第三章 最优化设计
最优化 马昌凤 第三章作业
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第三章 最速下降法和牛顿法一、上机问题与求解过程1、用最速下降法求212221216423),(x x x x x x f --+=的极小值。
解：仿照书上编写最速下降法程序如下：function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0) %功能：用最速下降法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似嘴有点和最优值，k 是迭代次数 maxk=5000;rho=0.5;sigma=0.4;%一开始选择时选择的rho 和sibma 选择的数据不够合理，此处我参照书上的数据编写数据 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度 d=-g;%计算搜索方向if (norm(d)<epsilon),break ;end m=0;mk=0; while (m<20)%Armijo 搜索if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break ;%直接利用Armijo 搜索公式,一开始的时候没有记住公式编写出现错误 end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*d; k=k+1; end x=x0;val=feval(fun,x0) %求得每一个的函数值然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=3*x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-6*x(2); function g=gfun(x) g=[6*x(1)-4,4*x(2)-6]';选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']500.1,6667.0[，极小值为8333.5-，在界面框中输入的程序如下：[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val = -5.8333 x =0.6667 1.5000 val =-5.8333 k = 10从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
第三章 优化设计(4节
第四节多维无约束优化方法4.1最速下降法（梯度法）x，使f(x)minf(x+α对于多元函数，求极小点k+1k+1)=minf(x k kS k)，需要确定两个内容：步长αk，方向S k，不同的搜索方向导致了不同的优化方法。
主要有：梯度法、共轭导致了不同的优化方法主要有：梯度法共轭梯度法、牛顿法、变尺度法、坐标轮换法、Powell法。
z思想函数值变化最快的方向是其梯度方向，而且负梯度方向是函数值下降最快的方向。
故沿负梯度方向搜索。
方向是函数值下降最快的方向故沿负梯度方向搜索z迭代格式z步骤1）给定初始点，迭代精度，维数。
2）置0→k。
3）确定搜索方向：计算迭代点x k的剃度，以及剃度的模，进而确定搜索方向s k。
4）求最优步长αk：从x k点出发，沿负剃度方向进行维搜索求最优步长α，f(xαS)min f(xαS)。
一维搜索求最优步长k k+k k＝min f(x k+k5）检验是否满足终止条件，若满足，终止迭代，输k→x*k)→f(x*)，否则，进入下一步出最优解x x，f(x f(x)，否则，进入下步。
6）计算新的迭代点x k＋1＝x k+αk S k。
z搜索路线z特点1）迭代过程简单，存储量小，对初始点的选择要求低；2）在远离函数极小点的地方，函数值下降较快。
但是，由于所谓的最速下降方向函数在某点的负剃度方是，由于所谓的最速下降方向－函数在某点的负剃度方向，仅是对该点而言，一旦离开了这点，其方向就不再是最速方向了。
因而在这个优化过程中，沿某点的负剃是最速方向了因而在这个优化过程中沿某点的负剃度方向寻优，并不总是具有最速下降方向的性质。
因此，从局部看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体从局部看在点附近函数的下降是最快的但从整体看，函数的下降并不算快，而且越是接近极值点，收敛越慢。
越慢3）应用该方法可使目标函数在头几步下降很快，因此可以与其他无约束优化方法配合使用。
例子z目标函数f(x)=60-10x1-4x 2+x 12+x 22-x 1x 2，设初始点[00]精度001用梯度法求极小点和极小x 0=[0 0]T ，精度ε=0.01，用梯度法求极小点和极小值。
第三章优化设计问题的若干理论基础2
目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。
相当于·X*无约束问题的最优点。
目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。
Q pRpQR则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。
结论u极小点在可行域内，是一个内点u极小点是一个边界点起作用约束。
如其它的几种情况。
则，该方向要满足以下两个条件——a )这是一个可行方向，即这个方向必须在可行域内，b )这是一个使函数值下降的方向。
Ⅱ. 如果它是一个局部极小点，那么又是否是一个全域极小点？Ⅰ. 这个点是否是一个局部最小点？Ⅰ℘∈X约束优化问题的最优解及其必要条件库恩-塔克条件在优化实用计算中，为判断可行迭代点是否是约束最优点，或者对输出的可行结果进行检查，观察其是否满足约束最优解的必要条件，引入库恩-塔克条件。
上式也称为约束优化问题局部最优点的必要条件。
