结构力学结构振动与稳定
结构力学知识点超全总结
结构力学知识点超全总结结构力学是一门研究物体受力和变形的力学学科，它是很多工程学科的基础，如土木工程、机械工程、航空航天工程等。
以下是结构力学的一些重要知识点的总结：1.载荷：结构承受的外力或外界加载的活动载荷，如重力、风荷载、地震载荷等。
2.支座反力：为了平衡结构受力，在支座处产生的力。
3.静力平衡：结构处于静止状态时，受力分析满足力的平衡条件。
这包括平面力系统的平衡、剪力力系统的平衡和力矩力系统的平衡。
4.杆件的拉力和压力：杆件受力状态分为拉力和压力。
拉力是杆件由两端拉伸的状态，压力是杆件由两端压缩的状态。
5.梁的受力和变形：梁是一种长条形结构，在实际工程中经常使用。
梁的受力分析包括剪力和弯矩的计算，梁的变形包括弯曲和剪切变形。
6.悬臂梁和简支梁：悬臂梁是一种只有一端支座的梁结构，另一端自由悬挂。
简支梁是两端都有支座的梁结构。
7.梁的挠度和渐进程度：梁的挠度是指结构在受力后发生的形变。
梁的渐进程度是指梁的挠度随着距离变化的情况。
8.板和平面受力分析：板是一种平面结构，它的受力和变形分析和梁类似。
平面受力分析是一种在平面框架结构上进行受力分析的方法。
9.斜拉索：斜拉索是一种由杆件和拉索组成的结构，它广泛应用于桥梁、摩天大楼等工程中。
斜拉索的受力分析包括张力和弯矩的计算。
10.刚度：刚度是指物体在受力作用下抵抗变形的能力。
刚度越大，物体的变形越小。
刚度可以通过杆件的弹性模量和几何尺寸进行计算。
11.弹性和塑性：结构的受力状态可以分为弹性和塑性两种情况。
弹性是指结构受力后能够恢复到原始形状的性质，塑性是指结构受力后会产生永久变形的性质。
12.稳定性和失稳：结构的稳定性是指结构在受力作用下保持原始形状的能力。
失稳是指结构在受力过程中无法保持原始形状，产生不稳定状态。
13.矩形截面和圆形截面的力学特性：矩形截面和圆形截面是两种常见的结构截面形状。
矩形截面具有较高的抗弯刚度，而圆形截面具有较高的抗剪强度。
结构力学之结构的稳定计算
分支点失稳的特点：
原始平衡：平面弯曲 新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
7
11.1 稳定问题的基本概念
11.1.2 三类不同形式的失稳
极值点失稳(第二类失稳)：
当荷载较小时（曲线的OA段），Δ随荷载的 增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr 时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载 不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减 小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲 线的AB段所示。
结构的变形在荷载达到临界值 后并不发生性质上的突变，只
是原有变形的迅速增长。
非完善体系
8
极值点失稳：
P
非完善体系出：现极极具承值值有受点点初偏失失曲心稳稳率荷的。的载特平压的点衡杆压：形杆非式完不善出体现系分 支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的
(小挠度理变论形) 形式并不发生质P 的改变，由P 于结
，FP-Δ曲线沿图中的路径2即弧线AB前进。
5
l/2
分支点失稳：
完善体系 （或理想体系）：
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P12<>PPccrr
P1<Pcr=
2E l2
I
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
P2>Pcr
Δ
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态(直线、弯曲）。
P2 Pcr P1
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
15
11.2 用静力法求临界荷载
《结构力学》第十四章 结构振动与稳定剖析
D
)2
1(c 2m )
y(t ) (c1 c2t )et 不振动
cr 2m --临界阻尼系数 c c ---阻尼比 cr 2m
不振动
y(t ) et (c1 sin Dt c2 cos Dt ) (0) y 0 y 由初始条件 y(0) y0 ,大阻尼情况 0 y0 ) / D , c2 y0 c1 ( y y(t ) Aet sin( Dt D )
l
=1
11
l
=1
1 12 EI m 11 7ml 3
l
l/2
7ml 3 T 2 12 EI
2
例二.求图示体系的自振频率和周期.
