八年级数学-比例线段与黄金分割

合集下载

第15讲线段的比与黄金分割

线段的比与黄金分割【知识要点】1.两条线段的比的概念1.大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.2由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？两条线段的比就是两条线段长度的比.3对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？4大家同意他的观点吗？不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. 5那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？线段的比定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 二、熟悉比例线段的概念1、与比例线段有关的概念 (1)比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果dcb a =（或a :b =c :d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

八年级数学第四章第1-4 线段的比与黄金分割北师大版知识精讲

初二数学第四章第1－4 线段的比与黄金分割北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：线段的比与黄金分割（4.1—4.4）二．教学目标：1．了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用． 2．了解黄金分割，体会其中的文化价值．3．认识形状相同的图形，了解相似多边形的含义．探索相似多边形的本质特征．4．发展从数学角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、数学与社会的密切联系．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn ．其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．（2）在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的性质①基本性质：如果a b =cd，那么ad =bc ．如果ad =bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a b =cd．②合比性质：如果a b =c d ，那么a ±b b =c ±dd．③等比性质：如果a b =c d =…=mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n =a b ．2．黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB =BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 3．相似多边形（1）所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同、大小可以不同的图形．所谓形状相同，应和位置无关，和摆放角度无关，和摆放方向也无关．（2）各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．【典型例题】知识点1：线段的比例1．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2cm ，b =4cm ，c =5cm ，则d =（）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm题意分析：成比例的四条线段a ：b =c ：d ，其中d 是第四比例项．思路分析：把a =2cm ，b =4cm ，c =5cm 代入a ：b =c ：d ，便可求出d ．解：因为a ：b =c ：d ，a =2cm 、b =4cm 、c =5cm ，所以2：4=5：d ，即2d =20，解得d =10．选B解题后的思考：关于线段的比要注意两点：一是所给线段的长度单位要统一；二是四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出．例2．已知3a ＋5b b =73，求ab的值．题意分析：本题可以看作是比例式的问题，也可以看作是分数或分式的问题．思路分析：把3a ＋5b b =73进行变形，变得的等式中含有a b ，或用a 表示b ，再代入ab 求值．解：解法一：因为3a ＋5b b =73，所以3（3a ＋5b ）=7b ，所以9a =－8b ，所以a b =－89．解法二：因为3a ＋5b b =73，所以3a ＋5b 5b =715，所以3a ＋5b －5b 5b =7－1515，所以3a 5b =－815，所以a b =－815×53=－89．解法三：因为3a ＋5b b =73，所以3a b ＋5=73，所以3a b =73－5=－83，所以a b =－83×13=－89．解法四：设ab =k ，则a =bk ，因为3a ＋5b b =73，所以3bk ＋5b b =73，所以3k ＋5=73，所以k =－89，所以a b =－89．解题后的思考：本例从不同角度出发进行解答．解法一运用的是比例的基本性质；解法二主要是运用比例的合比性质；解法三是根据分式的特点，进行“拆分”；解法四是运用方程的思想解决问题．另外，需要注意比例式作为等式，可以运用等式的性质，比例式中的两个比作为分数或分式，可以运用分数或分式的基本性质．例3．如图所示，已知在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且AD BD =AEEC．（1）求AD 的长．（2）说明：BD AB =ECAC成立．BCD E题意分析：在△ABC 中，除已知条件外还可以看出AD ＋BD=AB ，AE ＋EC=AC ．思路分析：图形中的计算题常用设未知数解方程的方法进行计算，若设AD=x ，则已知的比例式即是关于x 的方程，从而可以求出AD 的长，把线段的长代入BD AB 和EC AC ，来判断BDAB=EC AC 是否成立．对于BD AB =ECAC，也可以用比例的性质验证．