定积分的概念与性质练习
第一节 定积分的概念和性质 定积分问题举例1
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1 n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0
i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
（1）分割
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1 si v ( i )t i
部分路程值
某时刻的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且
v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 x i
i
x n1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
定积分的概念与性质
t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼 德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积
(3)
并作和 = ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
()
+
+
−
14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =
4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
6.1 定积分的概念及性质
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
第1,2节定积分的概念与性质
3. 由定义:
1 a bf(x )d x b af(x )d x有 向 性
a a
f (x)dx 0
2a b1d xba(积 分 值 = 区 间 长 ） .
10
例1 利用定义计算定积分 1 x 2 dx . 0
解每 取 右 个 将 端 小 [ 点 区 0 ,1 间 ] in 的 等 n 长 i分 ， 度 ， (均 i分 为 点 1n 1 ,为 2,， x i, nn )i， 1(iy 1 ,y2 , x 2,n )
思路： 被积函数求最值.
证
设
f(x)
x， x2 1
则
f
(x)
1x2 (x2 1)2
0,
1x2
即 f (x) 单调下降，
所以
2
fmi
n
f(2) , 5
1 fmax f (1) 2 ,
即 2 f(x) 1 ,
5
2
于 是2 2 x dx1。 5 1x21 2
22
例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
a
a
c
abc 由 定 义
c
b
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
b
c
c
af(x )d xaf(x )d x bf(x )d x
有 向 性 c
b
====a f(x)dxc f(x)dx.
c a b 时 同 理 可 证 . 证毕.
a
a
a
即 ： bf(x)dxM(ba)，同 理 可 证 ： m (ba)bf(x)dx.
a
a
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
定积分的概念和性质
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定 积分的和(差)。即
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a
b
b
a
f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
a
b
• 证
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = lim ∑ [ f (ξ ) ± g (ξ )]∆x λ
a →0 i =1 n i i
y y=f(x)
0
a=x0 x1 x2 x3 xi −1
xi
xn −1 x = b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第 i个小曲边梯形的底 [ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i x i −1 ≤ ξ ≤ x i ), （ 它所对应的函数值是 f (ξ i ).用相应的宽为 ∆x i , 长为 f (ξ i )的小矩形 面积来近似代替这个小 曲边梯形的面积，即 ∆Ai ≈ f (ξ i ) ∆x i
• 证
b
a
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
b
（k为常数）
∫
b
a
kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi
λ →0
i =1 n b
n
= k lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x)dx
λ →0
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
f (ξ i ) ∆ x i .
f(ξ) ｉ
0
a=x0 x1
x2 xi −1ξｉxi
xn −1 x = b n
x
定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =L ）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅ 1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b a b a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。
⑵1xe dx ⎰。
【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度均为1k n ∆=， 取每个小区间的右端点k kx n=，（1,2,,k n =L ），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
定积分的概念性质
o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
xo
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
(1) 已知 矩形面积＝高×底
将[a, b]分成 n 个小区间,
y
y = f ( x)
称为子区间.
记分点为 a x0 x1 x2 xn1 xn b 长度 过每个分点作平行于y 轴 的直线段, 把曲边梯形分
1 2
令xi xi xi 1是[ xi 1 , xi ]的 x0 a x1
0
xi 1 xi
i
xn 1 b xn
n
1 i n
于是:
S lim V ( i ) ti
0
i 1
n
二、定积分定义
1. 定义: 设函数f (x)在[a, b]上有界, 将[a, b]任意分成 n个子区间, 分点为
a x0 x1 x2 xn1 xn b
在每个子区间[xi-1, xi ]上任取一点i, i [xi-1, xi ],
T1 t0 t1 t 2 t n 1 t n T2
[T1, T2]分成 n 个小段 [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ]
每小段时间长 ti ti ti 1
(2)在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点i
由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为Si
x
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分概念与性质(1)
