高中数学《随机变量及其分布》单元测试

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第七章随机变量及其分布单元综合测试卷(原卷版)

第七章随机变量及其分布单元综合测试卷一、单选题1．（2022·湖南·高二课时练习）某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（）A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元2．（2022·全国·高二单元测试）计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345X a a a a a =++++，当程序运行一次时，3X =的概率为（）．A ．6581B ．2527C ．827D ．793．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.754．（2022·北京八中高二期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =（）A ．112B ．29 C ．13 D ．235．（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被认为服从正态分布．若某物理量做n 次测量，最后结果的误差，Xn ~N (0，2n)，则为使|Xn |≥14的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（） 6．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）A ．0.01245B ．0.05786C ．0.02865D ．0.037457．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，()211,XN μσ，()222,Y N μσ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B ．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C ．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D ．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值8．（2022·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（） A ．61 B 6C 3D ．31 二、多选题9．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ== D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=10．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A ．1A 、2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=11．（2022·全国·高三专题练习）已知X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则下列说法正确的是（）A ．E (Y )＝2B ．E (Y )＝6C ．D (Y )＝2.4 D ．D (Y )＝5.612．（2021·全国·高二单元测试）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()20.9372,0.0139X N ~，则下列说法正确的是（）（附：若()2,X N u σ~，则()2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈，()3399.7%P X μσμσ-≤≤+≈，500.9770.3124≈）A ．()0.90.5P X ≤<B ．()()0.4 1.5P X P X <>>C ．()0.97890.0015P X >≈D ．假设生产状态正常，记Y 表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于2μσ+的数量，则()10.3124P Y ≥≈三、填空题13．（2022·山东德州·高二期末）某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X 服从正态分布()2120,N σ，若()1001200.495P X ≤≤=，则成绩在140分以上的大约为______人．14．（2022·全国·高三专题练习）现有A ，B 两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中每人答对的概率分别为23，23，12，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =___________.15．（2021·全国·高二学业考试）将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的均值为______．16．（2021·全国·高二课时练习）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X 的标准差为______．四、解答题17．（2022·辽宁大东·模拟预测）制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.十八世纪中叶开启工业文明以来，世界强国的兴衰史和中华民族的奋斗史一再证明，没有强大的制造业，就没有国家和民族的强盛.打造具有国际竞争力的制造业，是我国提升综合国力、保障国家安全、建设世界强国的必由之路.某企业制造的一批零件，分为三个等级：一等、二等、三等，现从该批次零件中随机抽取500个，按照等级分类标准得到的数据如下：等级一等二等三等个数 150250 100(1)若将样本频率视为概率，从这批零件中随机抽取6个，求恰好有3个零件是二等级别的概率；(2)若采用分层抽样的方法从这500个零件中抽取10个，再从抽取的10个零件中随机抽取3个，X 表示抽取的一等级别零件的数量，求X 的分布列及数学期望()E X .18．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：周末体育锻炼时间()min t [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 频率0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[)50,60内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19．（2022·河南·模拟预测（理））某大型超市为调查2022年元旦购物者的消费情况，从当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取100名进行调查，得到如下统计表：消费金额（单位：元）[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,250 [)250,+∞ 顾客人数（单位：人） 10 15 35 25 15(1)从这100名购物者中随机抽取1人，估计该人消费金额低于200元的概率；(2)以频率估计概率，从元旦当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取3人，记消费金额不低于200元的购物者人数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（2021·重庆一中高三阶段练习）为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进人实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立. (1)求实验能被完成的概率；(2)根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.21．（2022·全国·高二课时练习）2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg )的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg .称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg )的平方和为117.附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111n n i i i i s t t t nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑，（2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9973P X μσμσ-≤≤+=.(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z 和方差2s ；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X 服从正态分布()2,N μσ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为2σ的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望.22．（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？192.4413.9，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.。

