优选法简介
优选法的五种方法
优选法的五种方法
优选法是数学原理指导下的一种科学方法，用于合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案。
以下列举了五种优选法的具体方法：
1. 单因素优选法：如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。
这个方法又细分为平分法、法（黄金分割法）、分数法、分批试验法等。
2. 多因素优选法：当涉及两个或更多因素时，可以采用降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。
3. 微分法：用于求解目标函数有明显的表达式的问题。
4. 变分法：一种用于求解泛函的极值的方法。
5. 极大值原理或动态规划等分析方法：适用于目标函数有明显的表达式的情况。
请注意，以上信息仅供参考，如需获取更多信息，建议查阅优选法的相关书籍或咨询该领域专业人士。
五章 优选法
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
9
10
二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
华罗庚的优选法简介
华罗庚优选法是一种利用数学方法来优选实验条件的科学方法。
它的基本思想是通过不断改变问题的初始条件，逐步逼近最优解，从而达到快速、准确地解决问题的目的。
华罗庚优选法的主要特点是“以退为进，以劣代优”。
具体来说，它采用“逐步逼近”的方式，先从初始条件开始，通过不断调整初始条件，逐步逼近最优解。
在逼近过程中，它并不要求每次调整都是向好的方向发展，有时需要故意调整到一个较差的初始条件，以便更快地找到最优解。
华罗庚优选法在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在工业生产和实验室研究中，可以利用华罗庚优选法来优化实验条件，提高生产效率和实验结果的质量；在金融投资领域，可以利用华罗庚优选法来优化投资组合，提高投资收益和风险控制的效果。
华罗庚优选法的优点在于它能够快速、准确地找到最优解，而且不需要太多的数学知识和经验。
缺点在于它需要不断地进行实验和调整，因此需要耗费较多的时间和资源。
此外，在实际应用中，还需要考虑具体问题的复杂性和多样性，以及实验条件的变化对结果的影响等因素。
优选法介绍
Q：单因素法取得
c
a
b
16
5. 翻筋斗法
A
B
C
E
D F′ F G′ G
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优选法在因素主次判断中的应用：
在因素的试验范围内做两个试验 （可选0.618和0.382两点） 如果这两点的效果差别显著，则为主要因素 如果这两点效果差别不大
在（0.382～0.618）、（0～0.382）和（0.618～1）三 段的中点分别再做一次试验
2 旋升法 （从“好点”出发法）
优选范围： a＜x＜b， c＜y＜d 优选方法：
d P2 P1 P2 P3
c
a
ab 2
b
ab 2
b
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3 平行线法
两个因素：一个易调整，另一个不易调整时
优选范围： a＜x＜b，
c＜ y＜ d
优选方法： （设：x易调整，y不易调整）
d R P 0.618 0.382
90
A
80 90
B
70
A
80
60
50 30
B
70 30 40 50 60 70 40 50 60 70
先将煤油用量固定在50g/t，用0.618法找出A点较好，在上下对 折，将煤泥浓度固定在70%，用0.618法优选找出B点较好。比 较A和B结果，如果A点比B点要好，则丢掉下半部分。在剩下 范围再上下对折，进一步优选。 14
如果仍然差别不大，则此因素为非主要因素
可将该因素固定在0.382～0.618间的任一点
当对某因素做了五点以上试验后，如果各点效果差别不明 显，则该因素为次要因素
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6
优选法的原理范文
优选法的原理范文优选法（Principle of Optimality）是一个数学原理，常用于动态规划中解决最优化问题。
它的基本思想是，如果一个问题的最优解可以分解为若干个子问题的最优解，那么这些子问题的最优解可以用来构造整个问题的最优解。
优选法的核心就是通过递归地求解子问题，并将其最优解保存下来，用于推导更大规模问题的最优解。
优选法主要用于具有无后效性的问题，即问题的最优解只与中间状态有关，而与过程的历史无关。
在这种情况下，我们可以通过构造一个递归式来描述问题的子问题和最优解之间的关系，并通过记忆化或动态规划的方式来求解。
下面以一个经典的优选法问题，背包问题来说明优选法的原理。
背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，以使得背包能够装载的物品总价值最大，且背包的容量有限。
假设有n个物品，每个物品有一个价值和一个重量，背包的容量为W。
我们用f(n,W)表示前n个物品放入容量为W的背包中所能达到的最大价值。
根据优选法的原理，我们可以将问题分解为两个子问题：1.第n个物品不放入背包中：f(n,W)=f(n-1,W)2.第n个物品放入背包中：f(n,W)=f(n-1,W-w[n])+v[n]其中，w[n]和v[n]分别表示第n个物品的重量和价值。
