一类具年龄结构的捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析
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作者简介 ： 魁学婷（ ９ ７ ， ， １ ８・ 女 甘肃永靖人， ） 硕士生．
１４ ６
一
兰
州 交
通
大
学
学
报
第 ３ １卷
食饵扩散模型 ， 得到了该模型非负平衡点是全局 渐近稳定的； 文献［ １ 研究一个含两类食饵和一类 １ ｕｏ ． ｐ ｎ ｖ函数得到非负平衡点 ｙ 的全局稳定性． 与模型 （） ２ 相应的反应扩散模型如
萁中：
Ａ 一 ； 一 Ｂ ； 一 ｃ ．
蠹班’ ｄ如 ｘ，Ｉ ｔ ｌ ２ｄ … ３； （ ２ １ 一 ） －ｚ ， 懈 ￣－ ｘｍ 。。 １ｚ ｚ 一 ｘ ～ ３ － 一 ． ＇ 触
收稿 日期 ：０ １０ —Ｏ ２ １—９２
近几年来 ， 带阶段结构的捕食者 一食饵扩散模型 的
证 明 类 似 于文献 ［ ］ 理 ２ １ ８定 ． 可证 ． 为 了分 析平 衡 点 的稳 定 性 ， 需要 引入 一些 概 念 和记号． 与文献［３ 类似， ０ ＜ ＜ ＜ … １］ 设 一 ２ 是 算子 一△在 ｎ 上带 齐次 Ｎｅ ｍａｎ边界 条 件 的特 ｕ ｎ 征 值 ， ） Ｈ ｎ Ｅ（ 是 （ ）中与 特征 值 相 应 的特征 空
第 ３ １卷 第 １ 期 ２１ 年 ２ ０２ 月
兰
州
交
通
大
学
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报
Ｖ０ ． １ Ｎｏ １ Ｉ３ ．
ＪＵＴ ｌ ｆ ａ ｚｏ ｉ ｔｎ ｉｅｓ ｙ Ｏ ｌａ ｎｈ ｕＪａ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ Ｉ ｏＬ ｏ ｔ
Ｆｅ ． ０ ２ ｂ ２ １
文 章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ２ ０ －１３０ １０ ・３ ３ ２ １ ） １０ ６～４
。
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Ａｕｘｕ － ３
—
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（） ３
Ｕｆ ｄ３ ３一 “ （ — Ｕ ３— ３Ｃ ２一 Ｕ ）， ３
ａ — ｏ， 一 １， ３， ２，
ｆ
且存在依赖于系统 （） ３ 的系数 以及初值的正常数 Ｌ ，
Ｍ ， 使 得 Ｎ，
０≤ Ｕ ≤ Ｌ， ｌ ０≤ “ ≤ Ｍ ， ≤ ３ Ｎ． ２ ０ ≤
做变 换
撕 葡 。南 ｚ 一 薪 。 ’ ，
“ 一 ２ “。 ＝
ｓ 一
一 （ ｍＳ， ｄｑ ｔ －
代人式（ ）并将 ｒ １， 仍写作 ｔ得 ，
一
Ａ地 ｌ “ 一ｔ ，
“ 一 ｚ，
一１助’ ｝ “ 。 『 一 －
一
（ ２ ）
警一ｕ ｕ 。 Ｃ－ 一 Ｊ ３ｌ
定性． 然后研 究弱耦合 反应扩散 系统解的整体存在 性和非 负平衡点 的稳定性．
关键词 ： 阶段 结构； 扩散 ｝ 捕食 者一食饵模 型 ； 整体解 ｝ 平衡 态； 定性 稳 中图分类 号： ７ ． ６ ０１５ ２ 文献标志码 ： Ａ
０ 引 言
部 门提 出 许 多合理 的建 议．
本文主要证 明模型（） ３ 与模型 （） ２ 具有相 同的 稳 定性 结 论 ， 即扩散 不会 导致不 稳定 ， 是下 一篇 论文