解:
m/2
EI EI
m
l
EI
l
=1
2 l 11 3 EI
3
l
1 3 2l 3 m 2 3EI
EI ml 3
l
ml 3 T 2 EI
(t ) R(t ) cy
2.计阻尼自由振动 1）.运动方程及其解
c-----阻尼系数
运动方程
m
y(t )
(t ) cy
(t ) m y
cy k11 y 0 m y 令 c / 2m 2y 2 y 0 y
设
k11 y(t )
A
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
振幅 初相位角
3.自振频率和周期的计算 利用计算公式
k11 1 m m 11 W mg, st W 11 g 2 st
2
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期. 解:
结构力学课件_结构的稳定计算
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一、结构的三种平衡状态
结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平 衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。 解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而 稍微偏离其原来位置。 1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原 来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏 离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定 平衡状态。 3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡 过渡的状态称为中性平衡状态。
FP A B (极值点) C O ( c)
14
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。
(4)特例 扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。 图 a 所示的扁桁架，矢高为 f ，高跨比 f/l<<1 。在跨 度中点作用竖向荷载FP，产生竖向位移。 其FP-曲线如图b所示。
分支点 A 处的临界平衡状态 也是不稳定的。
FPcr=kl
第二路径II，当增大时，荷 载反而减小；路径 II 上的点属于 不稳定平衡。
FP B I(不稳定) A II(不稳定) I(稳定) O
C
注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进 行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷 ( 初 曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。 (2) 按小挠度理论分析 设<<1，则式(a)、(b)简化为
结构的稳定计算
(a)
FPcr
FPcr (b)
qcr
( c)
FPcr
(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中， 各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中， 刚架产生侧移，出现弯曲变形。
结构力学-《结构的稳定》
结构力学第八章结构的稳定●8-1 引言–刚体力学●处于平衡状态的刚体，有三种不同的平衡状态稳定平衡不稳定平衡随遇平衡●8-1 引言–弹性系统●也存在三种平衡状态–例：受轴向压力的直杆P < P cr微小横向干扰力→微小位移去除干扰力→恢复直线P > P cr去除干扰力→继续弯曲P = P cr不论横向力是否消除→仍保持任意微小弯曲状态–在飞机结构中：●大量采用薄壁元件（薄壁杆、板、壳）●受压力或剪力→稳定问题–结构临界载荷的确定方法：●静力法——基于结构临界状态的静力特征●能量法——基于临界状态的能量特征8-2 压杆的稳定性22,cr C EJ P i Fl i π==⎛⎫ ⎪⎝⎭i — 截面惯性半径C — 压杆两端支持系数1240.25C ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩两端简支一端简支一端固支两端固支一端自由一端固支8-3 薄板压曲的基本微分方程–1. 薄板在边界上受纵向载荷作用–—平面应力问题中面内力：N x = tσx N y = tσy N xy= tτxy N yx= tτyx 单位宽度上的拉压力单位宽度上的纵向剪力8-3 薄板压曲的基本微分方程–2. 薄板同时受横向载荷及纵向载荷作用 – —弹性曲面微分方程 2224222x xy y w w w D w N N N q x y x y ⎛⎫∂∂∂∇-++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭8-4 薄板的稳定问题–边界上作用纵向载荷—引起中面内力为压力–P纵向载荷< P cr–薄板处于稳定平衡状态–P纵向载荷> P cr–板受干扰→弯曲去除干扰→不恢复–失稳或压曲：在纵向载荷作用下处于弯曲平衡状态8-4 薄板的稳定问题–分析薄板的压曲问题—计算临界载荷02222224=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂-∇y w N y x w N x w N w D y xy x 令q =0，薄板的压曲微分方程为w 的齐次微分方程：N x 、N y 、N xy 用分布已知、大小未知的纵向载荷表示 薄板发生弯曲→上述方程具有满足边界条件的非零解临界载荷问题→使上述方程具有满足边界条件的非零 解时，所需纵向载荷的最小值薄板的临界载荷计算 –单向受压的四边简支矩形板 中面内力：N x =-NN y = 0N xy = 02420w D w N x ∂∇+=∂11sin sin mn m n n m x n y w A a b ππ∞∞===∑∑取满足边界条件的挠度表达式–将w 代入压曲微分方程，得2222222211sin sin 0mn m n n y m n m m xA D N a b a b a πππ∞∞==⎡⎤⎛⎫⎢⎥+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑N 很小时，上式中方括号内数值>0，只能A mn =0 薄板处于平面平衡状态随着N 增加，使得方括号内数值 = 0时，A mn ≠ 0 薄板可能压曲–取 n = 1，沿 y 方向只有一个正弦半波2/2/2 4.5b a a b k a b a b k ⎛⎫≤=+ ⎪⎝⎭≥≤≤时，时，4.02/1/1b a a b k a b a b k ⎧⎛⎫≤=+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥=⎩时，时，4对于工程计算： 222222cr cr D mba D N N k a mb b mb a k a mb b ππ⎛⎫=+⎛⎫=+= ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭或其中–临界应力 2221)1(12⎪⎭⎫⎝⎛-==t b E k t N cr cr μπσ对于其他情况，临界载荷计算公式相同，只是k 值不同。