对于第一个子问题，我们可以看出它与前n-1个物品放入容量为W的背包中所能达到的最大价值是完全一样的。
对于第二个子问题，我们需要在放入第n个物品时，需要腾出对应的重量，所以需要将背包的容量减去w[n]。
现在，我们来分析一下上述递归式的含义。
当我们求解f(n,W)时，实际上就是将问题分解为f(n-1,W)和f(n-1,W-w[n])+v[n]这两个子问题，然后再从这两个子问题中选择一个最优解。
如果我们能够求解出子问题f(n-1,W)和f(n-1,W-w[n])，那么最优解就是从这两个子问题中选取一个较大值。
可以看出，背包问题具有重叠子问题的特点，即子问题之间存在重复计算的情况。
华罗庚的优选法
华罗庚的优选法华罗庚是中国数学界的一位杰出人物，在他的数学研究领域中，尤其以代数几何和数论最为著名。
华罗庚的优选法是他在数论研究中所提出的一种求解数值问题的重要方法，该方法可以对数学模型进行优化，对于解决实际问题具有很大的意义。
一、优选法的概念和发展历程华罗庚的优选法可以追溯到20世纪40年代初，当时华罗庚在解决一些数值问题时，发现优化方法对于求解问题非常有效，因此他开始系统研究这个问题。
20世纪50年代初，华罗庚发表了一篇研究文献，详细介绍了优选法的概念和方法。
此后，该方法得到广泛应用和发展，并逐渐成为数学和工程领域中求解实际问题的一种重要工具。
优选法是一种以数学模型为基础的优化方法，它的原理是通过对数学模型的求解，确定最优解，从而对实际问题进行优化。
优选法的基本思想是建立一个数学模型，通过对模型进行求解，找到使得目标函数最大或最小的参数值，从而优化问题。
这个方法被广泛应用于不同领域的实际问题中，可以帮助人们更好地理解和分析各种现实问题。
二、优选法的应用领域华罗庚的优选法被广泛应用于数学、物理、生物学、化学、工程、经济学等众多领域。
例如，在经济学中，优选法可以用于确定运输成本、最佳定价策略、最佳的资本配置等问题；在气象学中，优选法可以帮助科学家更准确地预测气候变化和天气预报；在工程学中，优选法可以被用于优化生产工艺和设计理论，提高生产效率和质量。
三、优选法的特点和优势相对于其他优化方法，华罗庚的优选法有许多优点。
首先，优选法具有较高的灵活性。
它不受特定条件的限制，适用于各种不同的数学模型。
其次，从求解的角度来看，优选法可以很好地针对非线性和约束条件问题进行优化。
其次，优选法是多任务优化的一种有效解决方案。
最后，在优选法技术实现上，自适应算法是一项最新技术，这种技术可以提高优选法的效率和准确性。
四、优选法的发展趋势如今，随着计算机技术和数据科学的进步，优选法的应用范围和效力不断得到提升。
同时，数学、物理和工程科学等领域对数值优化的需求也在不断增加。
优选法文档
优选法什么是优选法？优选法是一种决策方法，旨在从多个选项中选择出最佳的方案或解决方案。
它是一种基于评估标准比较和权衡的分析方法，使决策者能够做出理性和明智的决策。
优选法广泛应用于各个领域，包括商业决策、项目管理、资源分配等。
为什么需要优选法？在面临多个选项的决策时，人们常常会感到困惑和不确定。
选择一个合适的方案需要考虑多个因素，如成本、效益、可行性等。
优选法可以提供一个系统化的方法，帮助人们比较不同选项之间的优劣，从而做出最佳的决策。
优选法的步骤优选法通常包括以下步骤：1.确定决策目标：首先需要明确决策的目标，即希望通过这个决策达到什么样的效果。
明确的目标可以帮助决策者更好地评估选项之间的差异和优劣。
2.制定评估标准：对于每个决策目标，需要确定相应的评估标准。
评估标准应该是可以量化或可操作的，以便能够进行比较和权衡。
3.收集数据：收集和整理与评估标准相关的数据。
数据可以来自各种来源，包括统计数据、实地调研、专家意见等。
4.评估选项：应用评估标准对各个选项进行评估和打分。
可以使用各种方法，如加权得分、成本效益分析等。
5.权衡和比较：根据评估结果对选项进行权衡和比较。
决策者可以根据自己的需求和偏好，确定最终的优选方案。
6.实施和监控：一旦确定了最佳方案，就需要实施并监控其执行情况。
如果情况有变化，可能需要重新评估和调整。
优选法的应用举例以下是一些优选法在实际中的应用举例：商业决策在商业决策中，优选法可以帮助企业选择最适合的市场营销策略、产品定价、供应链管理等。
通过对不同选项的评估和比较，企业可以更好地理解市场需求和竞争环境，并选择最有利可图的方案。
项目管理在项目管理中，优选法可以用于选择项目的开发方法、资源分配、时间规划等。
通过对各个选项的评估和比较，项目经理可以确定最佳的项目方案，以最大限度地满足项目目标并控制成本和时间。
人力资源管理在人力资源管理中，优选法可以帮助企业招聘、晋升、培训等方面的决策。
优选法
处）作为第 1 试点，再找出 x1的
对称点 x2 作为第 2 试点。
这两点的材料加入量是 x1 1000 0.618 (2000 1000 ) 1618 ，
x2 1000 2000 x1 1382 ； 比较两次实验结果，如果第 2 试点比第一试点好，则沿 1618 处将纸条剪断，
去掉 1618 以上部分；再找出 x2 关于 1000 ,1618 中点的对称点 x3 作为第 3 试点，
1 2
v2
g cos2
x2
，
其中 v
v
，
g
为重力加速度。另
y
0 ，得
x1
0,
x2
v2 g
sin 2
。因此，炮
弹的射程为 v2 sin 2 。 g
从上述讨论可以发现，在一定的发射速 度下，炮弹的射程是发射角的函数，当发
射程 x
射角
0,
4
时，射程随发射角的增加而
增加；当发射角为 时，射程最大，当发 O 4