(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==2．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（）A ．0B ．2C ．1D ．123．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%4．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X>=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.45．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（） A ．12B ．25C ．35D ．456．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（） A ．8225B ．12C ．38D ．347．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（）A ．34B ．13C ．23D ．128．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A．1320B．920C．15D．1209．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，10．已知随机变量X的分布列如下表所示则(25)E X-的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．若随机变量()100,,X B p X~的数学期望()24E X=，则p的值是( )A．25B．35C．625D．192512．下列关于正态分布2(,)(0)Nμσσ>的命题：①正态曲线关于y轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；③设随机变量~(2,4)X N，则1()2D X的值等于2；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x轴平移.其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①④二、填空题13．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.14．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”．那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．15．若随机变量X 的分布列如下表，且()2E X =，则()23D X -的值为________.X0 2aP16p1316．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.17．已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.18．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A 为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．三、解答题19．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表. 成绩/分 [)65,70[)70,75[)75,80[) 80,85[)85,90[)90,95[]95,100频数40902004001508040（2）假设此次测试的成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，已知s 的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？（3）该市教育局准备从成绩在[]90,100内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y 为抽取的3份试卷中测试成绩在[]95,100内的份数，求Y 的分布列和数学期望.参考数据：若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.20．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）21．我市某大学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A 或B 社团的人数，求ξ的分布列、数学期望及方差．22．“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.23．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.24．2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数 [)155,165 [)165,175 [)175,185 []185,215得分17181920分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数2~(,)X N μσ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知样本方差2169s ≈(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数) ②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和期望. 附：若2~(,)X N μσ，则(||)0.6826,(||2)0.9544,(||3)0.9974P X P X P X μσμσμσ-<≈-<≈-<≈.25．2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[)(]80,90,90,100的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记x为3人中成绩在[]90,100的人数，求x的分布列和数学期望. 26．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：采购数量x（单位：箱）[)220,240[)240,260[)260,280[)280,300[]300,320采购人数1001005020050（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量x的平均值；（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为X，求X的分布列以及数学期望()E X．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，∴420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460()57749D Y =⨯⨯=．故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)XB n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =-．2．A解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥，因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A.【点睛】本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”．依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495，故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D解析：D 【分析】根据题意随机变量()2~0,X N σ可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案．【详解】根据正态分布可知()()20|111P X P X >+<<=，故()010.4P X <<=．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．5．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】利用条件概率公式，即可求得结论．【详解】该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110， ∵设A 事件为下雨，B 事件为刮风，由题意得，P （A ）415=，P （AB ）110=，则P （B |A ）()()13104815P AB P A ===，故选C ．【点睛】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果．【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=，故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．8．C解析：C【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.9．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10．A解析：A【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．C解析：C 【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可. 详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =，据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确；③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确.故选C.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．二、填空题13．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+；【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a b a b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值．【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】求出小明与第一代第二代第三代传播者接触的概率利用独立事件互斥事件的概率公式求解即可【详解】设事件为第一代第二代第三代传播者接触事件为小明被感染由已知得：（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）（B ）（解析：0.83【分析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可．【详解】设事件A ，B ，C 为第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D 为小明被感染，由已知得：P （A ）0.5=，P （B ）0.3=，P （C ）0.2=，(|)0.9P D A =，(|)0.8P D B =，(|)0.7P D C =，P （D ）(|)P D A P =（A ）(|)P D B P +（B ）(|)P D C P +（C ）0.90.50.80.30.70.2=⨯+⨯+⨯ 0.83=．∴小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．故答案为：0.83．【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】利用分布列求出利用期望求解然后求解方差即可【详解】解：由题意可得：解得因为所以：解得故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列方差的求法属于中档题解析：4【分析】利用分布列求出p ，利用期望求解a ，然后求解方差即可．【详解】解：由题意可得：11163p ++=，解得12p =，因为()2E X =，所以：111022623a ⨯+⨯+⨯=，解得3a =．222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=．(23)4()4D X D X -==．故答案为：4．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.16．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列解析：114【分析】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，求出()39n A C =，()6n AB =，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率．【详解】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，依题意知()39=84n A C =，()246n AB C ==， ∴()61|8414P B A ==，故答案为114. 【点睛】本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.17．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1 【分析】由题意，根据()3E X =和分布列的性质，求得,m n 的值，再利用方差的公式，即可求解. 【详解】根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1. 【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．【解析】分析：由题意知这是一个条件概率做这种问题时要从这两步入手一是做出黄色骰子的点数为或的概率二是两颗骰子的点数之和大于的概率再做出两颗骰子的点数之和大于且黄色骰子的点数为或的概率根据条件概率的公解析：712【解析】分析：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这两步入手，一是做出黄色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于7的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于7且黄色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果.详解：设x 为掷红骰子的点数，y 为黄掷骰子得的点数，(),x y 共有6636⨯=种结果，则黄色的骰子的点数为3或6所有12种结果，两颗骰子的点数之和大于7所有结果有10种，利用古典概型概率公式可得()()()1211077,,363361836P A P B P AB =====，由条件概率公式可得()()()7736|1123P AB P B A P A ===，故答案为712. 点睛：本题主要考查条件概率以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出；(3)利用两个原理及排列组合知识.三、解答题19．（1）82.15x =；（2）75.5分；（3）分布列答案见解析，数学期望：1. 【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求解；（2）利用正态分布的概率分布即可求解；（3）先利用分层抽样的方法求出抽取的6份试卷中成绩在[)90,95和[]95,100内的份数，然后求出Y 的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出Y 的分布列及数学期望. 【详解】解：（1）由频数分布表67.50.0472.5.0977.50.282.50.487.50.1592.50.0897.50.0482.150x =+++⨯+++⨯=⨯⨯⨯⨯⨯.（2）由题意得， 2(82.15,6.61)X N且()10.68270.841422P X μσ>-≈+≈，又82.15 6.6175.5475.5μσ-=-=≈，故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分.（3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在[)90,95内的有4份，成绩在[]95,100内的有2份，故Y 的所有可能取值为0，1，2，且()032436105C C P Y C ===，()122436315C C P Y C ===，()212436125C C P Y C ===，所以Y 得分布列为数学期望()0121555E Y =⨯+⨯+⨯=.【点睛】方法点睛：求离散型随机变量X 的分布列的步骤：（1）理解X 的意义，写出X 的所有可能取值；（2）求X 取每个值的概率；（3）写出X 的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验. 20．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列；（3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34，这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）1325；（2）分布列见解析；期望为1.2；方差0.72．【分析】（1）先求出甲、乙、丙三名学生参加社团的总的方法数为35，再求出三名学生选择不同社团35A种，求出三名学生选择不同社团概率为35312525A =，然后由12125-得出答案. （2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3，每个学生参加A 或B 社团的概率都是20.45=，且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，，由二项分布可得答案. 【详解】（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法是5种，故共有35125=种可能，甲、乙、丙三名学生选择不同社团概率为35312525A =，则至少有两人参加同一社团概率为121312525-=；（2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3，甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是20.45=，且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，， 3(0)0.60.216P ξ===，1123(1)0.40.60.432P C ξ==⨯⨯=， 2213(2)0.40.60.288P C ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，ξ的分布列为：()(1)30.40.60.72D np p ξ=-=⨯⨯=．【点睛】关键点睛：本题考查古典概率和对立事件的概率以及二项分布的期望和方程，解答本题的关键是将问题化为二项分布问题，即根据甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是20.45=，且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，，从而根据二项分布求解，属于中档题. 22．（1）168.5cm ；（2）710；（3）分布列见解析，98. 【分析】（1）根据茎叶图得到文学院志愿者身高，再根据中位数的定义可求得结果；（2）根据分层抽样得到5人中“高个子”和“非高个子”的人数，再根据对立事件的概率公式可求得结果；（3）ξ的可能取值为0、1、2、3，根据超几何分布的概率公式可得ξ的可能取值的概率，从而可得分布列和数学期望. 【详解】（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ；（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人，则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===，即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：掌握中位数的定义、分层抽样的特点以及超几何分布的概率公式是本题的解题关键.23．（1）0.94；（2）0.85. 【分析】（1）先求出一箱中有i 件残次品的概率，再求查看的有i 件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．【详解】设A ＝‘顾客买下该箱’，B ＝‘箱中恰有i 件残次品’，i ＝0,1,2，(1)α＝P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝0.8＋0.1×419420C C ＋0.1×418420C C ≈0.94.(2)β＝P (B 0|A )＝()()00.80.94P AB P A =≈0.85. 【点睛】结论点睛：应用条件概率时弄清概率P (B |A )和P (AB ) 的区别与联系: (1)联系:事件A 和B 都发生了;(2)区别: a 、P (B | A )中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后;在P (AB )中，事件A 、B 同。