结构力学稳定理论课件2
2 0
A
6 EI l
A
0 1 ( Pl
) 2 0 (1)
Pl ( 1 2 ) 3 EI l
B
3 EI l
l
2 0
AC:
M
6 EI l
1
( Pl
) 1 ( Pl
) 2 0 ( 2 )
0 •由位移参数不全为零得稳定方程： Pl 6 EI l 3 EI 6 EI 3 EI 解得： P1 2 P2 2 , Pcr P1 2 l l l
l
例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 -1C A B D P 解：1）静力法 1 k k l l l •设变形状态 λ P 求支座反力 P A D y1 M B 0 YA y2 B左 B k YA=Py1/l k C M C 0 YD YD=Py2/l C右 R1=ky1 R2=ky2 •列变形状态 的平衡方程
A点为稳定平衡， 偏离A点δΠ＞０其 势能将增加，故知 稳定平衡位置的势 能为最小。
A
B C 刚性小球运动稳 定性与能量的关系 设静止点A、B、C点Π=0
对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情 况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载 在位移上做功W（外力势能UP=－W）使体系偏移，内力在变 形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能Π=U+ UP即总 势能的增量δΠ。 Π=0 P P 如总势能Π=U+ UP >0（δΠ>0），体系能 恢复原位置，平衡是稳定的； B B´ λ 如总势能Π=U+ UP =0（δΠ=0），体系能 在任意位置平衡，平衡为中性的； EI=∞ 如总势能Π=U+ UP <0（δΠ<0），体系不 能恢复原位置，平衡是不稳定的。 θ 用能量法求临界荷载，依据于临界状态的 平衡条件，它等价于势能驻值原理： 弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即 （用于多自由度体系） δΠ=0 或：Π=0 （单自由度体系）
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
结构力学教学-11结构的稳定计算
y
稳定方程
k
k
脱离体，受 力分析
EI
y(x) n2 y
k
(l x)
1
0
k / FP
通解为
y(x)
A cos
nx
EI l B sin
nx
k
(l
x)
0 cos nl
n sin nl
(k / FPl 1) 0 0
边界条件 y(0) 0, y(0) P, ly(l) 0
A k 0
P
Bn ( k 1) 0
Pl
nl
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
Acosnl Bsin nl 0
FP
FP
Q
l EI
y
x M
A y
k
k
nl
Q
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
FP
若 k 0
tan nl 0
FP
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结 构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
结构力学 第13章结构弹性稳定
M Fy FS(l x)
挠曲线的近似微分方程为
EIy M Fy FS(l x)
y F y FS (l x) EI EI
令 n2 F
EI
y n2 y n2 FS (l x) F
微分方程的通解为 y Acos nx B sin nx FS (l x)
F
边界条件为
x 0，y 0 y 0 x l，y 0
y12 l2
2
l l1
1 2
y12 l2
y12 2l
弹簧的应变能为
Vε
1 2
k y1 y1
1 2
ky12
外力势能为
V
FΔ
F 2l
y12
若图b结构能维持平衡则有
dEP dy1
kl F l
y1
0
结构的势能为 y1≠0，故
临界荷载为
EP
Vε
V
kl F 2l
y12
kl F 0
Fcr kl
§13-4 用能量法确定临界荷载
例13-4 用能量法求图a所示结构的临界荷载。
解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图b所示位移。
Vε
1 2
ky12
1 2
ky22
V
FΔ
F
y22 2l
( y2
y1)2 2l
结构的势能为
EP
Vε
V
1 2l
[(kl
F ) y12
2Fy1 y2
(kl
2F ) y22 ]
Fcr
n 2 EI
14.67EI l2
§13-3 具有弹性支座的压杆稳定
反对称失稳时，取半结构计算如图e。
立柱为上端弹性固定，上下两端有相对
结构力学-参考答案
模块1参考答案1.结构有哪几种分类?答：结构主要有：杆件结构，薄壁结构和实体结构三类。
2.结构力学的研究对象和研究任务是什么?答：结构力学的研究对象：结构力学的研究对象是杆件结构，薄壁结构和实体结构的受力分析将在弹性力学中进行研究。
严格地说，一般的杆件结构是空间结构，但它们中的大多数均可简化为平面结构。
所以，本门课程主要研究平面杆件结构，即组成结构的所有杆件及结构所承受的外荷载都在同一平面内的结构。
结构力学是研究结构的合理形式以及结构在受力状态下内力、变形、动力反应和稳定性等方面的规律性的科学。
研究的目的是使结构满足安全性、适用性和经济方面的要求。
建筑物、构筑物、结构物在各类工程中大量存在：（1）住宅、厂房等工业民用建筑物；（2）涵洞、隧道、堤坝、挡水墙等构造物；（3）桥梁、轮船、潜水艇、飞行器等结构物。
结构力学的任务：结构力学与材料力学、弹性力学有着密切的联系，他们的任务都是讨论变形体系的强度、刚度和稳定性，但在研究对象上有所区别。
材料力学基本上是研究单个杆件的计算，结构力学主要是研究杆件的结构，而弹性力学则研究各种薄壁结构和实体结构，同时对杆件也作更精确的分析。
结构力学研究杆件结构的强度、刚度和稳定性问题，其具体任务包括以下几个方面：（1）杆件结构的组成规律和合理的组成方式。
（2）杆件结构内力和变形的计算方法，以便进行结构强度和刚度的验算。
（3）杆件结构的稳定性以及在动力荷载作用下的反应。