射角
4
,
2
，射程随发射角的增加而
发射角 θ
4
2
减小。 许多优选问题都有如上所述的情形，就是说，我们常常仅知道在实验范围内
有一个最佳点，但实验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或者再小些时，实 验效果都差，而且取值离最佳点越远实验效果越差，通常称这样的实验具有单峰 性。
用数学的语言说，就死如果函数 f x 在区间 a,b上只有唯一的最大值点（或
最小值点）C ，而在最大值点（或最小值点）C 的左侧，函数单调增加（减少）；
在 C 的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间 a,b上啊的单峰函数。
同时我们还规定，区间 a,b上的单点函数也是单峰函数。
华罗庚的优选法
大学数学文化作业姓名：王晨学院：政法学院学号：12015240623优选法的介绍优选法以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案的科学方法。
即最优化方法。
优选法在数学上就是寻找函数极值的较快较精确的计算方法。
1953年美国数学家J.基弗提出单因素优选法枣分数法和0.618法（又称黄金分割法），后来又提出抛物线法。
至于双因素和多因素优选法，则涉及问题较复杂，方法和思路也较多，常用的有降维法、瞎子爬山法、陡度法、混合法、随机试验法和试验设计法等。
优选法的应用范围相当广泛，中国数学家华罗庚在生产企业中推广应用取得了成效。
企业在新产品、新工艺研究，仪表、设备调试等方面采用优选法，能以较少的实验次数迅速找到较优方案，在不增加设备、物资、人力和原材料的条件下，缩短工期、提高产量和质量，降低成本等。
优选法,是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法。
例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。
把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。
也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。
最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。
实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。
如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。
所谓优选法选法，是华罗庚运用黄金分割法发明的一种可以尽可能减少做试验次数、尽快地找到最优方案的方法。
哲学方法论系列文库：优选法(多因素)
哲学方法论系列文库——
优选法(多因素)
哲学是人类文化结晶，
方法论在哲学中占有重要地位。
本文提供
“优选法(多因素)”
的现代视点解读，以供大家了解。
优选法(多因素)指如果一个试验结果是由多个因素决定的，通过选择这些因素的不同条件寻找一个最好的试验结果的方法。
多因素的优选法有下列几个：(1)因素轮换法：这个方法是把多个因素中除了第一个外，其他都暂时固定，只对第一个因素进行优选。
这时可使用单因素优选法。
选出最优点后就把这第一个因素固定在优选出来的点上。
除第二个因素外，其他因素仍保持固定，对第二个因素进行优选，如此一步步轮换着因素进行优选，所有因素轮了一遍后的结果如果还不满意，还可以继续从头轮起；此法把因素的次序排好了(按相对的重要性的次序来排，重要的在前面)，很可能做了二、三个因素后，优选结果已令人满意了。
(2)爬山法：盲人想要爬上山顶，就用明杖在前、后、左、右作试探，那里高就往那里走，如果没有较高的地方就退回来，换一个方向再走，这样一步一步走向最高点。
爬山法就是用这个思想，从某一点开始，先试一个方向走一步，假如结果比原来好，就沿此方向再走一
步。
如果比原来差，就回去，改一个方向再走一步。
如果几个方向都走不出去，这个点也许已经能符合要求了，那就停止试验，否则还可以按上述步骤重新试验，只是把步长缩小一半再试验，直到找到满意点为止。
这个方法应用好坏与起点和步长的选择有关，必须根据实际情况来决定。
(3)调优法这个方法开始从一些选定的构成一定规则形状的基本试验点开始，然后根据试验结果，用对称道理决定新的试验点，一步一步调向更优的地方，通常用的规则形状有矩形、单纯形等。
优选法
7 130.3 0 15 130 0
8 130.5 0 16 130 0
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次）
试验号 项目
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次） 试验 结果 结论
阀门卡涩次数为0，蒸汽流通量平均值为130.2t/h 从跟踪结果可知，试验结果有效，能够满足下道工序生产用汽需求， 接着小组用控制图对蒸汽流量进行控制，从而解决了供汽量达不到额 定值及阀门卡涩的问题。
15.04%~ 15.04%~ 15.04%~ 15.07% 15.06% 15.06% 15.06% 15.05% 15.05% 跟踪结果证明，粗粉分离器挡板开度55%的试 验结果符合工艺要求。
该QC小组运用对分法，仅用两次选值就找到了粗粉分离 器挡板的最佳取值点，快速有效地解决了煤粉细度不符合工艺 参数据的问题。
x2 ＝（大－中）＋小
＝（2000－1618）＋1000 ＝ 1382
