电磁场理论 柯亨玉 著 人民邮电出版社 课后答案

(2) 利用(1)式的结果即可。 (3) 据 ∇ 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
v v v v v v ∇ ⋅ ( E × H ) = ∇ ⋅ ( Ec × H ) + ∇ ⋅ ( E × Hc )
再 ∇ 算子的矢量性，并据公式
v v v v v v v v v a ⋅ (b × c ) = c ⋅ (a × b ) = b ⋅ (c × a )
1-6. (1) 证： ∇ ⋅ A =
v
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂z ∂x ∂y dAx ∂u dAy ∂u dAz ∂u + + du ∂x du ∂y du ∂z
=
v dA = ∇u ⋅ du
ˆx ( (2) 证： ∇ × A(u ) = e
v
∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ˆy ( ˆz ( − )+e − )+e − ) ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x
v
性质
a）偶函数： δ ( x ) = δ ( − x ) b）取样性：
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
有机会用到的表达式：
δ (r − r ') = −
v
1 2 1 ∇ v 4π r − r'
1-1.
证明：
v v ˆx9 + e ˆy 2 − e ˆz 6) ⋅ (e ˆx 2 + e ˆy3 + e ˆz 4) A ⋅ B = (e =18+6-24
1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
球坐标系中
v ˆr r = re
ˆr + rdθe ˆθ + r sin θdϕe ˆϕ dr = dre
dv = r 2 sin θdrdθdϕ ∇u = ∂u 1 ∂u 1 ∂u ˆϕ ˆr + ˆθ + e e e ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
ˆ i h j hk dq j dq k ds i = dl j × dl k = q
dv = dl i ⋅ dl j × dl k = hi h j hk dq i dq j dq k
ˆi = q ˆj ×q ˆk ， q ˆi ⋅ q ˆj ×q ˆk = 1 ， 式中 i 、 j 、 k 代表循环量 1、2、3， q
dv = ρdρdϕdz
∇u =
1 ∂u ∂u ∂u ˆρ + ˆϕ + e ˆz e e ρ ∂ϕ ∂ρ ∂z
v Fρ ∂Fρ 1 ∂Fϕ ∂Fz ∇⋅F = + + + ρ ∂z ∂ρ ρ ∂ϕ
ˆρ e v 1 ∂ ∇× F = ρ ∂ρ Fρ ∇ 2u = ∂ ∂ϕ ρFϕ ˆϕ ρe ˆz e ∂ ∂z Fz
v dA dAz ∂u dAy ∂u v ˆx ( ˆx − ) = (∇u × )e 右边第一项的 x 分量 = e du du ∂y du ∂z
同理
v dAx ∂u dAz ∂u dA ˆy ( ˆy e − ) = (∇u × )e du ∂z du ∂x du
v dA dAy ∂u dAx ∂u ˆz ( ˆz − e ) = (∇u × )e du du ∂x du ∂y
⎛ ∂x hi = ⎜ ⎜ ∂q ⎝ i
⎞ ⎛ ∂y ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎠ ⎝ ∂qi
2
⎞ ⎛ ∂z ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎠ ⎝ ∂qi
2
⎞ ⎟ ⎟ 称拉梅系数。 ⎠
2
三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：
ˆ ρ ⎤ ⎡ cos ϕ ⎡e ⎢e ˆ ⎥ ⎢ ⎢ ϕ ⎥ = ⎢− sin ϕ ⎢ ˆz ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣e
v 1 ∂ 2 ∂Fϕ 1 ∂ 1 ∇⋅F = 2 (r Fr ) + (sin θFθ ) + ( ) r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ r ∂r
ˆr e 2 r sin θ v ∂ ∇× F = ∂r Fr
ˆθ e r sin θ ∂ ∂θ rFθ
ˆϕ e r ∂ ∂ϕ r sin θFϕ
v ∂γ = du i ∂u i
v ∂γ ˆi du i =u ∂u i
其中弧长
v ∂γ dli = dli = du i ∂u i ˆx +x ˆ x +x ˆ x = ∑x ˆ y ˆ γ =x
1 1 2 2 3 3 j
其中
