5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
P M f 11 k k (2n1 ) 23.3(W ) 1
3 1 3
P2 M f 22 k k (2n2 ) 68.0(W )
3 2 3
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
(2) 由于吊扇的角速度由静止匀加速增大,故 角加速度
2 0
可见在 0 ~ 过程中唱片是作匀加速转动,故得所需时间
t t 3R 4g
(3) 驱动力矩的功 唱片转过的角度 2 02 2 2 2 3 2 R 8g 2 功: 2 3 R 1 或由转动动能定理得:
W Md M 0 d M Rmg mR 2 2 3 8g 4
ri
mi
O
vi
mi vi mi ri 2 2
整个刚体的动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
四
刚体绕定轴转动的动能定理
2 2 1 1
W Md Jd
刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度角速度角加速度转动惯量动量角动量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律质点的平动刚体的定轴转动动量定理动量守恒定律角动量守恒定律恒量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动动能定理重力势能mgh机械能守恒恒量只有保守力作功时机械能守恒恒量刚体绕定轴转动的动能定理第三章刚体的转动以子弹和杆为系统机械能不守恒
刚体动能定理
人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J L 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。
刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。
动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。
2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。
转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。
角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。
刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。
3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。
我们来考虑刚体上某一质点的动能T。
由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。
设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。
该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。
由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。
将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。
刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。
这就是刚体绕定轴转动的动能定理。
4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。
5-3转动动能
P =r
×
mv
0
mv
若质点作圆周运动
r
j
m
则：r⊥v, v = wr L = r· wr m = mr2w= Jw
L = Jω
二、刚体的动量矩（角动量）
质元Δ m i 的动量矩： Li = ri Dmi vi 2 = Dmi ri w
刚体的动量矩: 2 L = SLi = S(Dmi ri )w = Jw L = Jω 比较：P = mv
θ2
A
1J = 2 ω
2 2
1 Jω 2
2 1
A = DEk
合外力矩所作功 = 作功前后动能的增量
四 、重力势能 质元Δ m i 的重力势能 DEp = Dmi g hi Ep = S(Dmi ghi ) = S(Dmi hi ) g = m g hc
Ep = m ghc
刚体的势能 = 质量集中在质心的质点的势能 可应用质点知识中的功能原理、机械能 守恒定律和能量守恒定律。
[例1] 一均质细杆可绕一水平轴旋转， 开始时处于水平位置，然后让它自由下落。 ω 试求： = ω (θ) L 解：M = mg sina θ 2 L L 2 a mg cosq = 2 L 2 A = Md θ θ 1 mg mg L cos d = 0 2 θ θ 1 mg L sin θ = 1 Jω 2 0 = 2 2 解得：
ri
vi
Dmi
角动量
动量
三、角动量原理
ω d M = J b = J dt
t
t2
1
M dt = ω J d = J 2 J 1 ω ω ω
1
ω2
角动量原理：作用在刚体上的冲量矩 等于刚体角动量的增量。
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理
Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫 轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。 求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过 其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系 数为 。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求 相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件： 亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转 动．一质量为m’、速率为v
刚体定轴转动的动能定理
1
一
转动动能
刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能．
n 1 1 1 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2 n
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
第3章 刚体力学基础
4
例3.5 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒 OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点A的速度. 解：棒受力如图
6 0
l 1 1 1 2 2 mg cos d J J 0 J 2 2 2 2 2
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
7
例 一根长为l、质量为m 的均匀细棒, 棒的一端可绕通过 O点并垂直于纸面的轴转动, 棒 的另一端有质量为 m 的小球. 开 始时, 棒静止地处于水平位置A. 当棒转过 角到达位置 B, 棒的 角速度为多少?
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m, l
mg
A
m
B
mg
解: 取小球、细棒和地球为系统, 在棒转动过程中机 械能守恒, 设 A 位置为重力势能零点.