=≥=≥=∇−∇−∇∑∑==j u q x h x g x F u q u j v k v v k u u k ,...,2,10.. (321)00)()()(11λνµµλν，，K -T 条件：这q 个约束的梯度向量线性无关，则点为约束极小点的必要条件是：目标函数的负梯度向量可以表示为约束梯度向量的线性组合，即：()[]()[]0)()(≥∇=∇∑∗∗u q uu X g X f λλ其中，210()[])(∗∇X f )(∗X将上式用梯度形式表示，为或者表明库恩-塔克条件的几何意义是，在约束极小值点x *处，函数f (x )的梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。
()())(0)(-)(1)()(1)(k u qu u k k q u u uk x g x f x g x f ∇=∇=∇∇∑∑==λλ库恩-塔克条件的几何意义若x k 点是极值点，则可以写成此条件要求点x k 一定要落在约束曲面g 1(x )=0和g 2(x )=0的交线上，而且-∇f (x k )和∇g 1(x k ) 及∇g 2(x k )应该线性相关，即三者共面。
最优化马昌凤第三章作业
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：49第三章 最速下降法和牛顿法一、上机问题与求解过程1、用最速下降法求212221216423),(x x x x x x f --+=的极小值。
解：仿照书上编写最速下降法程序如下：function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0)%功能：用最速下降法求解无约束化问题：min f(x)%输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数和梯度%输出：x,val分别是近似嘴有点和最优值，k是迭代次数maxk=5000;rho=;sigma=;%一开始选择时选择的rho和sibma选择的数据不够合理，此处我参照书上的数据编写数据k=0;epsilon=1e-5;while(k<maxk)g=feval(gfun,x0);%计算梯度d=-g;%计算搜索方向if(norm(d)<epsilon),break;endm=0;mk=0;while(m<20)%Armijo搜索if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)mk=m;break;%直接利用Armijo搜索公式,一开始的时候没有记住公式编写出现错误endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x0)%求得每一个的函数值然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M文件：function f=fun(x)f=3*x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-6*x(2);function g=gfun(x)g=[6*x(1)-4,4*x(2)-6]';选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']6667.0[，极小值为8333500.1,，在界面框中输入的程序如下：.5[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0)val =x =k =10从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
第三章第一节多变的天气-2021年初中同步测控优化设计七年级《地理》福建专版-配套PPT课件
℃,最高气温 ℃,气温日较差
℃。
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解析:第(1)题,根据常用天气符号即可识别。第(2)题,风杆上的横 线叫作风尾,风杆上画有风尾的一端即指示风向,由图示信息可判 断是西南风;一条风尾表示风力为2级,两条风尾则表示风力为4级。 第(3)题,气温日较差是一天中最高气温与最低气温之差。计算可知, 气温日较差为12 ℃。
关闭
D由.该图日可的知风,该向日及天风气力状为况为东多南云风转4级大雨,气温18~23 ℃,风向及风力为东
南风4级。该日不会出现霜冻现象,且大雨天气不适合组织登山活动。关闭 D
解析 答案
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6.下表为我国部分城市某日空气质量日报。下列城市中空气污染 最严重的是( )
一二三
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4.识别常用的天气符号 (1)在电视天气预报画面上,天气符号一般与 城市名称 一起
出现。
(2)一个城市名称旁边出现两个天气符号时,表示天气将从某种天 气状况 转变 成另一种天气状况。
5.人们获得天气预报的途径多种多样,例如,通过 互联网 、 电话 等可以随时查询天气预报。
关闭
本题考查风向的判断。风向是风吹来的方向,玉米秆向西北方向倾倒,
说明风是由东南向西北吹,因此风向是东南风。
关闭
D
解析 答案
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123456
5.读某市某日的天气预报图,判断下列叙述正确的是( )
A.该日可能会出现霜冻现象
B.该日天气是多云转小雨
C.该日适合组织登山活动
城市 空气质量指数 空气质量级别
最优化理论在机械设计领域中的应用
最优化理论在机械设计领域中的应用第一章前言最优化理论是一门涵盖多个学科的学科，涉及的领域有计算机科学、数学、工程学等等。
最优化理论的核心目标是寻求一个最好的解决方案，在机械设计领域中的应用也非常广泛。
本文将详细探讨最优化理论在机械设计领域中的应用。
第二章最优化理论的基础知识最优化理论有很多不同的分支，例如线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
在机械设计领域中，最常用的是非线性规划。
非线性规划是指目标函数和约束都是非线性的情况下的最优化问题。
最优化理论的核心思想是将问题转化为数学模型，通过求解该模型得到最优解。
解决非线性规划问题的一种常用方法是使用数值优化算法。
