高一数学必修一教案《函数模型及其应用》(Word版)
人教A版(2023)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用 教学设计
人教A版（2023）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计第四章指数函数与对数函数4.5 函数模型的应用（一）一、内容与内容解析1.内容教科书例3 和例4，利用已知函数模型解决实际问题的基本过程。
2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
本节课是函数模型的应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用。
通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此利用合适的函数模型、刻画现实问题的变化规律。
本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会利用数学函数模型解决实际问题的一般过程。
在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养。
本节课的教学重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模的基本步骤。
二、目标与目标解析1.目标能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图像及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确利用合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。
2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能明确教科书例3 中的数学关系，认识指数增长模型；（2）能利用教科书中的例题数据，求解模型中的年平均增长率；（3）检验求得的模型并作出预测，提升学生的数学建模素养。
三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。
教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律。
(1)其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯。
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案教学设计一、教学目标1. 知识目标：（1）认识到函数的概念及其分类。
（2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。
（3）了解函数的基本性质。
（4）学会应用函数进行实际问题的解决。
2. 能力目标：（1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。
（2）能够利用函数求解实际问题。
3. 情感目标：（1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和信心。
（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生的创新思维和实践能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。
2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。
三、教学方法1. 演示法。
通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。
2. 实验法。
通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。
3. 讲授法。
注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。
四、教学步骤1. 函数的概念及其分类初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。
①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。
②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。
③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数：1. 一元函数：y=f(x)。
2. 二元函数：z=f(x,y)。
3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。
4. 隐函数：F(x,y)=0。
2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。
②掌握函数的定义域与值域的求法。
③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生学会函数的应用。
3. 函数的基本性质①单调性和奇偶性的判定。
②零点和极值的确定。
③函数的连续性和可导性。
④复合函数的构造与性质。
⑤利用函数的基本性质进行具体问题的求解。
4. 函数模型及其应用①通过实际案例引入函数模型的建立。
②通过练习加深学生对模型的理解。
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是一致的，看禁止就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。
人教版数学必修一 教学案：3.2函数模型及其应用
函数模型及其应用【教学目标】①借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
②恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题。
【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决一些实际问题。
【教学过程】一、情景设置①一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度。
你的直觉与结果一致吗？②在同一坐标系中作出y=log2x,y=2x,y= x2的图象。
③请在图象上分别标出使不等式log2x<2x< x2和log2x< x2<2x成立的自变量的取值范围。
④由以上问题你能得出怎样结论？⑤你能得出更一般的结论吗？二、教学精讲例1．见课本104页练习第1题。
例2．见课本97页例2。
三、探索研究四、课堂练习（1）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30cm2;③野生水葫芦从4cm2蔓延到12cm2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；⑤野生水葫芦在第1期到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度。
解：①说法正确。
∵关系为指数函数∴可设y=a x(a>0,a≠1).∴a1=2∴a=2②说法正确∵25=32>30③∵4=2x,x=2; 12=2x,x=log212≈3.6 3.6 2>1.5∴说法不正确④∵t1=1,t2=log23,t3=log26∴说法正确⑤∵指数函数增加速度越来越快∴说法不正确(2)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台计算机．现有10台计算机被第一轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？。
高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
人教版数学必修①3.2 函数模型及其应用【课时安排】第4 课时【教学对象】高一学生【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】知识与技能（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计1：教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图（五）最优解的探究：预计时间7 分钟我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的横截面积。
如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方案进行设计，结果又如何呢？教师将学生分成五个小组，并巡视指导学生解决问题。
由于缺少导数工学生动手探究各自的设计方案1、让学生经历数学建模中的优化过程；2、培养学生的探究意识。
数学建模过程：预计时间2 分钟引导分析讲解听讲思考这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。
下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标解应用题的一般思路2. 教学重点/难点解应用题的一般思路3. 教学用具4. 标签教学过程2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。
(2)分段函数模型。
(3)应用二次函数模型解决有关最值问题。
(4)数列模型。
二．题型剖析例1：书P30例1。
（增长率）练习．（成才之路P99变式2）某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
解:设平方和为y例2：书例2（分段函数）例3：书例3（二次不等式）练习（基本不等式）：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为3150px2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？三．小结1．解应用题的一般步骤：审题、建模、求模、作答2．常见函数模型及应用。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案_1
教学准备1. 教学目标求解函数应用问题的思路和方法2. 教学重点/难点求解函数应用问题的思路和方法3. 教学用具4. 标签教学过程知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2．函数建模的基本流程误区警示求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．3．常见函数模型的理解次函数模型。
（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
四．典例解析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1．某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件，现在把定价降低x个百分点（即x％）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）求销售额最大时x的值（结果可用喊n的式子表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
故当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．题型3：指数、对数型函数五．思维总结1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。
二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。
三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。
四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。
(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。
(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。
2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。
(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。