解：（1）设AD=x cm ，则BD=12－x ．因为AD BD =AE EC ，所以x 12－x =64，所以4x =6×（12－x ），所以x =365，即AD=365cm ．（2）因为AD BD =AEEC ，所以AD ＋BD BD =AE ＋EC EC ．所以AB BD =AC EC ，即BD AB =EC AC．解题后的思考：已知比例线段，求其中某条线段的长，通常转化成方程问题来解决．小结：比例的基本性质有三个，但在实际运用时却是灵活多样的，注意结合分式的性质选择合适的解法．知识点2：黄金分割例4．人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美．某女士身高1.68m ，下半身长1.02m ，她应选择多高的高跟鞋使其看起来更漂亮？题意分析：穿上高跟鞋增加下半身的长度，使下半身与身高的比接近0.618．思路分析：把她应选择的高跟鞋的高度设为x m ，下半身长变为1.02＋x ，身高变为1.68＋x ，二者之比约为0.618，依此可以求出x ．解：设她应选择的高跟鞋的高为x ，由题意，得1.02＋x1.68＋x ≈0.618，所以1.02＋x ≈0.618（1.68＋x ），解得x ≈0.048， 0.048m =4.8cm ．她应选择大约4.8cm 高的高跟鞋使其看起来更漂亮．解题后的思考：本题是黄金分割的实际应用问题，解题关键是找出比值0.618所对应的比例的前项和后项．例5．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=55－5，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．BCD12题意分析：已知AB 、AC 、BC 三条线段的长度，根据其他已知条件，图中各角的度数都能求出来，问题就是判断CD AD =AD AC 是否成立？或AD AC =5－12是否成立？思路分析：本题应判断AD AC =5－12是否成立，因为AC 已知，只要求出AD 就可以了，步骤较少．解：因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C ．又因为∠ABC ＋∠C ＋∠A=180°，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°．因为∠1=∠2=12∠ABC ，所以∠1=∠2=36°．所以∠1=∠A ，所以AD=BD ．因为∠2＋∠C ＋∠BDC=180°，所以36°＋72°＋∠BDC=180°，所以∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C ，所以BD=BC ，所以BC=BD=AD ．因为BC=55－5，所以AD=55－5．又因为AC=10，所以AD AC =5（5－1）10=5－12，所以点D 是线段AC 的黄金分割点．解题后的思考：只要确定出AD AC =5－12，即可说明点D 是AC 的黄金分割点，为此，需要求出AD 的长度．本例分析中的第一种方法学习了相似三角形之后比第二种方法更简单．小结：黄金分割是比例线段的特例，在实际生活中应用广泛．知识点3：相似多边形例6．①两个正方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片；④圆柱与圆锥；⑤长与宽相同，但高不同的两个长方体；⑥横坐标相同，纵坐标成三倍关系的两个几何图形．形状相同的图形有哪些？请指出来．题意分析：所谓的形状相同是指形状一样，大小可以不同，不考虑其他的因素．思路分析：通过想像或画草图进行判断．解：形状相同的图形有①②③解题后的思考：所有的正方形、圆、等边三角形是形状相同的图形，其他的图形则形状不一定相同．例7．如图所示，矩形ABCD 的长、宽分别为10，8，矩形A’B’C’D’的长、宽分别为5、4，这两个矩形相似吗？为什么？两个矩形满足什么条件一定相似？A B C DA'B'C'D'题意分析：相似矩形是指两个矩形的对应角都相等，对应边成比例．思路分析：任何一个矩形的四个角都是90°，所以两个矩形的对应角可以做到相等．再判断各边是否对应成比例就可以了．解：因为AD A ’D’=BC B ’C’=105=21，AB A ’B’=DC D ’C’=84=21，所以AD A ’D’=BC B ’C’=AB A ’B’=DC D ’C’．因为矩形四个角都是直角，所以∠A=∠B=∠C=∠D=∠A ’=∠B’=∠C’=∠D’=90°，所以矩形ABCD ∽矩形A’B’C’D’．由上述说明过程知，两个矩形只要满足长与宽成比例就相似．解题后的思考：判断多边形相似容易失误，同学们一定要严格按定义来判断，不可投机取巧．如用一根宽为1cm 的木条钉成一个矩形镜框，外边缘长为10、宽为8，那么这个镜框的内外边缘两个矩形是否相似？例8．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ，若AD=3，BC=4，求AE ：EB 的值．A BCD E F题意分析：所求的AE ：EB 是两个相似梯形AEFD 和EBCF 的相似比．思路分析：与已知条件有关的相似比还有AD ：EF 、EF ：BC ，设法求出它们的比值本题便可解决，这个问题的关键是求出EF 的长．解：因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AD EF =EFBC ，所以EF 2=AD·BC ．因为AD=3，BC=4，所以EF 2=3×4=12，所以EF=23．因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AE ：EB=AD ：EF=3：23=3：2．解题后的思考：利用相似多边形的对应边成比例，可以求出EF 的长，进而求得相似比AE ：EB=AD ：EF ．小结：对相似多边形的理解一定要注意只有各角对应相等，各边对应成比例的多边形才是相似多边形，特别是各边对应成比例解题时一定要全部验证．总结：本讲要求了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．认识图形的相似、探索相似图形的性质等．各类考试中经常考查比例线段和黄金分割．【预习导学案】（相似三角形（4.5—4.6））一．预习前知1．什么是形状相同的图形，什么是相似多边形？2．判定两个三角形全等的条件有：__________；__________；__________；__________；__________．二．预习导学1．