EkA EpA EkB EpB
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
8
EkA EpA EkB EpB
EkA EPA 0
o
m, l
A
m
1 2 EkB J J J1 J 2 B 2 mg 1 2 4 2 2 J ml ml ml mg 3 3 l 3 EpB (mg sin mgl sin ) mgl sin 2 2 3 g sin 1 2 3 2 2 3 ( ) 0 ml mgl sin 2 l 4 2
刚体定轴转动动能定理公式
刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。
在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。
我们需要了解一下刚体的概念。
刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。
我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。
平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。
接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。
刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。
从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。
那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。
不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。
例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。
刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。
例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。
同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。
刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。
通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
定轴转动的动能定理
例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
刚体定轴转动动能定理的表达式
刚体定轴转动动能定理的表达式一、刚体定轴转动动能定理表达式的推导咱都知道，动能这个概念在平动里就挺重要的，那在刚体定轴转动里也有对应的动能定理呢。
想象一下，有个刚体在绕着一个固定的轴转动，就像那种老式的水车，围绕着中间的轴在那咕噜咕噜转。
那这个刚体的转动动能是怎么来的呢？首先得从最基本的概念开始，对于一个质点，动能是二分之一乘以质量乘以速度的平方。
那对于刚体，我们可以把它看作是由好多好多小质点组成的。
每个小质点到转轴的距离不一样，速度也不一样。
但是呢，我们有个关系，线速度v等于角速度ω乘以这个小质点到转轴的距离r。
那根据这个关系，再经过一系列复杂但有趣的数学推导（这里就不详细展开那堆公式推导啦，不然得把咱绕晕咯），我们就能得到刚体定轴转动动能的表达式是二分之一乘以转动惯量I乘以角速度ω的平方。
这里的转动惯量I就像是平动里的质量m一样，是描述刚体转动惯性的一个量。
不同形状的刚体，转动惯量的计算方法可不一样呢。
比如说，对于一个均匀的圆盘，它的转动惯量的计算就和一根细长的杆不一样。
二、转动动能定理表达式的意义这个表达式可太有用啦。
它就像是一把钥匙，可以帮我们解决好多关于刚体定轴转动的问题。
比如说，当有一个力矩作用在刚体上，让刚体转动起来，我们就可以用这个表达式来计算刚体的动能变化。
就好比你在推一个大磨盘，你使的劲儿就是力矩，磨盘开始转动，速度越来越快，它的转动动能就可以用这个定理来算。
而且，通过这个表达式，我们还能知道，在没有外力矩做功的时候，刚体的转动动能是守恒的，就像能量守恒定律在平动里一样，这在分析一些物理系统的时候可方便啦。
三、与平动动能定理的类比咱再把这个刚体定轴转动动能定理和平动动能定理来做个比较。
平动动能定理是合外力做的功等于动能的变化量，那在转动里呢，就是合外力矩做的功等于转动动能的变化量。
你看，虽然一个是平动一个是转动，但这两个定理在结构上是不是很相似呀？这也体现了物理规律的美妙之处，不管是哪种运动形式，都有类似的规律在背后起着作用呢。
动能定理与刚体的转动
动能定理与刚体的转动为了深入了解动能定理与刚体的转动，我们首先需要了解它们的基本概念和原理。
在本文中，我们将介绍动能定理的定义及应用，并详细探讨刚体的转动，包括刚体的转动惯量、角动量和动能。
一、动能定理动能定理是力学中重要的定理之一，它描述了物体动能的变化与物体所受的合外力之间的关系。
动能定理可以表述为：物体的动能变化等于物体所受的合外力对它所做的功。
动能定理的数学表达式为：\[ \Delta KE = W_{\text{net}} \]其中，\[ \Delta KE \] 表示物体动能的变化，\[ W_{\text{net}} \] 表示合外力所做的功。
动能定理适用于各种形式的力学系统，包括质点、刚体等。
通过动能定理，我们可以确定物体在受到力的作用下的运动状态，并推导出与力、速度、质量等相关的物理量。
二、刚体的转动刚体是指形状保持不变的物体，其转动是指固定点周围的旋转运动。
刚体的转动有着独特的性质和规律，其中包括转动惯量、角动量和动能。
1. 转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的度量，它表示刚体对于绕特定轴线转动的惯性大小。
转动惯量的数学表达式为：\[ I = \int r^2 dm \]其中，\[ I \] 表示转动惯量，\[ r \] 表示离轴距离，\[ dm \] 表示质量元素。
转动惯量的大小取决于刚体的形状和质量分布，不同的轴线对应着不同的转动惯量。
2. 角动量角动量是描述物体旋转状态的物理量，它表示物体绕某一轴线旋转时的运动状态。
角动量的定义为：\[ L = I \cdot \omega \]其中，\[ L \] 表示角动量，\[ I \] 表示转动惯量，\[ \omega \] 表示角速度。
角动量是与物体的转动状态密切相关的物理量，它与转动惯量和角速度的乘积成正比。
3. 动能刚体的转动动能由两部分组成，分别是平动动能和转动动能。
平动动能表示刚体的质心的运动状态，转动动能表示刚体绕轴线的旋转状态。
刚体的能量定轴转动的动能定理
