《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案二
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《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案
习 题 二
1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限： （1）; )1(1>=
a a
x n
n （2）; 3)
1(n
n x -= （3）; 1
1n
g x n = （4）; )11()1(n
x n n +-= （5）; 1
)1(3n x n n -+= （6）; 1sec n
x n =
（7）; 2642)12(531lim
n n n ++++-++++∞→ （8）. 2
121121211lim )1(22-∞→++++++
n n
解：1）收敛.因为当∞→n 时,; )1(>∞→a a n 所以; 0→n x 所以. 01
lim lim ==∞
→∞
→n
x n x a
x
2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数
n n x x n n 3
1
3 所以
n x 是发散的;
3)发散的.因为当∞→n 时,01→n ;所以-∞→=n
g x n 1
1; 4)因为⎩⎨
⎧-=为奇数
为偶数n n x n 1 1 所以n x 是发散的;
5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31
)1(3→-+=n x n n ;即∞
→x lim 3=n x ; 6)收敛的.当∞→n 时,
01→n ;11
sec →n ;即∞
→x lim 1=n x ; 7)因为n
n n n n n n n +=+-+=++++-+++12
)22(2)
121(2642)12(531 ;
所以∞
→x lim
11=+n
n
; 所以是收敛的;
8)因为
232
11)
21(12121
12
121121211121)
1(221=---
-
=++++++
----n n n n
1211-+n
所以2
3
211
23lim 1=
+-∞→n x ; 所以是收敛的;
2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.
解：数列为; 21 , , 2
1 , 21,11
-n 2
所以通项为; 211
-=
n n a 所以∞
→x lim 0=n a ;
3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：
（1）; )0(lim 0
>→μμx x （2）; )0(lim <∞
→μμx x
（3）; 1) , 0(lim 0
≠>→a a x x （4）; 1) , 0(lim ≠>∞
→a a x x
（5）; 1) , 0(log lim 1
≠>→a x a x （6）; arccos lim 1
x x -→
（7）; arctan lim 1
x x → （8）. cos lim x x ∞
→
解：1）当0x →时,∞
→x lim ; 0)0(=>u x u
2）∞
→x lim ∞
→= )0(; 0)0u (1=<-u x 3）∞ →x lim 1)1 , 0(=≠>a a a x 4） 0 ; 1 ∞→x lim ⎩⎨⎧><=≠>. 1 1. 1 0)1 , 0(a a a a a x 所 1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1 =≠>-→a a a x x 6)π=-→x arccos lim 1 x 所以; 1cos -=π 7). 4 x arctan lim 1 π =-→x 8)x cos lim ∞ →x 的极限不存在 4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在： （1）; 0 , )(== x x x x f （2）; 0 ,3)( 1== x x f x （3）; 0 , 1arctan )(==x x x f （4）. 1 , 21 , )1arcsin(1 , ) 1(11)(=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧ ≤≤-<+=x x x x x g x f 解：1)10 lim -→x +→≠-=0 lim 1)x (f x ; 1)(f =x 所以该点的极限不存在 2)10 lim -→x ≠=0)x (f +→0 lim x ; )x (f ∞=所以该点的极限不存在 3)10 lim -→x ; 2 f(x)lim 2 -f(x)0π π = ≠=+ →x 所以该点的极限不存在 4) ; 0)x (f lim 211 )x (f lim 11 =≠= + -→→x x g 所以该点的极限不存在 5．用δε-或N -ε的方法陈述下列极限： （1）; )(lim A x f a x =+→ （2）; )(lim A x f a x =-→ （3）; )(lim A x f x =+∞ → （4）. )(lim A x f x =-∞ →