v
3
j
j =1
v 3 ∂xj ∂γ ˆj x =∑ ∂u i j =1 ∂u i
其中 Ac 、 Bc 暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
v
v
v v v v v v v a × (b × c ) = (a ⋅ c )b − (a ⋅ b )c
将上式右端项的常矢轮换到 ∇ 的前面，使变矢都留在 ∇ 的后面
v v Ac = a v v Bc = a
则
v v v v v v ∇( Ac ⋅ B) = Ac × (∇ × B) + ( Ac ⋅ ∇) B v v v v v v ∇( A ⋅ Bc ) = Bc × (∇ × A) + ( Bc ⋅ ∇) A
v (∇ ⋅ Fe = 0) v (∇ × Fl = 0)
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究 4）
δ 函数
定义：
⎧0 v δ (r − r ') = ⎨ ⎩∞
v
v (r ≠ r ') v (r = r ')
⎧ ⎪0(r '在v外) ⎩
∫ δ (r −r ')dv = ⎨ ⎪1(r '在v内)
第一章 矢量分析与场论基础 内容提要 1） 正交曲线坐标系： 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：
q1 = q1 ( x, y, z )
q 2 = q 2 ( x, y, z )
dl i = hi dqi
q 3 = q 3 ( x, y , z )
在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为
ˆ i hi dqi dl i = q
S
∫ (∇ × F ) ⋅ ds = ∫ F ⋅ dl
s L
v
v
其中 s 是由 l 所包围的面积。
直角坐标系中 F 的旋度
v
ˆx e v ∂ ∇× F = ∂x Fx
拉普拉辛是梯度的散度 在直角坐标系中：
ˆy e ∂ ∂y Fy
ˆz e ∂ ∂z Fz
∇ ⋅ ∇u = ∇ 2 u =
一个矢量的拉普拉辛定义为：
球坐标与直角坐标 2） 矢量及其运算： 直角坐标中算符 ∇ 的定义：
∇=
一个标量函数 u 的梯度为：
∂ ∂ ∂ ˆx + e ˆy + e ˆz e ∂x ∂y ∂z
∇u =
∂u ∂u ∂u ˆx + ˆy + ˆz e e e ∂z ∂x ∂y
梯度给出了一点上函数 u 随距离变化的最大速率，它指向 u 增大的方向。 一个矢量 F 穿过一个曲面 S 的通量ψ 为
v ( x − x' ) ( y − y' ) ( z − z' ) R ˆx + ˆy + ˆz = e e e = R R R R ∇' R = ∂R ∂R ∂R ˆx + ˆy + ˆz e e e ∂x' ∂y ' ∂z '
v R − ( x − x' ) − ( y − y' ) − ( z − z' ) ˆx + ˆy + ˆz = − e e e = R R R R v R 所以 ∇R = −∇' R = R
v v v v v v v v v v ∇( A ⋅ B) = Ac × (∇ × B) + ( Ac ⋅ ∇) B + Bc × (∇ × A) + ( Bc ⋅ ∇) A
除去下标 c 即可
v v v v v v v v v v ∇( A ⋅ B) = A × (∇ × B) + ( A ⋅ ∇) B + B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A
sin ϕ cos ϕ 0
ˆx ⎤ 0⎤ ⎡ e ⎢ˆ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎢e y ⎥ ˆz ⎥ 1⎥ ⎦ ⎣e ⎦⎢
柱坐标与直角坐标
ˆγ ⎤ ⎡ sin θ ⎡e ⎢ ⎥ ⎢ ˆθ ⎥ = cos θ ⎢e ⎢ ⎢e ⎥ ˆ ⎣ 0 ⎣ ϕ⎦ ⎢
ˆρ ⎤ 0 cosθ ⎤ ⎡e ⎥ ⎢ ˆϕ ⎥ 0 sin θ ⎥ ⎢e ⎥ ⎢ ˆ 1 0 ⎥ e ⎦⎣ z ⎥ ⎦
据公式 ∇f (u ) =
df ∇u du
v 1 1 R ∇ = − 2 ∇R = − 3 R R R v R 1 1 ∇' = − 2 ∇' R = 3 R R R
v 1 1 R 所以 ∇ = −∇' = − 3 R R R v R 1 ∇ × 3 = −∇ × ∇ = 0 （梯度的旋度等于零） R R v v v R 1 1 ∇ ⋅ 3 = 3 ∇ ⋅ R + R ⋅∇ 3 R R R
v 3 1 + R ⋅ (−3) 4 ∇R 3 R R v v − 3R 3 = 3 + R⋅ 5 = 0 ( R ≠ 0) R R =
同理
v v v R 1 1 ∇'⋅ 3 = 3 ∇'⋅R + R ⋅ ∇' 3 R R R
= −3 v 1 + R ⋅ (−3) 4 ∇' R 3 R R v v R − 3 v 3R = 3 + R ⋅ 5 = −∇ ⋅ 3 = 0 R R R