抛物线的焦点弦公式总结
抛物线焦点弦长公式3个
抛物线焦点弦长公式3个关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于AB两点，且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。
解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得：，且设A,B两点的坐标为则：。
当时，斜率不存在，，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为，求弦AB的长。
解：设A,B的坐标为，斜率为k，而焦点坐标为，故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：从而。
弦长为：即为通径。
而与（1）的结果一样，与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A，B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。
解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得：。
若倾斜角，则；若倾斜角则。
设A,B两点的坐标为则：。
而，故；当时，，|AB|=2p.即为通径。
而与（3）的结果一样同理：（4）已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。
解：设A,B的坐标为，若倾斜角为，斜率为k。
则，而焦点坐标为。
故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：从而。
弦长为：当倾斜角，则；当倾斜角则所以恒成立。
当时，，|AB|=2p.即为通径。
而与（4）的结果一样。
故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即。
2.4.2抛物线焦点弦的性质
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点弦性质：
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
O
y
F A
B
x
性质1
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2 2. 若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 px ( p 0)上， 2 则 y1 y2 p 直线AB过焦点F
2
性质1:
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p
2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4
2
2. 若直线与抛物线 y 2 px ( p 0)的两个交点 的纵坐标 是否经过焦点F ？分析： y1、y2，满足 y1 y2 p ，则该直线
2
2
4.焦点弦长 | AB | x A xB p。 2p 5.焦点弦长 | AB | 2 si n
(其中 为L AB的倾角）
6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.SAOB = . 2sin 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2＝ ，则 。 4 AF BF p 10.MFN =90 .
2
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
【高中数学】抛物线焦点弦性质总结30条
1. 以AB 90(AC2.3. '90A FB ∠('A F4. C F 'AB ⊥5. BC '垂直平分B F '6. AC '垂直平分A F '7. 抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8. B 、O 、A '三点共线9. A 、O 、B '三点共线10.2124p x x = 11. 212y y p =- 12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线 14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p.有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅ 17.22sin AOB P S α= 18.⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19.23()2AOB S P AB = 20.||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2= 21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023.点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点：)0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ; )0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线焦点弦长公式推导过程
抛物线焦点弦长公式推导过程抛物线焦点弦长公式是指在一个抛物线上，通过焦点的弦长的长度公式。
推导过程如下：假设抛物线的方程为 y = ax^2，其中 a 是常数，焦点坐标为(0, p)。
1. 假设抛物线上一点为 P(x,y)，则有 y = ax^2。
2. 然后，我们将 P 点到焦点的距离表示为 d，可以通过几何关系得到：d = sqrt(x^2 + (y-p)^2)3. 我们还可以通过另一种方式计算 d，即利用抛物线焦点的特性：焦点到抛物线上任意一点 P 的距离等于 P 点到抛物线的准线的距离。
因此，我们可以将 d 表示为：d = |y - p| / (2a)4. 将步骤 1 的方程代入步骤 3 的公式中，得到：d = |ax^2 - p| / (2a)5. 再次利用绝对值的性质，我们可以将式子转化为两种情况：当 ax^2 > p 时，d = (ax^2 - p) / (2a) = x^2 / (2a) - p / (2a)当 ax^2 < p 时，d = (p - ax^2) / (2a) = p / (2a) - x^2 / (2a)6. 接下来，我们考虑通过这个弦长公式来求抛物线上两点 A 和 B 之间的弦长。