__________的三角形叫做相似三角形，两个相似三角形的相似比是1，这两个三角形的关系是__________． 2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成__________，并且__________相等，那么这两个三角形相似．简单地说：__________的两个三角形相似；三条边对应__________的两个三角形相似；两个角对应__________的两个三角形相似． 3．两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？反思：（1）你知道相似三角形与全等三角形的区别与联系吗？（2）如何判定两个三角形相似？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一．选择题1．如下图所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（） A ．15 B ．12 C ．10 D ．822．下列图形中不是形状相同的图形的是（） A ．用一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B ．用放大镜将一个细小物体的图案放大，原图形与放大后的图形C ．某人的侧身照与正面照D ．一棵树与它倒映在水中的像 3．下列图形相似的是（） A ．所有的三角形 B ．所有的矩形 C ．所有的菱形 D ．所有的正方形 4．下列说法中正确的是（） A ．两条线段的比总是整数 B ．两条线段的比总是正数 C ．两条线段的比可能是0 D ．两条线段的比与所采用的长度单位有关 5．点P 是线段MN 的黄金分割点，且MP ＞NP ，则NP=（）MP ．A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．5－32*6．若x －2y 3y －x =23，则y x 的值为（）A ．512B ．125C ．712D ．－1257．在比例尺为1：8000的某地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸应为（）A ．80m ×160mB ．8m ×16mC ．800m ×160mD ．80m ×800m**8．若a b =c d =e f =12，则f 9d 6b 3e3c 2a +-+-的值为（）A ．12B ．13C ．15D ．16二．填空题1．如图所示，下列各组图形中，是相似图形的是__________．(1)(2)(3)(4)2．正方形的边长与对角线的比值为__________．3．如果一个三角形三边的比为3：4：5，那么这个三角形一定是__________三角形． 4．C 是线段AB 上一点，AB=2AC ，则BC ：AB=__________．5．已知一个多边形的最长边为27，最短边为9，另一个和它相似的多边形的最长边为9，则这个多边形的最短边为__________．6．已知1，2，2三个数，请你再添一个数，可写出一个比例式：__________．*7．x 2=y 3=z4，则x ＋y －z x ＋y ＋z =__________．*8．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为__________cm ．（结果精确到0.1cm ）三．解答题1．如图所示的三角形各顶点的纵坐标保持不变，横坐标均乘以－1，则所得三角形与原三角形形状相同吗？若让纵坐标不变，横坐标均增加2，则所得三角形与原三角形形状相同吗？2．如图所示，图①是一条鱼，它是由12个全等的等腰直角三角形拼成的；图②是正方形；图③是等腰直角三角形．请同学们认真观察图形再回答：（1）图①中与图②中形状相同的图形有多少个？（2）图①中与图③中形状相同的图形有多少个？①②③*3．线段AB 是连接A 、B 两城市的高速公路，全长120km ，在A 、B 上建有两个收费站C 、D ．已知AC ：CB=1：5，AD ：BD=11：1，一辆汽车从C 到D 行驶了34h ，求这辆车的速度．**4．已知：a ，b ，c 为三角形三边长，（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），三角形周长为24．求三边长各为多少．【试题答案】一．选择题1．D 2．C 3．D 4．B5．A 【由题意得MP MN =NP MP =5－12，所以NP=5－12MP ．】6．A 【因为x －2y 3y －x =23，所以3（x －2y ）=2（3y －x ），即5x =12y ，所以y x =512】7．A 【比例尺是指图上距离和实际距离之比】8．D 【由a b =c d =e f =12可得a 3b =－2c －6d =3e 9f =16】二．填空题 1．（2）（4） 2．1： 23．直角【可设三边长分别为3k 、4k 、5k ，有（3k ）2＋（4k ）2=（5k ）2】 4．1：25．3【设这个多边形的最短边为x ，由题意得279=9x ，∴27x =81，∴x =3，∴最短边为3】6．1：2=2：2 27．19【设x 2=y 3=z4=k ，则x =2k 、y =3k 、z =4k ，x ＋y －z x ＋y ＋z =2k ＋3k －4k 2k ＋3k ＋4k =19】 8．6.2【因为点C 是线段AB 的黄金分割点，所以ACAB≈0.618，所以AC≈6.2】三．解答题1．纵坐标不变，横坐标均乘以－1，所得三角形与原三角形形状相同；纵坐标不变，横坐标均增加2，所得三角形与原三角形形状相同． 2．（1）图①中与图②中形状相同的图形有6个．（2）图①中与图③中形状相同的图形有17个．3．因为AB=120km ，由AC CB =15可得AC AB =16，AC=20km ；由AD BD =111可得BD AB =112，BD=10km ．所以CD=AB －AC －BD=90km ，所以这辆车的速度为90÷34=120（km /h ）．4．由（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），设a －c =2k ，c ＋b =7k ，c －b =－k ．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2kc ＋b ＝7kc －b ＝－k a ＋b ＋c ＝24．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝8c ＝6 ．。

