四年级走美自测题 教师版

四年级走美杯自测卷
填空题Ⅰ（每题8分，共40分）
1、2000年后为三个连续自然数乘积的第一个年份是 。

【解析】：11×12×13=1716,12×13×14=2184。

2、将正整数1,2,3,4,5,6，…，10000排成一行。

若一个数不能表示成两个合数的和，则将此数划去。

例如要划去1，但是因为8=4+4,8就不能划去。

根据上面规定划掉所有能划掉的数之后，将剩下的由小到达排列，这时从左数第2016个数是 。

【解析】：从8开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从13开始的奇数可以拆成9+2n 的形式（n 大于等于2），而1、2、3、4、5、6、7、9、11要划去，所以剩下的数列为8、10、12、13、14、15……，第2016项即为2025。

3、图中共有 个三角形。

【解析】：
①由1个小三角形构成的三角形有24个；
②由2个小三角形构成的三角形有20个；
③由3个小三角形构成的三角形有8个；
④由4个小三角形构成的三角形有8个；
⑤由5个小三角形构成的三角形有4个；
⑥由6个小三角形构成的三角形有4个；
⑦由7个小三角形构成的三角形有4个；
所以图中共有三角形24+20+8+8+4+4+4=72个。

4、四位数abcd 与cdab 的和为3636，差为396，那么四位数abcd 为 。

【解析】：
100abcd ab cd =+，100cdab cd ab =+。

当
ab cd >时： ()
1001003636100100396ab cd cd ab ab cd cd ab ⎧+++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 整理得36ab cd +=，4ab cd -=，所以20ab =，16cd =，2016abcd =。

同理，
ab cd <时，1620abcd =。

5、A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是______箱，其中装有______小球个。

【解析】：
根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4=64个，
最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2=8个，由于小球的转移不改变总数，
所以最后一次分配前，D中有小球64-8-8-8=40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；
倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2=4个，D中有40÷2=20个，总数不变，
所以最后一次分配前，C中有小球64-4-4-20=36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，
同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2=2个，C中有小球36÷2=18个，D中有小球20÷2=10个，B中有小球64-2-18-10=34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；
再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2=17个，C中有小球18÷2=9个，D中有小球10÷2=5个，B中有小球64-17-9-5=33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；
而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个。

填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
6、若A=2017×（1＋2＋3＋…＋2016），B=1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋2016），C=1×1＋2×2＋3×3＋…＋2016×2016，那么A－B－C=。

【解析】：
将A拆成2017个（1＋2＋3＋…＋2016），分别去减B的2017个加数（第一项补上一个0对应），得到的结果如下：
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－0=1＋2＋3＋4＋5…＋2015＋2016
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－1=2＋3＋4＋5…＋2015＋2016
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－（1＋2）=3＋4＋5…＋2015＋2016
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－（1＋2＋3）=4＋5…＋2015＋2016
……
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－（1＋2＋3＋…＋2014）=2015＋2016
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－（1＋2＋3＋…＋2015）=2016
（1＋2＋3＋…＋2015＋2016）－（1＋2＋3＋…＋2016）=0
以上这些结果相加，得到的总和正好是1×1＋2×2＋3×3＋…＋2016×2016，也就是C，即A －B=C，那么A－B－C=0。

7、右图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和CD上，且EF平行于BD。

若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于平方厘米。

【解析】：如图，联结FC、BF、DE，因为三角形MDF的面积等于5平方厘米，所以三角形CDF的面积等于10平方厘米。

根据三角形的等面积变换，得△BCE的面积=△BDE的面积=△BDF的面积=△CDF的面积=10平方厘米。

8、甲、乙、丙三人从一条环形跑道的同一地点同时出发，如果三人都顺时针，80秒后甲第一次追上丙；再过40秒，甲第一次追上乙。

如果甲顺时针，乙、丙逆时针，则出发15秒后甲第一次与乙相遇，那么出发 秒后，甲和丙第一次相遇。

【解析】：
设总路程为240米，则甲比丙快240÷80=3（米/秒），甲比乙快240÷（80+40）=2（米/秒），所以乙比丙快3-2=1（米/秒），甲乙速度和为240÷15=16（米/秒），所以甲丙速度和为16-1=15（米/秒），所以甲出发240÷15=16秒后，第一次与丙相遇。