1000
x2 坏
1382
x4
1528
x1好
1618
x3 坏
1764
2000
x3 = （大－中）＋小
x4 ＝（大－中）＋小
＝1764
＝（2000－1618）＋1382
＝（1764－1618）＋1382 ＝1528
x4
优于
x1
，最佳点为
优选法
一、概念 1、什么是优选法？ 是一种利用数学原理，合理安排试 验点，以求方便而迅速地找到问题最优 解的一种科学方法。 2、优选法的原理 数学证明：在〔a，b〕间目标函 数为单峰的条件下，通过n次试验，可 选出n次试验中的最优试验点。
一、概念 3、优选法的用途 ⑴现场质量改进中单因素分析、试验及 选择； ⑵ QC小组活动中要因确认、对策选择、 实施； ⑶ QC小组创新成果活动课题的方案选 择和实施步骤等。
华罗庚优选法
华罗庚优选法简介华罗庚优选法是一种用于解决排列组合问题的算法。
它由中国数学家华罗庚在20世纪40年代提出，并被广泛应用于组合优化、数论等领域。
华罗庚优选法通过穷举的方式找到最优解，其特点是简单易懂、计算效率高。
算法原理华罗庚优选法的基本原理是通过枚举的方式遍历所有可能的解，并计算每个解的目标函数值。
然后根据目标函数值的大小进行比较，找到最优的解。
当问题规模较小时，可以通过暴力搜索的方式实现，但当问题规模较大时，可以借助优化策略来减少搜索空间，提高算法效率。
具体的算法步骤如下：1.确定问题的模型和目标函数。
2.列出所有可能的解。
3.计算每个解的目标函数值。
4.比较目标函数值，找到最优解。
示例应用下面以一个简单的排列组合问题为例来说明华罗庚优选法的应用。
问题描述：给定一个由1、2、3、4、5组成的数字序列，要求选出一个长度为3的子序列，使得其和尽可能地大。
解决方案如下：1.列出所有可能的子序列：[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5],[1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]。
2.计算每个子序列的和：6, 7, 8, 8, 9, 10, 9, 10, 11, 12。
3.比较结果并选出最大的子序列：[3, 4, 5]。
通过华罗庚优选法，我们找到了最大的子序列[3, 4, 5]，其和为12。
优缺点分析华罗庚优选法的优点主要体现在以下几个方面：•算法思路简单直观，易于理解和实现。
•对于较小的问题规模，可以通过暴力搜索方式得到最优解。
•可以应用于各种排列组合问题，并根据具体问题的特点进行优化。
然而，华罗庚优选法也存在一些局限性：•随着问题规模的增大，搜索空间呈指数级增长，计算时间会急剧增加。
•对于复杂问题，很难找到有效的优化策略。
•无法保证求得的是全局最优解，只能得到近似最优解。
科学合理的优选法0618法
科学合理的优选法0618法优选法（0618法）是一种科学合理的决策方法，旨在通过严谨的评估和比较，选择出最佳的解决方案。
本文将详细介绍优选法的基本原理、步骤和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、优选法的基本原理优选法是基于决策理论和数学模型的方法，通过对不同方案进行评估和比较，以确定最佳选择。
其基本原理可以归纳为以下几点：1. 多因素决策：优选法考虑多种因素对决策结果的影响，综合权衡得出最优解。
这些因素可以是定量的，如成本、效益等，也可以是定性的，如风险、可行性等。
2. 权重分配：为了综合各因素的重要性，需要给予不同因素适当的权重。
这些权重可以通过专家咨询、调查问卷等方式获取，也可以通过数据分析和模型计算得出。
3. 量化评估：为了进行比较和评估，需要将各因素转化为可比较的数值。
这可以通过设定评分标准、构建模型等方式实现，以确保评估结果的客观性和可比性。
4. 决策选择：最终根据量化评估结果，选择得分最高的方案作为最佳选择。
这有时可能需要进行风险分析、敏感性分析等辅助决策方法，以进一步减少不确定性。
二、优选法的步骤优选法的具体步骤可以分为以下几个部分：1. 确定决策目标：明确决策的目标和要解决的问题是什么，例如降低成本、提高效率等。
2. 确定评价指标：根据决策目标，确定相关的评价指标和对应的权重。
评价指标应该具备客观性、可度量性和可比性。
3. 数据收集和处理：收集和整理相关的数据，对数据进行加工、筛选和处理，将其转化为可比较的量化指标。
4. 指标量化和打分：根据评价指标，设定一定的评分标准，对各个方案进行量化评估和打分。
5. 权重分配：根据决策目标和评价指标的重要性，确定各个指标的权重系数。
6. 综合评估和排序：根据指标的打分和权重，计算各个方案的综合得分，并排序。
7. 决策选择：选择得分最高的方案作为最佳选择，并根据需要进行风险分析、敏感性分析等辅助决策方法。
三、优选法的应用优选法可广泛应用于各个领域的决策问题。
优选法名词解释
优选法名词解释
优选法，也被称为最优选择法或最优选取法，是一种决策分析方法，用于在多个可选方案中选择最佳的解决方案。
优选法通常用于复杂的决策问题，其中有多个可选的方案或选项。
它的目的是通过对每个方案进行全面的评估和比较，找到最优的解决方案，以达到特定的目标或满足特定的需求。
在优选法中，首先需要明确决策的目标或者要解决的问题。
然后，对每个可选方案进行评估，评估的标准可以是各种指标，比如成本、效益、可行性、风险等。
评估可以基于定性或定量的数据。
评估结果将会被量化，以便进行比较。
在进行比较时，可以采用不同的方法。
