人教中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析含详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．
【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切
（2）
如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，
∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且点C 是的中
点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ．
（1）求证：AE ⊥DE ；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD
，∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析5
【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．
详解：（1）连接OD．
∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB2．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴AC
AD =
AE
AC
，∴AC2=AD•AE．
设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴100=4x •5x ，∴x =5，∴DE =5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC 2=AD •AE 是解题的关键．
4．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .
（1）求证：OE ∥BD ；
（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5
DBA ∠=时，求EF 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为
212
【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.
∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .
（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25
BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒
∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .
∴BD CD BO EO
=
∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，
∴CF =FB .
∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=
5．如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，与斜边交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE ，AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形？并在此条件下求sin ∠CAE 的值．
【答案】(1)见解析;(2)
10. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．
详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，
∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，
∴∠EDB=∠EBD ．（2分）
又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，
又∵BD ⊥AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形．
∴∠C AB=45°．
过E 作EH ⊥AC 于H ，
设BC=2k ，则EH=22
k ，5，
∴sin ∠CAE=1010
EH AE =．
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
6．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG
(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；
(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．
【答案】（1）CG 与⊙O 相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE ＝2
【解析】
【分析】
（1）连接CE ，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，再由OA ＝OC 知∠OCA ＝∠OAC ，根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，据此即可得证； （2）证△ABC ∽△FBO 得
BC AB BO BF =，结合AB ＝2BO 即可得； （3）证ECD ∽△EGC 得
EC ED EG EC =，根据CE ＝3，DG ＝2.5知32.53
DE DE =+，解之可得．
【详解】
解：（1）CG 与⊙O 相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴BC AB
=，即BO•AB＝BC•BF，
BO BF
∵AB＝2BO，
∴2OB2＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝2∠F，
又∵∠DCE＝2∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴EC ED
=，
EG EC
∵CE＝3，DG＝2.5，
∴32.53DE DE =+， 整理，得：DE 2+2.5DE ﹣9＝0，
解得：DE ＝2或DE ＝﹣4.5（舍），
故DE ＝2．
【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
7．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE=4，sin ∠AGF=45
，求⊙O 的半径．
【答案】（1）当AD=BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O 的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC ，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可； （2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD 与BC 平行，可得同旁内角互补，再由AE 与BE 为角平分线，可得出AE 与BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF 与FB 垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB ，根据sin ∠AGF 的值，确定出sin ∠AEB 的值，求出AB 的长，即可确定出圆的半径．
详解：（1）当AD=BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，理由为：
证明：∵AD ∥BC ，AD=BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形；
故答案为：AD=BC ；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5
AE AB =，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
8．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．
（1）当DC⊥AB时，则DA DB
DC
+
＝；
（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；
（3）当
92
20
PD
AC
=时，求
DE
OA
的值．
【答案】（12；（2）①DA+DB 2DC ，②S ＝
12t 2﹣14m 2 ；（3）242DE OA =. 【解析】
【分析】 （1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵C 为AB 的中点，
∴AC BC =，
∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，
∵DC ⊥AB ，
∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，
∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
∴AE ＝BE ，
∴点E 与点O 重合，
∴DC 为⊙O 的直径，
∴DC ＝AB ，
在等腰直角三角形DAB 中，
DA ＝DB 2AB ， ∴DA+DB 2AB 2CD ， ∴DA DB DC +2；
（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知AC BC =，
∴AC ＝BC ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，
∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，
∴∠NBC ＝∠MCA ，
在△NBC 和△MCA 中，
BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△NBC ≌△MCA （AAS ），
∴CN ＝AM ，
由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，
AM ＝22DA ，DN
＝22
DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝
2DB+2DA ＝2（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；
②在Rt △DAB 中，
DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，
∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，
且由①知DA+DB 2DC 2t ，
∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，
∴DA•DB ＝t 2﹣12
m 2，
∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14
m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝
12t 2﹣14
m 2； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ，
则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形， 由（1）知AC BC =，
∴AC ＝BC ，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴AB
AC ，
∵20
PD AC =，
设PD ＝，则AC ＝20，AB ＝，
∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，
∴△ABD ∽△PBA ， ∴
AB BD AD PB AB PA ==，
∴
=， ∴DB ＝
， ∴AD
＝， 设NE ＝ME ＝x ，
∵S △ABD ＝
12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴1
2＝12•x+12•x ，
∴x ＝
7， ∴DE
HE x ＝
967，
又∵AO ＝
12AB ＝，
∴96
735
DE OA ==．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
9．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且
x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，
3），点B的坐标为（m，0）
（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是
_____；
（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；
（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．
【详解】
（1）∵30330
3tan60︒
--
===
333
3tan60︒
-
==，
∴点S ，T 与A 点互为“向善点”．
故答案为S ，T ．
（2
）根据题意得：303|1|m -=-， 解得：m 1＝0
，m 2＝2，
经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，
∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）．
设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），
将A （1，），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：
30k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
， 解得：30k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或323
k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23．
（3）当⊙B 与直线y ＝3x 相切时，过点B 作BE ⊥直线y ＝3x 于点E ，如图2所示．
∵∠BOE ＝60°，
∴sin60°＝3BE OB =， ∴OB ＝2，
∴m ＝﹣2或m ＝2；
当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．
同理，可求出m ＝0或m ＝4．
综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解
分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．
①求证：AG＝GD；
②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？
③若AB＝10，sin∠ABD＝3
5
，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；
（3）BC的长为14
5
．
【解析】
【分析】
（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE
=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；
（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；
（3）利用三角函数先求出tan∠ABD
3
4
=，cos∠ABD＝
4
5
，再求出DF、BF，然后即可求出
BC.
【详解】
（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE
=，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵弦BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AG＝GD；
（2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．
理由：∵弦BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，
∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，
∵DE ⊥AB ，
∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，
∴△DGF 是等边三角形；
（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，
∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，
∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，
∴BD ＝22AB BD -＝8，
∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5
BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×
34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72
， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝
72×45＝145． ∴BC 的长为：145
．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．。