这些算法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和遗传算法等。
第三章机械设计中的最优化应用最优化理论在机械设计领域中的应用主要有以下三个方面：1. 结构优化设计结构优化设计是指通过优化机械结构设计的各项参数，以达到某些性能指标的最优化。
在结构优化设计中，最常用的方法是拟牛顿法。
拟牛顿法可以在实现收敛速度快的同时，还可以在迭代过程中估计目标函数的一阶和二阶偏导数，从而提高算法的收敛速度。
2. 工艺优化工艺优化是指对机械制造时的生产工艺进行优化设计，以提高机械部件的品质和生产效率。
在工艺优化中，最常用的算法是遗传算法。
遗传算法可以模拟进化的过程，通过"基因"的传递和变异，不断地产生更好的解决方案。
3. 参数优化参数优化是指通过对机械部件设计中的各项参数进行优化，以达到一定的性能指标。
在参数优化中，最常用的算法是基于响应面法的参数优化。
响应面法通过设计一定的实验方案，建立起机械部件参数与目标函数之间的数学模型，通过数学模型来优化机械部件参数。
第四章实例分析以调速机械为例，使用最优化理论中的拟牛顿法进行结构优化设计。
经过多次迭代，得到了最优解。
再以同样的调速机械为例，采用遗传算法进行工艺优化。
通过遗传算法的迭代优化，不断优化各项参数，最终得到了最优解。
现代设计方法课件_优化设计_PPT
现代设计方法
/2
>/2
可行下降方向所在的区域
现代设计方法
假设现已由初始点沿着目标函数的负梯度方向，找到 处于约束条件边界上的点 ，此时目标函数的梯度为f (X(k)) ，约束条件gu(X) ≤0 的梯度为 gu (X(k)) ，并设下 一步的迭代方向为 S(k) 。要求沿 S(k)方向迭代时，既能 满足使目标函数值有所下降的条件，即 [f (X(k))]TS(k)) <0(两向量夹角大于90)，又能满足约束条件，即 [gu (X(k))]TS(k) <0 (两向量夹角大于90)，则 S(k) 必须位于阴 影区。
现代设计方法
满足 [f (X(k))]TS(k)) <0的 S(k)称为下降方向； 满足 [gu (X(k))]TS(k)) <0的 S(k)称为可行方向； 两者都满足的 S(k) 称为可行下降方向。 即:可行下降方向区是位于点X(k)的约束曲线的切线 与目标函数等值线的切线所围成的扇形区域内。
现代设计方法
现代设计方法
第三章 优化设计 Optimization Design
现代设计方法
本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化问题的数学分析基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束多维问题的优化方法 ➢ 约束问题的优化方法 ➢ 多目标函数的优化方法 ➢ LINGO在优化设计中的应用
现代设计方法
3.5 约束问题的优化方法
约束问题的优化方法： 设计变量的取值受到某种 限制时的优化方法。只要目标函数和约束函数为 连续、可微的函数，且存在一个有界的非空可行 域，约束优化问题就一定有解。 约束问题的优化方法主要解决三个问题：探索方 向、步长以及初始可行点。
现代设计方法
1. 约束优化问题的直接法---可行方向法 在可行域内按照一定的准则，直接探索出问题的最优 点，而无须将约束问题转换成无约束问题去求优的方 法，称为约束优化问题的直接法。 约束条件常常使得可行域非凸集出现众多的局部极值 点，不同的初始点往往会导致探索点逼近不同的局部 极值点，因此需要多次变更初始点进行多路探索。
第三章优化设计的数学基础
第三章优化设计的数学基础一等值（线）面目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。
为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
对于可计算的函数f(x)，给定一个设计点X(k)，f(x)总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点X(i)（i=1,2, …）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。
即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
目标函数F(x)的等值面（线）数学表达式为：F(x)=C当 c 取c1,c2, …等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。
等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。
等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。
等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。
等值线的疏密定性反应函数值变化率。
二 方向导数与梯度1 方向导数二元函数在点x 0处沿某一方向s 的方向导数方向导数是偏导数概念的推广。
方向导数与偏导数之间的数量关系是n 元函数在点x 0处沿s 方向的方向导数2 梯度二元函数的梯度▽F (x 0)为函数F (x 1，x 2)在x 0点处的梯度。
设010*********(,)(,)lim S F F x x x x F x x s s ∆→∂+∆+∆-=∂∆x 0001212cos cos F F F s x x θθ∂∂∂=+∂∂∂x x x 0000012121cos cos cos cos n n n ii i F F F F s x x x F x θθθθ=∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂=∂∑x x x xx O x 110x 0001212cos cos F F F s x x θθ∂∂∂=+∂∂∂x x x 01212cos cos F F x x θθ⎡⎤⎡⎤∂∂=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦x 0010122()T F x F F F F x x x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎡⎤∂∂⎢⎥∇==⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦x x x 12cos cos s θθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦s 方向和梯度方向重合时，方向导数值最大。