一种常见的方法是加权评估，即给每个评估指标分配一个权重，根据其重要性进行加权，然后将加权评估结果进行加总，得出综合评估分数。
另一种方法是利用决策矩阵，将每个方案的评估结果以矩阵的形式展示，然后通过对矩阵进行分析和比较来选取最佳方案。
优选法的优点在于它能够提供一种系统化的方法来进行决策，避免主观偏见和随意性。
它能够将各种因素综合考虑，帮助决策者做出明智的选择。
然而，优选法也存在一些局限性，比如对评估指标的选择和权重分配可能存在主观性，评估结果可能受到数据不完整或不准确的影响。
总之，优选法是一种有效的决策分析方法，可以帮助决策者在多个可选方案中选择最佳的解决方案。
通过全面评估和比较，优选法能够提供一个系统化的决策过程，从而提高决策的质量和效果。
第五章 优选法PPT课件
黑箱法：循序试验法
3
§5－2 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大 的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素 问题
一般步骤：
（1）首先应估计包含最优点的试验范围，如 果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]。
（2）然后将试验结果和因素取值的关系写成 数学表达式，不能写出表达式时，就要确定评定 结果好坏的方法。
它们交错地或大于或小于黄金比ф的值。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在
哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，哪里
也就会出现斐波那契数，反之亦然。
16
§5－2 单因素优选法
三、分数法
分数法也是适合单峰函数的方法，该方 法要求预先知道试验总数。
为了方便起见，仅讨论目标函数为f(x)的情
况。
4
§5－2 单因素优选法
一、来回调试方法
在区间[a，b]内有一个单峰函数f(x)，我们有 如下的方法找到它的顶峰(并不需要函数f(x)的真 正表达式)。
先取一点x1做实验得y1=f(x1)，再取一点x2 做实验得y2=f(x2)，如果y2＞y1，则丢掉[a，x1]， (如果y1＜y2，则丢掉[x2，b])。在余下的部分中 取一点x3(这点x3也可能取在x1，x2之间)，做实 验得y3=f(x3)，如果y3＜y2，则丢[x3，b]，再在 余下的(x1，x3)中取一点x4，……不断做下去， 不管你怎样盲目地做，总可以找到f(x)的最大值。
差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，b） 划去
剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻找
好点。
9
§5－2 单因素优选法
对 于 第 一 种 情 形 ， x1 的 对 称 点 x3 ， 在 x3安 排 第 三 次 试 验 ， 用 对 称 公 式 计 算 有 ：
5第五章优选法
13
比例分割分批试验法
2020/1/28
试验设计与数据处理
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比例分割法
比例分割法是黄金分割法的推广
2020/1/28
试验设与数据处理
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逐步提高法（爬山法）
某些可变因素不允许大幅度的调整
具体方法为：先找一个起点，在a点做试验后向该因素的减少方向找 一点b，做试验。如果好，就继续减少；如果不好，就住增加的方向 找一点c做试验，如果c点好就继续增加，这样一步一步地提高。如 爬到某点e，再增加时反而坏了，则e就是该因素的最好点。这就是 单因素问题的爬山法。
起点选得好可以省好多次试验，所以对爬山法来说试验范围的正确 与否很重要。
每步间隔的大小，对试验效果关系也很大。
在实践中住住采取“两头小，中间大”的办法，先在各个方向上用 小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根 据具体情况跨大步，到快接近最好点时再改为小步。一般来说，越 接近最佳点的时候，试验指标随因素的变化越缓慢。
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试验设计与数据处理
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多峰情况
①先不管它是“单峰”还是“多峰”，就用上面介绍的 方法做下去，找到一个“峰”后，如果达到生产要求， 就先按它生产，以后再找其他更高的“峰”（即分区寻 找）。
②先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看它是否有 “多峰”现象。如果有，则在每个可能出现“高峰”的 范围内做试验，把这些“峰”找出来。这时，第一批试 验点最好依黄金分割划分。
建议做完了0.618法或分数法的试验后，用最后三个数据 按抛物线法求出x4并计算这个抛物线在点x=x4处的数值， 预先估计一下在点x4处的试验结果，然后将这个数值与己 经试得的最佳值作比较，以此作为是否在点x4处再做一次 试验的依据。
《试验设计与数据处理》第5章_优选法
• 受条件限制只能做几次试验的情况
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分数法的使用 1. 确定等分试验范围的份数：增加或缩减—与分母同 2. 根据第一批试验的结果，判断极值的存在区间，然