假设点 A 的坐标为 (x1, y1)，点 B 的坐标为 (x2, y2)。
首先，我们需要求出抛物线焦点到直线 AB 的距离 h。
h = (|y1 - p| + |y2 - p|) / 2将步骤 4 中的公式代入上面的式子，可得：h = |x1^2 - x2^2| / (4a)7. 然后，我们可以通过勾股定理计算出弦长 L：L = sqrt((x2 - x1)^2 + h^2)将步骤 6 中的 h 公式代入上面的式子，可得：L = sqrt((x2 - x1)^2 + (|x1^2 - x2^2| / (4a))^2)8. 最后，我们可以将步骤 5 中的两种情况代入上面的公式中，得到抛物线焦点弦长公式：当 ax1^2 > p 且 ax2^2 > p 时，L = sqrt((x2 - x1)^2 + ((x1^2 - x2^2) / (4a))^2) 当 ax1^2 < p 且 ax2^2 < p 时，L = sqrt((x2 - x1)^2 + ((x2^2 - x1^2) / (4a))^2) 至此，我们就成功推导出了抛物线焦点弦长公式。
有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用
则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143解题宝典为____.解：作出如图2所示的图形，由 AF =3FB 知||AF =3||FB ,由抛物线的方程知p =2,设直线l 的倾斜角为α,则||AF =21-cos α,||BF =21+cos α,可得21-cos α=3×21+cos α,解得cos α=12,因为α∈(0,π),所以α=π3，即直线l 的倾斜角为π3.由于直线l 过抛物线的焦点，所以要求直线l 的倾斜角，可直接利用抛物线的焦半径公式||AF =p1-cos α、||BF =p1+cos α，建立关于α的关系式，即可解题.二、抛物线的焦点弦公式已知直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，且和抛物线交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的倾斜角为α,则弦AB 的长||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.证明：先证||AB =x 1+x 2+p .因为点A ,B 是抛物线上的点，所以根据抛物线的定义，可得||AF =x 1+p2，||BF =x 2+p2,所以||AB =||AF +||BF =x 1+x 2+p .再证||AB =2psin 2α.由于||AF =p 1-cos α,||BF =p1+cos α,所以||AB =||AF +||BF =p 1-cos α+p1+cos α=p (1+cos α)+p (1-cos α)(1-cos α)(1+cos α)=2psin 2α.综上所述，焦点弦AB 的长为||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.当不确定焦点弦所在直线的倾斜角时，通常可使用公式||AB =x 1+x 2+p 来求焦点弦长；若已知焦点弦所在直线的倾斜角，就要用公式||AB =2psin 2α来表示焦点弦长.例2.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点，设O 为坐标原点，则S ΔOAB =_____.解：由抛物线C 的方程知2p =3,而焦点弦所在直线的倾斜角α=30°,则||AB =3sin 230°=12,可知原点到直线AB 的距离d =||OF ⋅sin30°=34×12=38,故ΔOAB 的面积为S ΔOAB =12×12×38=94.由于已知过F 的直线的倾斜角，所以可直接根据抛物线的焦点弦公式||AB =2psin 2α来求抛物线的焦点弦长||AB .再根据三角形的面积公式进行求解即可.值得注意的是，抛物线的开口方向不同，参数p 的值和符号不同，所对应的抛物线的焦半径公式和焦点弦公式也会有所不同.上述两个公式都是针对开口向右的抛物线，即抛物线的方程为y 2=2px (p >0)而言的.开口向其他方向的抛物线的焦点弦、焦半径公式如下表所示.同学们在运用抛物线的焦半径公式和焦点弦公式时，要关注抛物线的开口方向和参数p 的值，再选用与之相应的公式进行求解.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）标准方程图形焦半径公式焦点弦公式y 2=2px (p >0)||AF =x 1+p 2=p1-cos α,||BF =x 2+p 2=p1+cos α.||AB =x 1+x 2+p y 2=2px (p <0)||AF =p 2-x 1=p 1+cos α,||BF =p 2-x 2=p 1-cos α.||AB =p -()x 1+x 2x 2=2yp (p >0)||AF =y 1+p 2=p 1-sin α,||BF =y 2+p 2=p 1+sin α.||AB =y 1+y 2+p x 2=2yp (p <0)||AF =p 2-y 1=p1+sin α,||BF =p 2-y 2=p 1-sin α.||AB =p -()y 1+y 2图244。
抛物线过焦点的弦长公式及其应用
x=
p 2
+
t co s
, t 为参数.
y = t sin ,
代入抛物线方程 y2 = 2px , 整理得
t2 sin2 - 2p t cos - p 2 = 0,
由韦达 定理 得 t1 + t 2 =
2p cos sin 2
, t1
t2 =
-
p2 sin2
,故
A B = t 1 - t2 = ( t1 + t2 ) 2 - 4t 1 t2
解析几 何中与过焦点 的弦长有关 的问题较
多, 本文介绍抛物线的两个过焦点的弦长公式, 并 举例说明它们的应用, 供同学们参考.
公式 1 设 A B 是抛物线y 2 = 2p x ( p > 0) 的
过焦 点 F 的 弦, 设 A ( xA , yA ) , B( x B, yB) , 则
AB = xA + xB + p . 证明 由抛 物线 的焦 点半径 公式 可得
抛物线过焦点的弦长公式及其应用杨建新甘肃省礼县二中742201解析几何中与过焦点的弦长有关的问题较多本文介绍抛物线的两个过焦点的弦长公式并举例说明它们的应用供同学们参考
辅教导学
数 学通讯 2011 年第用
杨 建新
( 甘肃省礼县二中, 742201)
所以 mn =
m+
n,
从而 1 m
+
1 n
=
1.