初中数学比例线段黄金分割

例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直
线平行于三角形的第三边。平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=

黄金分割及比例线段

1、“黄金分割”之美2、“黄金分割”应用两例
3、黄金分割矩形4、人体中的黄金分割之美
5、美妙的黄金分割和黄金数6、线段黄金分割点的几种求法
7、中考黄金分割问题两例8、“黄金分割”考题透视
9、“比例线段”变式多多10、证明比例线段方法多多
11、巧用面积比来证线段比12、巧用面积比，妙解几何题
1、“黄金分割”之美
所谓的黄金分割矩形，是指矩形的长∶宽＝ ∶1，黄金分割矩形有一种特别的性质：在这种矩形中分出一个以宽为边长的正方形后，余下的矩形仍然是一个黄金分割矩形（如图2），由于它具有这一特性，因此每次余下的矩形都与原矩形相似，也就是说黄金分割矩形具有碎形自相似性的特质。
图2图3图4图5
至于黄金螺旋，则是将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点依序连接起来，就成为“黄金螺旋”如图3，4，5。同样地，黄金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右图6的鹦鹉螺即是最著名的例子
析解：由黄金分割的定义可知的数值为。依据“黄金分割”知识可知节目主持人站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好．
点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
3、黄金分割矩形
美丽宜人的黄金分割矩形是古希腊时代被认为地球上最具有调和性而美丽的比例。在古希腊时代，除了著名的巴特农神殿之外（如右图1），有许多建筑物、美术品、工艺品都具有十分接近黄金分割的作品。文艺复兴时代的万能艺术家达文西（Leonardo da Vinci,1452~1519）据说用黄金分割的长方形绘画。黄金分割不仅是几何学，也是整个数学的重要内容。十七世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒（kepler,1571~1630）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割”。