第三章无约束问题的最优化方法
赋以0.618。
2 ,
；并计算其对应
的函数值。 3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的 坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间 中计算一个新的试验点及其函数值。
如果
令 b , , f f 记N0=0； 2 2 1 2 1 如果 ，则新区间＝ ，
2
2
图2-5 黄金分割法
• 黄金分割法要求插入两点： a1 a (1 )(b a), f1 f (a1 )
a2 a (b a), f 2 f (a2 )
黄金分割法的搜索过程：
1）给出初始搜索区间及收敛精度 2）按坐标点计算公式计算 1
，将
在搜索区间内[a,b] 任取两点a1、b1，令f1＝f（a1）， f2＝f（b1） • (1)如f1<f2, 则缩小的新区间为[a,b1]; • (2)如f1>f2, 则缩小的新区间为[a1,b]; • (3)如f1=f2, 则缩小的新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1)
a
a1
b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法： • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；利用区间消 去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而 得到极小点的数值近似解。 •
三年级上册数学优化设计上册的答案2022版
三年级上册数学优化设计上册的答案2022版本书是三年级上册数学优化设计的教材，内容包括加减法、数量比较、物体的测量、时间的计算等多个方面，全面覆盖了小学数学的基础知识。
以下是本册教材中各章节的内容及答案：第一章加法1、加法初步加数1+2=（3）2+3=（5）3+4=（7）4+5=（9）5+6=（11）6+7=（13）7+8=（15）2、用竖式解决加法问题78+30=（108）29+48=（77）53+42=（95）46+39=（85）81+52=（133）3、用图形解决加法问题（见课本附页）4、回归加法基本概念，练习加法算式第二章减法1、认识“比”1比4（1:4）4比7（4:7）6比9（6:9）2、认识减法符号及减法的概念8-3=（5）9-4=（5）10-6=（4）7-5=（2）6-3=（3）3、用竖式解决减法问题80-30=（50）60-35=（25）78-27=（51）91-50=（41）63-28=（35）4、用图形解决减法问题（见课本附页）5、回归减法基本概念，练习减法算式第三章数量比较1、认识“大于”、“小于”、“等于”5<73>28=82、用图形比较大小（见课本附页）3、用数字比较大小27<2996>8473=734、从图形中找出较大或较小的数量（见课本附页）第四章物体的测量1、认识长度的计量单位1英寸=2.54厘米1厘米=0.394英寸2、认识长度的估算一张卡片的长度估算为5厘米。
3、认识长度的测量用卡尺、直尺等工具测量物体的长度。
4、认识重量的计量单位1千克=1000克1斤=500克5、认识重量的估算一盒面粉的重量估算为1千克。
6、认识重量的测量用秤等工具测量物体的重量。
第五章时间的计算1、认识钟表小时针、分针、秒针的作用和指向。
2、认识时间的读法例：11点20分。
3、认识时间的计算例：3小时40分钟后是几点？答案：下午3点20分。
4、认识日期例：今天是2022年10月1日。
优化设计_精品文档
现代设计方法
等值曲面:目标函数值相等的所有设计点的集合称为目
标函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三
维以上：等超越面。
等高线
z
等值线族形象地反映了目 标函数值的变化规律，越 靠近极值点的等值线，表 示的目标函数值越小，其 分布也越密集。
等值线族
y
o
x
x*（中心极值点）
二维设计变量下的等值线
用性外，还要检查其可行性，即是否满足 gu (X ) 0 的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行 下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最 优点的近似最优点 X * 。
现代设计方法
综上所述，采用数值法进行迭代求优时，除了 选择初始点X (0)以外，如何确定迭代方向 S (k)和步长 (k)成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的 效率、函数值逐步下降的稳定性和优化过程所需的 时间等。
f ( X (k1) ) f ( X (k) )
相对下降量准则：
f ( X (k1) ) f ( X (k) ) f ( X (k1) )
( f ( X ) (k1) 1)
现代设计方法
C. 梯度准则
根据迭代点的函数梯度达到足够小而建立的准 则，表示为
f ( X (k1) )
或
f x1
X X (3) X (4) *
S (2) S (3)
S (1) X (1)
X (2)
若不满足则改变步长， S (0)
X (0)
满足则进入下一步
x1
现代设计方法
X (k) ——第k个迭代点 S (k) ——从第k个迭代点出发寻找下一个迭代
点的搜索方向 (k) ——沿S (k)前进的步长
注册测绘师教材第三章知识点：控制网优化设计
注册测绘师教材第三章知识点：控制网优化设计控制网优化设计
(一)含义
控制网优化设计指在一定的人力、物力、财力等条件下,设计出精度高、可靠性强、灵敏度最高(对变形监测网而言)、经费最省的控制网布设方案.
