2014年高考数学(文)难题专项训练(3)三角函数及三角恒等变换(含答案)

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2014高考数学文硬手笔(真题篇)常考问题三角恒等变换与解三角形

解总解((12结题))利利(:的1用用)求由突面余解c破积弦o此s口A和定类，＝理c问o11如s求32A题，求解求且，A．解B一0<；A要AC<注π，，意需得从要s问i求n题A出＝的bc不，断1由－转三11化23角中2形＝寻1的53求.面
(所积应2((又12)以由及该))S第第第第A(△→c结1AoB二三一一)B知s合·CA步步→步步A＝C第b，：：12：：c＝＝b(可1c由求求列bs1)ci问求5nc面方s6AoiAn，中出sB积程＝AA又的sA＝公组3，inC0结c1式，，oA5s论6，所求A×．＝以二b11c2311要b，＝23c，＝注14c14意－5.6b求，＝解1 本题第(2)问时，
题
船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船
流程
乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)，此时 B，
D 两处相距 42 km，渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置解
√进(5行) ×边(与6)角×之(7)间√ 的(8相) ×互
（8）正弦定理可以实现边角互化，但余转化是解决问题的关键。
弦定理不可以.
()
正、余弦定理的应用
题型突破探究方法构建模板
【示例 1】．△ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， cos A＝1123. (1)求A→B·A→C；(2)若 c－b＝1，求 a 的值.
的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙，
同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救
信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40°
方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形2(三角恒等变换)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（三角恒等变换）（一）三角恒等变换选择填空（和差公式）选择题1．（2014•四川文）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m【考点】解三角形【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，15DAB ∠=︒， tan 45tan30tan15tan(4530)21tan 45tan30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(2120DB AD ∴=︒=⨯-=-在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒=．(1201)()BC DC DB m ∴=-=-=．∴河流的宽度BC 等于1)m ．故选：B ．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B 、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．2．（2015•新课标Ⅰ理）sin 20cos10cos160sin10(︒︒-︒︒= )A ．BC ．12-D ．12【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒ sin20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒ 12=．故选：D ．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（2015•上海文理）已知点A 的坐标为1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A B C ．112D ．132【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据三角函数的定义，求出xOA ∠的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：点A 的坐标为1)，∴设xOA θ∠=，则1sin 7θ===，cos θ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则OB 的倾斜角为3πθ+，则||||7OB OA ==，则点B 的纵坐标为11113||sin()7(sin cos cos sin )7(63337222y OB πππθθθ=+=+=⨯+=+=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4．（2015•重庆文）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan (β= )A ．17B ．16C ．57D ．56【考点】两角和与差的三角函数【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan tan[()]βαβα=+-的值．【解答】解：1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选：A ．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．5．（2015•重庆理）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的积化和差公式【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tan 2tan 5πα=，则33333cos()cos cos sin sin cos tan sin1010101010sin()sin cos cos sin tan cos sin 55555πππππααααπππππαααα-++==--- sin335cos 2sin3333331010cos 2tan sincos cos cos 2sin sin cos()sin sin cos sin sin 1051055105105105101052tan cos sin sin 2sin cos cos sin sin cos sin()5555555555552cos sin 55cos 5ππππππππππππππππππππππππππππππππ+++-++=====--+--31331cos [cos()cos()]cos cos 3cos 3cos 3cos 1010251051010210101010312122sin cos sin sin sin sin()cos 552525521010πππππππππππππππππππ-+--+======- 故选：C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力． 6．（2016•新课标Ⅲ理）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( ) AB C ． D ．【考点】三角形中的几何计算【分析】作出图形，令DAC θ∠=，依题意，可求得cos a ADACθ===sin θ，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设ABC ∆中角A 、B 、C 、对应的边分别为a 、b 、c ，AD BC ⊥于D ，令DAC θ∠=，在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高1133AD h BC a ===， 13BD AD a ∴==，23CD a =，在Rt ADC ∆中，cos a ADACθ===，故sin θ=，cos cos()cos cos sin sin 444A πππθθθ∴=+=-== 故选：C ．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC θ∠=，利用两角和的余弦求cos A 是关键，也是亮点，属于中档题．7．（2019•新课标Ⅰ文）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+【考点】运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．【解答】解：tan255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30+︒+︒======+-︒︒故选：D ．【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．填空题1．（2015•四川理）sin15sin75︒+︒的值是．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15sin75sin15cos15cos45cos15sin 45)︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 2．（2015•江苏）已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：tan 2α=-，1tan()7αβ+=，可知tan tan 1tan()1tan tan 7αβαβαβ++==-，即2tan 112tan 7ββ-+=+，解得tan 3β=．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．3．（2016•新课标Ⅰ文）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= 43- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】由θ得范围求得4πθ+的范围，结合已知求得cos()4πθ+，再由诱导公式求得sin()4πθ-及cos()4πθ-，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan()4πθ-的值．【解答】解：θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Z ππππθπ-+<+<+∈，又3sin()45πθ+=，4cos()45πθ∴+==． 3cos()sin()445ππθθ∴-=+=，4sin()cos()445ππθθ-=+=．则4sin()454tan()tan()3443cos()45πθππθθπθ--=--=-=-=--．故答案为：43-．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 4．（2016•上海文）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = 3± ．【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a 的值．