后继续用分数法安排第二批试验。
分数Fn/Fn+1
2/3 3/5 5/8 8/13 13/21 21/34 34/55
第一批 试验点位置
2/3，1/3 3/5，2/5 5/8，3/8 8/13，5/13 13/21，8/21 21/34，13/34 34/55，21/55
4
※ 试验范围的确定：
(1) 按要求 ：自热平衡温度的范围一般取25℃～100℃。 (2) 据经验： 液固比一般取2.5～7 (3) 基础知识：高岭土煅烧温度取500～900℃
※ 试验点数的确定： • 两点：确定一条直线，但过两点的曲线是无限的
• 三点：可画一圆，也可画一条抛物线
• 四点：可画一条圆锥曲线
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抛物线法具体做法举例： 假设某矿物有效成分的浸出率与浸出时间的关系如下图
浸出率 y / %
25
浸出率与反应时间的关系
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
反应时间 x / min
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1. 用对分法做试验： 试验点为x1、x2、x3，试验值为y1、y2、y3
浸出率 y / %
25
20
15
10
5
x 1
20
6.抛物线法由x1,x5,x2求x6
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浸出率 y / %
10
5
x 1
0
x 2
x =11.55 6
x =15.66 5
x =23.78 4
优选法基础知识
（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单 因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其 收率为41.6％
（2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温 度，得最优温度为67℃，其收率为51.5％
（3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间， 得最优时间为80分钟，其收率为56.9％
（4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选， 结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最 优条件为：
10
§2-9 单因素优选法
对于第一种情形，x1的对称点x
3，在x
安排第三次试
3
验，用对称公式计算有：
x3 x2 b x1
x2
x1 x3
b
对于后一种情形，第三个试验点x3应是好点x2的对称 点，也就是：
x3 a x1 x2
a
x3 x2
x1
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§2-10 单因素优选法
如果f(x1)与f(x2 )一样，则应该具体分析，看最优点可能 在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉(a,x1 ) 和(x2,b)，仅留中点的(x2 , x1)，把x2看成新a, x1看成新b，然 后在范围(x2 , x1)内重新安排试验 这个过程重复进行下去，知道找出满意的点，得出比较好 的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试 验差别不大时也可终止试验 另：公式(5-2),(5-2)'还可用折纸的办法得到
用此法
f(x)
f(x)
a
b
连续单调
a
b
间断单调
点安排试验，中点公式为：
中点＝ a＋b 2
根据试验结果，如下次试验在高处（取值大
些），就把此试验点（中点）以下的一半范
围划去；如下次试验在低处（取值小些），
华罗庚优选法出题高中
华罗庚优选法出题高中
【原创版】
目录
1.华罗庚及其优选法简介
2.华罗庚优选法在高中数学中的应用
3.华罗庚优选法在解决高中数学问题中的优势
4.如何将华罗庚优选法运用到高中数学学习中
正文
华罗庚，中国著名的数学家，在组合数学、数论等领域有着突出贡献。
他所创立的华罗庚优选法，是一种在有限次实验中找到最优解的数学方法，具有很高的实用价值。
如今，华罗庚优选法已经成为高中数学教材中的一部分，为广大高中生提供了一种解决数学问题的新思路。
华罗庚优选法在高中数学中的应用非常广泛，涉及到概率、统计、函数、方程等多个方面。
例如，在解决概率问题时，华罗庚优选法可以帮助我们快速找到事件发生的最优概率；在解决统计问题时，它可以帮助我们找到最佳的样本方案；在解决函数与方程问题时，它可以帮助我们找到最优的参数，使得函数或方程的解达到最优。
相较于传统的数学方法，华罗庚优选法在解决高中数学问题中具有明显优势。
首先，它能够在有限次实验中找到最优解，具有较高的效率。
其次，华罗庚优选法具有较强的适应性，可以应对各种复杂的问题。
最后，它能够将数学问题与实际问题相结合，有助于培养学生的实际问题解决能力。
那么，如何将华罗庚优选法运用到高中数学学习中呢？首先，学生需要了解华罗庚优选法的基本原理和方法，这可以通过阅读教材、参加课外培训等方式实现。