结构力学是土木工程专业的一门重要的专业基础课，在各门课程的学习中起着承上启下的作用。
结构力学的计算方法很多，但所有方法都必须满足以下几个三个基本条件：（1）力系的平衡条件。
在一组力系作用下，结构的整体及其中任何一部分都应满足力系的平衡条件。
（2）变形的连续条件，即几何条件。
连续的结构发生变形后，仍是连续的，材料没有重叠和缝隙；同使结构的变形和位移应该满足支座和结点的约束条件。
（3）物理条件。
把结构的应力和变形联系起来的条件，即物理方程或本构方程。
10结构力学——结构的稳定计算
哈工大 土木工程学院
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结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载， 称分支点失稳。 FP FP FP < FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 II 不稳定 弯；干扰撤消，状态复原 FPcr 0 （平衡路径唯一）。
Δ f
FP
FPcr
O
l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
哈工大 土木工程学院
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结构的稳定计算
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
• 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比 较复杂，但却是精确解。
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结构的稳定计算
分析结论
• 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。 • 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
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结构力学-稳定计算
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
161稳定问题概述结构力学2浙大宁波理工学院土建学院fp线性非线性结构力学2浙大宁波理工学院土建学院非线性叠加原理不成立线性叠加原理成立f1f2f1f2f1f2结构力学2浙大宁波理工学院土建学院fpfpfp由于取消干扰后结构可以恢复原状所以原状态为稳定状态fpfp由于取消干扰后结构无法恢复原状所以原状态为不稳定状态fp临界状态结构力学2浙大宁波理工学院土建学院两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
P eP
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B Pcr Pc r O C
大挠度理论
Δ
P
(a) 偏心受压杆
θ
B
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1，
k kl 上式可写为 Fp kl l 0
弹簧的反力 FRB 分支后两条平衡路径： 1. θ=0， Fp为任意值(不稳定) 2. θ>0 ， Fp=kl(随遇平衡) 临界荷载（分支点）Fpcr
A
EI无穷大
y
Fp
kl
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
结构稳定概述(结构稳定原理)
第1章结构稳定概述工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。
在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。
1.1 稳定问题的一般概念结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。
处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。
当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。
结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。
因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。
结构稳定问题可分为两类：第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。
结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。
第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。
结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。
无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。
结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。
因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的116强度外，还应进行其稳定性校核。
1.1.1 第一类稳定问题首先以轴心受压杆来说明第一类稳定问题。
结构力学 结构稳定计算
2 F p1 / 2 45 45 FN 1l 2 F p1l 杆件伸长量 EA 2 EA l l A Fp1l A点竖向位移 1 2 FP1 EA 2 Fp1l * 外力势能 Ve Fpi i Fp11 E 2 EA F p1l 1 Fp21l Ve FN 1 2 应变能 2 2 EA 2 2 2 Fp1l Fp1l Fp1l 2 EA * EP Ve VP 结构势能 1 2 EA EA 2 EA
第十五章《结构的稳定计算》
§15-1 两类稳定问题概述
稳定分析的几点预备知识:
1、三种平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状态、中性平衡状 态。 2、两种分析理论：小挠度理论、大挠度理论。
3、两种失稳状态：分支点失稳、极值点失稳。
4、 计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行, 属几何非线性,叠加原理已不再适用。两种方法 :静力 法和能量法
EI 1 (l ) 2 k l l 1 (l ) 2 / 4
l 3.83
FPcr 2 EI 14.67 EI / l 2
例:求图示刚的临界荷载.