【解答】解：由于函数()4sin cos )f x x a x x θ=+=+，其中，cos θ=sin θ，故()f x 5，3a ∴=±，故答案为：3±．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．5．（2017•新课标Ⅰ文）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα-=．【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数【分析】根据同角的三角函数的关系求出sin α=，cos α= 【解答】解：(0,)2πα∈，tan 2α=，sin 2cos αα∴=，22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=cos()cos cos sin sin 44422πππααα∴-=+=，【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 6．（2017•北京理12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-= 79- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】方法一：根据教的对称得到1sin sin 3αβ==，cos cos αβ=-，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 1sin sin 3αβ∴==，cos cos αβ=-，22227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1199αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=- 方法二：1sin 3α=，当α在第一象限时，cos 3α=， α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第二象限时，1sin sin 3βα==，cos cos βα=-=117cos()cos cos sin sin 339αβαβαβ∴-=+=+⨯=- 1:sin 3α=，当α在第二象限时，cos 3α=-， α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第一象限时，1sin sin 3βα==，cos cos βα=-=，117cos()cos cos sin sin 339αβαβαβ∴-=+=+⨯=- 综上所述7cos()9αβ-=-，故答案为：79-【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题 7．（2018•新课标Ⅱ文15）已知51tan()45πα-=，则tan α= ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．【解答】解：51tan()45πα-=， 1tan()45πα∴-=，则11tan()tan1563544tan tan()14451421tan()tan 11445ππαππααππα+-++=-+=====----⨯，故答案为：32．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键． 8．（2018•新课标Ⅱ理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= 12- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】把已知等式两边平方化简可得22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin()1αβ+=-，可得结果．【解答】解：sin cos 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin cos cos 1ααββ++=，①，cos sin 0αβ+=，两边平方可得：22cos 2cos sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，即22sin()1αβ++=， 2sin()1αβ∴+=-． 1sin()2αβ∴+=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．（二）恒等变换选择填空（倍角公式）选择题1．（2014•新课标Ⅰ文）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>【考点】三角函数值的符号【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：tan 0α>，∴sin 0cos αα>，则sin22sin cos 0ααα=>．故选：C ．【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 2．（2015•陕西文理）“sin cos αα=”是“cos20α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；倍角公式【分析】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出．【解答】解：由22cos2cos sin ααα=-，∴ “sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3．（2016•新课标Ⅱ理）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725B ．15C ．15-D ．725-【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】法1︒：利用诱导公式化sin 2cos(2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin cos αα+的值，再平方，即得sin 2α的值【解答】解：法31:cos()45πα︒-=，297sin 2cos(2)cos2()2cos ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:cos()cos )45πααα︒-=+=，∴19(1sin 2)225α+=， 97sin 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．4．（2016•新课标Ⅲ文）若1tan 3θ=，则cos2(θ= )A ．45-B ．15-C ．15D ．45【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1tan 3θ=， 22224cos 22cos 11111519tan θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2016•新课标Ⅲ理）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(cos sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：3tan 4α=，22222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 29sin cos tan 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 6．（2017•新课标Ⅲ文）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．79【考点】二倍角的三角函数【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：4sin cos 3αα-=， 216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα∴-=-=-=， 7sin 29α∴=-，故选：A ．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 7．（2017•山东文）已知3cos 4x =，则cos2(x = ) A ．14-B ．14C ．18-D ．18【考点】二倍角的三角函数【专题】转化思想；56：三角函数的求值【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：根据余弦函数的倍角公式2cos22cos 1x x =-，且3cos 4x =， 231cos22()148x ∴=⨯-=．故选：D ．【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（2019新课标Ⅱ文11）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD【考点】二倍角的三角函数【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得24sin cos 2cos ααα=，结合角的范围可求sin 0α>，cos 0α>，可得cos 2sin αα=，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin α的值．【解答】解：2sin2cos21αα=+，∴可得：24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴解得：sin α=故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．（2018•新课标Ⅲ文理4）若1sin 3α=，则cos2(α= )A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【考点】二倍角的三角函数【分析】2cos212sin αα=-，由此能求出结果．【解答】解：1sin 3α=， 217cos212sin 1299αα∴=-=-⨯=．故选：B ．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．填空题1．（2016•四川理）22cos sin 88ππ-=．【考点】二倍角的三角函数【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：22cos sin 88ππ-cos(2)cos 84ππ=⨯==．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 2．（2016•上海文理）方程3sin 1cos2x x =+在区间[0，2]π上的解为 6π或56π ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sin 1cos2x x =+，可得23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=．可得sin 2x =-，（舍去）1sin 2x =，[0x ∈，2]π 解得6x π=或56π．故答案为：6π或56π．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 3．