移． 常数 ｄ （ １ ２ ３ 是对 应 于种群 “ （ 一 １ ２ 正 一 ， ， ） ，，
特别地 ， 当初值 Ｕ ≥ （ Ｏ １２ ３ 时 ， ≠） （ 一 ， ，） 在
× （ ， ） 满足 Ｕ ， ２“ ＞ ０ Ｏ∞ 上 １Ｕ，３ ．
３ ）的扩散 系数 ， 初值 Ｕ （ ） １２ ３ 是 ｎ上满 足 ｚ （ 一 ， ，） 相容 条件 的光 滑 函数．
下：
Ｕ ｔ ｄｌ２ ｌ ｌ－ ￣ Ｚｕ
２ 反 应 扩 散 系统 （ ） 稳 定性 ３ 的 因为系统（） ３ 右端 的函数 （ １２３ 在 恐 一 ，，）
上是 光 滑 的 ， Ｐ Ｅ 的基本理 论［ 知 ， 由 Ｄ 弛 系统 （）存 ３
在唯一解（ “ ，。 ∈［ （ ［ ， ） Ｆ Ｃ， ｘ “ ， ） Ｃ ×． 丁 ） ｌ ２ （ ０ （ ， ）］ ， 中是解 的最大存在 区间． １Ｔ ）。其 下面的定理
模型 ， 得到了该扩散模型正平衡点 的全局渐近稳定
性； 文献［ ］ ９ 研究了 Ｈ ｌｎ ｏｌ ｇⅢ 型捕食者一食饵扩散 ｉ
模型 ， 得到了该模型正平衡点的全局渐近稳定性 ； 文
献［ｏ 研究 了食饵具有 阶段结构 的两种群捕食 者 １］
基金项目 国 然科学基金（ ９１７） ： 家自 １ ０ｏ５； ｏ 甘肃省自 然科学基金（１７ Ａ９） １ ｚ ｌ ｏ ７
解 的整体性态引起人们 的广泛关 注， 这些工作 主要 讨论阶段结构对解 的动力学 性态 的影 响． 文献１ ３ － ７ 研究 了捕食者具有阶段结构 的捕食者 一 食饵扩散
模型 ， 讨论 了其非负平衡解的稳定性 ； 文献［ ３ ８ 研究 了 Ｈ ｌ ｇＵ 型具有阶段结构的捕食者 一食饵扩散 ｏｌ Ｉ ｉ ｎ
（． ） ２ １
“（ ０ ｉｚ，）一 Ｕ （ ）≥ （ ） ， 一 １ ２ ３ Ｊ ｚ ≠ ０ｉ ， ，．
其 中： ｃ Ｒ Ｎ是具有光滑边界 ａ ｎ的有界区域 ； 是 叩 边 界 ａ 上 的 单 位 外 法 向 量 ａ 一 ａ ，齐 次 ｎ
Ｎｅ ｍａ ｎ边界 条件 说 明在边界 ａ ｕ ｎ ｎ上 没有种 群 的迁
一
类具 年 龄 结构 的捕 食 者 一食 饵 扩 散 模 型 的稳 定 性 分 析
魁 学婷 ， 张 睿 ， 刘志琳 ， 苗亮英
７０７） ３ ００
（ 兰州交通大学 数理与软件 工程 学院 ， 甘肃 兰州
摘
要 ： 究了一 类具有阶段 结构的食饵 一捕食 者模型． 研 首先 讨论 常微 分方程 组形式 的该模型 的非 负平衡 点的稳
说 明系 统 （）的解是 一致有 界 的 ， 而 了 一＋ Ｏ． ３ 从 、 ＜ ３ 定 理 ２１ 如果 初值 函数 Ｕ ． ≥ Ｏ ｉ １２３ 光 （一 ，，） 滑 ， 系 统 （）存 在 唯一 的古典 整 体 解 （ ，ｚ“） 则 ３ Ｕ ，。 ，
“ ｔ“Ｂ ２ ２ １ ｆ 一２ — ２ ， ＂
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第 ３ １卷
食饵扩散模型 ， 得到了该模型非负平衡点是全局 渐近稳定的； 文献［ １ 研究一个含两类食饵和一类 １ ｕｏ ． ｐ ｎ ｖ函数得到非负平衡点 ｙ 的全局稳定性． 与模型 （） ２ 相应的反应扩散模型如
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近几年来 ， 带阶段结构的捕食者 一食饵扩散模型 的