( 收稿日期: 2010- 10 - 30)
由公式 1 知 m + n = x A + x B + 2, x A + x B
= m + n - 2. 又 m = x A + 1, n = x B + 1, 所以
抛物线焦点弦公式推导过程
抛物线焦点弦公式推导过程抛物线是一类几何图形，常见于数学课程中，由于它在图形描述过程中有着独特的特点，成为日常生活中不可或缺的一种几何图形。
抛物线可以用多种方法来描述，其中一种就是抛物线焦点弦公式。
焦点弦公式可以用来描述抛物线的外观特征，他可以帮助我们更好的理解抛物线的特征。
一、定义抛物线焦点弦公式是一种描述抛物线形状的数学方法，它可以用来描述一条抛物线的形状特征，而这些特征都可以用焦点弦公式的参数来描述。
它的定义如下：抛物线焦点弦公式：y2=2px（x-x1）+y1 其中，p是焦点到抛物线顶点的距离，x1, y1分别是抛物线顶点的横纵坐标）二、推导过程1、先证明x1,y1是抛物线顶点：由上式可知，当x=x1时，y2=y1，即该点在抛物线上；当x2=x1时，y2=2px，若p>0，则y2>y1，即该点在抛物线的上方；若p<0，则y2<y1，即该点在抛物线的下方；因此，x1,y1是抛物线的顶点。
2、证明 p焦点到顶点的距离：取抛物线上任一点 A(x, y)，A(x, y)到抛物线顶点的距离为r，若 A(x, y)于x1对称点为 B(x1, y1)，则 A,B构成一条角平分线，角平分线的斜率为-2px，根据勾股定理可得 A、B、焦点 F（x1,y1+p）构成等腰三角形，若把等腰三角形的两腰 AB, BF影到x上，则 AB，BF长度分别为 x2-x1, 2px，即 r2=（x2-x1）2 +（2px）2，从而得到 r=2px，即 p A F距离。
3、证明 y2=2px（x-x1）+y1：由第2步可知，A、B、F构成等腰三角形，则 F的 y标为y1+2px，即 y2=2px（x-x1）+y1。
三、结论由上述推导过程可知，抛物线焦点弦公式是一种描述抛物线形状的数学公式，由它可以得出抛物线的形状特征，如抛物线的顶点坐标及焦点到抛物线顶点的距离等。
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
焦点弦长公式抛物线
焦点弦长公式抛物线好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的奇妙世界里，抛物线那可是个独特的存在。
今天咱就来唠唠抛物线里的焦点弦长公式，这玩意儿看似有点复杂，其实只要咱弄明白了，那就是解题的一把好手。
咱先来说说啥是抛物线。
想象一下，你往空中扔个球，它的轨迹如果只看竖着的方向，就有点像抛物线啦。
而在数学里，抛物线就是一个很有规律的曲线。
那焦点弦长公式到底是啥呢？其实就是用来计算抛物线中过焦点的弦的长度的。
咱就拿个具体的例子来说，比如说有个抛物线方程是 y²= 2px （p＞0），然后有一条过焦点的弦，和抛物线交于 A、B 两点。
这时候，焦点弦长公式就派上用场啦。
还记得我当年教过的一个学生小明，那可真是让我印象深刻。
有一次上课，我正讲到这个焦点弦长公式，小明一脸懵，完全没搞懂。
我就给他打了个比方，我说这抛物线就像一个弯弯的滑梯，焦点就是滑梯中间的一个关键点，而这过焦点的弦就像是从这个关键点上滑下去的一段路程。
小明听了，眼睛一下子亮了起来。
咱们接着说这个公式哈。
它是有好几种形式的，比如|AB| = x₁ + x₂ + p 。
这里的 x₁和 x₂就是 A、B 两点的横坐标。
可别小看这个公式，用好了能省不少事儿呢。
我还碰到过一次考试，里面有一道题就是要用焦点弦长公式来求解。
好多同学因为没掌握好，丢了不少分。
但咱班的小红同学，平时就把这个公式吃得透透的，那道题做得又快又准。
在实际解题的时候，得先把题目里给出的条件整理清楚，看看抛物线的方程是啥样的，焦点在哪里，弦的两个端点坐标有没有能找到的。
一步一步来，别着急。
总之啊，这焦点弦长公式在抛物线的世界里可重要了。
就像咱们出门得带钥匙一样，解抛物线的题，掌握好这个公式就是关键的那把“钥匙”。
希望同学们都能把这个公式掌握好，在数学的海洋里畅游，别被小小的难题给挡住啦！。
（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。