北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案.【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ） A. 2x - B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=rr因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=m =（ ）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-== 解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r rm n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】 (1). 2(2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos 5c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪-⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ=【分析】(1)按照比例求解即可；(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望. 【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()3sincossin 222xxxf x ωωω=+31cos sin 2x x ωω-=+311sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥.【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PMPC的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2（3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u uu r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD 因为PA ⊂平面PAD 所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB 因为PA PD = 所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 因为PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD 所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥= 所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形 所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P -- (2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==. 所以(1,1,1)n =r.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r，所以3cos ,.3n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v vu u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角， 所以二面角C PA D --的余弦值为3.（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==- 所以(,2,1)M λλλ--. 所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r.因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r是平面PCD 的一个法向量. 若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r.所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，点(0,2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析【解析】 【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.可得222c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C的焦点为12(F F ． 所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+. 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x km x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+． 又2266m k =+， 所以232(2)0k ∆=->. 所以22k >. 又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OABS AB d ∆=⋅=⨯=． 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++ 因为()h u 在1(0,)9上单调递减， 所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； （2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ． 【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞ 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程； (2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+. 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<； 当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-. （3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-， 所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++.因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==.又因为2k <， 所以120,1x x <>. 取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >； 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增. 所以()(1)0h x h >=. 即()(1)>-f x k x . 所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。