5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
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N T R
M
m
mg
Mg
（a）
T （b ）
18
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
物体下降距离s时，物体的速度为
v R
对两者分别应用动能定理，有
1 2 J 0 AT 2
1 2 mv 0 mgs AT 2
2 mgs 联立求 ，得 R 2m M d 2mg dt R(2m M )
例2 一个质量为M , 半径为 R 的定 滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细 绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦。
圆盘对中心轴的转动惯量 MR 2 J 2 求 物体 m 由静止下落高度 h 时 的速度。
大学物理 第三次修订本
M
O R
m
h
11
第5章 刚体力学基础 动量矩
大学物理 第三次修订本
7
第5章 刚体力学基础 动量矩
四、 刚体的机械能 刚体重力势能
Ep mi ghi
i i
C
mi
质心的势能
m 定轴转动刚体的机械能
m h mg mgh
hc
hi
Ep 0
c
1 2 E J mghc 2 对于包括刚体的系统，功能原理和机械 能守恒定律仍成立。
π/2
3g 0 l
大学物理 第三次修订本
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例5 可视为均质圆盘的滑轮，质量为M，半径 为R，绕在滑轮上的轻绳一端系一质量为m 的 物体，如图 （a），在其重力矩作用下，滑轮 加速转动。设开始时系统处于静止, 试求物体 下降距离 s 时，滑轮的加速度和角加速度。 解 分别取滑轮和物体 为研究对象，它们各 自受力如图（b）， 设物体下降距离s时， 滑轮的角速度为
当杆与铅垂方向的夹角为 时，重力对Z轴的力矩
C
l M z mg sin 2
大学物理 第三次修订本
p
x
B
14
第5章 刚体力学基础 动量矩
力矩元做功
l dA mg sin d 2 A dA
l mg sin d π/2 2 l mg 2
0
A
h
C
y
p
x
B
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可 忽略的柱铰链悬挂于A处，见图。欲使静止的杆 AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给 杆的最小初角速度。 C2 解 设给杆的最小初速度 0 A 杆的初动能
1 2 Ek 1 J z 0 2
l mgcosd 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
1 2 而 J ml 3
O
m
l
x
lmg 1 2 sin J 2 2
C
mg
3gsin l
2
3gsin 1/ 2 ( ) l
此题也可用机械能守恒定律方便求解。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
rk
P
vk
• Δ mk
Δmk 的动能为 1 1 2 2 2 Ek Δmk vk Δmk rk 2 2
大学物理 第三次修订本
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体的总动能
1 2 2 E Ek Δmk rk 2 1 2 Δmk rk 2 2
1 2 J 2
d d (J )d J d Jd dt dt
1 2 d( J ) dEk 2
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5
第5章 刚体力学基础 动量矩
对于一有限过程
A dA
1
2
2
1
1 2 d( J ) 2
1 1 2 2 J2 J1 2 2 即 A Ek 2 Ek1
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体的动能
Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN
z
O
r1 , r2 , , rk , , rN v1 , v2 , , vk , , vN
大学物理 第三次修订本
12
v0 0
0 0
第5章 刚体力学基础 动量矩
解法2. 根据机械能守恒定律
1 1 2 2 mgh J mv 2 2
M
O R
FT
m
FT
v R
mgh v2 M 2m
大学物理 第三次修订本
h
13
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 一长为l、质量为m的均质细杆，绕通过A 端的Z轴在铅垂平面内转动，见图。现将杆从 水平位置释放，试求转到铅垂位置的过程中， 杆的重力所作的功。 h y A 解 取杆为研究对象
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。 求 它由此下摆 角时的 。 O 1 解 M mglcos 2 由动能定理
m l x
C
mg
A Md
0
0
1 2 lmg sin 0 J 0 2 2
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转 动惯量与其角速度平方乘积的一半。
大学物理 第三次修订本
2
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、力矩的功 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 根据功的定义 dA F dr Fcos ds F r d Md （力矩做功的微分形式） 对一有限过程
2
O
d
dr r' . r P
F
A Md
1
若பைடு நூலகம்=C
A M (2 1 )
3
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 合力矩的功
A Md ( M i )d M i d Ai
1 1
i i
2
解 圆盘受力矩 FTR 作用 利用刚体的动能定理, 得 1 2 1 2 FT Rd J J0 2 2 0 绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
M
O R
FT
m
FT
h
m 由质点的动能定理： v 2 gh 2 m J / R 1 2 1 2 mgh R FT d mv mv0 mgh 2 2 2 0 M 2m
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所 作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 质点系动能变化取决于所有外力做功 及内力做功。
(2) 刚体的内力做功之和为零。
(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
杆到达水平位置时
C
C1
p
B
Ek1 0
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第5章 刚体力学基础 动量矩
杆从初始位置到终末位置，重力矩作功
l l A dA mg sin d mg 0 2 2 1 1 2 根据动能定理 A 0 J0 J ml 2 2 3 l 1 2 2 mg 0 ml 0 2 6
2
2
1
i
(2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 (4) 力矩的功率
dA d p M M dt dt
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4
力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。
第5章 刚体力学基础 动量矩
（合力矩功的效果） 三、绕定轴刚体的动能定理 元功 dA Md
d M J J dt dA M d
M
m
mg
Mg
（a）
T （b ）
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第5章 刚体力学基础 动量矩
物体下降距离s时，物体的速度为
v R
对两者分别应用动能定理，有
1 2 J 0 AT 2
1 2 mv 0 mgs AT 2
2 mgs 联立求 ，得 R 2m M d 2mg dt R(2m M )