(二)分类
根据固定参数和待定参数的不同,控制网优化设计分为如下四类: (1)零类设计(基准设计).是在控制网的图形和观测值的先验精度已定的情况下,选择合适的参考基准(起始数据)使网的精度最高;
(2)一类设计(网形设计).是在控制网成果要求精度和观测手段可能达到的精度已定的情况下,选择最佳的点位布设和最合理的观测值数量; (3)二类设计(权设计).是在控制网的网形和控制网成果要求精度已定的情况下,设计各观测值的精度(权),使观测工作量最佳分配;
(4)三类设计(改进设计).是对现有网或现有设计进行改进,从而改善控制网成果精度.
(三)方法
(1)解析法.解析法是通过数学方程的表达,用最优化方法解算.该法适用于各类设计.
(2)模拟法.模拟法是根据经验和准则,通过计算、比较和修改得到最优方案.该法适用于一、二、三类设计.
(一)施测方法
1.平面控制测量
平面控制测量通常采用gps 测量方法,也可采用三角形网测量、导线测量等常规方法.。
第三章优化设计数学基础
3.1.3函数的梯度和 文件 函数的梯度和m文件 函数的梯度和
求二维函数f(X)=(x1-2)2+x22在点 1=[2,2]T和点 2=[4,3]T梯度及 在点X 和点X 例3-1求二维函数 求二维函数 其模，并绘制函数等高线和过该两点的梯度及等高线的切线。 其模，并绘制函数等高线和过该两点的梯度及等高线的切线。 文件： 解：M文件： 文件
x1
3.1.3函数的梯度和 文件 函数的梯度和m文件 函数的梯度和
一、梯度表达式 1.一元函数 f (x) 一元函数
df ( x) f ( x) = dx f ( X ) f ( X ) T 2 =[ ] 2.二元函数xf (X )= ( x1 , x2 ) f (X ) f (x) = 6x 5 例如：f ( ) = 3x f 5x + 6 例如： 二元函数 x1 x2 2 x1 ) x2 ( 4x L + 5 例如： 例如： f ( X) = ( X+= 2f x1 ,1x2 ,2x2xn ) f 3.多元函数 多元函数 f ( X ) f ( X ) f ( X ) f ( X ) T f (X ) = [ x 2x1 4 … ] 1 xn f (X ) = x1 =x2 f ( X ) 2x2 2 x2
6x1 =
0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2 f 2 f 2 f H(X)= 2 x2x1 x2 x2x3 2 f 2 f 2 f 2 x3x1 x3x2 x3
12x2/x3 -6x22/x32 -6x22/x32 4x23/x33
0
3.1.4函数的海赛矩阵和 文件 函数的海赛矩阵和m文件 函数的海赛矩阵和
二、正定矩阵
1、行列式各阶主子式大于零，为正定。 、行列式各阶主子式大于零，为正定。 2、行列式各阶主子式为相间的一负一正，海赛矩阵负定。 、行列式各阶主子式为相间的一负一正，海赛矩阵负定。 例：求f（X）=f（x1，x2）=x12+x22-4x1-2x2+5在驻点处海赛矩阵是 （ ） （ 在驻点处海赛矩阵是 否为正定。 否为正定。 f x 2x1 4 x1 2 0 先求梯度和驻点： 解：先求梯度和驻点：f (X) = 1 = =0 X = = f 2x2 2 x2 1 2 求驻点处海赛矩阵： 求驻点处海赛矩阵： x 2f 2f 2 x1 x1x2 2 0 = H(Xk ) = 2 2 0 2 f f 故H x x x2 2 2 1 （Xk） 2 f 判断正定性： （ 判断正定性：H（X0）的一阶主子式 ： x2 = 2 > 0 为正 1 x 2 0 定矩 0）的二阶主子式 ： H(X0 ) = =4>0 H（X （ 阵。 0 2
现代设计方法基础(第3章)
现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰
第三章 优化设计
3．5无约束优化设计方法
3点函数 迭代方向判断
现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰
第三章 优化设计
3．5无约束优化设计方法
3．5．2 变尺度法
1、多元函数的泰勒展开
(k) T (k) (k) 1 F( X ) Φ( X ) = F( X )+ F( X ) X X + X X A( X ) X X 2 (k) (k) (k) T (k)
在机械设计中，目标函数主要根据设计准则建立，例如： 在机构优化中，运动误差，主动力、约束反力的最大值等可以设 定为目标函数。 在结构优化中，重量、效率和可靠性等可以设定为目标函数。 在产品设计中，成本、价格和寿命等可以设定为目标函数。