高中数学《随机变量及其分布》单元测试

数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设X~B(n，p)，E(X)=12，D(X)=4，则n，p的值分别为()A.18，B.36，C.36，D.18，2.10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A. B. C. D.3.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X-1，则P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.24.在区间(0，1)内随机取一个数x，若A=，B=，则P(B|A)等于()A. B. C.D.5.若离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A. B.2 C. D.36.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于()X01P m2mA. B. C. D.7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)=()A. B. C. D.5的值分别为()8.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)A.13，4B.13，8C.7，8D.7，169.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为()A.恰有1只是坏的B.4只全是好的C.恰有2只是好的D.至多有2只是坏的10.节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5元，销售价是每束5元，节日后没卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X的分布列为X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则利润Y的均值是()A.706B.690C.754D.72011.现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为;向乙靶射击两次，每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为()A. B. C. D.12.一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为() A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.一盒子中装有4件产品，其中3件一等品，1件二等品，从中取两次产品，每次任取1件，做不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)=.14.在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这次商业活动中获利的均值是元.15.一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止.若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的数学期望E(X)=.16.在某次学校组织的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏:在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是.(精确到0.001)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学被随机地分到A，B，C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率;(3)设随机变量ξ为四名同学中被分到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ).18.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?19.(12分)袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球;若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;(2)若第一次取到球的编号为偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.20.(12分)甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率.(2)若连续2次未击中目标，则中止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少?(3)若甲连续射击5次，用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的均值E(ξ).21.(12分)我国采用的PM2.5的标准为:日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，但发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图D2A-1所示.请据此解答如下问题:图D2A-1(1)求m的值，并分别计算频率分布直方图中的[75，95]和[95，115]这两个矩形的高;(2)通过频率分布直方图估计这m天的PM2.5的日均值的中位数(结果保留分数形式);(3)从这m天的PM2.5的日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求随机变量X的分布列和数学期望.22.(12分)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村乙.已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路，且运费由菜园承担.若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则亚运村销售商一次性支付给菜园20万元;若在约定日期前送到，每提前一天，销售商将多支付给菜园1万元;若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给菜园1万元.为保证蔬菜的新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送蔬菜，已知下表内的信息不堵车的情况下到达亚运村乙所需时间(天)堵车的情况下到达亚运村乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路123 1.6公路2140.8(1)设汽车走公路1时菜园获得的毛利润为X(单位:万元)，求随机变量X的分布列和数学期望E(X).(2)选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多?(注:毛利润=销售商支付给菜园的费用-运费)数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》测试答案1.D[解析]由E(X)=np=12，D(X)=np(1-p)=4，得n=18，p=.2.D[解析]设事件A为“无人中奖”，则P(A)==，则至少有1个人中奖的概率P=1-P(A)=1-=.3.A[解析]由Y=2X-1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.4.A[解析]P(A)==，∵A∩B=，∴P(AB)==，∴P(B|A)===.5.A[解析]由数学期望的计算公式可得E(X)=1×+2×+3×=.6.B[解析]由m+2m=1得，m=，∴E(X)=0×+1×=，D(X)=0-2×+1-2×=，故选B.7.C[解析]每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为，10次独立重复试验中，X~B(n，p)，∴D(X)=10××=.，D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.，D(ξ)=4，得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=78.D[解析]由已知E(ξ)=39.C[解析]X=k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X=k)=(k=1，2，3，4).∴P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，∴选 C.，而利润10.A[解析]由上表可得E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340，故E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706.Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5=3.4X-45011.C[解析]恰好命中一次的概率为×1-×1-+1-××1-+1-×1-×=.12.A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1，2，3，4.P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==.所以ξ的分布列为ξ1234P+2×+3×+4×=.E(ξ)=1×13.[解析]由条件知，P(A)=，P(AB)==，∴P(B|A)==.14.140[解析]设此人获利为随机变量X，则X的可能取值是300，-100，其概率分布列为X300-100P0.60.4所以E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140.15.1.89[解析]由题意知，X的可能取值是0，1，2，对应的概率分别为P(X=2)=0.9，P(X=1)=0.1×0.9=0.09，P(X=0)=0.13+0.12×0.9=0.01，由此可得数学期望E(X)=2×0.9+1×0.09+0×0.01=1.89.16.0.103[解析]设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N=10，M=5，n=5，于是中奖的概率P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+≈0.103.17.解:(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)==，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)==，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P()=1-P(E)=.，2)”是指有i个同学到A社区，则P(ξ=2)==，(3)随机变量ξ的可能取值为1，2.事件“ξ=i(i=1所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=，ξ的分布列是ξ12P∴E(ξ)=1×+2×=.18.解:(1)设参赛学生的成绩为X，因为X~N(70，100)，所以μ=70，σ=10.则P(X≥90)=P(X≤50)=[1-P(50<X<90)]=[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]=×(1-0.9544)=0.0228，12÷0.0228≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人.×(1-0.6826)=0.1587，得[1-P(60<X<80)]=[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=(2)由P(X≥80)=P(X≤60)=526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人.19.解:(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件 A.易知第一次取到球的编号为偶数的概率为，第二次取球时袋中有三个球的编号为奇数，所以第二次取到球的编号为奇数的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A)=×=.(2)若第一次取到球的编号为2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球;若第一次取到球的编号为4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球.所以X的可能取值为3，5，6，7，所以P(X=3)=×=，P(X=5)=×+×=，P(X=6)=×+×=，P(X=7)=×=，所以X的分布列为X3567P均值E(X)=3×+5×+6×+7×=，方差D(X)=×+×+×+×=.20.解:(1)记“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1.根据题意，知射击4次，相当于做了4次独立重复试验，故P(A1)=1-P()=1-=.所以甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为.(2)记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A2，“乙第i次射击未击中”为事件D i(i=1，2，3，4，5)，则A2=D5D4()，且P(D i)=，由于各事件相互独立，故P(A2)=P(D5)P(D4)P()P()=×××=.所以乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是.=.(3)根据题意，知ξ服从二项分布，则E(ξ)=5×21.解:(1)由茎叶图可知PM2.5的日均值在[15，35]的只有1天，结合频率分布直方图得=0.002 5×20，∴m=20.易知矩形[75，95]的高为=0.0225，矩形[95，115]的高为=0.01.(2)观察两图可知其中位数在矩形[75，95]中间.设中位数为x，则(x-75)×0.0225+20×0.01+20×0.005+20×0.0025=(95-x)×0.0225+20×0.01，解得x=，故中位数为即81.(3)由题意知，这20天中，空气质量为一级的有1天，空气质量为二级的有6天，超标的有13天.X的可能取值为0，1，2，对应的概率分别为P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，∴随机变量X的分布列为X012P∴数学期望E(X)=1×+2×==.22.解:(1)若汽车走公路1，则不堵车时菜园获得的毛利润X=20-1.6=18.4(万元);堵车时菜园获得的毛利润X=20-1.6-1=17.4(万元).∴汽车走公路1时菜园获得的毛利润X的分布列为X18.417.4P数学期望E(X)=18.4×+17.4×=18.3(万元).(2)设汽车走公路2时菜园获得的毛利润为Y，则不堵车时菜园获得的毛利润Y=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时菜园获得的毛利润Y=20-0.8-2=17.2(万元).∴汽车走公路2时菜园获得的毛利润Y的分布列为Y20.217.2P数学期望E(Y)=20.2×+17.2×=18.7(万元).∵E(X)<E(Y)，∴选择公路2运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多.。

(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)

一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ．参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）．附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率．【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．（2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误；由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】（1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭，即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=，解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案．【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=；（2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。