b
[ f ( x) g( x)]dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
b
推广
[ f1( x) f2 ( x) f2 ( x)]dx
a
b
b
b
f1( x)dx f2 ( x)dx fn ( x)dx
a
a
a
30
b
f ( x)dx
c
定理3. 如果函数F( x)是连续函数f ( x)
在区间[a, b]上的一个原函数,
b
则 f ( x)dx F(b) F(a)
a
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
(
x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F ( x) ( x) C x [a,b]
7 0 定积分中值定理
设函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在[a, b]上至少存在一个点，
b
使下列等式成立 f (x)dx f ( )(b a) a b a
证明： f ( x)在闭区间[a, b]连续，
一定存在最大值M与最小值m,
由7 0
m(b a)
2
x)
2 ( 2) 4
5
5
5 55
2
4
例4. 计算 dx 解 : 令x t 2 , 则dx 2tdt 0 1 x
当x 0时, t 0; 当x 4时, t 2;
4
2
dx 2t dt
0 1 x
1t
定积分的概念与性质
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性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是:c (a , b ),
f 在 [a , c] 与 [c, b] 上都可积. 此时且有
a
b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c b a
c
b
可积, 则 f ( x ) dx 0. 性质5 若f 在 [a , b]上非负、
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
前页 后页 返回
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分 即 变量用什么字母表示无关 ,
前页 后页 返回
[ g( x ) f ( x ) ] d x
a
b
x0
a
[ g( x ) f ( x ) ]d x
b x0
x0 x0
[ g( x ) f ( x )]d x
[ g( x ) f ( x ) ]d x
x0 x0
a
b
证 g( x ) f ( x ) 0, 且 g( x0 ) f ( x0 ) 0, 不妨设
x0 (a , b). 由连续函数的局部保号性质, 0,
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
1 g ( x ) f ( x ) [ g( x0 ) f ( x0 ) ]. 2 由此推得
定积分的概念与性
x
f f
( x)
x cos x x2
(
x)
C
4
,
2
,
sin x cos
f ( x)在4 ,
x(x
x2
2
上
tan
x)
x
0
4
,
2
M f ( ) 2 2 , m f ( ) 2 , b a
4
2
4
1
2
2 4
2
4
sin x dx 2 2
x
4
2 2
24
定积分的概念与性质
x
x [0, ]
0 sin3 x 1
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
1dx
04
0
3
1 sin
3
x
dx
1 dx 03
4
0
3
1 sin
3
dx x
3
23
定积分的概念与性质
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
例
估计积分
2 4
sin x x
dx的值.
a
解 设 f ( x) sin x
4
定积分的概念与性质
y
(3) 求和 这些小矩形面积之和可
y f (x)
作为曲边梯形面积A的近似值.
n
Ai
A f (i )xi
O a x1
xi1ixi xn1 b x
i 1
(4) 取极限 为了得到A的精确值, 分割无限加细,
即小区间的最大长度 max{x1,x2, xn}
趋近于零 ( 0) 时，取极限, 极限值就是曲边梯
高等数学-第五章-定积分
则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
6. 若在 [a , b] 上
则
a<b
n
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x
ba n
,
xi a i x (i 0,1, ,n)
记 f (xi ) yi (i 0,1, ,n)
1. 左矩形公式
O a xi1xi
bx
ab f (x)dx y0x y1x yn1x
2. 右矩形公式
ba n
(
y0
y1
yn1)
ab f (x)dx y1x y2x ynx
)
故
π 2 0
2
dx
π
2 f (x) dx
0
π
2 1dx
0
即
1
π
2 0
习题5-1 定积分的概念与性质
习题5-1定积分的概念与性质1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）12014x dx π-=⎰；如左图，21y x =-表示的图形是上半圆，定积分的几何意义是上半单位圆与x 轴及0x =，1x =围成的图形的面积，即14圆的面积。
所以，12014x dx π-=⎰（2）20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰.如左图，左边的定积分的几何意义是sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形的面积，由于sin (0)y x x π=≤≤的图形关于2x π=对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。
所以20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰，（3）cos 0xdx π=⎰如左图，左边的定积分的几何意义是cos (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形，一部分位于x轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x 轴的下方（这部分加上负号）。
由于两部分面积正好相等，所以，代数和为0。
即cos 0xdx π=⎰2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.（1）⎰=121dx x I ，；在[0,1]上，232(1)0x x x x -=-≥23x x ∴≥1210I x dx ∴=≥⎰⎰=132dxx I （2）⎰=11dx e I x ，⎰+=12)1(dx x I .设()1(01)xf x e x x =--≤≤，则()1xf x e '=-在(0,1)内，()0f x '>，()f x ∴在[0,1]上单调递增。
()(0)0f x f ∴≥=，即1x e x ≥+110x I e dx ∴=≥⎰⎰+=12)1(dxx I 3．证明不等式（1）⎰---≤≤-02412222e dx ee xx 设2211()()(02)24f x x x x x =-=--≤≤，易知，11()24f =-是()f x 的最小值，(2)2f =是()f x 的最大值。
定积分的概念,性质与中值定理
(2 ) a > b, ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx
b a a b
性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b b b a a a
∫
b
a
cf ( x )dx =c ∫a f ( x )dx
∫ v (t )dt .