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
刚体绕定轴转动的动能定理
v F Ft dr dr
x
W 2 Md
1
比较 W
F dr
第四章 刚体的转动
2
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二 力矩的功率 P dW M d M
dt
比较
P
dt
F
v
三 转动动能
Ek i 12mi vi2
1 (
2i
miri2 ) 2
1 2
J 2
第四章 刚体的转动
所受的摩擦力为
df
mg
πR2 drdl
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR2
rdrdl
df
dl dr
or
R
第四章 刚体的转动
10
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
于是，在宽为dr的 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
mg
dM πR2 rdr(2πr)
df
dl dr
or
R
2mg
R2
v m'
率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
mva
(1 ml 2 3
ma2 )，
3mva m'l 2 3ma2
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
射入竿后，以子弹、细
杆和地球为系统，E =常量．
o 30
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23 mga(1 cos30o ) mg
l
a v m'
(1 cos30o )
2
解得：
§5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
解一 机械能守恒( 以初始位置为0势能点)
1 2 0 0 = J mgh 2 l 1 2 h sin J ml 2 3 1 2 0 Md 2 J 0 1 M mgl cos 2
3g sin l
2
解二 定轴转动动能定理 m 动能的增量等于重力做的功
重力矩
3g sin l
2
例 本装置用于测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上， 转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠在鼓轮上，另一 端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带 动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t。绳子、各轮质量及摩擦力忽略不计
一. 定轴转动刚体动能
第 i 个质点的动能
o
Eki
1 2 miv i 2
ri
v i ri
mi
刚体转动动能
1 1 1 2 2 2 Ek ( miv i ) ( mi ri ) 2 2 2
m r
2 i i
2
1 2 Ek J 2
转动惯量
J mi ri
1
说明 M —— 外力矩的代数和
外力矩M1、M2……、Mn所做元功之和
dA dAi M i d ( M i )d Md
i i i
三.定轴转动动能定理
dA Md
—— 力矩作功的效果
d M J dt 刚体从角坐标1 转到 2 , 刚体从角坐标1 转到 2
• 质点系动能定理
miv i2 A外 + A内 = Ek - Ek0 其中 Ek 2 一对内力所作元功之和等于一质点相对另一质
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2.2 刚体绕定轴转动微分方程
第 k个质元 Fk f k mk ak
切线方向
rk
fk
Fk
Fk f k mk ak
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
k k k
Fr f r
刚体的总动能
z
O
rk
vk
P
• Δmk
1 1 1 2 E Ek Δmk rk 2 Δmk rk 2 2 J 2 2 2 2 结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
Xi’an Jaotong University
第5章 刚体力学基础
本章内容：
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 动能定理
动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 5.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
Xi’an Jaotong University
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
_____
刚体转动
z
f (t )
d f ' (t ) dt
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C
C1
p
B
Ek1 0
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第5章 刚体力学基础 动量矩
杆从初始位置到终末位置，重力矩作功
l l A dA mg sin d mg 0 2 2 1 1 2 根据动能定理 A 0 J0 J ml 2 2 3 l 1 2 2 mg 0 ml 0 2 6
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v0 0
0 0
第5章 刚体力学基础 动量矩
解法2. 根据机械能守恒定律
1 1 2 2 mgh J mv 2 2
M
O R
FT
m
FT
v R
mgh v2 M 2m
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h
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 一长为l、质量为m的均质细杆，绕通过A 端的Z轴在铅垂平面内转动，见图。现将杆从 水平位置释放，试求转到铅垂位置的过程中， 杆的重力所作的功。 h y A 解 取杆为研究对象
例2 一个质量为M , 半径为 R 的定 滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细 绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦。
圆盘对中心轴的转动惯量 MR 2 J 2 求 物体 m 由静止下落高度 h 时 的速度。
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M
O R
m
h