随机变量及其分布单元测试卷（A卷）答案与提示

一、选择题1.D 提示:P (X =3)=68ˑ57ˑ26=528㊂2.A 提示:E (X )=12a +2m =1,D (X )=12-m +12(1-a )2+m =12+12(1-a )2,D (2X -1)=2=4D (X ),故有4ˑ12+12(1-a )2=2㊂解得a =1,故m =14㊂3.C 提示:设语文课本有n 本,则数学课本有(7-n )本,则2本都是语文课本的概率是C 2n C 07-nC 27=27,n 2-n -12=0,解得n =4或n =-3(舍去),故语文课本有4本㊂4.A 提示:密度曲线φ(x )=1102π㊃e-(x -100)2200,所以μ=100,σ=10,即平均值为100,标准差为10,方差为100,故B 错误,D错误㊂P (X >120)=P (X <80),故A 正确,P (100<X <110)=P (90<X <100)>P (80<X <90),故C 错误,选A ㊂5.D 提示:任意抽取4个产品有C 412种不同的抽取方法,其中恰好有1个二等品的抽法有C 12C 310种,故所求事件的概率为C 12C 310C 412,选D ㊂6.A 提示:因为ξ~B (10,0.4),所以E (ξ)=10ˑ0.4=4,D (ξ)=10ˑ0.4ˑ0.6=2.4㊂因为η=8-2ξ,所以E (η)=E (8-2ξ)=8-2E (ξ)=0,D (η)=D (8-2ξ)=4D (ξ)=9.6,选A ㊂7.B 提示:P (A )=A 3663=59,P (B )=63-5363=91216,P (A B )=C 25A 3363=518㊂P (B |A )=P (A B )P (A )=51859=12,故选B ㊂8.D 提示:A 1表示零件来自甲工厂,P (A 1)=0.5;A 2表示零件来自乙工厂,P (A 2)=0.3;A 3表示零件来自丙工厂,P (A 3)=0.2㊂B 表示取得的产品为次品,P (B |A 1)=0.1,P (B |A 2)=0.2,P (B |A 1)=0.3㊂由P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)㊃P (B |A 2)+P (A 3)P (B |A 3),可得:P (B )=0.5ˑ0.1+0.3ˑ0.2+0.2ˑ0.3=0.17㊂9.B 提示:正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于正面朝上出现的次数范围为4ɤX ɤ6,于是P (4ɤX ɤ6)=C 410ˑ0.510+C 510ˑ0.510+C 610ˑ0.510=6721024=2132,故选B ㊂10.C 提示:对于选项A ,由图像可得甲地学生的数学平均成绩90分比乙地的数学平均成绩100分低,故A 错误㊂对于选项B ,由图像可得甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的大㊂对于C ,解法一:若σ2=8,则P (92ɤY ɤ108)ʈ0.6827,P (84ɤY ɤ116)ʈ0.9545,P (76ɤY ɤ124)ʈ0.9973㊂P(116ɤY ɤ124)=P (76ɤY ɤ124)-P (84ɤY ɤ116)2ʈ0.0214㊂P(108ɤY ɤ116)=P (84ɤY ɤ116)-P (92ɤY ɤ108)2ʈ0.1359㊂P (92ɤY ɤ124)=P (92ɤY ɤ108)+P (108ɤY ɤ116)+P (116ɤY ɤ124)㊂所以P (92ɤY ɤ124)ʈ0.6827+0.1359+0.0214=0.84㊂解法二:P (92ɤY ɤ124)=P (92ɤY ɤ100)+P (100ɤY ɤ124)=P (92ɤY ɤ108)2+P (76ɤY ɤ124)2㊂P (92ɤY ɤ124)=0.68722+0.99732ʈ0.84㊂对于选项D ,由甲地学生成绩的正态曲线的对称性可得,P (90ɤX ɤ94)=P (86ɤX ɤ90)<P (82ɤX ɤ90),D 错误㊂11.C 提示:由题意得,P (A 1)=0.5,P (A 2)=0.4,P (A 3)=0.1㊂P (B |A 1)=0.9,P (B |A 2)=0.9,P (B |A 3)=0.8,故A 正确㊂P (B |A 1)=1-P (B |A 1)=1-0.9=0.1,故B 正确㊂由P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)+P (A 2)P (B |A 2),可得:P (B )=0.5ˑ0.9+0.4ˑ0.9+0.1ˑ0.8=0.89,故C 不正确㊂P (A 3B )=P (B |A 3)P (A 3)=0.8ˑ0.1=0.08,P (A 3|B )=P (A 3B )P (B )=0.080.89=889,故D 正确㊂综上所述,选C ㊂12.D 提示:P k =Ck 623k1-236-k,k=0,1,2, ,6,所以P 1=C 1623 1ˑ13 5=4243,P 5=C 5623 5ˑ13 1=64243,故P 1<P 5,选项A ,B 错误㊂因为ð6k =0P k =1,而P 0=C 0623136=1729ʂ0,所以C 错误㊂设P 0,P 1,P 2,,P 6中的最大值为P i (0ɤi ɤ6,i ɪN ),则有P i ȡP i +1,P i ȡP i -1,即C i 623 i 136-iȡCi +1623i +1135-i,C i 623i13 6-iȡC i -1623 i -1137-i,解得113ɤi ɤ143㊂又i ɪN ,所以i =4,即P 0,P 1,P 2,,P 6中的最大值为P 4,选D ㊂二、填空题13.13 提示:P (X =1)+P (X =0)=1,则3P (X =0)=1,故P (X =0)=13㊂14.0.14 提示:因P (X >2)=0.5,故P (X >3)=P (X >2)-P (2<X ɤ3)=0.14㊂15.21 提示:m +n +13+16=1,E (X )=-2n +13+2m =0,所以m =16,n =13㊂D (X )=13ˑ4+13ˑ1+16ˑ4=73,所以D (3X -1)=9D (X )=21㊂16.①②④ 提示:设Y =X -1,由题意可得Y ~B 4,12㊂所以P (X =1)=P (X =5)=P (Y =0)=P (Y =4)=C 04124=116,故①正确;P (X =2)=P (X =4)=P (Y =1)=P (Y =3)=C 14124=14,P (X =3)=P (Y =2)=C 24124=38,则P (X =k )ɤP (X ɤ3)(k =1,2,3,4,5),故②正确;E (X )=E (Y )=0ˑ116+1ˑ14+2ˑ38+3ˑ14+4ˑ116=2,故③不正确;D (X )=D (Y )=4ˑ122=1,故④正确㊂三、解答题17.设B 为取出的零件是次品,A 为被挑出零件来自第一箱㊂(1)由题意可知,P (A )=P (A )=12㊂P (B )=P (A )P (B |A )+P (A )P (B |A )=12ˑ210+12ˑ320=740㊂(2)P (A |B )=P (A B )P (B )=P (A )P (B |A )P (B )=12ˑ210740=47㊂18.(1)Y =2表示决出冠军需要进行2局比赛,即甲连赢2局或乙连赢2局㊂P (Y =2)=0.6ˑ0.6+0.4ˑ0.4=0.52㊂(2)若采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X 表示3局比赛中甲胜的局数,则X ~B (3,0.6)㊂甲最终获胜的概率P 1=P (X =2)+P (X =3)=C 23ˑ0.62ˑ0.4+C 33ˑ0.63=0.648㊂若采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X 表示5局比赛中甲胜的局数,则X ~B (5,0.6)㊂下面计算甲最终获胜的概率:因为P 2=P (X =3)+P (X =4)+P (X=5),所以P 2=C 35ˑ0.63ˑ0.42+C 45ˑ0.64ˑ0.4+C 55ˑ0.65=0.68256㊂因为P 2>P 1,所以5局3胜制对甲有利㊂19.(1)设走L 1路线,求最多遇到1次红灯为事件A ,则A 包括没有遇到红灯和只遇到1次红灯的情况㊂则P (A )=C 031-123+C 13ˑ12ˑ1-122=12,故走L 1路线最多遇到1次红灯的概率为12㊂(2)由题意得Y 可能取值为0,1,2㊂P (Y =0)=1-34 ˑ1-35=110,P (Y =1)=34ˑ1-35 +1-34 ˑ35=920,P (Y =2)=34ˑ35=920㊂故Y 的分布列如表1㊂表1Y 012P110920920所以E (Y )=0ˑ110+1ˑ920+2ˑ920=2720㊂(3)设选择L 1路线遇到红灯的次数为X ,则X ~B 3,12,所以E (X )=3ˑ12=32㊂因为E (Y )<E (X ),所以小明选择L 2路线最好㊂20.(1)由题意可得,X 的可能取值为2,3,4,5㊂因为p =23,所以P (X =2)=13ˑ12=16,P (X =3)=13ˑ12=16,P (X =4)=23ˑ12=13,P (X =5)=23ˑ12=13㊂故X 的分布列如表2㊂表2X 2345P16161313E (X )=2ˑ16+3ˑ16+4ˑ13+5ˑ13=236㊂(2)设一天得分不低于4分为事件A ,P (A )=p ˑ1-12+p ˑ12=p ㊂则f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 3(1-p )2㊂则f '(p )=10p 2(1-p )(3-5p )㊂当0<p <35时,f '(p )>0,故f (p )在0,35上单调递增;当35<p <1时,f '(p )<0,故f (p )在35,1上单调递减㊂故当p =35时,f (p )取最大值㊂21.(1)质量超过505g 产品的频率为5ˑ0.05+5ˑ0.01=0.3,所以质量超过505g 的产品数量为40ˑ0.3=12(件)㊂(2)质量超过505g 的产品数量为12件,则质量未超过505g 的产品数量为28件,故X 服从超几何分布㊂P (X =0)=C 228C240=63130,P (X =1)=C 112C 128C 240=2865,P (X =2)=C 212C 240=11130㊂故X 的分布列如表3㊂表3X 012P63130286511130(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品该产品的质量超过505g 的概率为1240=310,从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可以看成2次独立重复试验,质量超过505g 的Y 的可能取值为0,1,2,且Y ~B 2,310㊂P (Y =0)=C 02ˑ7102=49100,P (Y =1)=C 12ˑ310ˑ710=2150,P (Y =2)=C 223102=9100㊂故Y 的分布列如表4㊂表4Y 012P491002150910022.(1)记小明答对题的个数为Y ,由题意Y ~B 4,34,则小明至少答对3道题的概率为P (Y ȡ3)=P (Y =3)+P (Y =4)=C 343431-34+C 44344=189256㊂(2)由题意小宇答对题的个数X =2,3,4,则P (X =2)=C 26C 22C48=1570=314,P (X =3)=C 36C 12C 48=4070=47,P (X =4)=C 46C 02C 48=1570=314㊂故随机变量X 的分布列如表5㊂表5X 234P31447314E (X )=2ˑ314+3ˑ47+4ˑ314=3㊂(3)从答题的均值方面分析由(1)可知,E (Y )=4ˑ34=3㊂故E (X )=E (Y ),于是小明和小宇答对题的平均水平相当㊂因为D (X )=(2-3)2ˑ314+(3-3)2ˑ47+(4-3)2ˑ314=37,D (Y )=n p (1-p )=4ˑ34ˑ14=34,所以D (X )<D (Y )㊂从正确答题的个数的方差方面分析,小宇成绩发挥比较稳定㊂因为P (Y ȡ3)=189256,P (X ȡ3)=47+314=1114,所以P (X ȡ3)>P (Y ȡ3)㊂因此,从至少答对3道题进入决赛的概率方面分析,小宇进入决赛的可能性大㊂综上所述,选择小宇参加市级比赛会更好㊂(责任编辑徐利杰)。

