第5章正交变换与仿射变换

若σ(a)=a’∈S’,a∈S,则定义 1(a) a ,显然,
1 Is; S S;1 Is' ; S' S'.
易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积 也是 1—1对应,映射的乘法满足结合律。
定义1.3 设σ:S→S是一变换,若对a∈S,满足σ(a)=a,则称 a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。
• §1 映射与变换 • §2 平面的正交变换 • §3 平面的仿射变换 • §4二次曲线的度量分类与仿射分类 • §5 空间的正交变换与仿射变换
§1 映射与变换 定义1.1 设S与S’是两个集合,对S中任一元素a,按某一法 则在S'中有唯一的元素a'与之对应,我们称此法则(即对应关 系) 为S到S'的一个映射。记作
系
根O据';性e1' ,质e2'6可,并知且σ把Ouu直'uPur角' 坐x标e1'系
O;e1, e2 变到直角坐标
ye2' ,即P’在直角坐标系
O';e1' , e2' 下的坐标与P在直角坐标系 O;e1, e2 下的坐标
一
致。
设
uuuur OO'
ae1
be2 ,
er1'
a11e1
例4 平面上的平移 设S是平面上所有点的集合,取定一个直
角坐标系,给定uu一ur个向量v =(a, b)。令点P(x,y)与P’(x’,y’)的 对应关系为 PP' v
则有
x' x a
y
'
yb
(1.1)
这是S到自身的一个变换,称为由 v 决定的平移。公式(1.1)
称为平面上的点的平移公式。
变换在代数上均表现为非退化的线性变换。
定义1.4 设G=｛σ:S→S|σ是S上的变换｝,如果G满足：
(1) 恒等1变换GI,∈G2 ; G, 1 2 G;
(2) 若
则 1 G.
(3) 若σ∈G,则它的逆变换
。
则称G为S的一个变换群。
§2 平面的正交变换
1.平面的正交变换 在§1中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反
σ:S→S', a a'. 或者记作:a’=σ(a),a∈S。a’称为a在映射σ下的象,a称为 a'在σ下的一个原象。 集合S到S'的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意a∈S, 都有σ(a)=τ(a)。 集合S到自身的一个映射叫做S的一个变换。
例1 设S是全体自然数集,S’=｛±n|n∈S｝,则
证明 设σ是正交变换,把不同的两点P,Q分别变为P’和Q’。
由于P,Q不相同,所以 PQ 0,根据σ保持距离不变,应有
P'Q' | PQ | 0 , 因此，P',Q'也是不同的两点,即σ为单射。
下证σ是满射。即对平面上任何一点P’,都存在P，使
σ(P)=P’。为此,在平面上任取不共线的三点 Pi(i=1,2,3),设
因此R’与P’，Q’共线,即R’在l’上.
由以上两式看出,正交变换保持直线上点的顺序不变,将有
向线段变成有向线段。即若 PR, RQ 同向或反向时,则P'R', R'Q' 也同向或反向。由此得
P,Q, R
PR RQ
P ' R' R'Q'
P',Q', R'
性质5 正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直
第五章 正交变换与仿射变换
迄今为止,我们把几何图形都看成是静止的、不变的,对几何图 形的性质也是孤立地进行研究,没有联系图形位置的改变与形状的变 化。然而万事万物总是在不停地运动和变化着，物体的位置和形状 也是如此。对物体位置和形状的各种变化规律进行研究,并给以数学 描述,很有必要。例如:一物体被搬动了,如果其形状不改变的话,这是 一种运动。又如长方形的窗格被阳光斜投影到地面上,得到一个平行 四边形的影子,这是形状的变化。初步探讨图形在运动或变化下的性 质是本章的任务。这里将介绍图形的两种简单形变:正交变换与仿射 变换，讨论二次曲线和二次曲面在这两种变换下的性质。我们借助 于坐标,用解析的方法(代数方法)来描述变换,并讨论图形在变换下的 不变性质。在几何学中,研究图形在各种几何变换下的不变性质和不 变量是极其重要的。
σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一个映射。
τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一个映射。
例2 设S是无数个点的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。
则定义为
a
1 0
a A
aA
的法则σ是S到S'上的一个映射。
例3 设S = S ',法则 I 定义为 a a, a∈S,则 I 是S到自身
的一个变换,此映射称为恒等变换。
的线性关系c a b 不变。于是有
性质6 正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关
系不变。
2.正交变换的坐标表示和基本定理
取平面直角坐标系O;e1, e2,设正交变换σ将点P(x,y)变换
到P'(x',y'),则uuur
uuur
OP xe1 ye2 ,OP' x'e1 y'e2
下面来求x',y'与x,y之间的关系。
即
cos A sin
sin cos
或A
cos sin
sin
cos
,
即(2．3)可写成
x' cos
y'
sin
或
x' cos
y'
sin
sin x a
cos
y
b,
sin x a
cos
y
b.
(2.5) (2.6)
(2.5)表示平面上的运动,(2.6)表示平面上的反射
。
当σ(S)=S'时,则称σ是满射或到上的。如果在映射σ
下,S中不同元素的象也不同,则称σ是单射(或1—1的)。既是
单射又是满射的映射称为双射(或1—1对应）。
定义1.2 设映射 1 :S→S’, 2 :S’→S″,则定义乘积映射
为 21 : S S, 21 a 2 1 a, a S
对于S到S’的双射σ,我们可以定义它的逆映射 1 ：
a11 x a12 y a e1 a21 x a22 y b e2
x'
r e1
y'er2 ,
于是得出正交变换的坐标表示
x' y'
a11 x a21 x
a12 a22
y y
a, b,
(2.2)
其中,A=( aij)是正交矩阵。
用矩阵形式表示，则（2．2）可写成
x' y'
射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。 定义2.1 平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不 变,
则称它是正交(点)变换(或等距变换)。 平面上的运动与反射都是正交变换。 从定义立即得到性质1和性质2。 性质1 恒等变换是正交变换。 性质2 正交变换的乘积是正交变换。
性质3 正交变换是双射。
a21e2 , er2'
a12e1
a22e2 .
