第七章 平稳过程的谱分析

(1) ( )与（ 1 w） : 1 iw iw ( ) 1 e dw , 1 ( ) e d 2
当随机序列的自相关函数R (n) 绝对可和（傅氏变换
s X ()与RX (n)
是一对傅氏变换对。
§3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度 1、窄带随机过程 频率谱主要集中在某个范围之内。 例7.6 ( P122 ) 2、白噪声过程 ( P123 )
s X (w) N 0 , w
的分布情况） 这些概念的计算比较复杂，但已有傅立叶变换表可查。
§1 平稳过程的谱密度 ( 这里将随机信号看作平稳过程 ) 设随机信号 X(t)是均方连续的随机过程。 如同前面确定性信号的分解一样，这里仍然采用极限 的概念。即，对截尾随机过程取极限（ T→∞ ）
X (t ), t T X T (t ) 0, t T
（3） （P119）
几个重要的式子：
1 ①平均功率： lim E T 2T
2

T
T
RX (0) E X (t ) 2
2

X (t ) dt
2

1 2 E FX ( , T ) ②功率谱密度： s X ( ) lim 2T
1 ③ 几个关系： 2

解：（1） 当Θ 在（0, 2π）上服从均匀分布时，X(t)是平稳过程。
a R X (0) 2 （2）当Θ∈U(0, π/2）, 根据定义来做。
2
2
1 lim E T 2T
2

T
T
X (t ) dt
2
1 lim E T 2T
1 cos(2w0t 2) dt T a 2
设截尾随机过程的傅氏变换存在，其频谱密度函数为
FX (, T ) X T (t )e


jt
dt X (t )e jt dt
T
T
利用帕塞伐公式，得到其能量为：
①能量的定义：



1 X T (t ) dt 2
2
则能量谱密度为：E FX ( , T )

2
E FX ( , T )
则其功率谱密度：

2

1 2 s X ( ) lim E FX ( , T ) T 2T


功率谱密度 s X ( w) 描述了各频率成分所具有的功率大小。
小结平均功率的表达：
1 lim E T 2T
2

T
T
X (t ) dt
对比，即得能量谱密度： ( )

F ( j )
2
d


()d
2
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F ( j )
以及功率谱密度
p( ) lim
F ( j ) 2T
2
T
(s X (w))
在引入了冲激函数之后，对周期函数也能进行傅立叶变 换。于是，对任意信号，只要满足变换存在的条件，


2
这是定义（时间域上）。
RX (0)
2
2
注：平稳过程时才有的结论。
1 2



s X ( ) d
这是将功率表达为各频率成分上的功率分布密度的积分。
例题7.1（P116）
X (t ) a cos(w0t ), a, w0 为常数，求X(t)的平均功率。
(1) ~ U (0,2 ) (2) ~ U (0, ) 2
f(t) ，其能量定义为：
E lim f (t ) dt
a a

a
2
形式上记为：
E

f (t ) dt
2
2 1 a f (t ) dt , （2）平均功率定义为： P(t ) lim a 2a a
（3）若0<E<∞( P=0),称 f(t) 为能量有限信号。 能量信号，如单个矩形脉冲。
若0<P<∞( E=∞),称 f(t) 为功率信号。
如周期信号、阶跃信号是功率信号。
（4）能量与功率用谱密度来表达： 根据对能量的定义： E



f (t ) dt
2
由傅立叶变换和帕塞伐公式（P114 式7.3）：
E


1 f (t ) dt 2
2

1 联系到密度函数的含义，即 E 2
T 2
a 2
2
§2 谱密度的性质（ P117） RX ( ) －时域角度描述 平稳过程X(t)的特征量为: s X (w) －频域角度描述 (1) 这两个特征量之间的关系： 若X(t) 均方连续平稳过程，且




RX ( ) d
s X ( ) RX ( ) e

例7.2 (P119) 例7.3 (P120)
例7.4 (P120)
对平稳时间序列的谱分析（P119）：
} 定义7.2 ( P119) 对平稳随机序列 {X n , n 0,1,2,
EX n 0, 0,1,2,,
则称:

n
R

X
(n)
s X ( w)
设函数 f(t) 的周期是T，则 f(t)可分解为：
a0 f (t ) a1 cost an cos nt 2 b1 sin t bn sin nt A0 An cos(nt n ) 2 n 1
Fn e

f (t ) dt
都能用相同的观点和方法进行分析和运算。
注：对随机信号的分析，不再细分其周期性，而且
关注功率谱密度函数
(s X (w))
小结： 1、频谱密度函数