(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．72．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都不相同”，B =“至少出现一个5点”，则概率()P A B =（） A ．1011B ．511C ．518D ．5363．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D X 的最大值为（） A ．29B ．59C ．34D ．234．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小 D ．()D ξ先减小后增大5．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.86416．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A．12B．25C．35D．457．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17B．18C．114D．3148．在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（）A．15B．25C．35D．459．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A，2A，3A表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（）A．事件B与事件1A不相互独立B．1A，2A，3A是两两互斥的事件C．()3 5P B=D．()17|11P B A=10．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则Eξ=（）A．145B．135C．73D．8311．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A．14B．13C．12D．112．将两枚骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同}，B={至少出现一个3点}，则(|)P B A=（）A ．13B ．518C ．1011D ．12二、填空题13．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.14．甲、乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是______.15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．16．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示．若()()0,1E X D X ==，则a b -的值为__________．17．已知X 服从二项分布()100,0.2B ，则()32E X --= ________.18．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．三、解答题19．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：y （秒）99 99 4532 3024 21现用y a x=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ?参考数据（其中1i iz x =） 71i ii z y =∑z72217i i zz =-⨯∑184.50.37 0.55对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni i i nii u vnuv av u unu ββ==-==--∑∑. （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .20．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.21．某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP72人48人40人80人B款APP60人60人84人36人（1）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率､该企业女职工使用A款APP的概率；（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A款APP的男､女用户占比情况和使用B款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.22．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.23．某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：车尾号 0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五. （1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X .24．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.25．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm )，将测量结果按)0.6,0.8⎡⎣，)0.8,1.0⎡⎣，)1.0,1.2⎡⎣，)1.2,1.4⎡⎣，[]1.41.6,分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x -(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x -，0.23σ=，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm 的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求1ξ≤的概率和ξ的数学期望.附：19170.04620⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，若随机变量()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.2．A解析：A 【分析】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．【详解】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个5点”的情况数目为665511⨯-⨯=， “两个点数都不相同”则只有一个5点，共12510C ⨯=种，故10(|)11P A B =．故选：A ．【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率．3．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-， ∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号．则()D X 的最大值为23. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．4．A解析：A 【分析】计算出()E ξ和()2E ξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑，由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=，所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==，故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．B解析：B 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.9．C解析：C 【分析】依次判断每个选项得到答案. 【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.10．A解析：A 【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望. 【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.11．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.12．A解析：A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =, (|)P B A =()()n AB n A . 二、填空题13．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+；【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a ba b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值．【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】根据古典概型的概率计算公式先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下乙不跑第二棒的的基本事件数：即可得到答案【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件解析：79【分析】根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：1333C A ，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：13123322C A A A -，即可得到答案.【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件数：133318C A =，甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件有12224A A =，所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有1312332214C A A A -=，所以由古典概型的概率公式得：在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：147189P ==. 故答案为：79. 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.15．【分析】求出甲获得冠军的概率比赛进行了局的概率根据条件概率公式得到答案【详解】根据题意甲获得冠军的概率为其中比赛进行了局的概率为所以在甲获得冠军的条件下比赛进行了3局的概率为故答案为【点睛】本题考查解析：25【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了3局的概率，根据条件概率公式，得到答案. 【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=，其中，比赛进行了3局的概率为212122833333327⋅⋅+⋅⋅=，所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527P ==.故答案为25.【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.16．【分析】根据题目条件中给出的分布列可以知道和之间的关系根据期望为0和方差是1又可以得到两组关系这样得到方程组解方程组得到要求的值【详解】由题知由题得则故选【点睛】本题考查期望方差和分布列中各个概率之解析：16【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道a 、b 、c 和112之间的关系，根据期望为0和方差是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．【详解】由题知1112a b c ++=，106a c -++=，由题得2221(10)(10)(20)112a c --⨯+-⨯+-⨯=， 512a ∴=，14b =．则5111246a b -=-=．故选A ．【点睛】本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量不大，解题时要认真．17．【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得再求详解：因为服从二项分布所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式考查基本求解能力解析：62-【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得()E X ，再求()32E X --. 详解：因为X 服从二项分布()100,0.2B ，所以()1000.220,E X =⨯=所以()32320262.E X --=-⨯-=-点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.18．15【解析】分析：根据正态分布概率计算可求出120分以上的概率；根据分层抽样可求出120分以上抽取样本的数量详解：根据正态分布所以根据分层抽样中概率值可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正解析：15．【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量．详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．三、解答题19．（1）100ˆ13yx=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509. 【分析】（1）利用题设中的数据清除y 的平均值，进而可以求出ˆb的值和ˆa 的值，即可求解；（2）写出随机变量X 的可能取值，求出对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为：100ˆ13yx=+，所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒（2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，1422(4)669A P X ⨯===⨯，()111142241205(6)66369A A A A P X ++====⨯，11221(9)669A A P X ⨯===⨯，所以X 的分布列为所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）56万；（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为0.441，数学期望2.1，方差0.63. 【分析】（1）根据频率分布直方图可直接计算该组的频率，故可估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，满足二项分布，进而可求概率，期望及方差. 【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为0.00410200080⨯⨯=万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为800.756⨯=万.（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为()()()212320.710.70.441P X C ==-=.数学期()30.7 2.1E X =⨯=，方差()30.70.30.63D X =⨯⨯=.21．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=，同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=；（2）X 的可能取值为0，1，2，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3112535P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 的数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=；（3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112≈%；女用户占4035.7112≈%，样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144≈%；女用户占8458.3144≈%， ∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.22．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ，当38a =时，386228X =⨯=，515010p ；当39a =时，396234X =⨯=，101505p ；当40a =时，406240X =⨯=，101505p；当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ；当42a=时，40627254X =⨯+⨯=，515010p，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X 的分布列为：故()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<，所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.23．（1）0.5；（2）分布列见解析，1.7. 【分析】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，根据()()1111P C P A B A B =+计算可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，求出X 的各个取值的概率可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5由已知可得()0.6i P A =，()0.5i P B = 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，因为A ，B 两车是否出车相互独立，且事件11A B ，11A B 互斥，所以()()()()()()()()111111111111P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+()()0.610.510.60.5=⨯-+-⨯0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. （2）X 的可能取值为0，1，2，3()()()11200.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=()()()()()211210.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= ()()()()()112220.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=()()()11230.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=所以X 的的分布列为00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问分析出X 的可能取值，搞清楚X 的每个取值对应的事件是解题关键.。