（2019•新课标Ⅰ文15）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 4- ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可去求解最小值【解答】解：3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-， 2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11t -剟，2()231f t t t =--+的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．故答案为：4-【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题（三）恒等变换选择填空（和差公式与倍角公式综合）选择题1．（2014•新课标Ⅰ理）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】化切为弦，整理后得到sin()cos αβα-=，由该等式左右两边角的关系可排除选项A ，B ，然后验证C 满足等式sin()cos αβα-=，则答案可求．【解答】解：由1sin tan cos βαβ+=，得： sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos sin cos αβαβα=+， sin()cos sin()2παβαα-==-，(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，∴当22παβ-=时，sin()sin()cos 2παβαα-=-=成立．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 2．（2016•新课标Ⅱ文）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】三角函数的最值【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得212sin 6sin y x x =-+，令sin (11)t x t =-剟，可得函数2261y t t =-++，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数()cos26cos()2f x x x π=+-212sin 6sin x x =-+，令sin (11)t x t =-剟，可得函数2261y t t =-++ 23112()22t =--+，由3[12∉-，1]，可得函数在[1-，1]递增，即有1t =即22x k ππ=+，k Z ∈时，函数取得最大值5．故选：B ．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．3．（2019北京文科8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．44cos ββ+B ．44sin ββ+C ．22cos ββ+D ．22sin ββ+【考点】三角函数模型的应用【分析】由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．【解答】解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥，即有2QO =，Q 到线段AB 的距离为22cos β+， 22sin 4sin AB ββ==，扇形AOB 的面积为12442ββ=， ABQ ∆的面积为1(22cos )4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 22βββββββ+=+=+，14sin 2sin 222sin 24sin 2AOQ BOQ S S ββββ∆∆+=+-=，即有阴影区域的面积的最大值为44sin ββ+．故选：B ．【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．填空题1．（2017•浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是，cos BDC ∠= ．【考点】三角形中的几何计算【分析】如图，取BC 得中点E ，根据勾股定理求出AE ，再求出ABC S ∆，再根据12BDC ABC S S ∆∆=即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC 得中点E ， 4AB AC ==，2BC =，112BE BC ∴==，AE BC ⊥，AE ∴ 11222ABC S BC AE ∆∴==⨯ 2BD =，12BDC ABC S S ∆∆∴==2BC BD ==， BDC BCD ∴∠=∠，2ABE BDC ∴∠=∠在Rt ABE ∆中， 1cos 4BE ABE AB ∠==， 21cos 2cos 14ABE BDC ∴∠=∠-=，cos BDC ∴∠【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题2．（2016•浙江文理）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A b = ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：22cos sin21cos2sin2x x x x+=++12)x x=)14xπ=++，A∴，1b=，1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．3．（2017•江苏）若1tan()46πα-=．则tanα=75．【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：tan tan tan114tan()4tan161tan tan4παπααπαα---===++6tan6tan1αα∴-=+，解得7tan5α=，故答案为：75．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题4．（2019江苏13）已知tan23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值．【解答】解：由tan23tan()4απα=-+，得tan23tan tan41tan tan4απαπα=-+-，∴tan(1tan)21tan3ααα-=-+，解得tan2α=或1tan3α=-．当tan2α=时，22tan4sin215tanααα==+，2213cos215tantanααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin44455πππααα∴+=+=-=；当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+，34sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=．综上，sin(2)4πα+．10．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．（四）恒等变换解答题1．（2014•江苏）已知(2πα∈，)π，sin α=．（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值．【考点】两角和与差的三角函数【分析】（1）通过已知条件求出cos α，然后利用两角和的正弦函数求sin()4πα+的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求5cos(2)6πα-的值．【解答】解：(2πα∈，)π，sin α=．cos α∴==（1）sin()sin cos cos sin (44422πππααα+=+=⨯+=；sin()4πα∴+的值为：．（2）(2πα∈，)π，sin α23cos212sin 5αα∴=-=，4sin 22sin cos 5ααα==-555314cos(2)cos cos2sin sin 2()666525πππααα∴-=+=+⨯-=5cos(2)6πα-的值为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 2．（2015•广东文）已知tan 2α=．（1）求tan()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos21ααααα+-- 的值．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tan 2α=．（1）tan tan214tan()34121tan tan 4παπαπα+++===---；（2）2222sin 22sin cos 2tan 41sin sin cos cos21sin cos 121tan 24sin cos tan αααααααααααααα====+--++--+-．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力． 3．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的三角函数【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r ，则sin()απ+的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求sin α，cos α，cos()αβ+，再由c o s c o s [()]c o s βαβααβααβα=+-=+++代值计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y =-，||1r OP ==，4sin()sin 5y r απα∴+=-=-=；（Ⅱ）由35x =-，45y =-，||1r OP ==，得4sin 5α=-，3cos 5α=-，又由5sin()13αβ+=，得12cos()13αβ+=±，则1235456cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-，或1235416cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=． cos β∴的值为5665-或1665．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题． 4．（2018•江苏16）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（1）由已知结合平方关系求得sin α，cos α的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos()αβ+=tan()αβ+，利用tan()tan[2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431sin cos sin cos ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos225cos sin ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos27ααα==-． α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，sin()αβ∴+= 则sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．。