黄金比例初中数学题型

答：第n个正方形的边长可以用黄金比例的幂表示：边长 = 5 * φ^(n-1)。
5、黄金比例的代数问题
例：求解含有黄金比例的代数方程，如求解x与x+1之间的黄金比例，即x/(x+1) = φ（1.618）。
答：求解x与x+1之间的黄金比例，即 x / (x+1) = φ。
解方程得：x ≈ φ / (φ - 1) ≈ 0.618。
黄金比例初中数学题型
1、黄金矩形问题
例：给定一个矩形，其长和宽之比为黄金比例φ（1.618），已知其宽度为6 cm，求矩形的长。
答：设矩形的长为x cm，则根据黄金比例φ（1.618）有：x / 6 = φ。
解方程得：x = 6φ ≈ 9.708 cm。
2、黄金三角形问题
例：一个三角形的三边之比为黄金比例φ（1.618），已知其中一条边长为8 cm，求另外两条边的长度。
答：设AC的长度为x cm，则CB的长度为6 - x cm。根据黄金比例φ（1.618）有：x / (6 ≈ 2.236 cm，CB ≈ 6 - x ≈ 3.764 cm。
4、黄金螺旋问题
例：在一个正方形中，画出一个以正方形边长为半径的四分之一圆，然后不断在新画出的圆弧上画出更小的正方形，并延长边界，形成一个黄金螺旋。已知初始正方形的边长为5 cm，求第n个正方形的边长。
答：设另外两条边的长度为x cm和y cm，根据黄金比例φ（1.618）有：x / 8 = φ，y / x = φ。
解方程得：x = 8φ ≈ 12.944 cm，y ≈ 8φ² ≈ 20.944 cm。
3、黄金分割线段问题
例：已知线段AB的长度为10 cm，点C在AB上，且AC与CB的比为黄金比例φ（1.618），求AC和CB的长度。

《黄金分割》教案

“想一想”的处理是为了使学生学会黄金分割的几何推理论证。学生口答，训练学生概括、归纳知识的能力，使知识系统化、条理化，同时培养学生的反思意识。
引导学生从知识点、数学思想方法，学法等各方面进行总结，训练学生概括、归纳知识的能力，使知识系统化、条理化，培养学生的归纳、反思意识。
作业分层布置，在完成达标的基础上拓宽和加深，加强学生综合能力和创造才能的培养。也是尊重学生个体差异的表现。
③如果点C在线段AB上，且，那么点C是线段AB的黄金分割点。（）
特别提示3：必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。
二、探究作图
如何作一条线段的黄金）经过点B作BD⊥AB，使BD= AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
《黄金分割》教学设计
北师大版八年级数学下册
彬县炭店中学杨彬勇
一、教材分析：
《黄金分割》是八年级数学下册第四章《相似图形》第二节的内容。本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是现实生活中广泛存在的一种现象。学习相似图形，离不开线段的比和比例线段，《黄金分割》将从一个崭新的角度加深同学们对比例线段和线段的比地认识，是第一节内容的延续和拓展，同时通过黄金分割在建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切关系，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。因而，在整个几何学习中起着桥梁和纽带的作用。
2、展示一组古今建筑图片，介绍黄金分割在现实生活中的运用，加深对本节知识，陶冶学生情操，体会黄金分割的人文价值。
四、课时小结
（1）内容上：
1.黄金分割点的定义及黄金比： .
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.

八年级数学讲义比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割知识提要： 1.比例线段①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. ②比例线段中的相关概念已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果ab=cd(a∶b＝c∶d)，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项.线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项.如果作为比例内项是两条相同的线段，即a∶b＝b∶c，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项. 2．比例性质若dcb a =，则ad=bc 反比性质若d c b a =，则c da b =更比性质若d c b a =，则d bc a =合比性质若d c b a =，则ddc b b a +=+等比性质若nm f e d c b a ==== ，则n m f e d c b a n f d b m e c a =====++++++++（其中0≠++++n f d b ）。

3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，(AC ＞BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中线，叫做把线段AB 黄金分割，C 点叫做线段AB 的黄金分割点.常规题型1．已知线段4a cm =，5b cm =，6c cm =。

（1）求,a b 的比例中项。

（2）求,,a c b 的第四比例项。

2.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.3.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-ABC.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB典型例题例1．已知：a cb d =，求证:.a bcd a b c d++=--同步练习：已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x -y) 例2．若34a b =，32b c =，45c d =，则22ac b d +等于多少？例3．已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.例4．如果0z ≠，且475x y z =+，2x y z +=，求::x y z 之值。