推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。
(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。
(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。
五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。
2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。
3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。
高中数学函数模型及其应用教案人教版必修一doc
函数模型及其应用一考纲要求。
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．高考趋势。
函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。
三．要点回顾解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。
其解题步骤如下： 1.审题 2.建模（列数学关系式） 3.合理求解纯数学问题。
4.解释并回答实际问题。
四．基础训练。
1．在一定的范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格)(t f 与时间t 满足关系),101(2110)(+∈≤≤+=N t t t t f 销售量)(t g 与时间t 满足关系),101(24)(+∈≤≤-=N t t t t g 则这种商品的日销售额的最大值为 .3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交a 元)53(≤≤a 的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9)11≤≤x 时，一年的销售量为2)12(x -万件。
则分公司一年的利润L(元)与每件产品的售价x 的函数关系式为 .4.有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示）,则围成矩形场地最大面积为（围墙厚度不计）。
5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。
苏教版高中数学必修一第二章函数模型及其应用教案
《函数模型及其应用》教案一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2009年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
高中数学教案 必修1 第十一讲：函数模型及其应用
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十一讲：函数模型及其应用授课日期教学目标1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.教学内容函数模型及其应用〖教学重点与难点〗◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。
〖教学过程〗一、创设情境，导入课题在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.二、提出问题，探索新知①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).②A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. 把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.③分析以上实例属于那种函数模型. 讨论结果：①f(x)=5x(15≤x ≤40).g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤4030,902,3015,90x x x②y=5x 2+25(100—x)2(10≤x ≤90)；③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.三、应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN ∥CD).(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,100103,5000,50x x x(2)当f(x)=g(x)时,103x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)<f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y 0e rt ,其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r 8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.0221t,t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;由此推知,t年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,所以t=9.0lg 5.0lg =13lg 22lg --≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A 型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元,依题意,得 x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200, 解得y 1=1－552,y 2=1+552(舍去). 所以y=1－552≈0.11=11%, 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系. 拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调 彩电 冰箱每台所需工时21 31 41 每台产值(千元) 4 32 问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位) 解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元， 则f=4x+3y+2z ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥=++=++)3(,60,0,0)2(,120413121)1(,360z y x z y x z y x由①②可得y=360-3x,z=2x,代入③得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥,602,03360,0x x x 则有30≤x ≤120.故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x, 当x=30时，f max =1 080-30=1050. 此时y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.四、课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.五、课后练习1．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（ ） A ． 3.52(18%)+万元 B ．362(18%)(12%)++万元 C ．32(18%)22%5++⨯⨯万元D ．3362(18%)2(18%)(12%)++⨯++万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B ．2．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D。
高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
人教版数学必修①
3.2函数模型及其应用
【课时安排】第4课时
【教学对象】高一学生
【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解
决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】
知识与技能
（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；
（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法
（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；
情感态度价值观
（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；
（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；
（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
【教学手段】计算机、PPT、几何画板。
【人教A版高一数学必修1教案】函数模型及其应用
《函数模型及其应用》教案1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH 的面积为S ，则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a + 由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4b a +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4ba +时，S 有最大值8)(2b a +;若4b a +＞b,即a ＞3b 时，典型例题基础过关实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还原说运用函数的性质S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4ba+)2+8)(2ba+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=4ba+时，四边形面积Smax =8) (2ba+,当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x＞0,即x＜10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t(3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650. ∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x(2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元. 当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4;当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1+x)n =60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10，得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。
高一数学《函数模型及其应用》教案-教育文档
高一数学《函数模型及其应用》教案
函数模型及其应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解解实际应用题的一般步骤;
2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;
3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括
建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义
域 .
【精典范例】
例1.写出等腰三角形顶角 (单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本 (万元)、销售收入 (万元)以及利润 (万元)关于总产量 (台)的函数关系
式.