专题20 三角函数及解三角形解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共6

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

(完整word版)2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：三角函数(解析版),推荐文档

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形，则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解：方法一：(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35，所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。

辅助角公式及三角恒等变换(附答案)

辅助角公式与三角函数的图像性质1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33．∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36． (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6．∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]． 2、已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R ．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12．3、(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω．依题意，得πω＝π，解得ω＝1．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4．函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 4．(2014·北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π． (2)令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4．所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．6．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ．(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32．(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32．故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32． 7、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x, 3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期为π，令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．8．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6．由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53．(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3．所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32．9、已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos 2x ．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos 2x＝1＋sin 2x ＋3cos 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． (2)由f (x )－m ＝2，得f (x )＝m ＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∵f (0)＝1＋2sinπ3＝1＋3，函数f (x )的最大值为1＋2＝3， ∴要使方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，则f (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，即函数f (x )和y ＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点，即1＋3≤m＋2＜3，即3－1≤m ＜1．所以实数m 的取值范围为[3－1,1)． 10．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ．(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－π2，－π6，π2，5π6．11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2． 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2． (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3．∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ．。

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）、选择题：考点；L 函数的求值.3. （2014福建文）将函数y =s in x 的图象向左平移一个单位，得到函数y =f x 的函数图象，则2下列说法正确的是（）A. y f x 是奇函数B. y = f x 的周期是二C. 3y = f x 的图象关于直线x =—对称D. y = f x 的图象关于点i - —,0对称I 2 .丿【答案】D【解析】将函数，二血盂的團象向左平移兰牛单位，学科■馮到函数^=sin （x + -） = oo S x I 222. （2014安徽理）设函数 f (x)(xw :R)满足 f (x + 江)=f (x) +sinx.当0兰x c23叭则f ( )—( )61 爲1A.-B. 一C.0D.--22223兀 17兀23兀 11兀 11兀 17兀f(- —)二 f ( ) +sin -f( ) +sin +sin解析：有题意 6 66 6 6 65兀 511兀 171111-f( )+si n -+si n +si=0 +— —— +—=—6 66 6 2 2 2 22$— ~ = k n +, k € Z ，即 X ^2 + ^8， " Z ,又 $ >0,所以需n =.时，f(x)=0.1. （2014 对称，则安徽文）若将函数 :的最小正值是（ A. — B. 8-C. 4f （x ） =sin2x • cos2x 的图像向右平移「个单位，所得图像关于 y 轴） 3 二D.1. C ［解析］方法一: sin 2x + n 4f(x)= \.；2sin 2x + 4的图像向右平移 0个单位，得到y=J 2± 1，即 sin 2 $ - — = ± ,-2©的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin 才-2因为y- cos（-^）= 0- y = /1 X I的医：关于点f-y f1?' J对称* 选D4. （2014辽宁文、理）将函数y =3sin （2 x • ^）的图象向右平移？个单位长度，所得图象对应的函数（）5. (2014全国大纲文)已知角的终边经过点(-4,3)，则COS 〉=()43 34 A. - B. - C .D .5 555【答案】D 【解析】r 4试题分折；由题意可知v=3・” 一 • WiUAuos 4=—二-—故选r 5育网6. (2014 全国大纲理)设 a =sin33 ,b =cos55 ,c=tan35 ,贝U ( ) A . a b cB . b c aC . c b aD . cab【答案】c.【解析】T a - sin 33； b - cos 55°=™35^c = ten l - ^flJ ~ > sin35°..\ 0 a> 扛故选 C. cos 35° 【肴点】1 ■三角函数基本关系式(商关系 Z 二角函数的匸调性.7.（2014全国新课标I 文）若tan 一「：• 0， A. sinx 、0 B . cosx 、0【答案】：C正确的结论只有sin 2- 0.圆O 的半径为1，A 是圆上的定点, ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为距离表示为x 的函数f （x ），则y= f （x ）在［0,二］上的图像大致为A .在区间［12 .Ji］上单调递减 B .在区间 C .在区间［-,］上单调递减6 3 【答案】B 【解析】n扌巴 y = 3s in( 2x+ —) = 3sin 2(x+3n n n n nD .在区间［一，上单调递增12 12［-…「］上单调递增6 3n 的周期T = 人2第选B冗一个增区间为卜4-彳 --n ］；右移丿后,4 62C. sin 2一：八 0D. cos2x【解析】：由ta n - 0可得：k —： k—(k Z),故2^ 22 k 二二(k Z)，28. （2014全国新课标I 理）如图, 边为射线OA ，终边为射线OPP 是圆上的动点，角 M ，将点M 到直线 x 的始 OP 的.I H=cos ： =sin I - 丿 12位 71Q 31.，即2，选B2 2【解析】：由y =cosx 是偶函数可知y 二cos 2x = cos2x ，最小正周期为二，即①正确；】最小正周期为二,即③正6JI11. （2014陕西文）函数f （x ）二COS （2x •）的最小正周期是（）4A. B.二 C.2二D.42【答案】 B2 n 2 n【解析】；T= 二 =n ,.••选B2 | 2Rt. QMP 中, =cosxs in x1=—sin 2x , 21f (x) =— sin 2x2/Ty> A /p0』9. （2014全国新课标I 理）设圧三R nA 32【答案】：E【解析】：••• tan ：■1 亠 sin(0,?) —(0--)，且七…占，则2 2 2sin" = “引“卩 sin a cos P = cosa + cosa sin PCOS J cos :'H A JI兀,_—：：：:• —— ：:：—,0 ::: — - :■ 10.（2014全国新课标I 文 —兀③ y = cos （2x）,④ y 6 A.①②③ B.①③④【答案】：A）在函数① y = cos 12x |，② y =| cos x |JI-tan （2x-）中，最小正周期为二的所有函数为4 C.②④D.①③y =| cosx |的最小正周期也是■:,即②也正确；y=cosl2x •—确；y 七怙-―）的最小正周期为^-,即④不正确.4即正确答案为①②③,【解析】：如图:OM 字M MD= =OP 过 M 作 MD 丄OP 于D ，贝y PM= sinx , OM=COSX , cosx 対in x1D在12. （2014陕西理）函数f（X）=COS（2x —）的最小正周期是（）6A. —B.二C.2 二D.4'：2【答案】B【解析】；T = 2 n= 2 n= n,A选B|s I 213、（2014四川文）为了得到函数y二si n（x，1）的图象，只需把函数y二si nx的图象上所有的点（）A、向左平行移动1个单位长度B、向右平行移动1个单位长度C、向左平行移动二个单位长度D、向右平行移动二个单位长度3、解：•••由y=sinx到y=sin （x+1 ）,只是横坐标由x变为x+1 ,•••要得到函数y=sin （x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选：A14. （2014四川理）为了得到函数y=sin（2x 7）的图象，只需把函数y=sin 2x的图象上所有的占八、、1 1A•向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动'个单位长度2 2C.向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A1【解析】因为y =sin（2x 1^sin[2（x •）]，故可由函数y二sin 2x的图象上所有的点向左平2行移动1个单位长度得到215. （2014天津文）已知函数f（x） = 3 sin ■ x cos x^ 0）, R.在曲线y=f（x）与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为"，则f （x）的最小正周期为（）3兀2兀A. B. C.二D. 2■:2 3【答案】C【解析】T f （x ）= 2sin +— | = 1 ,• sin x +—| = 一，• co x1+ —= 一+ 2k^ , e Z 或I 6丿I 6丿2 6 6兀5兀2兀•冬：一——:2k/：,k^ Z，则• ■ X2 -为 2 k2 -心二，又•••相邻交点距离的最小值6 6 3为，•• - 2, T 二二.316. （2014浙江文、理）为了得到函数y二sin 3x • cos3x的图象，可以将函数y - 2sin3x的图象（）。

2014届高考数学复习精编单元测试题—三角函数与三角恒等变换

A． (
3
2 , 2
)
3
,
)
C． (

,
)
D． (

, ) 4 4
（）
D． 7 （ D．）
7 24
）
8．设函数 f ( x) 2 3sin x cos x 2sin 2 x 1( x R) ，则 f ( x ) 的最小正周期为（
D． 2 3 9．将函数 y cos 2 x 的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图像向上平移 1 个单位长度，所得图象 6
5 ；解析： f ( x) cos2 x sin 2 x = 2 cos( 2 x ) ，令 f ( x) 0 ， 8 4
16 9 7 ． 25 25 25
得 2 cos(