初二下第7讲-比例线段、黄金分割

第7讲：相似形（一）专题一比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

求线段的比例时要把两条线段化为（注两条线段的比没有单位），并要注意其；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。

2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么。

若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的（2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。

（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。

（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么。

（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么。

二、重难点高效突破线段的比与成比例线段例1、线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。

（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5；（２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求（2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。

线段黄金分割点公式

线段黄金分割点公式
线段黄金分割点公式，也被称为黄金分割比或黄金分割比例，是一种常用的数学工具，可用于寻找线段中的黄金分割点。

黄金分割，又称为黄金比例，是指将一条线段分割成两段，使整条线段的长度与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分之比。

这个比值约等于1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。

根据线段黄金分割点公式，我们可以计算出黄金分割点在
线段上的位置。

设线段的长度为L，黄金分割点距离线段起点
的距离为x，则根据公式：
L / x = x / (L - x) = 1.618
将上述公式进行简化，我们可以得到二次方程：
x^2 - 1.618xL + L^2 = 0
通过解这个二次方程，我们可以得到黄金分割点在线段上
的位置。

常见的求解方法包括配方法、求根公式或者使用计算机软件进行数值计算。

使用黄金分割点公式可以帮助我们在绘画、摄影、设计等
领域中进行构图的优化。

人眼往往更喜欢黄金比例所呈现的比例关系，因此在布局和设计中使用黄金分割点可以创造出更具吸引力和美感的作品。

值得注意的是，黄金分割点公式只是一种计算工具，并不
意味着黄金分割点一定是最优解。

在实际应用中，我们可以根据需求和审美来灵活运用，以达到最佳的效果。

线段黄金分割点公式是一种能够帮助我们找到黄金分割点
的数学工具。

了解这个公式可以帮助我们在艺术创作和设计中更好地运用黄金分割的美学原理。

八年级数学下册《4.2黄金分割》课件-北师大版

4.2黄金分割 05.3.MPG.MPG
巴台农神庙胡夫金字塔巴黎圣母院
维纳斯
活动一:探索身边的”黄金分割”
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉?
黄金身材比例
活动一:探索身边的”黄金分割”
2.进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。
3.通过作图找到一条线段的黄金分割点，并利用已学知识给予了说明。
1. p113习题4.3/1.2. 2.预习 p114-117 做、练。
§4.2 黄金分割
学习目标：
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
自学指导：看课本109-111页内容，思考并解决下列问题。 1、什么叫做黄金分割，黄金比例？ 2、做一做中的点c是黄金分割点吗？如何找到一条线段的黄金分割点？ 3、黄金比例的比的关系有什么特点？
A
DC
B
如图,乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点 C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点.试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离。
A
D
C
B
矩形的宽与长的比为0.618，这样的矩形称之为黄金矩形.
请欣赏古建筑巴特农神庙中的黄金矩形.
A
CB
如图,点C把线段AB分成两条线段AC
和BC,如果 AC BC ,那么称线段AB AB AC
被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄
金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
A
C

比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1）定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2）比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

比例线段，简称比例线段。

注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。

八年级数学知识点黄金分割数

八年级数学知识点：黄金分割数黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。

上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。

黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。

后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。

黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。

黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0.618和0.382，它们有如下一些特点：(1)数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

(2)前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0.618。

(3)后一数字与前一数字之比例，趋近于1.618。

(4)1.618与0.618互为倒数，其乘积则约等于1。

(5)任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2.618;如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0.382。

理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和0.382以外，尚存在下列两组神秘比值。

即： (1)0.191、0.382、0.5、0.618、0.809 (2)1、1.382、1.5、1.618、2、2.382、2.618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

初二数学比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割【知识清单】aac1．把的值叫做线段a,b的比，若，则称线段a,b,c,d成比例线段。

bbdac2．a:b c:d ad bc，其中a,b,c,d分别叫第一、第二、第三、第四比例项，a,d称为bd外项，b,c称为内项；外项的积等于内项的积。

3．图上距离1，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位实际距离nacacbd ad bc；②反比性质：； bdbdacacabaca bc b ③更比性质：；④合比性质：；bdbdbdca4．比例性质：①基本性质：⑤等比性质：aa a2ana1a2a3a n，则1 1b1b2b3bnb1b2bnb15．比例中项：若b ac，则称b是ac的比例中项6．若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点；7．2较长线段较短线段151,叫做黄金比值。