因为 O';eu1u' ,uer2'
交矩阵。OP '
是uu直uur角坐uu标uur系 OO' O'P'
,
所以过渡矩阵A
a11 a12 a21 a22
是正
ae1 be2 xe1' ye2'
ae1 be2 x a11e1 a21e2 y a12e1 a22e2
sin x a
cos
y
b
cos sin x a
sin
cos
y
b
此可见στ≠τσ。
平面上点变成点的变换也叫点变换。
一个线性点变换
x' y'
a11 a21
a12 a22
x y
a b,
当它的变换矩阵
A
a11 a12
a21
a22
的行列式|A|≠0时,称为满秩线
性点变换或非退化线性点变换。往后将看到,正交变换和仿 射
a122
a
2 22
1,
a11a12 a21a22 0.
我们可设 a11 cos , a21 sin , a12 sin , a22 cos ,
将他们代入条件中的第三式得
0 cos sin sin cos sin
因此,
k ,
a12 sin , a22 cos ,
x' 1
y'
0
0
1
xy与
运
动
x" y"
cos sin
sin x' a
cos
y
'
b
的乘积.由此得到
定理2.1(正交变换第一基本定理)正交变换或者是运动,或 者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为第一类正交 变换,后者称为第二类正交变换。
yv
注：在形式上平移公式与点的
P'
坐标变换中的移轴公式类似, 但是含意却完全不同:点的平 移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同
oP
x
的 两 个 点 在 同 一 坐 标 系 中 的 坐 标 ; 而 移 轴 公 式 中 ,(x,y) 和 (x',y')是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。
例5 平面上的旋转 S是平面上所有点的集合,在平面上取定
PR PR e, RQ RQ e.
证明 设P,Q是直线上不同的两点,那么它们的象P’,Q’也不
相同,于是决定一条直线l’。对于直线l上任一点R,若 P,Q,R
按此顺序共线,则 |PQ|+|QR|=|PR|. 由正交变换的定义,R的象
R'与P',Q'有关系 |P'Q'|+|Q'R'|=|P'R'|.
一个直角坐标系｛O;e1 , e2｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应
关系τ为
x' y'
cos sin
sin cos
x y
(1.2)
y
P'
其中，θ是一确定的实数,
P
则τ是S上的一个变换,称
o
x
为平面绕原点的旋转,转角为θ。
(1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。
例6 平面上的反射。设l 是平面上一条定直线,平面上任 一
线的在交平角面不上变，。对任一请向读量者a自,以证点. O为原点，作uOuuuuAuurr a 。
设正交变换σ把O，A分别变到O’, A'令, a' O' A，' 则向量
a '只依赖于a而与O点的选取无关，原因是σ保持平行性和
保持距离不变。这一事实说明，σ诱导出平面上向量的一个
变换，使 a 变到 a ',这个变换仍记为σ，称为正交向量变
平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运 动),它是平面到自身上的1—1变换。
例7 设σ是平面上由 v =(a,b)决定的平移,τ是平面上的
转角为θ的绕原点的旋转,
τσ:P(x,y)
P″(x″,y″)
P'(x',y'),则τσ的公式为：，
x' cos sin x cos sin x a
σ(P)i= Pi('i=1,2,3)。由σ是单射并保持距离不变,易知 P构i' 成
一个三角形,且⊿ P1 P2 P3 ≌⊿ P1'P2'P3'
假定P’到Pi'的距离为 d i
是 d i。设σ(P)=P″,则P″到
,那么必存在一点P,它到 Pi的距离也
的P距i' 离也是 ,因d i此P″与P’重
合,即σ(P)=P'。
点P关于l 的对称点为 P’。这种从P点到P’点的映射,称为平
面上以 l 为轴的反射。若取 l 为x轴建立平面y直角坐标系,设
P(x,y),P'(x',y'),则此反射表示为
x' y'
1 0
01
x y
பைடு நூலகம்
o (1.3)
P P x
设σ:S→S S’,我S '们用σ(S)表示S中的点在σ下的象的全体,
显然有
由性质3知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变
换。因此,由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成 平
面上的一个变换群,称为正交变换群。
性质4 正交变换把直线变到直线,并保持共线三点P,Q,R的
简单比P,Q, R
PR RQ
不变。其中PR，RQ表示有向线段PR, RQ
的有向长度uu(u或r 代数长),即若u在uur直线PQ上取一单位向量e ,则
换。设 a 与 b 是任意两个向量, a a', b b'。显然
a b a' b' , 即σ保持向量的内积不变。根据σ保持共线
三点的简单比,我们可从a b 推出a' b.'又若 c c' ,
并且 c a b ,由于σ把一个三角形变成一个与之全等的三
角形,又可得到 c' a' b' 。简短地说,正交变换保持向量
a11 a21
a12 a22
x y
a b.
设 a a',a ue1 ve2,a u'e1 v'e2. 由性质6得
a' u'e1' v'e2' .
我们容易得到 u' , v'与u, v 之间的关系
u'
v
'
a11 a12 a21 a22
u
v
.
（2．4）
考虑正交矩阵A的条件： a121 a221 1,
y'
sin
cos
y
sin
cos
y
b
cos sin x a cos bsin
sin
cos
y
a
sin
b
cos
: P x, y P"
x", y"
P'
x', y'
则στ的公式为：由
x' 1
y'
0
0 x" a 1 0 cos
1
y"
b
0
1
sin