证 明 类 似 于文献 ［ ］ 理 ２ １ ８定 ． 可证 ． 为 了分 析平 衡 点 的稳 定 性 ， 需要 引入 一些 概 念 和记号． 与文献［３ 类似， ０ ＜ ＜ ＜ … １］ 设 一 ２ 是 算子 一△在 ｎ 上带 齐次 Ｎｅ ｍａｎ边界 条 件 的特 ｕ ｎ 征 值 ， ） Ｈ ｎ Ｅ（ 是 （ ）中与 特征 值 相 应 的特征 空
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且存在依赖于系统 （） ３ 的系数 以及初值的正常数 Ｌ ，
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关键词 ： 阶段 结构； 扩散 ｝ 捕食 者一食饵模 型 ； 整体解 ｝ 平衡 态； 定性 稳 中图分类 号： ７ ． ６ ０１５ ２ 文献标志码 ： Ａ
０ 引 言
部 门提 出 许 多合理 的建 议．
本文主要证 明模型（） ３ 与模型 （） ２ 具有相 同的 稳 定性 结 论 ， 即扩散 不会 导致不 稳定 ， 是下 一篇 论文
移． 常数 ｄ （ １ ２ ３ 是对 应 于种群 “ （ 一 １ ２ 正 一 ， ， ） ，，
特别地 ， 当初值 Ｕ ≥ （ Ｏ １２ ３ 时 ， ≠） （ 一 ， ，） 在
× （ ， ） 满足 Ｕ ， ２“ ＞ ０ Ｏ∞ 上 １Ｕ，３ ．
３ ）的扩散 系数 ， 初值 Ｕ （ ） １２ ３ 是 ｎ上满 足 ｚ （ 一 ， ，） 相容 条件 的光 滑 函数．
下：
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上是 光 滑 的 ， Ｐ Ｅ 的基本理 论［ 知 ， 由 Ｄ 弛 系统 （）存 ３
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基金项目 国 然科学基金（ ９１７） ： 家自 １ ０ｏ５； ｏ 甘肃省自 然科学基金（１７ Ａ９） １ ｚ ｌ ｏ ７
解 的整体性态引起人们 的广泛关 注， 这些工作 主要 讨论阶段结构对解 的动力学 性态 的影 响． 文献１ ３ － ７ 研究 了捕食者具有阶段结构 的捕食者 一 食饵扩散
模型 ， 讨论 了其非负平衡解的稳定性 ； 文献［ ３ ８ 研究 了 Ｈ ｌ ｇＵ 型具有阶段结构的捕食者 一食饵扩散 ｏｌ Ｉ ｉ ｎ
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其 中： ｃ Ｒ Ｎ是具有光滑边界 ａ ｎ的有界区域 ； 是 叩 边 界 ａ 上 的 单 位 外 法 向 量 ａ 一 ａ ，齐 次 ｎ
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类具 年 龄 结构 的捕 食 者 一食 饵 扩 散 模 型 的稳 定 性 分 析
魁 学婷 ， 张 睿 ， 刘志琳 ， 苗亮英
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要 ： 究了一 类具有阶段 结构的食饵 一捕食 者模型． 研 首先 讨论 常微 分方程 组形式 的该模型 的非 负平衡 点的稳
说 明系 统 （）的解是 一致有 界 的 ， 而 了 一＋ Ｏ． ３ 从 、 ＜ ３ 定 理 ２１ 如果 初值 函数 Ｕ ． ≥ Ｏ ｉ １２３ 光 （一 ，，） 滑 ， 系 统 （）存 在 唯一 的古典 整 体 解 （ ，ｚ“） 则 ３ Ｕ ，。 ，
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