2024年高二数学单元速记——随机变量及其分布(单元重点综合测试)(19题新结构)(解析版)

2
2
故选：D.
2．（2023 下·广东肇庆·高二校考期中）已知 P A 0.5 ， P B 0.3 ， P B A 0.1，求 P B | A （）
A． 1 10
B．
1 3
C． 1 5
【答案】C
【分析】直接利用条件概率公式计算.
【详解】由题可得
PB
|
A
P AB PA
0.1 0.5
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【答案】D
【分析】根据正态分布的均值与标准差的值，利用正态分布图的对称性特征计算即得.
【详解】因服从正态分布 N 2, 2 ，且 P 0 0.2 ，故 P 4 0.2 ，
于是 P(2 4) 1 [1 2P( 0)] 1 (1 2 0.2) 0.3.
由全概率公式得
pn1
1 2
qn
1 2
1
pn
qn
，
2 pn1 pn 1 2
2 pn1
pn
，即
pn1
pn
1，
8
当且仅当 2 pn1
pn
1 2
时等号成立.
故选：C．
8．（2020·浙江·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没
有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 p ，随机变量 X 表示最终的比赛局数，若 0 p 1 ， 3
12．（2024 上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径 X N 10, 4 ，现在抽取 10000 件进
行检查，则直径在 12,14 之间的零件大约有
件.
（注： P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974 ）

(典型题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(含答案解析)

