结构力学结构振动与稳定
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目，称作 结构的振动自由度。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少振动自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少振动自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
振动是衰减的
yn yn1
be tn be (tn T )
eT
ln yn T
y n 1
对数递减量
2 2
1 ln yn 2 yn1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
1 ln yn 2j yn j
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
1 ln 2 0.0276 2 4 1
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
k11
16.4 103 0.02
8.2 105 (N
/ m)
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T 2 / 4 0.5(s)
T 2 / 0.537(s)
/ 2m 0.0257
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.振动微分方程及其解
F(t) F sint
F ---荷载幅值 振动微分方程
---干扰力频率
F(t) m y(t)
l EI
my(t) k11y(t) F sint
y(t) (C1 C2t)ekt 不振动
cr 2m --临界阻尼系数 k 阻尼比 cr 2m
y(t) bekt sin(t )
k ( 2m) 不振动
2）.振动分析
y(t) yn
y(t) bekt sin(t )
y n 1
1 2
tn
tn1
t
T 2
周期延长
T
计算频率和周期可不计阻尼
(1 2
l
l
2 3
l
1 2
l
l
l
1l 2
l 2
l)
7 l3 12 EI
1
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3 m 2l3
EI ml3
y2 y1
W=2
振动自由度与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) W=1
9)
W=13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构； 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构; 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构。
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼的自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
或
y(t) 2 y(t) F sint
设
y Asint
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程
通解 其中
y(t) y0 y
y0 A1 cost A2 sin t
A
F
m( 2
2)
通解为
y(t)
A1
cost
A2
sin
t
Leabharlann Baidu
m(
F
2
2
)
sin
t
2.纯强迫振动分析
y Asint
A A
m( yst
FR y
2.计阻尼自由振动
1）.振动微分方程及其解
m y(t)
my(t)
y(t)
k11 y(t )
-----阻尼系数
运动方程 令
my y k11 y 0 k / 2m 衰减系数 y 2ky 2 y 0
设
y Cert
r 2 2kr 2 0 特征方程
根为 r k k 2 2
t
2.振动分析
令 y0 a sin
y0 / a cos y(t) a sin( t )
其中
a
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y(t) a sin( t ) a sin( t 2 ) a sin[ (t 2 ) ] y(t 2 )
1.振动微分方程及其解
y 11[my]
k11y my 令 2 k11 1
m m11
y 2 y 0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t) A1 cost A2 sin t
由初始条件 y(0) y0
y(0) y0
可得 A1 y0 A2 y0 /
y(t)
y0
cost
y0
sin
4.重量
2 12.57(1/ s)
T
m k11 / 2 5190 (kg )
W mg 50.86(kN)
5.阻尼系数
2m 3601(N s/m)
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
为多少
2
8.2 105
136 .89(1/ s2 )
5190 800
11.70(1/ s)
T 2 自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
1 2 自振园频率(自振频率)
T
a
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2 k11 1 g g
m m11 mg11
st
k11 1 g g
m
m11
mg11
st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
11
1 EI
F
2 2)
F
m 2
1
1
2 2
l
2 3EI
T 2 ml3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
解:
k11
k
3EI l3
mW /g
k
3EI l3
g
3EI l2
W
EI
k
l
k11
1
k11
3EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
k ( 2m)
小阻尼情况
b
y02
(
y k y0
)2
令 2 k 2 临界阻尼情况
方程的通解为
tan y0 /( y0 ky0 )
k ( 2m)
y(t) ekt (B1 cost B2 sin t)
由初始条件 y(0) y0 , y(0)大阻y尼0 情况
B1 y0 , B2 ( y0 ky0 ) /
一. 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目，称作 结构的振动自由度。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少振动自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少振动自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
振动是衰减的
yn yn1
be tn be (tn T )
eT
ln yn T
y n 1
对数递减量
2 2
1 ln yn 2 yn1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
1 ln yn 2j yn j
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
1 ln 2 0.0276 2 4 1
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
k11
16.4 103 0.02
8.2 105 (N
/ m)
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T 2 / 4 0.5(s)
T 2 / 0.537(s)
/ 2m 0.0257
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.振动微分方程及其解
F(t) F sint
F ---荷载幅值 振动微分方程
---干扰力频率
F(t) m y(t)
l EI
my(t) k11y(t) F sint
y(t) (C1 C2t)ekt 不振动
cr 2m --临界阻尼系数 k 阻尼比 cr 2m
y(t) bekt sin(t )
k ( 2m) 不振动
2）.振动分析
y(t) yn
y(t) bekt sin(t )
y n 1
1 2
tn
tn1
t
T 2
周期延长
T
计算频率和周期可不计阻尼
(1 2
l
l
2 3
l
1 2
l
l
l
1l 2
l 2
l)
7 l3 12 EI
1
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3 m 2l3
EI ml3
y2 y1
W=2
振动自由度与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) W=1
9)
W=13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构； 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构; 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构。
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼的自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
或
y(t) 2 y(t) F sint
设
y Asint
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程
通解 其中
y(t) y0 y
y0 A1 cost A2 sin t
A
F
m( 2
2)
通解为
y(t)
A1
cost
A2
sin
t
Leabharlann Baidu
m(
F
2
2
)
sin
t
2.纯强迫振动分析
y Asint
A A
m( yst
FR y
2.计阻尼自由振动
1）.振动微分方程及其解
m y(t)
my(t)
y(t)
k11 y(t )
-----阻尼系数
运动方程 令
my y k11 y 0 k / 2m 衰减系数 y 2ky 2 y 0
设
y Cert
r 2 2kr 2 0 特征方程
根为 r k k 2 2
t
2.振动分析
令 y0 a sin
y0 / a cos y(t) a sin( t )
其中
a
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y(t) a sin( t ) a sin( t 2 ) a sin[ (t 2 ) ] y(t 2 )
1.振动微分方程及其解
y 11[my]
k11y my 令 2 k11 1
m m11
y 2 y 0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t) A1 cost A2 sin t
由初始条件 y(0) y0
y(0) y0
可得 A1 y0 A2 y0 /
y(t)
y0
cost
y0
sin
4.重量
2 12.57(1/ s)
T
m k11 / 2 5190 (kg )
W mg 50.86(kN)
5.阻尼系数
2m 3601(N s/m)
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
为多少
2
8.2 105
136 .89(1/ s2 )
5190 800
11.70(1/ s)
T 2 自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
1 2 自振园频率(自振频率)
T
a
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2 k11 1 g g
m m11 mg11
st
k11 1 g g
m
m11
mg11
st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
11
1 EI
F
2 2)
F
m 2
1
1
2 2
l
2 3EI
T 2 ml3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
解:
k11
k
3EI l3
mW /g
k
3EI l3
g
3EI l2
W
EI
k
l
k11
1
k11
3EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
k ( 2m)
小阻尼情况
b
y02
(
y k y0
)2
令 2 k 2 临界阻尼情况
方程的通解为
tan y0 /( y0 ky0 )
k ( 2m)
y(t) ekt (B1 cost B2 sin t)
由初始条件 y(0) y0 , y(0)大阻y尼0 情况
B1 y0 , B2 ( y0 ky0 ) /