Fp
I1 2I
Fp
I
Fp
Fp
Fp
Fp
l
I
l
反对称失稳时
正对称失稳 反对称失稳
Fp
k
k
1
l tanl
k l EI
tan l
若
l
EI 1 (l ) 2 k l
若
解此方程可得 l 最小正根
F p cr EI
2
k 0
k
FP
EI
FP
l
EI
《结构力学》第十四章 结构振动与稳定
y(t ) Aet
特征方程
2 2 2 0
根为
i 1 2
小阻尼情况
1(c 2m )
方程的通解为
A
y (
2 0
y0 y
2 令 D 1 临界阻尼情况
0 y0 ) tan D y0 D /( y
m
y(t )
EI
P(t ) P sin t
P ---荷载幅值 运动方程 或
l
---荷载频率
(t ) k11 y(t ) P sin t m y
P (t ) y (t ) sin t y m
2
设
y* (t ) A sin t
P A m( 2 2 )
P P A 2 2 2 m m( )
1
P(t)
m
y(t )
EI
A yst
---稳态振幅
2 1 2
l
P y st P 11 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 2 m 1 ---动力系数 || 2 2 1 /
---频比 1 1
§14—1 概述
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程 通解 其中
结构力学-参考答案
结构⼒学-参考答案模块1参考答案1.结构有哪⼏种分类?答：结构主要有：杆件结构，薄壁结构和实体结构三类。
2.结构⼒学的研究对象和研究任务是什么?答：结构⼒学的研究对象：结构⼒学的研究对象是杆件结构，薄壁结构和实体结构的受⼒分析将在弹性⼒学中进⾏研究。
严格地说，⼀般的杆件结构是空间结构，但它们中的⼤多数均可简化为平⾯结构。
所以，本门课程主要研究平⾯杆件结构，即组成结构的所有杆件及结构所承受的外荷载都在同⼀平⾯内的结构。
结构⼒学是研究结构的合理形式以及结构在受⼒状态下内⼒、变形、动⼒反应和稳定性等⽅⾯的规律性的科学。
研究的⽬的是使结构满⾜安全性、适⽤性和经济⽅⾯的要求。
建筑物、构筑物、结构物在各类⼯程中⼤量存在：（1）住宅、⼚房等⼯业民⽤建筑物；（2）涵洞、隧道、堤坝、挡⽔墙等构造物；（3）桥梁、轮船、潜⽔艇、飞⾏器等结构物。
结构⼒学的任务：结构⼒学与材料⼒学、弹性⼒学有着密切的联系，他们的任务都是讨论变形体系的强度、刚度和稳定性，但在研究对象上有所区别。
材料⼒学基本上是研究单个杆件的计算，结构⼒学主要是研究杆件的结构，⽽弹性⼒学则研究各种薄壁结构和实体结构，同时对杆件也作更精确的分析。
结构⼒学研究杆件结构的强度、刚度和稳定性问题，其具体任务包括以下⼏个⽅⾯：（1）杆件结构的组成规律和合理的组成⽅式。
（2）杆件结构内⼒和变形的计算⽅法，以便进⾏结构强度和刚度的验算。
（3）杆件结构的稳定性以及在动⼒荷载作⽤下的反应。
结构⼒学是⼟⽊⼯程专业的⼀门重要的专业基础课，在各门课程的学习中起着承上启下的作⽤。
结构⼒学的计算⽅法很多，但所有⽅法都必须满⾜以下⼏个三个基本条件：（1）⼒系的平衡条件。
在⼀组⼒系作⽤下，结构的整体及其中任何⼀部分都应满⾜⼒系的平衡条件。
（2）变形的连续条件，即⼏何条件。
连续的结构发⽣变形后，仍是连续的，材料没有重叠和缝隙；同使结构的变形和位移应该满⾜⽀座和结点的约束条件。
（3）物理条件。
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1 ln 2 0.0276 2 4 1
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
k11
16.4 103 0.02
8.2 105 (N
/ m)
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T 2 / 4 0.5(s)
4.重量
2 12.57(1/ s)
T
m k11 / 2 5190 (kg )
W mg 50.86(kN)
5.阻尼系数
2m 3601(N s/m)
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
为多少
2
8.2 105
136 .89(1/ s2 )
5190 800
11.70(1/ s)
l
2 3EI
T 2 ml3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
解:
k11
k
3EI l3
mW /g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
3EI l3
g
3EI l2
W
EI
k
l
k11
1
k11
3EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
T 2 自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
1 2 自振园频率(自振频率)
T
a
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2 k11 1 g g