一、选择题1．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%2．一个盒子内装有3个红球，4个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（） A ．16B ．15C ．14D ．133．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭4．若X ～B （20，0.3），则（） A ．E （X ）＝3 B ．P （X ≥1）＝1﹣0.320 C ．D （X ）＝4D ．P （X ＝10）1010200.21C =⨯5．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X 的期望值()E X =（） A ．25B ．24C ．22D ．206．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.86417．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．598．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（） A ．17B ．18C ．114D ．3149．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若21211p p <<<，则（） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X >10．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．313B ．413C ．14D ．1511．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3ξ＋5)＝( ) A ．6 B ．9 C ．3D ．412．若随机变量()100,,X B p X ~的数学期望()24E X =，则p 的值是( ) A ．25B ．35C ．625D ．1925二、填空题13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()104P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=______. 14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N （100，100），且110120X <<的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.参考数据，若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.15．已知随机变量2(1,)X N σ，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________．16．设随机变量()()10,1,910XN P X a ≤<=，其中119a =⎰，则()11P X ≥=__________．17．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16；②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝21xx x e--+－a 有三个零点； ③设线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；以上四个结论正确的是________．(把你认为正确的结论都填上) 18．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．三、解答题19．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23. （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.20．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为34，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p ，()q p q >，且不同种产品是否受欢迎相互独立，记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为：ξ0123P 120a b15（2）求p，q的值；（3）求数学期望()Eξ.21．张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为1 2 .（1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 22．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.23．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A类题和3道B类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B类题的概率；（2）若答对A类题每道计1分，答对B类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A类题，2道B类题，且他答对每道A类题的概率为23，答对每道B类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X表示考生乙的得分，求X的分布列和数学期望.24．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：年龄[)20,28[)28,36[)36,44[)44,52[)52,600.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.26．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. （1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数X 的分布列与期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.2．B解析：B 【分析】取出两个球，设其中一个球是红球为事件A ，求出()P A ，设取出的另一个球是红球为事件B ，然后求出()P AB ，由此利用条件概率公式，求出从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，另一个也是红球的概率．【详解】取出两个球，设其中一个球是红球为事件A ，则()P A 2113342757C C C C +==，设取出的另一个球是红球为事件B ，则23271()7C P AB C ==，∴从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是1()17(|)5()57P AB P B A P A ===．故选：B 【点睛】本题考查概率的求法，古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.4．D解析：D 【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可. 【详解】因为20,0.3n p ==，所以()200.36E X =⨯=，()()200.310.3 4.2D X =⨯⨯-=()()()202020110110.310.7P X P X C ≥=-==--=- ()()10101010102020100.310.30.21P X C C ==-=⋅故选：D 【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.5．A解析：A 【分析】设剩余10题答对题目为Y 道,则可表示出总的得分情况为202X Y =+.由二项分布可先求得()E Y ,即可得所得积分X 的期望值()E X 【详解】设剩余10题答对题目为Y 个,有10道题目会做,则总得分为202X Y =+,且1~10,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭由二项分布的期望可知()110 2.54E Y =⨯= 所以()()2202 2.52025E X E Y =+=⨯+= 故选:A 【点睛】本题考查了离散型随机变量的简单应用,二项分布的数学期望求法,属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==，故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．8．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.9．C解析：C【分析】根据题目已知条件写出12,X X 的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】依题意可知：由于2121p p <<<，不妨设12,34p p ==.故121223,,34EX EX EX EX ==<,121223,,916DX DX DX DX ==>，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.11．A解析：A 【分析】直接利用方差的性质()()2D a b a D ξξ+=⨯求解即可.由题意得()()112323E ξ=⨯++=， ()()()()2221212223233D ξ⎡⎤∴=-+-+-=⎣⎦，()()23536D D ξξ+=⨯=，故选A.【点睛】本题主要考查方差的性质与应用，意在考查对基本性质掌握的熟练程度，属于中档题.12．C解析：C 【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可. 详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =，据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】根据计算得到再计算得到答案【详解】则；故故答案为：【点睛】本题考查了方差的计算意在考查学生的计算能力解析：12【分析】根据()()3124P P ξξ=+==，()()()1221P E P ξξξ=+===计算得到 ()()111,224P P ξξ====，再计算()D ξ得到答案.【详解】()104P ξ==，则()()3124P P ξξ=+==；()()()1221P E P ξξξ=+===故()()111,224P P ξξ====.()()()()22211111011214242D ξ=-+-+-=故答案为：12本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.14．40000【分析】首先根据条件判断可知根据条件求得概率最后再计算样本总量【详解】可知又（件）故填：40000【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题计算正态分布下的概率时需充分应用曲线关于对称对称轴解析：40000 【分析】首先根据条件判断100,10μσ==，可知()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+，根据条件求得概率，最后再计算样本总量. 【详解】()100,100XN可知100,10μσ==()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+()()222P x P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=0.95450.68270.13592-==,又5436400000.1359=（件）. 故填：40000. 【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于x μ=对称，对称轴两侧的概率均为0.5.15．02【分析】随机变量得到曲线关于称根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果【详解】随机变量∴曲线关于对称∴故答案为02【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义函数图象对称性的应用等解析：0.2 【分析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（），根据概率的性质得到结果．【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题16．【解析】分析：随机变量根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果详解：由题意所以因为随机变量所以曲线关于对称所以点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义其中利用正态分布曲线的对称性是解析：16【解析】分析：随机变量()10,1X N ~，根据曲线的对称性得到()()1190.5(910)P X P X P X ≥=≤=-≤<，根据概率的性质得到结果.详解：由题意1144191|3a ===，所以1(910)3P X ≤<=，因为随机变量()10,1X N ~，所以曲线关于10x =对称，所以()()11190.5(910)6P X P X P X ≥=≤=-≤<=. 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中利用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.17．①③④【解析】由正态分布曲线得①正确；令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增得且时的图象如图所示函数有两个零点故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当时错误故为假命题为真命题④正确故答案为①解析：①③④ 【解析】由正态分布曲线得()()()24140.16P P P ξξξ≤-=≥=-≤=，①正确；令()21x x x g x e --+=，得()22'xx x g x e --=，当(),1x ∈-∞-时，()()'0,g x g x >单调递增，当()1,2x ∈-时，()()'0,g x g x <单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()'0,g x g x >单调递增，得()()21,25g e g e --==-，且10,2g x ⎛-=→+∞ ⎝⎭时，()()'0,g x g x <∴的图象如图所示函数有两个零点，故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当0x =时，01e >错误，故p 为假命题，p ⌝为真命题，④正确，故答案为①③④．18．4【解析】①错误因为离散型随机变量ξ的期望反映了ξ取值的平均水平②错误因为离散型随机变量ξ的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度③错误因为离散型随机变量的方差反映了ξ取值的波动水平而随机变量的期望解析：4 【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差()D ξ反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知正确．三、解答题19．（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则X 的分布列如表所示.()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况：由第i 等级到第1i等级，其概率为23i P ；由第1i -等级到第1i 等级，其概率为113i P -；所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P +--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明. 20．（1）1920；（2）23p =，25q =；（3）10960. 【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得结果；（2）由1(0)20P ξ==与1(3)5P ξ==联立可解得结果；（3）求出,a b 后，根据数学期望公式可求得结果. 【详解】（1）设事件i A 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，1i =，2，3.由题意可知()134P A =，()2P A p =，()3P A q =. 由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“0ξ=”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是()1191012020P ξ-==-=.（2）由题意可知，()()()()12311011420P P A A A p q ξ===--=，且()()12331345P P A A A pq ξ====，所以整理得，415pq =，且1615p q +=，结合p q >解得23p =，25q =.（3）由题意可知，()()()()1231231231a P P A A A P A A A P A A A ξ===++()()()()3111111444p q p q p q =--+-+- 313123112435435435=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1760=， ()()()()21013b P P P P ξξξξ===-=-=-=1171120605=--- 715=，因此，()()()()00112233E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=1771012360155=+⨯+⨯+⨯ 10960=. 【点睛】关键点点睛：利用独立事件的乘法公式求出,a b 是解题关键. 21．（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望. 【详解】（1）张明答4道题进入下一轮的概率为411()216=，答5道题进入下一轮的概率为3341111()2228C ⋅⋅⋅=，答6道题进入下一轮的概率为33251115()()22232C ⋅⋅⋅=，答7道题进入下一轮的概率为33361115()()22232C ⋅⋅⋅=，张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=；（2）ξ可能取值为4､5､6､7，当4ξ=时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰，44111(4)()()228P ξ==+=，3333441111111(5)()()2222224P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，332332551111115(6)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，333333661111115(7)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，于是ξ的分布列为：5593()456784161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问和第一问的对应的概率不一样，比如第一问当5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，第二问5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，或是被淘汰，分清事件，才能正确写出概率.22．（1）0.94；（2）0.85. 【分析】（1）先求出一箱中有i 件残次品的概率，再求查看的有i 件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．【详解】设A ＝‘顾客买下该箱’，B ＝‘箱中恰有i 件残次品’，i ＝0,1,2，(1)α＝P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝0.8＋0.1×419420C C ＋0.1×418420C C ≈0.94.(2)β＝P (B 0|A )＝()()00.80.94P AB P A =≈0.85. 【点睛】结论点睛：应用条件概率时弄清概率P (B |A )和P (AB ) 的区别与联系: (1)联系:事件A 和B 都发生了;(2)区别: a 、P (B | A )中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后;在P (AB )中，事件A 、B 同时发生.b 、样本空间不同，在P (B |A )中，样本空间为A ,事件P (AB )中,样本空间仍为Ω.23．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213353382()7C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，所以2211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211(1)1326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，122111(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122111(3)13223P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 222211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2211(5)326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以123456631263EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.24．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为32. 【分析】（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可. 【详解】解：（1）由题可得22⨯联表如下：∵2100(3554515)256.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯.∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.（2）由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以X 的可能取值有0，1，2.0262281(0),28C C P X C ===1126283(1),7C C P X C ===262815(2),28C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：()012287282E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 25．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，65. 【分析】(1) 根据调查结果数据直接填入22⨯列联表，并代入公式，计算出2k 的值，与独立性检验判断表比较作出判断.(2). 先计算经常运动且不肥胖的概率p 和变量X 的可能种数，判断随机变量X 服从二项分布，用二项分布概率公式计算，再利用分布列求期望. 【详解】（1）2100(20164024) 6.93 6.63560404456K ⋅⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；（2）经常运动且不肥胖的概率为：4021005= X 的所有可能取值为0，1，2，30312333272354(0)(),(1)()512555125P X C P X C =====⨯⨯=223335233628(2)(),(3)()551255125P X C P X C ==⨯===⨯=X 的分布列：()1231251251255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验和二项分布的概率及数学期望.(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出2k 的值；独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．(2) 二项分布解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数,n p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率→列分布列，求期望. 26．（1）827；（2）答案见解析．【分析】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23，从而甲答对题目数~(43,)2B ξ，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率；（2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．【详解】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23， ∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率222418()(223)37P C ==．（2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，22284102(2)15C C P X C ===， 13284108(3)15C C P X C ===， 484101(4)3C P X C ===， X ∴的分布列为：()=234=151535E X ⨯+⨯+⨯. 【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．。

选修2-3：第二章随机变量及其分布单元测试题

选修2-3 第二章随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：则P (ξ＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 8 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望E (ξ)等于( )A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243 5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6a14－a 2则D (3ξ－3)等于( )A ．42B ．135C ．402D ．405 10．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)等于( )A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116 12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1B．A2 C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X 稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．第二章随机变量及其分布列1.答案 C解析 P (ξ＝10)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案 A解析所求的概率为1－C 237C 240＝1－37×3640×39＝0.146 2.3.答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3. ∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4.答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26·(23)4·(13)2＝80243. 5.答案 D解析 P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案 B解析所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7.答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋ (6)＝16×[6×(1＋6)2]＝3.5. 8.答案 A解析由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516. 9.答案 D 10.答案 D解析由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由标准正态分布图像可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p . 故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p .11.答案 B解析设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C )·P (D )＝5564.12.答案 C 13.答案 25，45解析由题意P (ξ＝k )＝110(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝55.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 15.答案 3,1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1. 16.答案 0.128解析此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析 ξ的取值分别为3,4,5，P (ξ＝5)＝C 22C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 24C 35＝35，所以ξ的分布列为18.解析 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝C 4C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.19.解析 (1)X 的概率分布列为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E (X )＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 为离散型随机变量，且X 服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，则可得X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.21.解析 (1)由图可知：P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2， P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15， P (X 甲＝9)＝0.3.所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. 因为P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65， P (X 乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为 P ＝P (X 甲≥9)·P (X 乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.。