其次，学生需要多做练习，将华罗庚优选法运用到实际问题中，不断积累经验。
最后，学生需要学会灵活运用华罗庚优选法，结
合其他数学方法，提高问题解决能力。
总之，华罗庚优选法作为一种高效的数学方法，在高中数学中有着广泛的应用。
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优选法的简介摘要：从数学优选原理出发,分别介绍了单因数方法的黄金分割优选法、菲波那契数列优选法和对分法应用的合理性,减少了试验次数,提高了工作效率。
关键词：单因数多因数黄金分割法菲波那契数列对分法Abstract：From the mathematics optimizing principle，Introduced the single-factor method such as golden section method , Fibonacci method bisection method application of rationality.The times of experiments were reduced and efficiency was increased.Key words：Single Factor;Multi-factor; Golden section method ; Fibonacci method ; Bisection method ;优选法分为单因素方法和多因素方法两类。
单因素方法有对分法、0.618法(黄金分割法)、菲波那契数列（分数法）等；多因素方法很多．但在理论上都不完备．主要有降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。
如何选取合适的配方、配比,合理的操作条件及操作过程,达到优质高产低消耗的目的,需要对有关因素的最佳点进行选择,这类问题称为选优问题。
科学的方法是利用数学优选原理,合理安排试验点,减少试验的盲目性,节省人力和物力,而且可以迅速地得到有效的试验结果.下面主要介绍单因数方法的0.618法(黄金分法)、菲波那契数列（分数法）、对分法。
1、黄金分割优选法黄金分割优选法[1]是常用的一种优选法,也叫(0. 618) 法, 美国数学家基弗于1953 年提出的一种优选法,从1970 年开始在我国推广，在生产实践和科学试验中有着广泛的应用,这种方法以较少的实验次数,迅速找到最优方案,因而是一种较先进的常用的优选法。
从数学的角度讲,黄金分割优选法就是把任意一条长为L 的直线段分割成二部分,其中一部分的长X=0. 618L ,这种分割法叫黄金分割法。
推导：(1) 在进行试验之前,我们无法预先知道两次试验的效果那一次好、那一次坏,因而两个试验点(例如设为x1与x2 , x1 < x2 ) 作为差点的可能性是相同的. 于是,为了克服盲目性和侥幸心理,我们在安排试验点时,应该使两个试验点关于因素范围的中点对称.这是我们在试验过程中应遵循的一个原则———对称原则.(2) 比较了两次试验的效果之后,可以舍去一段区间,只留下存优范围. 为了尽快找到最优点,我们当然不希望舍去的那段太短. 但是也不能指望一次就能舍去很长. 例如设试验开始前整个因素范围为区间[ a , b ] ,如果让两个试验点x 1 与x 2 都尽量靠近(a + b)/2,这样一次可以舍去整个因素范围[ a , b ]的将近50 % ,但是按照对称原则做了第三次试验后就会发现,以后每次只能舍去很小的一部分了,结果反而不利于较快地逼近最优点. 此情况提示我们考虑第二个原则———最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例,我们不妨称此原则为“成比例地舍去”原则.按照上述两个原则,如下图所示,设第一次和第二次试验分别在x 1 点与x 2 点进行, x 1 < x 2 ,则在第一次比较效果的时候,不论x 1 点与x 2 点哪个点是好点,哪个点是差点,由对称性,舍去的区间长度都等于b -x 2。
不妨设x 1 是好点, x 2 是差点,舍去的是( x 2 , b ] . 再设第三次试验安排在x 3 点,则x 3 点应在[ a , x 2 ]中关于[ a , x 2 ]的中点与x 1 对称的位置上,同时x 3 点应在x 1 点左侧,否则x 3 点与x 1 点比较效果后被舍去的将与上次舍去的是同样的长度,而不是同样的比例,违背“成比例地舍去”原则. 由此可知, x 3 点与x 1 点比较效果后,不论哪个点是好点,哪个点是差点,被舍去的区间长度都等于x 2 - x 1 . 按照“成比例地舍去”原则,我们得到等式2212b x x x b a x a --=--,----------------------------------------------------------------------------- (8)(8) 式的左边是第一次舍去的比例数,右边是第二次舍去的比例数. 对(8) 式进行变形可得212x a x a b a x a --=--,----------------------------------------------------------------------------- (9)(9) 式的两边分别是两次舍弃后所剩下的区间占舍弃前全区间的比例数. 设每次舍弃后剩下的区间占舍弃前全区间的比例数为x ,即2x a x b a -=-,----------------------------------------------------------------------------------- (10) 则11x a x b a -=--. --------------------------------------------------------------------------------(11) 把(10) 式与(11) 式代入(9) 式可得方程1xx x -= 或x2 + x - 1 = 0 ,解之则得到符合问题要求的解x =,这正是黄金分割常数. 此结果表明,作为通用的方法,在不能使用对分法的情况下,黄金分割法是最好的[2].下面，我们举一个例子来说明。
