M 、N 为直径的圆过原点？〖课堂练习〗如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.〖课堂小结〗解决直线与椭圆位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程必须讨论二次项系数和“△”；另外，韦达定理和设而不求的技巧是必须掌握的.〖能力测试〗 姓名 得分1、已知点（4，2）是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的弦中点，则l 方程是………………（ ） (A )x －2y =0 (B )x ＋2y －4=0 (C )2x ＋3y ＋4=0 (D ) x ＋2y －8=02、椭圆192522=+y x 上有三点A (x 1,y 1)、B (4,59)、C (x 2,y 2)，如果A 、B 、C 三点到焦点F （4，0）的距离成等差数列，则x 1+x 2= .（提示：利用焦半径公式）3、直线x －y ＋1=0被椭圆141622=+y x 截得的弦长为 . 4、椭圆E ：ax 2＋by 2=1与直线x ＋y =1交于A 、B 两点，M 是AB 中点，如果|AB |=22，且OM 的斜率为22. (1)把M 点的坐标用a 、b 表示出来； （2）求此椭圆方程.。
直线与椭圆的位置关系导学案
直线与椭圆的位置关系导学案教学目标：（1）会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;（2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律；（3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力.教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究教学难点：从特殊到一般规律的发现，“数”和“形”之间的相互转化.教学过程：教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？学生：直线与圆的位置关系及其判定：几何方法：相离、相切、相交.代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？（板书：：，E:）学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交.或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交.（板书：相离、相切、相交）板书课题：直线椭圆位置关系教师：请大家研究下面问题如何解决判断出直线与椭圆E：的位置关系是_______学生1：画图，直线与y的交点（0,1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.学生2：由（板书），得,，直线与椭圆相交.教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生1的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。
但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直线改为，在化草图的情况下方法1就不适合了，而方法2具有一般性.（板书消去y得，.时相离、时相切、时相交。
教师：上述问题中，设直线与椭圆交于A,B两点，你如何求线段AB的长|AB|呢？（学生独立解答教师巡视）运算过程中想一想能否优化运算过程，简化运算。
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直线与椭圆位置关系
思想方法：在解题中，将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去一个变量后可得到一个二次方程,
控制、讨论这个方程的根，并结合根与系数关系，可以解决如下问题： （1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ；
（2 ）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式） ；
在直线的斜率）
（4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理 题型一：直线与椭圆的位置关系：
例1： （ 1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=i ，当直线与椭圆有公共点时，求实数
m 的取值范围。
2 2
x m 与曲线- J 1（y 0）有一个公共点，求 m 的取值范围
20 5
2 2
变式：若直线y kx 1与焦点在x 轴上的椭圆 —「1总有公共点，求实数 m 的范围.
5 m
（3）计算弦长（弦长公式为 AB 也『皈x i 或AB
1
1 — y
2 y i ，其中k 为弦AB 所 k
（2）若直线y
题型二：弦长问题:
的长•
线方程•
(3)已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
y 2 1的左、右焦点，过F 1作倾斜角一的直线与椭圆交于
3
题型三：中点弦问题：
例3:已知一直线与椭圆4x 2 9y 2 36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M （1,1）,
2
X
例2: (1)已知斜率为1的直线I 过椭圆 — 4
y 2 1的右焦点交椭圆与 A 、B 两点•，求弦AB (2)过点P ( 0,2)的直线与椭圆
V14
1
相交于A 、B 两点，且弦长AB T ，求直
2
、 x 变式：F-!, F 2分别是椭圆一
2 点，求 F PQ 的面积.
P,Q 两
求直线AB的直线方程
练习：在椭圆中x2 4y2 16中，求通过点（2,1 ）且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长。
题型四：求椭圆方程：
例4：中心在原点，一个焦点为F1（0，•. 50 ）的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标1
为一，求椭圆的方程
2
例5:已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在坐标轴上，直线 y=x+1与椭圆相交于点 P 和点Q ,
且0P 丄0Q , |PQ|=上I 0，求椭圆方程•
2
坐标原点距离为
(1 )求椭圆的方程；
(2 )已知定点E (-1, 0),若直线y=kx+2(k 丰0)与椭圆相交于 C 、D 两点，试判断是否存在 k 值，使以CD 为直径的圆过定点 E ?若存在求出这个 k 值，若不存在说明理由.
直线与椭圆位置关系作业
2
2 y
1 •设直线I : 2x+ y- 2= 0与椭圆X 2
+ y = 1的交点是A , B , P 为椭圆上的动点，则使APAB
1
的面积为一的点P 的个数为(
) A • 1 B • 2 C . 3 D • 4
2
2 2
2 .直线y kx 1(k R)与椭圆X — 1恒有公共点，则 m 的取值范围是
( )
5 m
A . [1,5)
(5, ) B . (0,5) C . [1, ) D . (1,5)
3. 已知F 1,F 2是椭圆x 2 2y 2 2的焦点，过F 1作倾斜角为一的弦AB ,则F 2AB 的面积
4
例6•已知椭圆 2 x ~2
a 2
y
2=1(a > b > 0)的离心率
b
、6 e=— ，过点A (0, -b )和B (a , 0)的直线与
为_______________ .
2 2
4. 已知(4,2)是直线l 被椭圆X — 1所截得的线段的中点，贝V l 的方程为 (
)
36
9
A . X 2y
0 B . x 2y 4
0 C . 2x 3y 4
0 D . x
2y 8
5、若直线 y
X t 与椭圆 2
x 2
7 y
1相交于 A,B 两点，当 t 变化时， | AB |的最大值是(
)
A 2
B
4.5
c 4、命
D 2 10
C ——
5
5
5
2
2
6•设F 1 , F 2是椭圆务 占=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足 PF 1丄PF 2的点P 有且只有两
a b
个，则离心率e 的值为 ________________
2 2
7. AB 为椭圆X - 1(a b 0)中心弦，F 2 (-c , 0)是其右焦点，贝y ABF 2的面积的最
a b
大值为 ________
8. 已知直线I : y x m ，椭圆9x 2 16y 2 144，则m 为 __________________________ 时I 与椭圆相切； m 为_____________ 时I 与椭圆相交； m 为 ____________ 时，I 与椭圆相离。
9. 设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以
AB 为直径的圆必与椭圆的左准线 _____________
10.在椭圆7x2 4y228上求一点，使它到直线I : 3x 2y 16 0的距离最短，并求出此
距离
11. 一动圆过定点A .. 2,0)，且与定圆(x ,2)2 y212相切。
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程:
(2)过点P ( 0,2 )的直线与轨迹M交于不同两点E、F,求PE PF的取值范围。
12•设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), B(0,,)是它的两个顶点，直线y kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.
uuu (I)若ED
UUUT
6DF，求k的值；(n)求四边形AEBF面积的最大值.
2
13、对于椭圆x2 1 1 ,是否存在存直线I ,使I与椭圆交于不同的两点M , N ,且线段MN
9
1
恰好被直线x o平分，若存在，求出i的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.
2 2
x y
15 .椭圆
1的左右焦点分别为 F i 和F 2,过中心0做支线与椭圆相交于 A 、B 两点,
45 20
若F 2AB 得面积为20,求直线AB 的方程。
14.椭圆的对称轴为坐标轴，与直线 x y 1交于两点 代B ，又
AB
2、2 ,
AB 中点与椭圆中心连线的斜率为
求椭圆方程.。