m m11 mg11
st
k11 1 g g
m
m11
mg11
st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
11
1 EI
FR y
2.计阻尼自由振动
1）.振动微分方程及其解
m y(t)
my(t)
y(t)
k11 y(t )
-----阻尼系数
运动方程 令
my y k11 y 0 k / 2m 衰减系数 y 2ky 2 y 0
设
y Cert
r 2 2kr 2 0 特征方程
根为 r k k 2 2
振动是衰减的
yn yn1
be tn be (tn T )
eT
ln yn T
y n 1
对数递减量
2 2
1 ln yn 2 yn1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
1 ln yn 2j yn j
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
或
y(t) 2 y(t) F sint
设
y Asint
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程
通解 其中
y(t) y0 y
y0 A1 cost A2 sin t
A
F
m( 2
2)
通解为
y(t)
A1
cost
A2
sin
t
m(
F
2
2
)
sin
t
2.纯强迫振动分析
y Asint
A A
m( yst
k ( 2m)
小阻尼情况
b
y02
(
y k y0
)2
令 2 k 2 临界阻尼情况
方程的通解为
tan y0 /( y0 ky0 )
k ( 2m)
y(t) ekt (B1 cost B2 sin t)
由初始条件 y(0) y0 , y(0)大阻y尼0 情况
B1 y0 , B2 ( y0 ky0 ) /
t
2.振动分析
令 y0 a sin
y0 / a cos y(t) a sin( t )
其中
a
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y(t) a sin( t ) a sin( t 2 ) a sin[ (t 2 ) ] y(t 2 )
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目，称作 结构的振动自由度。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少振动自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少振动自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
T 2 / 0.537(s)
/ 2m 0.0257
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.振动微分方程及其解
F(t) F sint
F ---荷载幅值 振动微分方程
---干扰力频率
F(t) m y(t)
l EI
my(t) k11y(t) F sint
y(t) (C1 C2t)ekt 不振动
cr 2m --临界阻尼系数 k 阻尼比 cr 2m
y(t) bekt sin(t )
k ( 2m) 不振动
2）.振动分析
y(t) yn
y(t) bekt sin(t )
y n 1
1 2
tn
tn1
t
T 2
周期延长
T
计算频率和周期可不计阻尼
(1 2
l
l
2 3
l
1 2
l
l
l
1l 2
l 2
l)
7 l3 12 EI
1
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3 m 2l3
EI ml3
y2 y1
W=2
振动自由度与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) W=1
9)
W=13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构； 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构; 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构。
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼的自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
F
2 2)
F
m 2
1
1
2 2
1.振动微分方程及其解
y 11[my]
k11y my 令 2 k11 1
m m11
y 2 y 0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t) A1 cost A2 sin t
由初始条件 y(0) y0
y(0) y0
可得 A1 y0 A2 y0 /
y(t)
y0
cost
y0
sin