全等三角形中与中点有关的辅助线.doc

关于中点辅助线的做法：①倍长中线；②三线合一；③中位线；④斜边中线1.已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB, CEJ_AB于E, F为AD中点，试探究NEFD于NAEF之间的数量关系并证明你的结论。

2.已知，在左ABC44, ZB=2ZC, M是BC中点,

AD_LBC 于D,求证：DM =-AB

2

C

直角梯形中位线，如图

2,取EC 中点

M,连接FM, FC,易证FM1EC,

类倍长中线法：如图1，延长EF 交CD 延长线于点M,连接CF （斜边中

解法（一）：

线）

解法

（二）： 又・..M 是EC 中点，.・・FM 平分ZEFC （三线合一）

解法（一）：斜边中线：如图1,取AB 中点E,连接ED, EM,由己知，ZEDB=Z

B=2a , VEM ^jAABC 的中位线，.・.EM 〃AC, ZEMD=ZC=a ,

解法（二）：如图2,中位线，斜边中线：取AC 中点E,连接EM, EDo

a

A

3.如图，在五边形ABCDE 中，ZABC=ZAED=90° , ZBAC=ZEAD, F 是CD 中点，求狂BF=EF.

4.如图，在Z^ABC 内取一点P, ®ZPBA=ZPCA,

A

D

P

做PDJ_AB于D, PE±AC于E,求证DE的垂直平分线必经过BC的中点M.

A

解法(一)：中位线+斜边中线构造全等：如图1,分别取AC、AD +点M、N,连接FM、FN、BM、EN,则由已知可证明左FMB^AENF (SAS)

解法(二)：中位线：如图2,延长CB到P,使PB=BC,延长DE到Q使QE=ED,

连接PD、CQ、AP、AQo 则BF、EF 分别为APCD、Z\QCD 的中位线，BF=?PD, EF=-CQ,只需证明PD=CQ,由已知可证△PADMZXCAQ (SAS)

2

解法：中位线+斜边中线造全等：分别取BP、CP中点F、G,连接MF、MG、DF、EG、DM、EM,由已知可证

ADFM^AMGE (SAS)(其中= N2由平行四边形对角相等得到)

5.向AABC外构造等边三角形ABD和ACE, P是AD的中点，N是CE的中点, BM=3MC,求证：PN=2MN.

6.如图，BD=DC=DA, ZC=2ZB, 求证：ZA=120° -ZB.

解法：中位线+三线合一造全等：分别取BC、AC的中点Q、R连接QR、QE、RE、

解法(一)：三线合一：如图1,连接AD,做NC的平分线交AD于M,过点D做

DN_LAB于N,有由己知可得△ BDN^ACDM (AAS),又VDM=-AD (三线合一) 2

XVDN=-AD, .,.ZDAN=30° , ZA=ZDAN+ZDAC=30° +90° -a =120。-a 2

解法(二)：如图2,做NC的平分线交AB于M,连接DM, BC,由已知可证△BDM ^△CDM (SSS), ACDM^ACAM (SAS),则ZBMD=ZCMD=ZCMA=60° , ZA=180° =60° -a =120° -a

解法（三）：如图3,二倍角模型（关键词：翻折，等边三角形）：将AABD沿AB翻折至ABD',连接D' D 交AB 于点M,易证Z\D' BD^AACD （SAS）, DD' =AD, 又..・AD 二AD', ...△ADD'是等边三角形，ZMAD=30° ,

o 180。-2。 .

AZMAC=30° + ---------------- =120° ・a

2 •二倍角模型典型题

（2010 •北京）25.问题：已知AABC 中，ZBAC=2ZACB,点D 是Z^ABC 内的 一点,且AD=CD, BD=BA.探究ZDBC 与ZABC 度数的比值.

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1） 当ZBAC=90°时，依问题中的条件补全右图；

观察图形，AB 与AC 的数量关系为；当推出ZDAC=15°时，可进一步推出ZDBC 的度数为；可得到匕DBC 与ZABC 度数的比值为 ；

（2） 当ZBAC<90°时，请你画出图形，研究ZDBC 与NABC 度数的比值是否与 （1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

解：（1）①当 ZBAC=90° 时，V ZBAC=2ZACB, A ZACB=45° , 在 l\ ABC 中，

ZABC=180° - Z ACB-Z BAC=45 ° , :. ZACB=ZABC, ・.・AB=AC （等角对等边）;

%1 当 ZDAC=15° 时，ZDAB=90° -15° =75° ,

VBD=BA, A ZBAD=ZBDA=75° , A ZDBA=180° -75° -75° =30° , A ZDBC=45° -30° =15° ,即 ZDBC=15° , A ZDBC 的度数为 15° ；

%1 V ZDBC=15° , ZABC=45° , A ZDBC=15° , ZABC=45° , A ZDBC ： ZABC=1： 3, A

ZDBC 与匕ABC 度数的比值为 1 ： 3.

（2）猜想：ZDBC与NABC度数的比值与（1）中结论相同.

将左ABD沿AC的中垂线1翻折，得到△ CKD,此时ZKCA= ZBAC=2ZBCA, 达到了将ZBCA翻折的效果，连接KB,贝IJ1是KB的中垂线，又・..1是AC的中垂线, ・.・BK〃AC,由已知可得AICDB是等边三角形，Zl=60° -Z6, Z 2=120° -Z BAC=120° -

2Z5=120° -2Z6=2Z1

证明：如图2,作ZKCA=ZBAC,过B点作BK〃AC交CK于点K,连接DK・.•・四边形ABKC是等腰梯形,.・.CK=AB, V DC=DA, A Z DCA= Z DAC,

V ZKCA=ZBAC , A ZKCD=Z3 , .L △ KCD竺△ BAD , A Z2=Z4 , KD二BD ,

AKD=BD=BA=KC.

•.・BK〃AC, A ZACB= Z6,

V ZBAC=2ZACB , 且ZKCA=ZBAC , A ZKCB=ZACB , A Z5=ZACB ,

・.・Z5=Z6,

A KC=KB, A KD=BD=KB, A ZKBD=60° ,

V ZACB=Z6=60° -Z 1, A ZBAC=2ZACB=120°—2/1,

V Z 1+ ( 60° -Z 1) + ( 120° -2Z 1) +Z2=180° , :. Z2=2Z 1,

A ZDBC与匕ABC度数的比值为1： 3.