整条线段较长线段22【典型例题】34x y例1、已知 = ，求 yxx例2、已知例3如图所示，以长为2的线段AB五边作正方形ABCD，取AB得中点P，链接PD，在BA的延长线上取点F，使PF = PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。

（1）求AM、DM的长； F E（2）求证：AM= AD×DM（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ MB C 2 eac3 = = = ，b + d + f 50，求a + c + e = . fbd5例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=2，b=3，c=2，d=B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=23，d=D.a=2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a、b、c、d满足ab =cd，把它改写成比例式，错误的是( )A.a∶d=c∶bB.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶cD.a∶c=d∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________例4. 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( ) acA. bd例5. 已知 a2da db cB. C.2cbdc D.aba cddac,则下列式子中正确的是（） bd22A. a∶b=c∶d B. a∶d=c∶bC. a∶b=（a+c）∶（b+d）D. a∶b=（a－d）∶（b－d）例6．已知a:b:c2:4:5，且2a b3a6，求3a b2c的值。

八年级数学下册《4.2 黄金分割》教学设计

《4.2 黄金分割》一、教学内容及其分析一、教学内容：黄金分割二、内容分析：本节课要学的内容是黄金分割，指得是线段的比、成比例线段，其核心是线段的比，明白得它关键是把握成比例线段的特点，来明白得黄金分割的内容。

学生已经学过了大体作图，知道了作图的方式。

又在学习本章第一节后，把握了线段的比、成比例线段的概念，比例的大体性质，求比的计算和比例尺的计算等知识，本节课的内容黄金分割，确实是成比例线段的应用。

由于学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是表现数学的文化价值，0.618的意义，表现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。

因此在本学科有超级重要文化价值，并有美化生活的作用，是相似形这一章的基础内容。

教学的重点是了解黄金分割的意义并能运用，解决重点的关键是通过建筑、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段的特点，来明白得黄金分割的内含。

二、目标及其分析（一）教学目标1.了解黄金分割，会找一条线段的黄金分割点，会判定某一点是不是为一条线段的黄金分割点；2.通过找一条线段的黄金分割点，培育学生明白得与动手能力。

3.明白得黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生熟悉数学与人类生活的紧密联系。

（二）目标分析1.了解成比例线段，确实是是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并非给出它们的概念，更不涉及其图像或性质。

2.明白得比例的大体性质确实是指对性质的推理要明白，明白依据是什么。

由于本节课的教学内容重点是比例的性质，后续内容还涉及其运算，因此对照例的性质的定位应该是明白得层次，并能简单应用。

三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能碰到的问题是找出黄金分割点和黄金矩形，产生这一问题的缘故是对照例性质的明白得，和性质推理的熟悉。

