2015高考总复习数学(文)课件：专题1 函数、导数与不等式

【互动探究】
1 2 1.(2013 年北京昌平二模)已知函数 f(x)＝2x －alnx(a>0).
(1)若 a＝2，求 f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求 f(x)在区间[1，e]上的最小值； (3)若 f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求 a 的取值范围.
1 2 2 解：(1)∵a＝2，f(x)＝2x －2lnx，f′(x)＝x－x ， 1 ∴f′(1)＝－1，f(1)＝2， ∴f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋2y－3＝0.
解：(1)方法一，对函数 f(x)求导，
2 1 － x 4 得 f′(x)＝3· 2 . x ＋12
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减. 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
专题一 函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是 历年高考的必考内容之一.自从导数走进高考试题中，就和函数 形影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度 和深度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问
题必不可少的工具.从最近几年全国及各省市新课程数学高考
∴价值损失的百分率为 37.5%.
(3)证明：价值损失的百分率应为
6000m＋n2－6000m2＋6000n2 2mn ＝ 6000m＋n2 m＋n2 1 ≤ ＝ ， m＋n2 2
当且仅当 m＝n 时，等号成立. 损失的百分率最大.
(3)由(2)可知当0<a≤1 或 a≥e2 时，f(x)在(1，e)上是单调递
增或递减函数，不可能存在两个零点. 当 1<a<e2 时，要使 f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，
1a1－lna<0， 2 1 ∴ f1＝2>0， 1 2 fe＝2e －a>0， ∴a
综上所述，实数 a
【方法与技巧】函数与方程是高考的重要题型之一，一方 面可以数形结合，考查方程根的分布如 2007 年广东试题；另 一方面可以与导数相结合，考查方程解的情况.如本题：若对任 意 x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使 fx1＝gx2的本质就是函 数 fx的值域是函数 gx值域的子集.
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ ↗
0 0 极大值
(0，ln2) － ↘
ln2 0 极小值
(ln2，＋∞) ＋ ↘
由上表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为 (－∞，0)，(ln2，＋∞). (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)， 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln(2k)， 1－k 1 令 g(k)＝ln(2k)－k，则 g′(k)＝k －1＝ k >0， 所以
8000×10 000 20 000 f(x)＝Q(x)＋ ＝50x＋ ＋3000(x≥12，x∈N). x 4000x
20 000 方法一，f(x)＝50x＋ ＋3000≥2 x ＝5000，
50x·
20 000 ＋3000 x
20 000 当且仅当 50x＝ ，即 x＝20 时，等号成立. x
因此，当 x＝20 时，f(x)取得最小值为 5000 元. 答：该楼房应建为 20 层，每平方米的平均综合费最小值为 5000 元.
质等.
题型 1 函数、方程与导数
4x 例 1：已知函数 f(x)＝ 2 ，x∈[0,2]. 3x ＋3 (1)求 f(x)的值域； 1 3 (2)设 a≠0，函数 g(x)＝3ax －a2x，x∈[0,2].若对任意 x1∈ [0,2]， 总存在 x2∈[0,2]， 使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围.
a>e， 1 2 即 此时，e<a<2e . 1 2 a< e ， 2
1 2 的取值范围为e，2e .
题型 2 函数、导数与不等式 例 2：国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的 价值 y(单位：美元)与其重量 x(单位：克拉)的平方成正比，且 一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54 000 美元. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石，求价 值损失的百分率； (3)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉，试证明：当 m＝n 时，价值损失的百分率最大.
方米的平均建筑费用为 Q(x)＝3000＋50x(单位：元)，为了使楼
房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平 方米的平均综合费最小值是多少？
注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均
购地总费用 购地费用＝ 建筑总面积
解：设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元，依题意，得
2 又∵0，3⊆A，
8 2 2 ∴g(2)＝3a－2a ≥3. 1 解得3≤a≤1. ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减. 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a≥4
2 时，不满足0，3⊆A. 1 的取值范围是3，1.
试卷的考查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查
可以说是全方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，
更有对数学思想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不 仅有对函数知识内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数 列、不等式、解析几何)相结合的隐性考查.