某保健饮料开发公司在试验配制一种新型饮料时，需要加入某种化学成分K 。
根据已往的研究经验，估计每100 kg 饮料大约可加入K 的量在1000～2000 g 之间。
要研究出其口感、营养、颜色、气味俱佳的饮料，就需要作大量的试验。
如果以每10 g 作一次试验的语，就要作100次试验，显然这样就要耗费许多人力、物力、财力以及时间。
现在，该公司采用“优选法”，用一张有刻度的纸条表示1000～2000 g ，在纸条的l618处划一条线，1618这一点实际上就是这张纸的黄金分割位置即0．618倍；用算式表示为1000+(2000—1000)×0．618=1618取1618 g 化学成分K 加入 100 k 饮料中做一次试验。
然后把纸条对折起来，前一线（1618）落在1382处划线。
显然，这两条线对于纸条的中点是对称的。
数值1382可以计算出来，即1000+（2000—1618）= 1382这个算式可以写为：左端点+(右端点—前一点) = 后一点 再取1382 g 化学成分K 加入100 kg 饮料中，再做一次试验。
把两次试验的效果进行比较，如果认为1382 g 的浓度比较低，则在1 382处把纸条的左边一段剪掉，得图5．U(b)(反之，就在1 618处剪掉右边的一段)。
把剩下的纸条再对折一次，再划线，再做实验，并将实验结果与前面的实验效果比较，如此反复进行试验、比较，逐步接近最好的加入量，直到满意为止。
在使用“优选法”时，要根据以往的研究和经验来确定试验范围，这是非常重要的。
当然，有时候最优点可能在试验范围之外，这时可在做过几次试验后，再在剪掉的另一段做一次试验，若试验效果好就必须向该端扩大试验范围。
全国各行各业都将优选法运用于生产实践，从而产生了巨大的经济效益。
有研究表明，用这种“优选法”做16次试验相当于用“均分法” 2500多次试验所达到的精度。
实践证明，在选择合适的生产条件、进行新产品的试制、确保达到产品质量的情况下，“优选法”确实能让我们快速选择最佳方案。
2、斐波那契数列首先介绍斐波那契数列[3]. 13 世纪意大利数学家比萨的莱翁纳(Leonardo of Pisa ,约1175 —1250 ,绰号叫斐波那契,Fibonacci ,意思是波那契之子) 在其1202 年出版的著作《算盘之书》中记述了一个兔子数目问题:一个人在集市上买了一对小兔子. 一个月后这对小兔子长成一对大兔子,然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子. 每对小兔子也都是经过一个月就长成大兔子,长成大兔子后也是每过一个月就可以生一对小兔子. 那么,从此人由市场上买回那对小兔子算起,每个月后他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?如果我们把此人从市场上买回那对小兔子算起每个月后所拥有的兔子数写成两行,上面一行为小兔子的对数,下面一行为大兔子的对数,则为:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯这两行都有明显的规律:相邻三项中,第三项等于前两项之和.为了纪念兔子数目问题的创始人,人们就把数列1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 , 55 , ⋯称为斐波那契数列.在试验中,有时会碰到试验点只能取整数的情况。
如实验室配制溶液的量杯是锥形的,每格的高度不等,很难量出精密数值。
因此,在这种情况下,不便于使用0. 618 法,可以应用菲波那契数列法。
菲波那契数列法的基本原理和0. 618 法相同,是基于菲波那契数列1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,144 , ⋯,建立起来的,该数列的每1 位数是前2个数字之和,在计算机上易于生成。
菲波那契法是近似的0. 618 法,用12，2 3,58,813,1321,2134,3455, ⋯代替0. 618 ,这一串分数的规律是后一个分数的分子是前一个分数的分母,后一个分数的分母是前一个分数的分子与分母之和。
应用时,可根据具体情况选择上列分数中的某一个代替0. 618。
3、对分法对分法是指首先根据经验确定试验范围,假定物质A 中的组分B 在用量( a , b) 之间,第一次在( a , b) 的中点m1 处做试验,如果试验结果表明此时物质A 的各项性能指标均得到认可,则去掉大于m1 的一半,第二次试验在( a ,m1) 的中点m2 处进行;反之,如果第一次试验结果表明此时物质A 的某项性能指标不符合要求,则去掉小于m1 的一半,第二次试验在( m1 , b) 的中点处进行。
这样继续下去,直至找到所要求的点。
这个方法的要点是每个试验点都取在试验范围的中点,将试验范围分为两半。
下面，我们举一个例子来说明水乳剂组成较为复杂，除了有效成分及水外，通常还有助溶剂、乳化剂、分散剂、共乳化剂、防冻剂、增稠剂、消泡剂等多种助剂，每种助剂还可能用到多个品种[4]。