例2 一个质量为M , 半径为 R 的定 滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细 绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦。
圆盘对中心轴的转动惯量 MR 2 J 2 求 物体 m 由静止下落高度 h 时 的速度。
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M
O R
m
h
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第5章 刚体力学基础 动量矩
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第5章 刚体力学基础 动量矩
四、 刚体的机械能 刚体重力势能
Ep mi ghi
i i
C
mi
质心的势能
m 定轴转动刚体的机械能
m h mg mgh
hc
hi
Ep 0
c
1 2 E J mghc 2 对于包括刚体的系统，功能原理和机械 能守恒定律仍成立。
π/2
3g 0 l
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例5 可视为均质圆盘的滑轮，质量为M，半径 为R，绕在滑轮上的轻绳一端系一质量为m 的 物体，如图 （a），在其重力矩作用下，滑轮 加速转动。设开始时系统处于静止, 试求物体 下降距离 s 时，滑轮的加速度和角加速度。 解 分别取滑轮和物体 为研究对象，它们各 自受力如图（b）， 设物体下降距离s时， 滑轮的角速度为
当杆与铅垂方向的夹角为 时，重力对Z轴的力矩
C
l M z mg sin 2
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p
x
B
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第5章 刚体力学基础 动量矩
力矩元做功
l dA mg sin d 2 A dA
l mg sin d π/2 2 l mg 2
0
A
h
C
y
p
x
B
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可 忽略的柱铰链悬挂于A处，见图。欲使静止的杆 AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给 杆的最小初角速度。 C2 解 设给杆的最小初速度 0 A 杆的初动能
1 2 Ek 1 J z 0 2
l mgcosd 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
1 2 而 J ml 3
O
m
l
x
lmg 1 2 sin J 2 2
C
mg
3gsin l
2
3gsin 1/ 2 ( ) l
此题也可用机械能守恒定律方便求解。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
rk
P
vk
• Δ mk
Δmk 的动能为 1 1 2 2 2 Ek Δmk vk Δmk rk 2 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体的总动能
1 2 2 E Ek Δmk rk 2 1 2 Δmk rk 2 2
1 2 J 2
d d (J )d J d Jd dt dt
1 2 d( J ) dEk 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
对于一有限过程
A dA
1
2
2
1
1 2 d( J ) 2
1 1 2 2 J2 J1 2 2 即 A Ek 2 Ek1
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体的动能
Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN
z
O
r1 , r2 , , rk , , rN v1 , v2 , , vk , , vN
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v0 0
0 0
第5章 刚体力学基础 动量矩
解法2. 根据机械能守恒定律
1 1 2 2 mgh J mv 2 2
M
O R
FT
m
FT
v R
mgh v2 M 2m
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 一长为l、质量为m的均质细杆，绕通过A 端的Z轴在铅垂平面内转动，见图。现将杆从 水平位置释放，试求转到铅垂位置的过程中， 杆的重力所作的功。 h y A 解 取杆为研究对象
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大学物理 第三次修订本
8
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。 求 它由此下摆 角时的 。 O 1 解 M mglcos 2 由动能定理
m l x
C
mg
A Md
0
0
1 2 lmg sin 0 J 0 2 2
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转 动惯量与其角速度平方乘积的一半。
大学物理 第三次修订本
2
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、力矩的功 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 根据功的定义 dA F dr Fcos ds F r d Md （力矩做功的微分形式） 对一有限过程
2
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d
dr r' . r P
F
A Md
1
若பைடு நூலகம்=C
A M (2 1 )
3
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 合力矩的功
A Md ( M i )d M i d Ai
1 1
i i
2
解 圆盘受力矩 FTR 作用 利用刚体的动能定理, 得 1 2 1 2 FT Rd J J0 2 2 0 绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
M
O R
FT
m
FT
h
m 由质点的动能定理： v 2 gh 2 m J / R 1 2 1 2 mgh R FT d mv mv0 mgh 2 2 2 0 M 2m
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所 作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。
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6
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 质点系动能变化取决于所有外力做功 及内力做功。
(2) 刚体的内力做功之和为零。
(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
杆到达水平位置时
C
C1
p
B
Ek1 0
大学物理 第三次修订本
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第5章 刚体力学基础 动量矩
杆从初始位置到终末位置，重力矩作功
l l A dA mg sin d mg 0 2 2 1 1 2 根据动能定理 A 0 J0 J ml 2 2 3 l 1 2 2 mg 0 ml 0 2 6
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(2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 (4) 力矩的功率
dA d p M M dt dt
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力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。
第5章 刚体力学基础 动量矩
（合力矩功的效果） 三、绕定轴刚体的动能定理 元功 dA Md
d M J J dt dA M d