2 x) =0，又 x , ， 4 2
3 ， 2
∴x
A．2π B．π C．的函数解析式是 A． y cos(2 x C． y cos(2 x （）

6
) 1 ) 1
B． y cos(2 x D． y cos(2 x

3 6
) 1 ) 1
3
π π π 3π 10．令 a tan ， b sin ， c cos ，若在集合 , 0 , , 中，给取一个值， a, b, c 三数中 4 2 4 4
11．C；解析： f ( x)
a 2 cos 2 x x x 1 a sin cos cos x sin x 2 4 cos x 2 2 2
=
1 a2 1 sin( x),(其中tan ) ； 4 4 a 1 a2 2， 4 4

高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)

高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析）一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)．则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限．解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限．答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。

2014高考数学(文)名师指导提能专训5：三角恒等变换、解三角形及其应用(含解题思路)

提能专训（五)三角恒等变换、解三角形及其应用一、选择题1．（2013·安徽淮北模拟)已知错误!＝错误!，则tan α＋错误!＝( ）A．－8 B．8C。

错误!D．－错误!答案：A 解题思路:∵错误!＝错误!＝cos α－sin α＝错误!，∴1－2sin αcos α＝错误!，即sin αcos α＝－错误!.则tan α＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝－8.故选A。

2．在△ABC中,若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( ）A．－错误!B。

错误!C。

错误!D．－错误!答案：B 解题思路：由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tan A＋tan BA＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，1－tan A·tan B＝－1，即tan（所以A＋B＝错误!,则C＝错误!，cos C＝错误!.3．已知曲线y＝2sin错误!cos错误!与直线y＝错误!相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|错误!|等于（）A．π B．2πC．3π D．4π答案：B 命题立意：本题考查三角恒等变换及向量的坐标运算，难度较小．解题思路：由于f（x）＝2sin2错误!＝2×错误!＝1＋sin 2x，据题意，令1＋sin 2x＝错误!，解得2x＝2kπ－错误!或2x＝2kπ－错误!(k∈Z)，即x ＝kπ－错误!或x＝kπ－错误!(k∈Z），故P1错误!，P5错误!，因此|错误!｜＝错误!＝2π.4．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c,S表示△ABC的面积，若a cos B＋b cos A＝c sin C，S＝错误!(b2＋c2－a2），则∠B等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°答案：C 解题思路：由正弦定理和已知条件知sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C，即sin（A＋B)＝sin2C，∴sin C＝1,C＝错误!，从而S ＝错误!ab＝错误!（b2＋c2－a2)＝错误!（b2＋b2)，解得a＝b，因此∠B＝45°.5．（2013·银川一中二模）已知错误!＝k,0＜θ＜错误!，则sin错误!的值（）A．随着k的增大而增大B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小C．随着k的增大而减小D．是一个与k无关的常数答案：A 解题思路:k＝错误!＝错误!＝2sin θcos θ＝sin 2θ，因为0＜θ＜错误!，所以sin错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!为增函数，所以sin错误!的值随着k的增大而增大．6．在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a,b，c，已知4sin2错误!－cos 2C＝错误!，且a＋b＝5，c＝错误!,则△ABC的面积为（)A.错误!B.错误!C。

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式页)1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________．答案：－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值．解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________．答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角．又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________．答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________．答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0，所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。

