有限元法

有限元法

第一章绪论

1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。

2.有限元法的特点：A物理概念清晰。B复杂的结构适应性。C各种物理问题的适用性。D适合计算机实现的高效性。

3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。

4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。

位移法求解步骤：A结构的离散化。B单元分析。C单元集成。D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。E由节点位移计算单元的应力与应变。

5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。b对无限求解域问题没有较好的处理方法。c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。

6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。屈曲模态：对于屈曲，即使相同的的构件，如果端部的支持状态不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态

第三章弹性力学基础知识

1.弹性力学又称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外力因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

2.弹性力学的几个基本假定：A连续性假定。B弹性假定。C均匀性和各向同性假定。D小变形假定。E无初应力假定。

3.外力分为面力和体积力。面力：指分布在物体表面上的外力，如内压力、接触压力等。面力是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比，且是各质点位置的函数，如重力、惯性力等。

4.弹性力学的平面问题：弹性力学可分为空间问题和平面问题。平面问题有两种情况：一种是平面应力问题，所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板所受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用；另一种是平面应变问题，适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。

第四章平面问题的有限元法

1.常用的平面单元形状有三角形、四边形等。

2.集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点。

3.整体刚度矩阵的性质：a整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。b整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的。c整体刚度矩阵[K]是一个对称矩阵。d整体刚度矩阵[K]是一个带状分布的稀疏矩阵。e整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。