T2 T1
二.定积分的定义(和式的极限) 定积分的定义(和式的极限) 上有界, 设函数 f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 在 上有界 中任意插入若干个分点 a = x0 < x1 < x2 < L< xi −1 < xi < Lxn = b, 把区间[ 个小区间: 把区间[a,b] 分成 n个小区间: [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ], L , [ x n −1 , x n ], 个小区间 各小区间的长度依次为: 各小区间的长度依次为: ∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 ,L, ∆xn = xn − xn−1 , 任取一点 任取一点 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ], 作乘积 f (ξ i )∆x i ( i = 1,2,L , n), 并作出和
v(τ i )
∆t i = t i − t i −1
( i = 1,2, L , n)
T1
τi
T2
(2) 近似代替 ∆ s i ≈ v (τ i ) ∆ t i (3) 求和 (4) 取极限
t0 t1 t 2 ti −1 ti t n −1 t n
v (τ i ) ∆ t i
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第一节 定积分的概念与性质一、选择题1. A ；2. C . 二、填空题1. （1）1; （2）0; （3）4π. 2. （1）12x dx ⎰>130x dx ⎰， （2）21ln xdx ⎰ >()221ln x dx ⎰，（3）2xdx π⎰<20sin xdx π⎰，（4）43ln xdx ⎰ < ()423ln x dx ⎰.三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分221x dx -⎰是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无关.将区间[]0,1n 等分，得1i x n =，取() 1,2,,i ii n nξ==作和 ()2321113344001114n n n n ii i i i n n i S x i n nn n ξ---===+⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑ 于是 1lim 4n n S →∞=即 13014x dx =⎰.四、 细棒的质量()0lx dx ρ⎰.五、113x e dx -+⎰311x e dx +-=-⎰.设()()11,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，从而 ()()()13f f x f -≤≤，即141x e e +≤≤.于是 314144x e dx e +-≤≤⎰从而 141344x e e dx -+-≤≤-⎰.六、 设()()221,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点14x =. ()17101,,1482f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以 min ()f x =1, max ()f x =78.17≤≤, 由定积分性质，得120127≤≤⎰.第二节 微积分基本公式一、填空题1.2； 2. ()()33sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.二、 cos y x '= ； 0cos01x y ='==； 2cos02x y ππ='==.三、 ()220x t x d I x te dt xe dx--'==⎰， 令()0,I x '=得驻点0x =； 当0x <时，()0,I x '<当0x >时，()0,I x '> 所以， 当0x =时，函数()I x 有极小值.四、1. ()11340015sin cos cos144x x dx x x ⎡⎤+=-=-⎢⎥⎣⎦⎰；2.()[]22444000tan sec1tan 14xdx x dx x x ππππ=-=-=-⎰⎰；3.()[][]22200sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x πππππππ=+-=-+=⎰⎰⎰.4.()()122232121011612266xx x f x dx x dx dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 五、 222sin 0322000sin sin arctan cos arctan 1224limlim lim3312xx x x t x x dt x x x x →→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎰. 六、 当 0x <时，()000xF x dt ==⎰当 0x π≤<时，()()011sin 1cos 22xF x tdt x ==-⎰当 x π≥时，()01sin 012x F x tdt dt ππ=+=⎰⎰.故 ()()0, 011cos , 021, .x F x x x x ππ<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩七、设连续函数()f x 满足()()13,f x x f x dx =求()f x 的表达式解 设 ()1a f x dx =⎰所以 ()()1110003a f x dx x f x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰12031arcsin )22x a x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦3,24aa =- 得 65a =所以 ()3f x x =第三节 定积分的换元法和分部积分法一、填空题1. 51512；2. 3. 3324π； 4. 0.二、1. ()203sin x x dx π+⎰22233cos 128x x ππ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦.2.3333222223dx x ⎡==+=⎢⎣⎰⎰3. 3300tan ln cos ln 2xdx x ππ=⎡-⎤=⎣⎦⎰.4. (22330001252(1)1399xx x ⎡=+=+=⎣⎰⎰. 5.