高考文科数学练习题椭圆

第三节 椭圆

[考纲要求]

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．

2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合的思想．

突破点一 椭圆的定义和标准方程

[基本知识]

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程

(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

其中c 2＝a 2－b 2.

(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－

c )，F 2(0，

c )，其中c 2＝a 2－b 2.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题

1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆

的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

答案：4 3

2．如果方程x 2a 2＋y 2

a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．

答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)

3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．

答案：x 216＋y 2

12

＝1

[全析考法]

考法一 椭圆的定义及应用

[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )

A.x 212＋y 211＝1

B.x 236－y 2

35＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 2

2

＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、

右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )

A.233

B.332

C.334

D.433

[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋

y 2

2＝1，故选D.

(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(2a )2－2mn －(2c )22mn ＝1

2，化简得，

3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝

163，∴S △PF 1F 2＝12

mn sin 60°＝433.故选D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧]

椭圆焦点三角形中的常用结论

以椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△

PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则

(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .

(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)S △PF 1F 2＝1

2|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2

取最大值为

bc .

(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 考法二 椭圆的标准方程

[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )

A.x 225＋y 2

5＝1 B.x 230＋y 2

10＝1 C.x 236＋y 2

16＝1 D.x 245＋y 2

25

＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．

[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF ′|cos (π－∠POF )＝

8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 2

16

＝1. (2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，

∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2， ∴椭圆方程为x 28＋y 2

6＝1.

[答案] (1)C (2)x 28＋y 2

6

＝1

[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路