(大学物理)电势

3. 遵从叠加原理 ： U Ui （零势点相同）
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷
单独存在时在该点产生的电势的代数和。
▲五. 电势的计算（两种基本方法）
场强积分法（由定义求） 叠加法 注意：选取零势点的原则 1.使场中电势分布有确定值
一般:场源电荷有限分布:选 U 0 场源电荷无限分布:不选U 0（为什么？） 许多实际问题中选 U地球 0
二. 环路定理
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关
——
静电力是保守力
A LF dl Lq0E dl 0
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理：LE dl 0
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映 了静电场是保守力场。
凡保守力都有与其相关的势能，
x a
区域：
U
a
x
Exdx
0
a
Exdx
0
(
0
)a a 0
a x a 区域：
a o a
U
a 0
a o a a 0
x
U
0
Exdx
x
( 0
)(x )
x 0
x a 区域：
U
x
a
Exdx
x
0
Exdx
a
0
( 0
)( a
)
a 0
U — x 曲线如图
2. 叠加法
dl
〈1〉将带电体划分为典型电荷 dq dq dS
q0qdr
4 0r 2
q
r r'
q0 E
dl
dr
A
dA
L
rb q0qdr
ra 4 0r 2
q0q
4 0
(
1 ra
1 rb
)
rb
可见静电力做功只与检验 电荷起点，终点的位置有关，
b 与所通过的路径无关。
闭合路径： ra rb
A0
推广到任意点电荷系和连续带电体
在点电荷系q1 , q2, …qn 的电场中移动 q0，电场力作功：
〈2〉选零势点，写出 dq 在场点的电势 dU dV
〈3〉由叠加原理： U dU 或 U dU
〈4〉讨论和总结
Q dQ dU U dU
dq
r
[例四] 求均匀带电
R
圆环轴线上
oxPx
的电势分布
dq
解：在圆环上取点电荷dq ,
r R oxPx
令 U 0 dU dq
4 0r
U
电力所做的功。
b
电势差： Uab Ua Ub E dl
a
静电场中 a 、b 两点的电势差等于将单位正电荷
由 a 沿任意路径移至b 过程中静电力做的功。
注意：
零势点
Ua E dl
a
1. U 为空间标量函数
2. U 具有相对意义，其值与零势点选取有关，
但 U ab与零势点选取无关（绝对）。
q
4 0R
Rr
1 r
oRr
[例三]无限大均匀带电平面 场中电势分布.
电场分布
a o a
Baidu Nhomakorabea
x
Ex
0
0
( a x a ) ( x a , x a )
电荷无限分布，在有限远处选零势点.令Uo 0 ， 沿 x 轴方向积分。
x a
区域：
U
a
x
Exdx
0
a
Exdx
0
(
0
)a a 0
Wa q0 E dl
a
Wa : 静电场与场中电荷 q0 共同拥有.
Wa / q0 :
取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 q0无关.可用以描述静电场
自身的特性。
四. 电势
U a
Wa q0
零势点 E dl
a
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电
势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静
U外
P
E外dr
r
qr dr
4 0r 3
q1
4 0r r
U外
q
4 0r
1 r
U内
E
dr
R
E内
dr
E外
d r
P'
P'
R
R
qr dr
4 0r3
q
4 0R
恒量
均匀带电球面内电势与球面处电 势相等，
球面外电势与电量集中于球心的 点电荷情况相同。
q
o P
r
P
R
E
E
1 r2
o
U
dU
q 0
dq
4 0r
q
4 0( R2
x2
1
)2
可进一步由U电势分布求电qx场i强度分布
E x i 4 R2 x2 3 2 0
[例五]已知：RA, RB , qA, qB
求： U1, U 2 , U3
带电球面的电势分布：
球面内：U q 4 0R
RB
qB
qA
o RA 1
2 3
球面外：U q 4 0r
o
q
r
P
E
解：
E
qr
4 0 r
3
U
令 U 0
1 r
o
r
沿径向积分
U
P
E dl
r
qr dr
4 r3
0
qdr
r
4
r2
q
4
r
0
0
[例二] 均匀带电球面场中电势分布（q ，R ）
q
o
r
P
R
E
由高斯定理
E
0qr
4 0 r 3
(r R) (r R)
E
令 U 0 沿径向积分
o
1 r2
Rr
b
Aab q0 a E dl
b b
b
q0 a E1 dl q0 a E2 dl q0 a En dl
n i 1
q0qi
4 0
1 rai
1 rbi
n i 1
Ai
静电力做功也只与检验电荷起点，终点 的位置有关，与所通过的路径无关。
闭合路径： rai rbi A 0
静电场是有势场（无旋场）。
三. 电势能 W
由 A保 EP W
b
A静电力 q0 E dl (Wb Wa ) Wa Wb
a
令 Wb 0 定义 b 为零势点 零 势 点
得： Wa q0 E dl
a
q0 在场中某点的电势能等于将 q0 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
零势点
由叠加原理：r RA :
U1
qA
4 0RA
qB
4 0RB
RA r RB :
U2
qA
4 0r
qB
4 0RB
r RB :
U3
qA qB
4 0r
[例七]在与面电荷密度的无限大均匀带电平板相距a处
有一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点处的电势Up
q
o
aP 2
a
解一： 点电荷q在P处电势：
电势
§ 8.4 环路定理 电势
一. 静电力的功
ra
a
L
r
q0 E
q
r
dl
dr
rb
场源电荷： q
E
检验电荷： q0
r
dqr皆0A:为adlF点电Ldlr荷cbqo40sqr0rdd3llr
dl
dr
q0qrdr
4 0r 3 rdr
b
(
dr
dl ,
dr dl dr )
ra
a
L
dA
F dl
2.零势点要统一
1.场〈强1〉积确分定法（E由分定布义求）
〈2〉选零势点和积分路径
〈3〉由电势定义
零势点 零势点
Ua E dl E cos dl 计算 Ua
a
a
〈4〉讨论和总结
Q
E
U
E
dr
注意： ➢ 选取零势点：遵守上述原则。
➢ 若路径上各段 E 的表达式不同，应分段积分。
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布