3.1布尔函数的表示方法

第一节布尔函数的表示

非线性组合函数也称为逻辑函数或布尔函数(boolean function)。研究布尔函数的密码学性质已成为序列密码、HASH 函数和分组密码设计与分析的关键所在。

目前，关于布尔函数的密码学的性质的研究主要包括以下几个方面：

•非线性次数；

•非线性度（相关度）；

•线性结构；

•退化性；

•相关免疫性(correlation immunity)；

•严格雪崩准则(strict avalanche criterion)•扩散准则(propagation criterion)；

•代数免疫性

通常，布尔函数的以上密码学性质是相互关联的。本章主要研究布尔函数的表示方法、重量与概率计算、非线性度和相关免疫性。

布尔函数的定义

定义3.1 一个n 元布尔函数f (x ) = f (x 1, x 2, …, x n )是2

n F 到2F 的一个映射。

由于2

n F 含2n

个元素, 故2

n F 上的布尔函数共有22n

个。

真值表表示：

每个二元n维向量为(a

n-1, a

n-2

, …, a

)一个真值

指派。规定种可能的2n真值指派是按照它们表示的二进制数的大小排列的。

布尔函数的表示方法

即对真值指派120(,,......,)−−n n a a a 和120(,,......,)−−n n b b b ,如果有

11

22

−−==<∑∑n n i j

i

j

i j a b , 则120(,,......,)−−n n a a a 排在

120(,,......,)−−n n b b b 之前。

称120(,,......,)n n f a a a −−为f (x )在真值指派120(,,......,)n n a a a −−下的函数值。于是f (x )的真值表由2

n F 中所有真值指派及其函数值构成。下表是一个二元布尔函数的真值表。

1x 2x ),(21x x f 0 0 1 0 1

1

1 0 1 1 1

任意两个n 元布尔函数f (x )和g (x )相等当且仅当它们在2

n F 的每个真值指派下都有相同的函数值, 此时, 记作f (x ) = g (x ), 否则就说它们是不同的n 元布尔函数, 记作f (x ) ≠ g (x )。

考虑最简单的n 元布尔函数, 它只在2

n

F 的一个真值指派下取值为1, 在其它真值指派下均取值为0。设取值为1的真值指派是120(,,......,)n n a a a −−, 因此, n 元布尔函数

11220()(1)(1)......(1)n n n f x x a x a x a −−=++++++

•小项表示：

若我们规定1i i x x =, 01i

i i x x x =+=, i = 1, 2, …, n 。则

1i n i x a −++ = n i

a i

x

−, 从而在2

n F

中真值指派

120(,,......,)n n a a a −−下取值为1, 而在其它真值指派下均

取值为0的函数f (x )就可以记为1201

2

()......n n a a a n

f x x x

x −−=。

称n 元布尔函数1201

2

()......n n a a a n

f x x x

x −−=为一个n 元小项

函数。

设f (x )是任意一个n 元布尔函数。 1201201201

2

(,,.......,)

()(,,......,)......n n n n a a a n n n

a a a f x f a a a x

x

x

−−−−−−=

∑

称上面的表达式为n 元布尔函数的小项表示。

f(x)的小项表示由它的真值表唯一确定, 故f(x)的小项表示是唯一的。

f(x)是它取值为1的那些真值指派对应的小相函数之和。

例3.1 下表中二元布尔函数的小项表示为:

00011012

12

12

()f x x x x x x x =++

1x 2x ),(21x x f 0 0 1 0 1

1

1 0 1 1 1

如果把f(x)的小项表示中每一个小项函数展

成x

1, x

2

, …, x

n

的多项式, 那么我们可以得到f(x)

的多项式表示。•多项式表示：

121212012 (121)

......01......()....................r r

r n

i i ij i j n n

i i j

n

i i i i i i r i i i n

f x c c x c x x c x x x c x x x =<=≤<<≤=++++=∑∑∑

∑

，

其中12......r i i i c = 0或1。

注:当r = 0时, 我们约定12......r i i i x x x = 1。