现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰
第三章优化设计
第三章优化设计
3．1 概述 1.基本思想
现代优化设计方法是从上个世纪60年代发展起来的，其核心内 容是数学规划和计算机技术，优化方法可以从众多设计方案中 找到最完善也是最合理的设计， 可以同时改善设计质量和提高 效率。
2.实际效果
1)一级减速器优化。某单位对在各种工程和设备中广泛使用的一级 减速器进行优化设计后，其重量减轻了12%。这对于减速器这样 大批量生产和使用的基本设备来说，其经济效益和社会效益是 非常巨大的。
现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰
第三章优化设计
3．1 概述
5.简例3-2---角支架设计
F
H
b
D
d
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第三章优化设计
3．1 概述
6.简例3-3---装载机翻斗机构设计
STCAD第三章
第三章优化设计模块§3.1 概述1.功能简介优化设计模块（STRUN）的主要功能是进行管结构在各种荷载组合作用下的线性、非线性内力分析、杆件截面优化设计、相贯节点强度验算及其它球节点的设计。
可以进行结构的模态分析、采用振型分解反应谱法进行结构的地震反应分析、结构的整体稳定分析。
2.主窗口界面STRUN模块主窗口界面如图3.1.1所示，窗口的最上方为标题栏；标题栏下是菜单区和工具栏；中间为图形区，在图形区显示管结构模型；下侧为信息提示区和状态栏，执行命令时在提示信息区提供下一步操作的有关信息，状态栏显示当前鼠标所在点的坐标、当前视图、当前文件名等参数。
图3.1.1 STRUN主窗口界面§3.2 “文件”菜单图3.2.1 “文件”菜单1.打开数据文件打开一个由建模模块STPREP生成的要进行优化设计的管结构模型数据文件（*.Tub），或读取*.Tub文件生成的有限元分析数据文件（*.Twj）。
对于同一结构模型，读入*.Twj 文件的速度比读入*.Tub文件的速度快。
STRUN模块读入模型数据文件的同时，导入与模型相对应的杆单元截面、材料特性的文件*.Tba（如果模型中存在杆单元，并且与之对应的*.Tba数据文件存在）；导入与模型相对应的梁单元截面、材料特性的文件*.Tbc（如果模型中存在梁单元，并且与之对应的*.Tbc数据文件存在）；导入与模型相对应的索单元截面、材料特性的文件*.Tca（如果模型中存在索单元，并且与之对应的*.Tca数据文件存在）；并且导入结构设计参数文件*.Tcf等。
STRUN读入*.Tub文件时，将检查结构模型中节点之间最小距离，如果模型中节点之间的最小距离小于0.3m，则提示用户检查模型，以避免模型中存在错误。
STRUN读入*.Twj文件时，如果对应的结果文件(*.Trs)存在，则直接读入计算结果。
2.保存当前图形将当前图形显示区域内显示的图形保存成DXF文件。
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正交试验结果分析－极差分析法
以例3－1为例 分析内容： 3个因素中，哪些因素对收益率影响 大，哪些因素影响小； 如果某个因素对试验数据影响大， 那么它去哪个水平对提高收益率有 利。 利用正交表的“整齐可比”性进行 分析：
• 对于因素A
从表中可以看出，A1、A2、A3各自所在的那组试验 中，其它因素（B、C、D）的1、2、3水平都分别 出现了一次。 计算方法如下： • K1A = x1 + x2 + x3 = 31+54+38=123 • k1A = K1A/3=123/3=41 • K2A = x4 + x5+ x6 =53+49+42=144 • k2A = K2A/3=144/3=48 • K3A = x7 + x8+ x9 = 57+62+64=183 • k3A = K3A/3=183/3=61
B1
B2 B3
C1
C2 C3
因素
指标－因素图
选取原则： （1）对主要因素，选使指标最好的那个水平 于是本例中A选A3，C选C2 （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平 本例中B可选B2或者B1 于是用A3B2C2、A3B1C2各做一次验证试验， 结果如下：
试验号 1 2 试验条件 A3B2C2 A3B1C2 收益率（x％） 74 75
水 素 平
因
A B C 温度（℃） 时间（min） 用碱量（x%）
