锐角三角函数知识点总结与复习

锐角三角函数知识点总结与复习

~

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

—

~

3

、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正

弦值。

)

A 90

B 90∠-︒=∠︒

=∠+∠得由B A

邻边A

直角三角形中 的边角关系

解直角三角形

4

、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当

0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α

随α的增大而减小。

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

?

例 1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是

( )A ．sin A B ．tan A ＝1

2

C ．cos B

D ．tan B

分析 sin A ＝

BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cos B ＝BC

AB ＝12．故选D.

例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3

5

,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC

中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝

44

33

BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中，BC 3，∴sin A ＝

3

5

BC AB =．故填35．

例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ；

A

90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=

5

4. 例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ；

【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝

CD

AC ＝210

＝5．

例5 ( 2012宁波)，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=2

3 ,则BC 的长为 ； 【解析】cosB=BC AB =2

3 ，又∵AB=6∴BC=4

例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BC

AC

=

的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；

（2）如图，已知tanA=

4

3

，其中∠A 为锐角，试求ctanA [

的值．

【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。

（2）由tanA=

43

，

为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30◦ ∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BC

AC

=3(2) ∵tanA=43

∴设BC=3 AC=4∴ctanA=

BC AC =3

4

例7（2012山东滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的

1

3

C ．扩大为原来的3倍

D ．不能确定 【解析】因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的正弦函数值也不变．【答案】选A ．

C

B

A

D

%

B A

图4

22题图

例8（2012湖南）观察下列等式

%

①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；

sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另

外sin22（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．

例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如

下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能

根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组|

【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB 的长为x，则BC=

x tan ACB ∠

，BD=

x tan ADB ∠

，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则

DE BD EF AB =，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点

评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．

【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．

【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=

2 2

，易得：DN=

10 10

，设A C D E

F ` F