由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。

2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。

2014年数学三角函数高考题(含答案)文科纯word版

（2014·北京16）（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =. （II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.（2014·福建7）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()()...2.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称Oyxy 0x 0【答案】D（2014·福建18）（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】解法一：（1）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++2sin(2)14x π=++. 所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++2sin(2)14x π=++（1）511()2sin12sin 12444f πππ=+=+= （2）22T ππ== 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.(2014·湖北）设,a b 是关于t 的方程2c o ss i n 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A（2014·湖北）（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cos sin 1212f t t t=--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.【答案】（Ⅰ）ππ(8)103cos 8sin 81212f =-⨯-⨯()()2π2π103cos sin33=--13103()1022=-⨯--=. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为3π1πππ()102(cos sin )=102sin()212212123f t t t t =-+-+，又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（2014·江苏5）已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是．【答案】6π（2014·江苏15）(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．（2014·江苏23）(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．【答案】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得0()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n nn nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k kk kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k kk kkkk kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()kk k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n nn nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n nn nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).（2014·江西16）（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中 ()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.【答案】（1）因为()f x ()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以y 1=()cos 2x θ+为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得-（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭433.10-（2014·辽宁11）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B（2014·辽宁21）（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，1sin 2()()11sin x xg x x x ππ-=-+-+.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0，有01x x π+>.【答案】（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=--<．2()4022f ππ=->．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =．（Ⅱ）当(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-+-+．令t x π=-．记()()u t g t π=-=-t cos 211sin t t t π-++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()0u t =．设10(,)2x t πππ=-∈．100()()()0g x g t u t π=-== ．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．（2014·山东12）函数23sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 . 【答案】π（2014·陕西2）函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】B（2014·上海1）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2π（2014·上海12）方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 . 【答案】73π（2014·四川3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A 、向左平行移动1个单位长度B 、向右平行移动1个单位长度C 、向左平行移动π个单位长度D 、向右平行移动π个单位长度【答案】A(2014·四川17）(本小题满分12分)已知函数()sin(3)4f x x π=+ （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本计谋.之杨若古兰创作（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等.（2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等.（3）降次与升次.（4）化弦（切）法.（4）引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab 确定.1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值．解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式 3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx x x所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2，所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ，所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证实：法一：右侧＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，成绩得证．法二：右边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，成绩得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，如许求得44=T，T =16，所以⋅=8πω 又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ． (Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2- 1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ；(2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的法子得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化.2．求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域.解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈，则原函数可化为22131()24y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3[34y ∈，. 3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，.（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证实：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称. 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x 最大值为 (2)证实：欲证实函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只需证实对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-，所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称.4．已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过如何的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+41+43（2sinx ·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k∈Z ）.所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 顺次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到本来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到本来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像.综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像.历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是（）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．2 5.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( )xxxx7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数 8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D.－2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（）A ．觉得4π周期的偶函数B ．觉得2π周期的奇函数C ．觉得2π周期的偶函数D ．觉得4π周期的奇函数x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于（） A．2-B ．12-C ．12 D．214.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行挪动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到本来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所暗示的函数是（） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是（） A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（）二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________. 23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是三，解答题24. （08四川卷17）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.25. （08北京卷15）已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．26. （08天津卷17）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，而且求使()f x 取得最大值的x 的集合．27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444x x x f x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 19.34 20. 10 21.3 22.257- 24.解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()21sin 26x =-+因为函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为()2max 11610z =--+=最小值为()2min 1166z =-+=故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变成复合函数，看重复合函数两头变量的范围是关键；25.解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，是以π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 26. 解：()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ27. 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以函数 ()fx 在区间[,]122ππ-上的值域为[ 28.解：（Ⅰ）()f x sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==．当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．函数()g x是偶函数．经常使用三角恒等变换技巧1 “角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现成绩中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后应用响应的公式求解.例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 【分析】考虑到“已知角”是4π+x ，而“未知角”是x 和x 2，留意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，可直接应用相干公式求出x sin 和x cos . 【简解】因为ππ4743<<x ，所以πππ24<+<x ，又因为0534cos >=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ，从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先计算出102cos -=x ，则在计算x sin 时，要留意符号的拔取；（2）本题的另一种天然的思路是，从已知出发，用和角公式睁开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2422ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，应用引诱公式和倍角公式求出x 2sin .例2 已知)tan()tan(βαλβα-=+，其中1≠λ，求证：112sin 2sin -+=λλβα【分析】所给条件中出现的“已知角”是βα+与βα-，涉及的“未知角”是α2与β2，将三个角比较分析发现)()(2βαβαα-++=，)()(2βαβαβ--+=，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相干公式求解. 