水 素 平
因
A
B
C
1 2 3
80 85 90
90 120 150
5% 6% 7%
1 2 3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
（3）选用合适正交表 本试验可选取正交表L9 (34 ) 安排试验
（4）确定试验方案 “因素顺序上列，水平对号入座，横着做”
我们比较K1A、 K2A、K3A 时，可以认为B、C、D对K1A、 K2A、K3A 的影响是大体相同的。于是，可以把K1A、 K2A、 K3A 之间的差异看作是A取了三个不同水平引起的。——正 交设计的整齐可比性
• 对于因素B
同理可以算出： • K1B = x1 + x2 + x3 = 31+53+57=141 • k1B = K1B/3=141/3=47 • K2B = x4 + x5+ x6 =54+49+62=165 • k2B = K2B/3=165/3=55 • K3B = x7 + x8+ x9 = 38+42+64=144 • k3B = K3B/3=183/3=48 我们比较K1B、 K2B、K3B 时，可以认为A、C、D对 K1B、 K2B、K3B 的影响是大体相同的。于是，可以 把K1B、 K2B、K3B 之间的差异看作是B取了三个不 同水平引起的。 对于C与此同理。
（2）简单比较法
• 变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B、C 于B1、C1，使A变化之，则：
B1C1 A1 A2 A3(好结果)
• 如果得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C1， 使B变化，则： B1
A3C1 B2(好结果) B3
• 得出结果B2最好，则固定B于B2，A于A2，使C 变化，则：
• 取三因素三水平，通常有两种试验方法： （1）全面实验法：
A1B1C1 A1B1C2 A1B1C3 A1B2C1 A1B2C2 A1B2C3 A1B3C1 A1B3C2 A1B3C3 A2B1C1 A2B1C2 A2B1C3 A2B2C1 A2B2C2 A2B2C3 A2B3C1 A2B3C2 A2B3C3 A3B1C1 A3B1C2 A3B1C3 A3B2C1 A3B2C2 A3B2C3 A3B3C1 A3B3C2 A3B3C3
（1）确定因素的主次
将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极 差 即： 第一列（A因素）＝ k3A－ k1A＝61－41＝20 第二列（B因素）＝ k2B－ k1B＝55－47＝8 第三列（C因素）＝ k2C－ k1C＝57－45＝12 影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率 之间的差异大 直观看出：一个因素对试验结果影响大，就是主要 因素 C B 本例中：因素主次为 A
主 次
• 表格示意如下：
指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以 看出， 本试验应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的哪个水平。 即： A3B2C2
也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件：
指标
70 60 50 40
同时可以估计，随着A的增加，指标还有向上的趋势
A1 A2 A3
最后确定最优生产条件为A3B1C2
下面将正交试验法的一般步骤小结如下: 第一步:明确试验目的,确定试验指标。 第二步:确定因素—水平表后,选择合适的正交表, 进而确定试验方案。 第三步:对试验结果进行分析,其中有: (1)直接看 (2)算一算 (Ⅰ)各列的K、k和R计算 R(第j列)=第j列中的k1、k2…中最大的减 去最小的差。
A3B2 C1 C2 (好结果) C3
• 试验结果以C3最好。于是得出最佳工艺条件为 A3B2C2。
B3
B2 C 3 B1A1 C A3 1 C 2
A2
简单比较法的试验点
简单比较法的优缺点：
优点：试验次数少 缺点：（1）试验点不具代表性。考察的因素水 平仅局限于局部区域，不能全面地反映因素的 全面情况。 （2）无法分清因素的主次。 （3）如果不进行重复试验，试验误差就估计 不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。 （4）无法利用数理统计方法对试验结果进行 分析，提出展望好条件。