2010 年广东高考解答题中没有考函数、导数，也没有考数 列，批评声音不断，2011 年、2012 年、2013 年终于回归常态， 预计 2015 年高考，对函数概念与性质的考点只会加强，不会削 弱.备考时要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以 e 为底) 的综合题.主要题型：①利用导数研究函数的单调性、极值与最 值问题；②考查以函数为载体的实际应用题，要先建立所求量 的目标函数，再利用导数进行求解；③灵活应用函数图象与性
题型 3 函数、导数中含参数问题的讨论 例 3：(2013 年广东)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中 k∈R). (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)当
1 k∈2，1时，求函数
f(x)在[0，k]上的最大值 M.
解：(1)当 k＝1 时， f(x)＝(x－1)ex－x2，
3 e－2(e－
φ(x0) ＝0 ，且当
(2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 使 f(x1)－g(x2)＝0，
2 ∴0，3⊆A.
对函数 g(x)求导，得 g′(x)＝ax2－a2. ①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减. 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， 2 ∴当 a<0 时，不满足0，3⊆A.
2 a x －a (2)由 f′(x)＝x－ x＝ x .
由 a>0 及定义域为(0，＋∞)，令 f′(x)＝0，得 x＝ a. ①若 a≤1，即 0<a≤1，在(1，e)上，f′(x)>0，f(x)在 [1，e]上单调递增， 1 因此，f(x)在区间[1，e]的最小值为 f(1)＝2.
②若 1< a<e，即 1<a<e2，在(1， a)上，f′(x)<0，f(x)单 调递减；在( a，e)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此 f(x)在区 1 间[1，e]上的最小值为 f( a)＝2a(1－lna). ③若 a≥e，即 a≥e2，在(1，e)上，f′(x)<0，f(x)在[1，e] 上单调递减， 1 2 因此，f(x)在区间[1，e]上的最小值为 f(e)＝2e －a. 1 综上所述，当 0<a≤1 时，f(x)min＝2； 1 2 当 1<a<e 时，f(x)min＝2a(1－lna)； 1 2 2 当 a≥e 时，f(x)min＝2e －a.
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a). 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去). ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表：
x g′(x) g(x)
0
(0， a)
a
0
2 2 －3a a
( a，2)
2
8 2 a － 2 a 3
－
0
＋
∵g(0)＝0，g( a)＜0，

k
3
令 h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则 h′(k)＝k(ek－3k). 令 φ(k)＝ek－3k，则 φ′(k)＝ek－3<e－3<0. 所以 3)<0. 所以存在
1 x0 ∈2，1使得 1 φ(k)在2，1上单调递减，而 1 φ2· φ(1)＝
价值损失为 6000a
2
1 3 2 －60004a ＋60004a2.
价值损失的百分率为 1 3 2 2 6000a －60004a ＋60004a2 ＝0.375＝37.5%， 6000a2
20 000 20 000 方法二，f(x)＝50x＋ x ＋3000，f′(x)＝50－ x2 ，
令 f′(x)＝0(x>0)，得 x＝20. 当 0<x<20 时，f′(x)<0，f(x)是减函数； 当 x>20 时，f′(x)>0，f(x)是增函数. ∴当且仅当 x＝20 时，f(x)有最小值为 f(20)＝5000.
1 g(k)在2，1上单调递增，
所以 g(k)≤ln2－1＝ln2－lne<0，从而 ln(2k)<k，
. 0 ， k 所以 ln(2k)∈
所以当 x∈(0，ln(2k))时，f′(x)<0； 当 x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 M＝max f0，fk ＝max －1，k－1e －k .
m＋n 2 2· 2
【方法与技巧】使用基本不等式要遵循“一正”、“二 定”、“三相等”的基本原则.如果是负数，可以提取负号；如 果结果不是定值，需要我们合理地“凑”、“配”；如果等号 不成立，则要利用函数的单调性.关键时还可以利用导数求最值.
【互动探究】 2.(2012 年广东汕头一模)某建筑公司用 8000 万元购得一块 空地，计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4000 平方米 的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为 x(x≥12)层，则每平
原有价值－目前价值 (注：价值损失的百分率＝ ×100%， 原有价值 在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(1)解：设 y＝kx2，当 x＝3 时，y＝54 000，∴k＝6000. 故 y＝6000x2. (2)解：设这颗钻石的重量为 a 克拉，由(1)可知， 按重量比为 1∶3 切割后的价值为
1 3 2 60004a ＋60004a2.
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.
方法二，当 x＝0 时，f(x)＝0； 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，
4 1 4 1 2 且 f(x)＝3· 1≤3· ＝ ， 1 3 x＋ x 2 x· x 1 当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时，“＝”成立. ∴当
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.