【简证】()()[]()()[]βαβαβαβαβα--+-++=sin sin 2sin 2sin )sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-+--+-++-+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++=11)tan()tan()tan()tan(-+=----+-=λλβαβαλβαβαλ 【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧之外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出αtan 与βtan 的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称分歧，二是角分歧，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是无效进行角变换的前提.经常使用的角变换关系还有：()ββαα-+=，()ββαα+-=，()ββαβα-+=+22，()ββαβα+-=-22，)4(24αππαπ--=+，︒+︒=︒304575等.2 “名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，须要进行名变换的成绩经常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最罕见的做法是“切弦互化”，但实际上，引诱公式、倍角公式和全能置换公式，平方关系也能进行名变换.例 3 已知向量)1,tan 1(x a -=，)0,2cos 2sin 1(x x b ++=，求b a x f ⋅=)(的定义域和值域；【分析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，是以既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明.【简解】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=()1cos 2cos sin 21cos sin 12-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-=x 2cos 2=由0cos ≠x 得，Z k k x ∈+≠,2ππ，22cos 2-≠x所以，x x f 2cos 2)(=.的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ，值域是(]2,2-. 【反思】本题也能够利用全能置换公式进步前辈行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知βα,都是锐角，且ααααβcos sin cos sin tan +-=，求ααβcos sin sin -的值.【分析】已知条件中，等式的右侧是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】明显0cos ≠α时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-=4tan 4tan tan 14tantan 1cos sin 1cos sin tan παπαπαααααβ，因为βα,都是锐角，所以4παβ-=，所以，224sin 2sin cos sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-παβααβ. 【简解2】由ααααββcos sin cos sin cos sin +-=得，ααβααβcos sin cos cos sin sin +=-，设A =+=-ααβααβcos sin cos cos sin sin ，则()()[]22222cos sin cos sin cos sin ααααββ++-=+A ，所以，122=A ，22=A ，即22cos sin sin =-ααβ. 【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是全体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将成绩中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完美式子结构，应用相干公式求解，如x x 22cos sin 1+=，︒=45tan 1，3tan3π=等.例5（1）求证: 23cos sin 1cos sin 14466=----x x x x ；（2）化简：x x 2cos 32sin +. 【分析】第（1）小题应用()322cos sin 1x x +=和()222cos sin 1x x +=把分子、分母都酿成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的()ϕω+=x A y sin 的方式，有益于零碎研讨函数的图象与性质.【简解】（1）右边=xx x x xx x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+23cos sin 2)cos (sin cos sin 3222222=+=x x x x x x . （2）原式=x x 2cos 3tan2sin π+x x 2cos 3cos 3sin2sin ⋅+=ππ3cos3sin2cos 3cos2sin πππx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx【反思】“1”的变换利用是很多的，如全能置换公式的推导，实际上是利用了x x 22cos sin 1+=把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了︒=45tan 1，把分式酿成了整式.4 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，应用代数运算方法求解，或统一成角，应用三角变换求解.例6在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C ，（1）求角A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，证实ABC ∆是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解. 【简解】（1）（角化边）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得， c b c b c b a )2()2(22+++=，清算得，bc c b a ++=222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A ，因为π<<A 0，所以32π=A .（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=即C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+=，从而41sin sin =C B ，又sin sin 1B C +=，所以21sin sin ==C B . 所以C B =，ABC ∆是等腰三角形. 法二：由（1）知3π=+C B ，B C -=3π，代入sin sin 1B C +=得，1sin 21cos 23sin =-+B B B ，所以13sin =⎪⎭⎫⎝⎛+B π，23ππ=+B ，所以6π=B ，6π=C ，ABC ∆是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不容易把条件sin sin 1B C +=化为边的关系，而把条件2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.5 “升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，经常使用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，经常使用“降幂”技巧，罕见的公式有：22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±x x x ，2cos 2cos 12x x =+，2sin 2cos 12x x =-，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例7 化简：6sin 16sin 1-++ 【分析】含有根号，需“升幂”去根号. 【简解】原式=+++3cos 3sin 23cos 3sin 223cos 3sin 23cos 3sin 22-+=3cos 3sin 3cos 3sin -++因为ππ<<343，所以043sin 23cos 3sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+π，03cos 3sin >-，所以，原式3cos 2)3cos 3(sin )3cos 2(sin -=-++-=.例8 求函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的最大值与最小值．【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角分歧..【简解】π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．【反思】以上两例标明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步调，只要无效地整合各种技巧与方法才干顺利地解题.如例7顶用到了常数“变换技巧”，例8顶用到了“辅助角”变换技巧.6 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如αααcos 22sin sin =，αααsin 22sin cos =，()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例9 求值：（1）︒︒︒︒80cos 60cos 40cos 20cos ；（2）︒︒-︒-︒10tan 70tan 310tan 70tan .【分析】第（1）小题中，除︒60是特殊角外，其他角成倍角，因而考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为︒60，而3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关. 【简解】（1）原式＝16120sin 16160sin 80sin 2160sin 60cos 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒=︒︒︒︒︒︒︒.（2）原式＝︒︒-︒︒+︒-︒10tan 70tan 3)10tan 70tan 1)(1070tan(＝3. 【反思】第（1）小题的普通性结论是：()*1sin 22sin 2cos 2cos cos N n n n n ∈=-ααααα .例10 求证：[]n xnxnx x n x x x x -=-+++tan tan tan )1(tan 3tan 2tan 2tan tan . 【分析】右边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可测验考试.【简证】因为()[]xk kx xk kx x k kx x )1tan(tan 1)1tan(tan 1tan tan -+--=--=，n k ,,4,3,2 =所以1tan )1tan(tan tan )1tan(---=-xxk kx kx x k ，右边=x x x tan tan 2tan -x x x tan 2tan 3tan -+x x x tan 3tan 4tan -+n xxn nx ---++tan )1tan(tan =n xnx-tan tan 【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种罕见技巧.7 “辅助角变换”技巧通常把)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 叫做辅助角公式（也叫化一公式），其感化是把同角的正弦、余弦的代数和化为()ϕω+=x A y sin 的方式，来研讨其图象与性质. 特别是当1±=b a ，3±，33±时，要熟记其变换式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4(sin 2cos sin πx x x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-6(sin 2cos sin 3πx x x 等.例11 求函数xxy cos 3sin 1++=的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式酿成整式，就出现了x b x a cos sin +，然后利用三角函数的有界性建立关于y 的不等式.【简解】由xxy cos 3sin 1++=得x x y y sin 1cos 3+=+，所以13cos sin -=-y x y x ，从而13)sin(12-=++y x y ϕ，其中辅助角ϕ由21sin yy +-=ϕ，211cos y+=ϕ决定.所以，由()1113sin 2≤+-=+y y x ϕ解得430≤≤y . 【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把成绩转化为直线斜率成绩，也有效全能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的构成，也能够看成是“常数变换”的结果. 事实上，x b x a cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛+x a b x a cos sin ，可设ϕtan =ab，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”.. 8 “换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现x x cos sin +（或x x cos sin -）与x x cos sin ，这时候，可设xx t cos sin +=（或xx t cos sin -=），则21cos sin 2-=t x x （或21cos sin 2t x x -=），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.例12 求函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++⋅=2,0cos sin 1cos sin πx x x x x y 的值域．【分析】同时出现x x cos sin +与x x cos sin 时，可用()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+. 【简解】设t x x =+cos sin ，因为20π≤≤x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4(sin 2πx t ，所以]2,1(∈t ，又由()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+得，21cos sin 2-=t x x ，所以，21121cos sin 1cos sin 2-=+-=++⋅=t t t x x x x y ，由]2,1(∈t 得，2120-≤<y . 【反思】（1）本题若不换元，则须要用到“添、凑、配”技巧，而如何进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，必定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+利用广泛，如在解答命题“已知θsin ，θcos 是方程012=++-k kx x 的两根，求k 的值．”时，关键步调是在应用韦达定理后，利用变式消元后求解. 例13 求证：zxxz yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111. 【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切类似，而所证等式与三角形中的结论C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++类似，从而测验考试换元，利用三角常识证代数成绩.【简解】设z y x ===γβαtan ,tan ,tan ，因为()()γαγββα-=-+-，所以()()[]()γαγββα-=-+-tan tan ，()()()()()γαγββαγββα-=----+-tan tan tan 1tan tan ，变形清算得()()()=-+-+-αγγββαtan tan tan ()()()αγγββα---tan tan tan所以，αγαγγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-++-++-αγαγγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-⋅+-⋅+-=即，zxxz yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111 【反思】本题解法也体现了类比思维的感化，若用惯例方法处理，则运算十分繁琐. 9 “全能置换”技巧“全能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值暗示原角的正弦、余弦与正切. 例14 讨论函数212xxy +=的最大值与最小值. 【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与全能置换公式2tan 12tan2sin 2xxx +=不异，因而成绩得到转化. 【简解】设()ππ<<-=t t x 2tan ，则212xx y +=t t tsin 2tan 12tan22=+=，当且仅当2π=t 也就是14tan ==πx 时，1max =y ，当且仅当2π-=t 也就是14tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 时，1min -=y . 【反思】（1）当成绩条件中出现单角的正切与倍角三角函数成绩时，可考虑使用全能置换公式；（2）应用全能置换技巧既可以把代数成绩转化成三角函数成绩，也能够把三角成绩转化为代数成绩，如例11中，可设2tan x t =，则42tan 212tan 22tan cos 3sin 122+++=++=x x x x x y ，即421222+++=t t t y ，然后可用判别式法求解.。