分析：销售利润销售收入成本 ,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
单位成本与总产量的关系为
销售收入与总产量的关系为
利润与总产量的关系为。
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高一数学必修一教案《函数模型及其应用》（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。
在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。
;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。
因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。
在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.(2)了解函数模型的广泛应用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、计算机)。
【教学过程】教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.【教学过程】教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡量一个人的胖瘦一般是以自己或是他人为标准的，那么我们还见过一些用来计算人胖瘦的式子，目前全世界都使用体重指数(BMI)来衡量一个人胖或不胖：体重/身高?(以米为单位)BMI在18.5-22.5时属正常范围，BMI 大于22.5为超重，BMI大于30为肥胖。
教师在黑板上计算一下自己的结果。
那既然能用一个式子来计算，说明我们可以把这个问题用数学知识来解决，要得到这个式子之类的标准，我们能用一个人的身高和体重来确定吗?学生回答教师：当然是找的人越多越好，那我们在课上先少找几个人来研究一下吧，每个小组选一个同学说一下你的身高和体重吧学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析式，那几个小组来计算那个函数解析式……学生分小组活动……教师:(把学生算出的式子写在黑板上)大家计算出的解析式为什么会不完全相同呢?学生回答教师:我们计算的函数解析式是不是都可以用来刻画这个问题呢?学生回答教师:我们要怎么样来检验呢?学生回答(代入其它的点来验证)教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。
由此可见，所建立的模型是大体符合实际情况,看来老师是真得要下定决心减肥了.教师由生活中常见到的现象引出问题，并引导学生进行思考学生合作探究、动手实践，借助小组利用数据表格来确定可行的函数模型，并展示自己的结果教师引导学生对结果进行检验学生通过计算器与作图,利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点并突破难点通过日常生活的例子引出本节主要内容，来提高学生本节课学习的兴趣,提高小组学习的效率学生利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点的框架:函数刻画实际问题的基本过程.从而实现教学目标1,3,4课堂小结教师:我们一起来回忆一下刚才解决问题的过程(引导学生集体回答)得出：函数建模刻画现实问题的基本过程：(教师用PPT展示)教师:①下面大家把自己的数据输入计算一下你的情况是什么样的②大家在课下可以利用研究性学习的时间,调查一下全年级的同学的身高和体重来研究一下,并进一步体会函数建模来刻画现实问题的基本过程教师用PPT展示函数建模刻画现实问题的基本过程教师留下一个扩展性作业，让学生课后完成学生通过探究从而巩固教学目标1,2,3,4.并形成本节重点.把问题进行拓展，让学生去亲身体会函数建模刻画现实问题的基本过程,从而巩固了本节教学目标课后反思【篇二】一考纲要求。
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．高考趋势。
函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。
三．要点回顾解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。
其解题步骤如下：1.审题2.建模（列数学关系式）3.合理求解纯数学问题。
4.解释并回答实际问题。
四．基础训练。
1．在一定的范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额的值为.3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交元的管理费，预计当每件产品的售价为元（9时，一年的销售量为万件。
则分公司一年的利润L(元)与每件产品的售价的函数关系式为.4.有一批材料可以建成200的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示）,则围成矩形场地面积为（围墙厚度不计）。
5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。
可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5％超过500元的部分10％某人在此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，则关于的解析式为；若元，则此人购物总金额为元。
6.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA,由B 点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为，的面积与点P移动的路程间的函数关系式为五．例题精讲。
例1.某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积？种植面积是多少？例2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出车将增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，两者都由租赁公司支付。
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，公司的月收益？月收益是多少？例3.某城市现有人口100万人，如果每年自然增长率为1.2﹪，试解答下面问题(1)写出城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式(2)计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）六.巩固练习：.1.铁路机车运行1小时所需的成本由两部分组成：固定部分元，变动部分（元）与运行速度（千米／小时）的平方成正比，比例系数为，如果机车匀速从甲站开往乙站，甲，乙两站间的距离为500千米，则机车从甲站运行到乙站的总成本与机车的速度之间的函数关系为2.某公司有60万元资金，计划投资甲，乙两个项目，按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不少于5万元，对项目甲投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划后，在这两个项目上共可获得的利润为3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得利润，售价应定为4.某地每年消耗木材约20万立方米，没立方米木料价格为240元，为了减少木材消耗，决定按木料价格的％征收木材税，这样每年木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则的取值范围为5.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过年后的剩留质量为，则与之间的函数关系为6.某公司一年共购买某种货物400吨，每次购买吨，运费为4万元／吨，一年总储存费用4万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则=7.用总长为14.8的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器有一边比另一边长0.5，则它的容积为8.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元／吨）之间的关系式为：，且生产吨的成本为（元），问该产品每月生产吨才能使利润达到，利润是万元9.有甲，乙两种产品经营销售这两种商品所获得的利润依次是和（万元）它们与投入的资金（万元）的关系，有经验公式，。