2023年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布章末测验含答案解析

第七章随机变量及其分布（单元测试）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．110B．13C．14D．23需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：万元，从年均收益的角度分析：（）A．不更换设备B．更换为A设备C．更换为B设备D．更换为A或B设备均可【答案】C【分析】根据随机变量分布列分别计算出A、B品牌设备使用年限的平均值，从而可计算出各自的年均收益，进而可进行判断【详解】设更换为A品牌设备使用年限为X，则()20.430.340.250.13E X=⨯+⨯+⨯+⨯=年，更换为A品牌设备年均收益为310060240⨯-=万元；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则()20.130.340.450.2 3.7E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=年，更换为B品牌设备年均收益为3.710090260⨯-=万元．所以更换为B 品牌设备，3．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（）A ．112B ．143144C ．1172D ．231444．已知随机变量X 服从正态分布,N ，若151P X P X ≥-+≥=，则（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【详解】随机变量(P X ≥-(5P X ∴≥5．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（）附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.93205若，则D X =（）A ．0.49 B ．0.69C ．1D ．27．已知某种产品的合格率是9，合格品中的一级品率是5.则这种产品的一级品率为（）A ．2845B ．3536C ．45D ．23A ．有最大值，()X 有最大值B ．()E X 有最大值，()D X 无最大值C ．()E X 无最大值，()D X 有最大值 D ．()E X 无最大值，()D X 无最大值或者多项是符合题目要求的.9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量31Y X =-+，且，则（） A ．0.1m = B ．0.1n =C ．()8E Y =-D ．()7.8D Y =-【答案】BC【分析】先由()3E X =可得40.7m n +=，再由概率和为1得0.4m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望和方差公式求()E Y ，()D Y 即可，从而可得答案【详解】由()120.130.2450.33E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得40.7m n +=，又由0.10.20.31m n ++++=得0.4m n +=，从而得0.3m =，0.1n =，故A 选项错误，B 选项正确； ()()318E Y E X =-+=-，故C 选项正确；因为()()()()()22220.3130.1230.1430.353 2.6D X =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，所以()D Y =()()2323.4D X -=，故D 选项错误，10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布211(,)N μσ，222(,)N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈. A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587子里随机取出()16,N*n n n ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球。

高中随机变量及其分布测试卷

随机变量及其分布测试卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A ．取到球的个数B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取得一个红球的概率解析：随机变量是随着试验结果变化而变化的变量，只有B 项满足．答案：B2．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，若η＝5ξ＋1，则E (η)等于()ξ012P 715715115A ．4B ．5C.35 D.23解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，∴E (η)＝E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝4.答案：A3．甲、乙两歼击机的飞机员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为()A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B －＋A －B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D 项．答案：D4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.75＝0.8，故选A 项．答案：A5．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由题图可知μ1<μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1<σ2.答案：A6．已知ξ～B n ，12，η～B n ，13E (ξ)＝15，则E (3η＋6)等于()A ．30B C ．36D ．10解析：因为ξ～B n ，12E (ξ)＝n 2.又E (ξ)＝15，则n ＝30，所以η～B 30，13故E (η)＝30×13＝10.∴E (3η＋6)＝3E (η)＋6＝36.答案：C7．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是()A ．E (X )＝0.01B ．P (X ＝k )＝0.01k ×0.9910－kC ．D (X )＝0.1D ．P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k 解析：∵X ～B (10,0.01)，∴E (X )＝10×0.01＝0.1，D (X )＝10×0.01×0.99＝0.099.∴P (X＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k .答案：D8．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)等于()A ．2.5B ．1.5C ．0.5D ．3.5解析：0.2n ＝2，6p (1－p )＝32，n ＝10，p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.答案：A9．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125%解析：记“任选一件产品是合格品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A －)＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B .由于一级品必是合格品，所以事件A 包含事件B ，故P (AB )＝P (B )．由合格品中75%为一级品知P (B |A )＝75%；故P (B )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝96%×75%＝72%.答案：C10．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝()A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977解析：因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称．又P (X >2)＝0.023，所以P (X <－2)＝0.023，所以P (－2≤X ≤2)＝1－P (X >2)－P (X <－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C11．某商家进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖顾客现金1000元．小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ(元)，则E (ξ)等于()A ．1850元B ．1720元C ．1560元D ．1解析：P (ξ＝2450)＝64125，P (ξ＝1450)＝C ＝48125，P (ξ＝450)＝C12125，P (ξ＝－550)＝C ＝1125.E (ξ)＝2450×64125＋1450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1850(元)．答案：A12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ(i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则()A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)解析：法一(特值法)：取m ＝n ＝3进行计算，比较即可．法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1×P (ξ1＝1)＋2×P (ξ1＝2)＝m m ＋n＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n 2(m ＋n )，从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1m C 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2m C 2m ＋n＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1×P (ξ2＝1)＋2×P (ξ2＝2)＋3×P (ξ2＝3)＝2m m ＋n＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n 3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A 项．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示ξ012P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为________．解析：由题意知，a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ，b ＋2c ＝43.解得a ＝16，b ＝13，c ＝12∴D (ξ)×16＋×13＋×12＝59.答案：5914．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.答案：2315．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20<x ≤60＋20)＝0.9544，P (X >80)＝12(1－0.9544)≈0.0228，故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．答案：22916．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1，A 2，A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1，A 2，A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，则P (B |A 1)＝511P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率；(2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p ，则失败的概率为1－p .依题意有p＝4(1－p )，解得p ＝45.(1)成功的概率为(1－p )2p ×45＝4125.(2)恰有两次成功的概率为p 1＝C ×15＝48125.18．(12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．X012P610110310Y012P 510310210解析：工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．19．(12分)甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能够破译的概率．解析：设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A －B －，则P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )，又A B －与A －B 互斥，所以P [(A B －)∪(A －B )]＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝13×14＝512.(4)“至多一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )∪)(A －B －)，而A B －、A －B －、A －B －互斥，故P [(A B －)∪(－)－－P (A －)(－B (A －B －)＝P (A )P (B －)＋P (A －)·P (B )＋P (A －)P (B －)＝13××14＋＝1112.20．(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N (70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解析：(1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P (X ≥90)＝P (X ≤50)＝12[1－P (50<X <90)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]＝12×(1－0.9544)＝0.0228，120.0228≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝12[1－P (60<X <80)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．21．(12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．解析：(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，所以P (A )＝C ＋C ＝727.(2)所含“票和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C ＝1；P (X ＝1)＝C ＝627；P (X ＝2)＝C ＝1227；P (X ＝3)＝C ＝827.因此X 的分布列为X 0123P 1276271227827所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或由X ～B E (X )＝3×23＝2)22．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544.解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X ～B (100，0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26.。

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