2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)

2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编（下）1. （2014山东理12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，ABC △的面积为______．【解析】 162. （2014山东理16）已知向量(cos2)a m x =，，(sin 2)b x n =，，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(2)3π-，．⑴求m n ，的值；⑵将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =的图象上各最高点到点(03)，的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间．【解析】 ⑴ 已知()sin 2cos2f x a b m x n x =⋅=+，()f x 的图象过点π2π2123⎛⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭，，，πππ()sin cos 1266f m n ∴=+2π4π4π()sin cos 2333f m n =+=-12122m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⑵π()cos22sin(2)6f x x x x +=+，π()(+)=2sin(22)6g x f x x ϕϕ=++设()g x 的对称轴为0x x =，11d =+，解得00x =(0)2g ∴=，解得π6ϕ=πππ()2sin(2)2sin(2)2cos2362g x x x x ∴=++=+=π2π22π,k x k k ∴-+∈Z ≤≤ πππ,2k x k k -+∈Z ≤≤ ()f x ∴的单调增区间πππ,2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，3. （2014）函数22cos y x x =+的最小正周期为．【解析】 π4. （2014山东文17）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π3,cos ,2a A B A ==+． ⑴求b 的值；⑵求ABC △的面积．【解析】 ⑴ 由题意知：sin A =πsin sin()cos 2B A A =+=由正弦定理得：sin sin a b A B =，sin sin a Bb A∴==；⑵ 由余弦定理得2222cos 902b c a A c bc +-==⇒-+=，12c c ∴=又因为π2B A =+为钝角，所以b c >，c =所以1sin 2ABC S bc A ==△．5. （2014陕西理2）函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 B2ω=∴Q ，最小正周期2ππR ω==．故选B ．6. （2014陕西理13）设π02θ<<，向量a ()sin 2cos θθ=，， b ()cos 1θ=，，若a b ∥，则tan θ＝_________．【解析】 12∵2sin 21cos θθ∴⨯-=0∥，，a b ∴22sin cos cos θθθ-=0，∵π02θ<<，∴cos θ>0∴2sin =cos θθ，∴1tan 2θ=．7. （2014陕西理16）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．⑴若a ，b ，c 成等差数列，证明：()sin sin 2sin A C A C +=+．⑵若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】 ⑴ a b c Q ，，成等差数列，2a c b ∴+=．由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=，sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+Qsin sin 2sin()A C A C ∴+=+．⑵ a b c Q ，，成等比数列，2b ac ∴=．由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥．当且仅当a c =时等号成立．cos B ∴的最小值为12． 8. （2014陕西文2）函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 B9. （2014陕西文13）设π02θ<<，向量(sin 2cos (1cos 0a b a b θθθ=)=-⋅=，，，)，r r r r ，则tan θ=____________．【解析】 1210. （2014陕西文16）ABC △ 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， ⑴成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+；⑵若a b c ，，成等比数列，且2c a =，求cos B 的值．【解析】 ⑴ 证明：∵,,a b c 成等差数列，∴2a c b +=．由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=.∵()()sin sin πsin B A C A C =-+=+⎡⎤⎣⎦，∴()sin sin 2sin A C A C +=+． ⑵ 由题设有2b ac =,2c a =,∴b =，由余弦定理得2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===. 11. （2014上海理21）如图，某公司要在,A B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 是顶点，AC 长35米，CB 长80米，设点,A B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β。

2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数图象

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π. 2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝ ⎛⎭⎪⎫150，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、 ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、 ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6(x∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx (x∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6再用3p 代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)D即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==.（1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-，(1,0)c =-（1）若,,6x a c π=求向量的夹角; （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31(,)2a = cos ,||||a ca c a c <>=3=0,a c π≤<>≤ 5,6a c π∴<>的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数ba x f•=)(.将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()yg x 的图象.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ba ⊥,求()yg x 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值；（2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ，得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =，()1,sin 2b x =，函数()1f x a b =⋅-，()21g x b =-.（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；（2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+；（2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。

2014版3-2-1高考之数学(理)专题4.2 三角恒等变换解析版含解析

【三年高考全收录】1。

【2014全国2高考理第14题】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________。

2.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ )（A ）32παβ-=（B)32παβ+= （C ）22παβ-= (D ）22παβ+=3。

【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 ( ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ．【解析】sin 35sin 33,cos55sin 35,tan 35sin 35,,cos35a b c c a b ︒=︒=︒=︒=︒=>︒∴>>︒故选C ．4。

【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数,则a 的取值范围是。

5.【2014高考广东理第16题】已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

(1）求A 的值；（2)若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.6。

【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.(1)求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温?7.【2014高考江苏第15题】已知5sin 25παπα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，. （1)求sin()4πα+的值；(2）求5cos(2)6πα-的值。

2014数学高考题型历炼(Word解析版)：2-2 三角恒等变换、解三角形及其应用

1．(交汇新)已知函数f(x)＝sin 6x的部分图象如图所示，若在矩形OACD内随机取一点，则该点落在图中阴影部分的概率是________．2．(角度新)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？[历炼]1．解析：∵ f(x)＝sin 6x 的周期为π3，∴图中阴影部分的面积矩形OACD 的面积为π6，故该点落在图中阴影部分的概率是2π.答案：2π2.解析：(1)H AD ＝tan β⇒AD ＝H tan β，同理AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD －AB ＝BD ，故得H tan β－H tan α＝h tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m )．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m .(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d ，tan β＝H AD ＝h DB ＝H －h d ，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝H d －H －h d 1＋H d ·H －h d＝hd d 2＋H (H －h )＝h d ＋H (H －h )d，又d ＋H (H －h )d≥2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )＝125×121＝555时，取等号，故当d ＝555时，tan (α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，由y ＝tan x 的单调性可知：当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m .。