平面向量数量积的坐标

j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 O i
x1x2 y1 y2
A（x1,y1）
a
X
1、平面向量数量积的坐标表示
r
r
r r 在坐标平面xoy内，已知 a＝(x1，y1)，b ＝ (x2，y2)，则
a b x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2、向量坐标表示的求 模公式
2
a
x2
y2,或
a
x2 y2
3、平面内两点间的距 离公式
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
4、两向量夹角的余弦 cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
5、向量垂直的判定 a b x1x2 y1 y2 0
五、探究拓展
1、已知向量a=(1,0)、b=(0,1) ， c=ka+b (k∈R), d=a-b,如
a
r
r
b
x1
y2
x2
y1
0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证：如右图，在平面坐标系标
出A，B，C三点，猜想 △ABC为直角三角形。
Hale Waihona Puke Baidu
y C(-2,5)
AB (2 1,3 2) (1,1)
平面向量数量积的坐标表示
一、复习练习:
1、若 | a | 2,| b | 1, a与b夹角为60。，a b | a || b | cos
则a b （ 1 ）
（其中是a与b的夹角）
2、若a b 2，| a | 1,| b | 2, cos a b
则a与b夹角为（45） 。
| a || b |
例 1:已知 ar ＝(1,√3
r
)，b ＝(– 2,2√3
),
rr 求 a ·b
rr
解：a ·b ＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;
练习：a
(1,2),
b
(3,1),
c
(3,4),
则
a(b
c)
(_1_3_, _26)
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
且a与b夹角为，(0 180 )
则cos a b
ab
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
向量夹角公式的坐标式：
r
r
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
3、若a与b垂直，则a b （0 ） a b a b 0；
4、若 | a | 2，则a a （4 ）；
a a | a |2
若a a 9，则 | a |（3 ）。
| a | a a
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），
b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
果c∥d，那么
（）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向
C．k=-1且c与d同向 D．k=-1且c与d反向
课后延伸
作业
课本Ｐ100 A组: 1，2，3.
2
设a (x, y),则 a x2 y2,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ), 则AB （x2 x1，y2 y1）
那么
AB （x2 x1)2 （y2 y1)2
用于计算向量的模
即平面内两点间的距离公式．
例 1:已知 ar ＝(1,√3
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝ a·b ab
＝
4 2×4
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
知识延伸
变式训练1
已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)， 则BC与CA 的夹角是多少？
4、两向量垂直、平行的坐标表示
r
r
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
r rr r r r
a
//
b(b
r
0)
r
r
)，b ＝(– 2,2√3
),
√ r
a＝
12＋(√3 )2＝2,
rr
求|
a
r
|,| br
|
|ab|
√ r
b＝
(– 2)2＋(2√3 )2 ＝4,
rr
Q a b (3, 3)
rr | a b | 32 ( 3)2 12 2 3
3、两向量夹角公式的坐标运算
设非零向量a （x1, y1),b (x2, y2 ),
B(2,3)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1(3) 13 0
A(1,2)
AB AC
三角形ABC是直角三角形.
0
x
三、高考体验
• 1、（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a
+ b ︱=5 2 ，则︱b ︱=
• A.
B.
C.5
D.25
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ②i j ___0___
③ j i __0____ ④ j j __1___
Y
B(x2，y2)
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
b
a b x1i y1 jx2i y2 j
• 答案 C
• 解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b） 2=a2+b2+2a·b=50，
• 得|b|=5 选C.
理论拓展
变式训练2
思考：在△ABC中，AB = (2，3)， AC = (1，k)， 且A为直角，求k值.
四、课 堂 小 结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题：
1、数量积的坐标表示 a b x1x2 y1 y2