要解决这一问题，确实是要用等式性质及方程的观点处置问题，关键是把握“比值k ”的方式将比例的性质加以证明，把握其内在的联系。

四、教学进程问题1：什么缘故女同胞们穿高跟鞋更有魅力？设计用意：通过创设一个有趣的情景，将同窗的注意力引向本章的学习当中，并引出黄金比解决实际问题。

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割
• 比例的性质 • 黄金分割 • 比例与黄金分割的关系 • 比例的性质与黄金分割在生活中的应
用 • 总结与回顾
01
比例的性质
比例的定义
01
比例是指两个比值相等的关系，表示为a:b=c:d，其中a、b、c、d为实数。
02
比例可以用来描述两个数量之间的关系，反映它们之间的相对大小和变化规律。
黄金分割的美学价值
黄金分割被广泛用于艺术和设计领域，因为它能创造出和谐、平衡和美感。通过深入了解黄金分割的原理和应用，我们可以更好地欣赏和理解艺术作品。
下课时预告
• 下课时我们将继续学习比例的其它应用，包括如何利用比例解决实际问题、如何利用比例的性质进行计算等。同时，我们还将探索比例与几何图形之间的关系，了解如何利用比例绘制图形。在下课时，我们将进行课堂练习和小组讨论，巩固所学知识并加深对比例性质的理解。
比例的应用
通过实例和练习，我们学会了如何运用比例的性质解决实际问题，如计算比例尺、比较大小等。
对比例的性质与黄金分割的进一步思考
比例的性质在实际生活中的应用
除了数学领域，比例的性质在很多其他领域也有广泛的应用。例如，在物理学中，速度、加速度和力的关系可以用比例来表示；在化学中，物质的浓度和反应速率也可以用比例来描述。
雕塑中的比例
雕塑家通过比例关系来塑造出具有美感的作品，如人体的比例、动物的比例等。
音乐创作中的应用
音乐中的节奏与比例
作曲家通过运用节奏和比例关系来创作出和谐的音乐，如音符的长度、强弱和音高的比例等。
和声中的比例
和声是音乐中音符之间的相互关系，作曲家通过运用比例关系来创造出和谐的和声。

八年级下比例及黄金比例

A
D
C
B
方法点拨：根据 C、D 两点都是 AB 的黄金分割点分别求出 AC、BD 的值，再根据线段的和、差关系进行运算。易错辨析:注意黄金比的前、后项的次序，次序写错，则所有计算都错。
1 ．如图 , 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, 如果 ( ) A A、线段 AB 被点 C 黄金分割 C、AB 与 AC 的比叫做黄金比 2．黄金分割比是 A、
5 1 2
AC AB

BC AC
,那么下列说法错误的是
C
B
B、点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 D、AC 与 AB 的比叫做黄金比 ( ) C、
5 1 2
B、
5 1 2
D、0.618
AC BC
．如图,点 C 是 AB 的黄金分割点,那么
AC AB
与
的值分别是(
)
教案及授课过程
A、
＝
c d d
成立吗？为什么？
（2）如果＝
b
a b
，那么
a b b
＝
c d d
成立吗？为什么？
（3）如果（4）如果（5）如果
c d
c d
,那么
e f
a b b

c d d
成立吗？为什么.
a b
a b
,那么
m n
a c e b d f
成立吗？为什么？
a c m b d n a b
教案及授课过程
例 2：黄金分割在我们的周围有着广泛的应用，那我们怎么找出一条线段的黄金分割点呢？下面让我们一起来学习黄金分割点的画法。 1.作顶角为 36 的等腰三角形 ABC

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。

2．bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：ab c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d bc b b ad c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a ===Λ332211，则112121b ab b b a a a n n =+++++ΛΛ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________ 例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.cd b a =22D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式子中正确的是（） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______ 例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.例9．（1）已知ba ab b a x +=+=+=222，求x 的值（2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值例10.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD的值【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（） A 、d b c a = B 、b a d c = C 、b d c a = D 、cd a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-xy y3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:8 4．若3:2:1::=c b a ，则cb a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-3 5．已知875cb a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（）A C DBA 、11B 、12C 、314D 、9 6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A 、5B 、-5C 、20D 、-20 7．若43xx =，则x 等于（） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32± 8．已知AB=1，)15(21-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A 、2B 、15+C 、2或15+D 、以上都不对 10．已知572zy x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（） A 、A>B>C B 、A<B<C C 、C>A>B D 、A<C<B 11．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a zy x 323215．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是 16．把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是 17．若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c .一、填空题：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ .3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ .5.若b a ＝dc＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ .6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若b a b +＝53，那么ba＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm. 11.已知3∶x ＝8∶y ，求y x = 12. 已知b b a 23+＝27，求ba = 13. 若2x ＝3y，求y y x += 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______. 18.已知b a ＝dc ＝52 (b+d ≠0)，则d b c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 19．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 20．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 21．已知a b a 3)(7=-，则=b a 22．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a zy x 3232 三、解答题：1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知c b a +=a c b +=bac +＝x ，求x4、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.5、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b ca ++＝fd e c ++＝3.6、如图5.1-2，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长.7、已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

8、已知875cb a ==，且20=++c b a ，求c b a -+29、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．。