()2662200sec cos 14sin 15tan sec tdt tdt t t t ππ=++⎰ ()()()662002sin 11arctan 2sin 22812sin d t t t πππ===⎡⎤⎣⎦+⎰. 6.21-⎰=211--+⎰⎰214 =⎰220sin sin 4cos 1cos tx t tdt t π=+⎰令 ()2204cos cos t t dt π=-=⎰14(1)422ππ-•=-.三、1.ln3ln3ln3ln3000xxx xxe dx xdexe e dx ----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰ln3112ln 3ln 3333x e -⎡⎤=--=-+⎣⎦. 2.221111ln ln ln 222e eee x x x x xdx xd x dx ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()222111244ee x e ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦3. ()12221120001arctan arctan 2221x x x x x x dx x dx x⎡⎤+=+-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ ()[]21120011111111arctan 24212424x dx x x x πππ+-⎛⎫⎛⎫=+-=+--= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰. 4.1111ln ln ln eee ex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰[][]()1111ln ln 21eex x x x x x e -=--++=-.5.()11sin ln ln sin et x dx x t e tdt =⎰⎰令11111sin sin cos sin1cos sin t t t t te tdt e t e tdt e e t e tdt ⎡⎤⎡⎤=-=--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰10sin1cos11sin t e e e tdt =-+-⎰所以()1sin ln ex dx ⎰1(sin1cos11)2e e =-+ 6. 044422022sin sin sin 111x x xxx x e e e xdx xdx xdx e e e ππππ--=++++⎰⎰⎰ 令x t =- ，0044420221sin sin sin 111x tx t x e e xdx tdt xdx e ee πππ---=-=+++⎰⎰⎰ 所以 4444222200021sin sin sin sin 111x xxx x e e xdx xdx xdx xdx e e e πππππ-=+=+++⎰⎰⎰⎰ 31342216ππ==. 四、解 设1,x t -= 则 dx dt = 所以()2110110111()11t f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ []()001011ln(1)ln(1)ln 2ln 11t tte dt t e e e -----⎡⎤=++=-++=+⎣⎦+⎰. 五、证明 右边()()()12ba x a xb df x '=--⎰()()()()()11[]222b ba ax a x b f x x a b f x dx ''=-----⎰()()()1[2]2b ba a x ab f x f x dx =--+⎰()baf x dx =⎰=左边.第四节 反常积分一、是非题1. 错2. 错3. 正确4. 错. 二、解 1.[]111ln(1)1dx x x+∞+∞=+=+∞+⎰. 所以 这反常积分发散.2. 00ln(1)ln 21x xxe dx e e -∞-∞⎡⎤=+=⎣⎦+⎰. 所以 这反常积分收敛，其值为ln 2.3.(1110lim 11x -→⎡==+=⎣⎰. 所以 这反常积分收敛，其值为1.4.20222220202211111111sin sin sin cos cos dx dx dx x x xx x x x x ππππππ---⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 001221lim cos cos cos lim cosx x x xππ-+→→=++- 因为 0011lim cos lim cos x x x x-+→→和不存在 故 这反常积分发散. 5.()02222xx x xx x e dx xe dx xe e +∞+∞+∞-----∞⎡⎤+==--=⎣⎦⎰⎰.所以 这反常积分收敛，其值为2.6.()222ln 11ln ()211x xdx xd x x =-++⎰⎰ 22ln 112(1)2(1)x dx x x x =-+++⎰22ln 11()2(1)21x xdx x x x=-+-++⎰222ln 1ln 2(1)41x x C x x =-++++于是()202ln 1x x dx x +∞+⎰2220ln 1lim ln 2(1)41bb x x x x εε+→+∞→⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦ 2222220ln ln 11lim ln ln 2(1)2(1)4141b b b b b εεεεε+→+∞→⎡⎤=-++-⎢⎥++++⎣⎦ 2220ln 1lim ln(1)02(1)4εεεεε+→⎡⎤=-+++=⎢⎥+⎣⎦. 所以 这反常积分收敛，其值为0.三、解()()1ln(ln ), 1ln 1(ln ), 1ln ln 1kkk x C k dxd xx C k x x x k -++=⎧⎪==⎨+≠⎪-+⎩⎰⎰当时当时 当1k =时()[]22ln(ln )ln kdx x x x +∞+∞==+∞⎰，此反常积分发散.当1k ≠时()()11-22, 11(ln )11ln 21ln -1k kkk dx x k k x x k +∞+∞-+∞<⎧⎪⎡⎤==⎨⎢⎥->⎣⎦⎪⎩⎰当时,当时， 所以 当1k ≤时， 此反常积分发散当1k >时， 此反常积分收敛，其值为()1-1ln 2-1k k . 令 ()()1-1-11ln 2 ln 2 -1-1kk f k a a k k ==设 ()111(ln )11k f k a a k k -'=-+--令 ()0f k '=，得驻点 11ln ln 2k =-()2211[1(1)ln ](1)k k a f k k a -++-''=-13ln 211(ln ln 2)(ln 2)0ln ln 2f ⎛⎫''-=-> ⎪⎝⎭因而 ()f k 在11ln ln 2k =-点取得最小值.。