9、已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A ，其中α、β、γ是自然数。

如果
A 的二分之一是完全平方数，A 的三分之一是完全立方数，A 的五分之一是某个自然数的五次方，那么γβα++的最小值是________。

【解析】：根据“A 的二分之一是完全平方数”可以知道，（α-1）、β、γ都是2的倍数。

根据“A 的三分之一是完全立方数”可以知道，α、（β-1）、γ都是3的倍数。

根据“A 的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道，α、β、（γ-1）都是5的倍数。

同时满足三个条件的α的最小值恰好是[3,5]=15；β的最小值恰好是[2,5]=10；γ的最小值恰好是[2,3]=6。

所以γβα++的最小值是15+10+6=31。

10、把1～8这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数。

如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处写的数中，有 个不是整数。

【解析】：
每条棱的中点写的数是整数，则说明该棱两顶点处的数奇偶性相同，那么由题意可知，上底面的四个顶点同奇偶，下底面的四个顶点同奇偶，而1至8中恰好有4个奇数4个偶数，那么上、下底面的顶点一定一面是奇数、一面是偶数，所以中间四条棱的中点所写的数一定不是整数，故有4个不是整数。

填空题Ⅲ（每题12分，共60分）
11、设a 、b 使得六位数2000a b 能被26整除，所有这样的六位数是有 个。

【解析】：依题，262000a b ∣即2610000020000a b ∣++，
因为100000÷26=3846……4,20000
÷26=769……6，所以2646a b ∣++，又因为104651a b ≤++≤，所以4626a b ++=，因此420a b +=，解得345,,840
a a a
b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，故所有这样的六位数为：320008,420004,520000，共3个。

12、某公司的工作人员每周都要工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有25人上班，那么该公司至少需要聘请________名工作人员。

【解析】：根据题意，该公司一周总上班人次至少为25×7=175（人次），而每人每周上5人次，175÷5=35，所以至少需要35人。

13、将1～16填入4×4的表格中，要求同一行右面的左面的大；同一列下面的比上面的大。

其中4和13已经填好，其余14个整数有 种不同的填法。

【解析】：
左上角四个格和右下角四个格各有2种填法：
剩下左下角四个格和右上角四个格，还有8个数未填，此时可以从中任选4个数，填在其中四个格中，每4个数都有2种填法，所以共有2×2×4
8C ×2×2=1120种填法。

14、如右图，正方形ABCD 被分成了面积相同的8个三角形，如果DG=5，那么正方形ABCD 的面积是 。

【解析】：FG=IH=
12
AB ，两边延长FG 交BC 于K ，交AD 于J ，FG ∥AB ，F 为IC 的中点，所以FK=12IB=18AB ，所以GJ=38AB ，又因为DJ=12
AB ，根据勾股定理222DG GJ DJ =+，DG=58AB ，所以AB=8，所以正方形ABCD 的面积是64。

15、黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4。

做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写2个。

例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就再写上2个4。

经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是。

【解析】：仔细阅读题中所说的操作，会发现无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加3和减3三种情况（比如说1和2的个数，无论怎样操作，对于这两个数的个数只有3类情况，要么同时减少一个；要么1的个数加2个，2的个数少一个；要么1的个数少1个，2的个数加2个）。

那么继续，看1的个数和2的个数，用2的个数减去1的个数，他们的差是22-11=11，11除以3的余数是2，那就是说当数字2的个数比1的个数多时，他们的差一定是除以3余2的；但如果数字1的个数比2多的话，那么这个差除以3的余数一定是1，（可以试着操作几次，让1的个数多与2的个数）。

这样都算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现1的个数和4的个数，它们的差是33，正好是3的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的1的个数和4的个数要么一样多，要么个数差3。

再根据题意，最后只剩下3个数，如果1的个数为3，那么2的个数必然为2，不合题意。

如果4的个数为3，而1和2不可能都为0个，所以操作到最后时1的个数和4的个数都只能为0，而2的个数一定是2，那么3的个数就是1，所以剩下的三个数是2个2和1个3，
他们乘积是12。