定积分的概念与性质练习

第一节 定积分的概念与性质

一、选择题

1. A ；

2. C . 二、填空题

1. （1）1; （2）0; （3）4

π. 2. （1）1

2

x dx ⎰

>

1

30

x dx ⎰

， （2）2

1ln xdx ⎰ >

()

2

2

1ln x dx ⎰，

（3）

2

xdx π⎰

<

20

sin xdx π

⎰

，

（4）4

3

ln xdx ⎰ < ()

4

2

3ln x dx ⎰.

三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2

21

x dx -⎰

是存在的，且它与分法无关，同

时也与点的取法无关.

将区间[]0,1n 等分，得1i x n =，取() 1,2,,i i

i n n

ξ==

作和 ()2

3

2

1

1

13

344

001114n n n n i

i i i i n n i S x i n n

n n ξ

---===+⎛⎫=

=== ⎪⎝⎭∑∑∑ 于是 1

lim 4n n S →∞=

即 13

014

x dx =⎰.

四、 细棒的质量()0

l

x dx ρ⎰.

五、

1

13

x e dx -+⎰

311

x e dx +-=-⎰.

设()()1

1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，

从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1

41x e e +≤≤.

于是 3

141

44x e dx e +-≤≤⎰

从而 1

4

13

44x e e dx -+-≤

≤-⎰

.

六、 设()()2

21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点14

x =

. ()17101,,148

2f f f ⎛⎫⎛⎫

==

= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

.所以 min ()f x =1, max ()f x =78.

17≤≤, 由定积分性质，得

1

20127≤≤

⎰.

第二节 微积分基本公式

一、填空题

1.

2； 2. ()()

33sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.

二、 cos y x '= ； 0

cos01x y ='==； 2

cos

02

x y π

π

=

'

==.

三、 ()22

0x t x d I x te dt xe dx

--'=

=⎰， 令()0,I x '=得驻点0x =； 当0x <时，()0,I x '<当0x >时，()0,I x '> 所以， 当0x =时，函数()I x 有极小值.

四、1. ()1

1

3

40

015sin cos cos144

x x dx x x ⎡⎤+=-=-⎢⎥⎣⎦⎰；

2.

()[]2

2

4

44000

tan sec

1tan 14

xdx x dx x x ππ

π

π

=-=-=-

⎰⎰

；

3.

()[][]22200

sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x π

π

π

π

π

π

π

=+-=-+=⎰

⎰⎰

.

4.

()()1

2

2

23212

1

011612266

x

x x f x dx x dx dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰

. 五、 2

2

2sin 0

3220

00sin sin arctan cos arctan 1224lim

lim lim

3312

x

x x x t x x dt x x x x →→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭===⎰

. 六、 当 0x <时，()0

00x

F x dt ==⎰

当 0x π≤<时，()()0

11

sin 1cos 22

x

F x tdt x ==-⎰

当 x π≥时，()0

1

sin 012

x F x tdt dt π

π=

+=⎰

⎰.

故 ()()0, 0

1

1cos , 021, .

x F x x x x ππ<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩

七、设连续函数()f x 满足(

)()1

3,f x x f x dx =求()f x 的表达式

解 设 ()1

a f x dx =

⎰