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第5章 刚体力学基础 动量矩
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第5章 刚体力学基础 动量矩
四、 刚体的机械能 刚体重力势能
Ep mi ghi
i i
C
mi
质心的势能
m 定轴转动刚体的机械能
m h mg mgh
hc
hi
Ep 0
c
1 2 E J mghc 2 对于包括刚体的系统，功能原理和机械 能守恒定律仍成立。
当杆与铅垂方向的夹角为 时，重力对Z轴的力矩
C
l M z mg sin 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
力矩元做功
l dA mg sin d 2 A dA
l mg sin d π/2 2 l mg 2
0
A
h
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第5章 刚体力学基础 动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体的动能
Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN
z
O
r1 , r2 , , rk , , rN v1 , v2 , , vk , , vN
rk
P
vk
• Δ mk
Δmk 的动能为 1 1 2 2 2 Ek Δmk vk Δmk rk 2 2
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1
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体的总动能
1 2 2 E Ek Δmk rk 2 1 2 Δmk rk 2 2
1 2 J 2
N T R
M
m
mg
Mg
（a）
T （b ）
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第5章 刚体力学基础 动量矩
物体下降距离s时，物体的速度为
v R
对两者分别应用动能定理，有
1 2 J 0 AT 2
1 2 mv 0 mgs AT 2
2 mgs 联立求 ，得 R 2m M d 2mg dt R(2m M )
d d (J )d J d Jd dt dt
1 2 d( J ) dEk 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
对于一有限过程
A dA
1
2
2
1
1 2 d( J ) 2
1 1 2 2 J2 J1 2 2 即 A Ek 2 Ek1
l mgcosd 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
1 2 而 J ml 3
O
m
l
x
lmg 1 2 sin J 2 2
C
mg
3gsin l
2
3gsin 1/ 2 ( ) l
此题也可用机械能守恒定律方便求解。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所 作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 质点系动能变化取决于所有外力做功 及内力做功。
(2) 刚体的内力做功之和为零。
(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
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y
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x
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可 忽略的柱铰链悬挂于A处，见图。欲使静止的杆 AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给 杆的最小初角速度。 C2 解 设给杆的最小初速度 0 A 杆的初动能
1 2 Ek 1 J z 0 2
2
O
d
dr r' . r P
F
A Md
1
若M=C
A M (2 1 )
3
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 合力矩的功
A Md ( M i )d M i d Ai
1 1
i i
2
解 圆盘受力矩 FTR 作用 利用刚体的动能定理, 得 1 2 1 2 FT Rd J J0 2 2 0 绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
M
O R
FT
m
FT
h
m 由质点的动能定理： v 2 gh 2 m J / R 1 2 1 2 mgh R FT d mv mv0 mgh 2 2 2 0 M 2m
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转 动惯量与其角速度平方乘积的一半。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
二、力矩的功 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 根据功的定义 dA F dr Fcos ds F r d Md （力矩做功的微分形式） 对一有2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 (4) 力矩的功率
dA d p M M dt dt
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力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。
第5章 刚体力学基础 动量矩
（合力矩功的效果） 三、绕定轴刚体的动能定理 元功 dA Md
d M J J dt dA M d
π/2
3g 0 l
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例5 可视为均质圆盘的滑轮，质量为M，半径 为R，绕在滑轮上的轻绳一端系一质量为m 的 物体，如图 （a），在其重力矩作用下，滑轮 加速转动。设开始时系统处于静止, 试求物体 下降距离 s 时，滑轮的加速度和角加速度。 解 分别取滑轮和物体 为研究对象，它们各 自受力如图（b）， 设物体下降距离s时， 滑轮的角速度为
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。 求 它由此下摆 角时的 。 O 1 解 M mglcos 2 由动能定理
m l x
C
mg
A Md
0
0
1 2 lmg sin 0 J 0 2 2