2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章 第一节 函数及其表示 含解析

一、填空题

1．已知f (x )＝⎩⎨⎧

－cos (πx )，x >0，

f (x ＋1)＋1，x ≤0，

则f (43)＋f (－4

3)的值等于________． 解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (2

3)＋2 ＝52，f (43)＋f (－4

3)＝3. 答案：3

2．已知f (1－x 1＋x )＝1－x 2

1＋x 2

，则f (x )的解析式可取为________．

解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t )

21＋(1－t 1＋t )

2＝2t

1＋t 2

，从而

f (x )的解析式可取为2x

1＋x 2

. 答案：2x

1＋x 2

3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

|x －1|－2，|x |≤1，1

1＋x 2，|x |>1，

则f [f (1

2)]＝________. 解析：f [f (12)]＝f (－32)＝4

13. 答案：4

13

4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________． 解析：令x ＝－3，y ＝1， 则f (－2)＝f (1)＋f (－3)－6. 又∵f (1)＝2，∴f (－3)＝f (－2)＋4.

令x ＝－2，y ＝1，则f (－1)＝f (1)＋f (－2)－4，

∴f (－2)＝f (－1)＋2.

令x ＝－1，y ＝1，f (0)＝f (－1)＋f (1)－2. 又x ＝y ＝0时，f (0)＝0，∴f (－1)＝0， ∴f (－3)＝f (－2)＋4＝f (－1)＋6＝6. 答案：6

5．已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg 2)＝0，则f (lg 1

2)＝________. 解析：由题意得f (lg 2)＝a lg 2＋b lg 2－4＝0，有a lg 2＋b lg 2＝4，则f (lg 12)＝a lg 1

2＋b lg 12－4＝－a lg 2－b lg 2－4＝－8.

答案：－8

6．定义在R 上的函数f (x )满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 014)＝________.

解析：令m ＝n ＝0，得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1， 得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2，

由于f (1)≠0，所以f (1)＝1

2；令m ＝x ，n ＝1， 得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2， 所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×(1

2)2， 即f (x ＋1)＝f (x )＋1

2，

这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝1

2＋(2 014－1)×1

2＝1 007. 答案：1 007

7．已知f (2

x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. 解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2

t －1，

∴f (t )＝lg 2t －1(t >1)，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 答案：lg

2

x －1

(x >1)

8．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．

答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，－1≤x <0，－1

2

x ，0≤x ≤2

9．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x → x 表示把集合M 中的

元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.

解析：由题意可知b

a ＝0，a ＝1，解得a ＝1，

b ＝0，所以a ＋b ＝1.

答案：1 二、解答题

10．已知f (x )＝x 2

－1，g (x )＝⎩⎨⎧

x －1，x >0，

2－x ，x <0，

(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，

故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，

∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧

x 2

－2x ，x >0，

x 2－4x ＋3，x <0.

当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1

∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧

x 2

－2，x >1或x <－1，

3－x 2

，－1

11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线

OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，