F ( j )
1 f (t ) 2


f (t ) e
jt
dt

jt F ( j ) e d
由于自相关函数的对称性，
s X ( ) RX ( ) e i d


2 RX ( ) cos(w )d
0

(s X (w) 是w的实偶函数 )
1 RX ( ) 2




s X ( w) ei dw

1

0
s X ( w) cos( w )dw
（2） s(w)是w的实的、非负偶函数（P119）
第七章 平稳过程的谱分析（P115）
内容提要：
讨论平稳过程的谱密度及其与自相关函数的关系。 注：自相关函数能表征平稳过程在时间域上的统计特性。 同样，自相关函数也能表征平稳过程在频率域上的 （能量分布）特性。
复习确定性信号分析的基本概念、理论和方法： 1、在时间域内将激励信号(输入) f(t) 分解为一系列冲激 函数的和或积分，方便于求出系统的输出。
2







s ( ) d
1 RX ( ) 2 s X ( ) ei d
s X ( ) RX ( ) e


i
d

当X(t) 为实平稳过程，则有：
s X () 2 RX ( ) cos wd
0

RX ( )

1

0
s X ( ) cos d
T
即有非周期信号的分解：
1 f (t ) 2
反过来，



F ( j) e
jt
d

与f (t ) Fn e jnt比较。
f (t ) e jt dt

F ( j )


5、能量信号与功率信号 （1）能量在时间域上的定义： 对于无限区间（－∞，∞）或（0，∞）上的信号


jnt
其中，
bn 2 1 j n j n , n arctg , Fn An e Fn e T an 2
3、周期信号的频谱：
以图直观地表现信号分解后的特征。
其做法是：以频率为横坐标，以振幅
An 或 Fn
为纵坐标，画出的图形。称为信号f(t)的幅度频谱。 同理，还可以画出相位谱 (周期信号的频谱是离散谱) 4、非周期信号的分解： 当矩形脉冲中T→∞ 时，谱线密集， Fn 会成为连续谱。
③功率谱密度（在频域中表达） 2 1 T X (t ) dt 由于平均功率为： lim E T 2T T
根据帕塞伐公式：
2 1 E FX (, T ) d 2T 1 1 2 lim E FX (, T d 2 T 2T

δ 函数具有性质：



f ( x) ( x)dx f (0), f ( x) ( x T )dx f (T )


δ 函数的傅氏变换为：





( )e iw d 1

1 eiw d 2 ( )
δ 函数与1构成的傅氏变换对：P123
i
d
即，功率谱密度函数是自相关函数的傅氏变换。
1 RX ( ) 2



s X ( w) ei dw
RX ( )与s X (w) 构成一对傅氏变换。
1 同时, RX (0) 2



s X ( w)dw 代表平均功率。
特别地，当X (t)为实平稳过程时，上述关系式可以化简：
2 1 这是由于在离散情形时 ， , Fn An e jn T 2
如果取Ω为一阶无穷小，记为Ω＝dw，则 n Ω= w
对周期信号的分解为：f (t )
jnt jnt F e F T e /T n n


取Ω为一阶无穷小，记为Ω＝dw，则 n Ω= w 1 1 dw T 2 于是，就有谱密度函数的概念: F ( j ) lim Fn T

f (t )

f ( ) (t )d
(于是系统的零状态响应为：)

其中，h(t) 是系统的冲 激响应
y(t )

f ( ) h(t )d
2、在频域内，周期性信号的正交分解： 完备的正交三角函数集：
1, cost, cos2t,cosmt,, sin t, sin 2t,, sin nt,




FX ( , T ) d
2
注意到它们都是随机变量，应该取集平均值。
② 平均功率P 随机信号 X(t) 的平均功率定义为：P116 式7.1（7.6）
1 lim E T 2T

T
T
X (t ) dt
2
2
时间域表示
随机信号 X(t) 的平均功率定义为：
1 lim E T 2T

T
T
X (t ) dt
2
交换期望运算与积分运算的顺序，并注意到 X(t) 是
平稳过程，其一维时间域的所有数字特征都是常数，所
以上式 X(t) 的平均功率是：
E X (t )

2
R
X
(0) X
2
均方值是一个常量。
注：这是在时间域上的表达。
n
inw R ( n ) e , w X
i s ( ) R ( ) e d X 为平稳随机序列X (n)的谱密度。 X

1 同时，R X ( n) 2
存在）时，



s X ( ) e in d , n 0,1,2,
2、能量与功率的表示：
E


1 f (t ) dt 2
2


F ( j )
2
d
能量谱密度函数: 功率谱密度函数: 注意：
( ) F ( j )
p( ) lim
T
2
2
F ( j ) 2T
1 E 2



( w)dw
上面这些式子都是从信号的物理意义角度来定义的。 （谱密度函数表明了能量或功率在各个频率成分上
其相关函数为：P90
2 , 0 R X ( n, n ) 0, 0
s X ( ) RX ( ) e


i
d
引进δ 函数描述：P123 定义：
0, x 0 ( x) , 0
且 ( x)dx 1

1 lim T 2



1 由功率谱密度的定义，即： 2
2



s X ( ) d
直接比对，便得功率谱密度的表达式（ P116（7.7 ）：
1 2 s X ( ) lim E FX ( , T ) T 2T


频域表达式
也可以从另一方面直接得到功率谱密度： 由于随机信号的能量谱密度为：