高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业

直线与椭圆位置关系

思想方法：在解题中，将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去一个变量后可得到一个二次方程,

控制、讨论这个方程的根，并结合根与系数关系，可以解决如下问题： （1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ；

（2 ）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式） ；

在直线的斜率）

（4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理 题型一：直线与椭圆的位置关系：

例1： （ 1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=i ，当直线与椭圆有公共点时，求实数

m 的取值范围。

2 2

x m 与曲线- J 1（y 0）有一个公共点，求 m 的取值范围

20 5

2 2

变式：若直线y kx 1与焦点在x 轴上的椭圆 —「1总有公共点，求实数 m 的范围.

5 m

（3）计算弦长（弦长公式为 AB 也『皈x i 或AB

1

1 — y

2 y i ，其中k 为弦AB 所 k

（2）若直线y

题型二：弦长问题:

的长•

线方程•

(3)已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。

y 2 1的左、右焦点，过F 1作倾斜角一的直线与椭圆交于

3

题型三：中点弦问题：

例3:已知一直线与椭圆4x 2 9y 2 36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M （1,1）,

2

X

例2: (1)已知斜率为1的直线I 过椭圆 — 4

y 2 1的右焦点交椭圆与 A 、B 两点•，求弦AB (2)过点P ( 0,2)的直线与椭圆

V14

1

相交于A 、B 两点，且弦长AB T ，求直

2

、 x 变式：F-!, F 2分别是椭圆一

2 点，求 F PQ 的面积.

P,Q 两

求直线AB的直线方程

练习：在椭圆中x2 4y2 16中，求通过点（2,1 ）且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长。

题型四：求椭圆方程：

例4：中心在原点，一个焦点为F1（0，•. 50 ）的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标1

为一，求椭圆的方程

2

例5:已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在坐标轴上，直线 y=x+1与椭圆相交于点 P 和点Q ,

且0P 丄0Q , |PQ|=上I 0，求椭圆方程•

2

坐标原点距离为

(1 )求椭圆的方程；

(2 )已知定点E (-1, 0),若直线y=kx+2(k 丰0)与椭圆相交于 C 、D 两点，试判断是否存在 k 值，使以CD 为直径的圆过定点 E ?若存在求出这个 k 值，若不存在说明理由.

直线与椭圆位置关系作业

2

2 y

1 •设直线I : 2x+ y- 2= 0与椭圆X 2

+ y = 1的交点是A , B , P 为椭圆上的动点，则使APAB

1

的面积为一的点P 的个数为(

) A • 1 B • 2 C . 3 D • 4

2

2 2

2 .直线y kx 1(k R)与椭圆X — 1恒有公共点，则 m 的取值范围是

( )

5 m

A . [1,5)

(5, ) B . (0,5) C . [1, ) D . (1,5)

3. 已知F 1,F 2是椭圆x 2 2y 2 2的焦点，过F 1作倾斜角为一的弦AB ,则F 2AB 的面积

4

例6•已知椭圆 2 x ~2

a 2

y

2=1(a > b > 0)的离心率

b

、6 e=— ，过点A (0, -b )和B (a , 0)的直线与

为_______________ .

2 2

4. 已知(4,2)是直线l 被椭圆X — 1所截得的线段的中点，贝V l 的方程为 (

)

36

9

A . X 2y

0 B . x 2y 4

0 C . 2x 3y 4

0 D . x

2y 8

5、若直线 y

X t 与椭圆 2

x 2

7 y

1相交于 A,B 两点，当 t 变化时， | AB |的最大值是(

)

A 2

B

4.5

c 4、命

D 2 10

C ——

5

5

5

2

2

6•设F 1 , F 2是椭圆务 占=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足 PF 1丄PF 2的点P 有且只有两

a b

个，则离心率e 的值为 ________________

2 2

7. AB 为椭圆X - 1(a b 0)中心弦，F 2 (-c , 0)是其右焦点，贝y ABF 2的面积的最

a b

大值为 ________

8. 已知直线I : y x m ，椭圆9x 2 16y 2 144，则m 为 __________________________ 时I 与椭圆相切； m 为_____________ 时I 与椭圆相交； m 为 ____________ 时，I 与椭圆相离。 9. 设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以

AB 为直径的圆必与椭圆的左准线 _____________