• 正交试验的提出： • 考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优 点，利用根据数学原理制作好的规格化 表——正交表来设计试验不失为一种上 策。 • 用正交表来安排试验及分析试验结果， 这种方法叫做正交试验法。 • 事实上，正交最优化方法的优点不仅表 现在试验的设计上，更表现在对试验结 果的处理上。
• 正交试验法优点： （1）试验点代表性强，试验次数少。 （2）不需做重复试验，就可以估计试验 误差。 （3）可以分清因素的主次。 （4）可以使用数理统计的方法处理试验 结果，提出展望好条件。 • 正交试验（表）法的特点： （1）均衡分散性－－代表性。 （2）整齐可比性－－可以用数理统计方 法对试验结果进行处理。
B3
B2 C 3 B1A1 C A3 1
C 2
A2
• 共有3³ =27次试验，如图所示，立方体包 含了27个节点，分别表示27次试验。
全面试验法的优缺点： • 优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析 得比较清楚 • 缺点：(1)试验次数太多，费时、费事，当因 素水平比较多时，试验无法完成。 (2) 不做重复试验无法估计误差。 (3)无法区分因素的主次。 • 例如选六个因素，每个因素选五个水平时， 全面试验的数目是56 ＝15625次。
三、有交互作用的正交试验及结果分析 例3-2某化学反应试验
• 试验目的：提高目标物的产率
因素－水平表
因素 水平 1 2
A 反应温度 ℃ B 反应时间 小时 C 硫酸浓度 x（％） D 操作方法
50 70
1 2
17 27
搅拌 不搅拌
考虑反应温度与反应时间可能会有交互作用，另外，反应温度与 硫酸浓度也可能会有交互作用，即考虑A×B、A×C
• 正交表交互作用表的使用（以L8 (27)为例）
1 2 3 4 5 6 7 列号
(1)
3 (2)
2 1 (3)
5 6 7 (4)
4 7 6 1 (5)
7 4 5 2 3 (6)
6 5 4 3 2 1 (7)
1 2 3 4 5 6 7
如需要查第1列和第2列的交互作用列，则
从(1)横向右看，从(2)竖向上看，它们的交叉点为3。
• 这里，对因素A、B、C在试验范围内分 别选取三个水平 • A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ • B：B1＝90min、B2＝120min、B3＝ 150min • C：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7% • 正交试验设计中，因素可以定量的，也 可以使定性的。而定量因素各水平间的 距离可以相等也可以不等。
第3列就是1列与2列的交互作用列。如果第1列排A因素，第2列排B因素， 第3列则需要反映它们的交互作用A×B，就不能在第3列安排C因素或者 其它因素，这称为不能混杂。
二、关于自由度和正交表的选用原则
选表必须遵循一条原则： 要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大 于所选用正交表的总自由度
自由度的两条规定： （1）正交表的总自由度f总 ＝试验次数－1；正 交表每列的自由度f列＝此列水平数－1 （2）因素A的自由度fA ＝因素A的水平数－1； 因素A、B间交互作用的自由度fAxB ＝ fA×fB
二、正交表符号的意义
正交表的纵列数 （最多允许安排因素的个数）
L8(27)
正交表的代号 字码数（因素的水平数）
正交表的横行数
三、正交表的正交性（以L9 (34 )为例）
四、用正交表安排试验（以例3-1为例）
（1）明确试验目的，确定试验指标 例3－1中，试验目的是搞清楚A、B、C对转化率的 影响，试验指标为转化率 （2）确定因素－水平表
自由度考虑：
4因素及交互作用A×B、A×C，总自由度数＝4×1 ＋2×1＝6。而L8 (27)共有8－1＝7个自由度，
可以安排 表头设计：
把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列， 得到试验设计பைடு நூலகம்的过程： （1）考虑交互作用的因素A和B，将A放第1列，B放 第2列。则由L8 (27)的交互作用表查得A×B在第3 列 （2）考虑要照顾到交互作用的因素C，将C放在第4 列，此时A×C由L8 (27)的交互作用表查得占第5列， 第6、7列为空，D可排其中任意一列，我们将其排 在第6列。则：