截尾法探求能被7整除的数的特征

截尾法探求能被“7”整除的数的特征

赵龙山老师在《数学通报》2000第七期《在数学教育中培养学生创新精神的有关问题》一文中列举了有关能被“7”整除的数的例子.

（1）一个数能否被“7”整除,就看去掉末尾数的数与这个末尾数字的5倍的和,如果这个和能被“7”整除,那么这个数就能被“7”整除.

（2）一个数能否被“7”整除,就看去掉末尾数两位的数与这个末尾两位数的4倍的和,如果这个和能被“7”整除,那么这个数就能被“7”整除.

（3）一个数能否被“7”整除,就看去掉末尾位数之后的数与去掉的末尾位数的2倍的差,如果能被“7”整除,则原数就能被“7”整除.

（4）一个数能否被“7”整除,就看去掉末尾两位数之后的数与去掉的末尾两位数的3倍的差,如果能被“7”整除,则原数就能被“7”整除.

以上四个特例,无外乎都离不开截尾,现就截尾法探求7的整除性推广到一般情形: 设:

(k 、n 为正整数)

（M 为正整数）

由此看出在能被7整除的前提下，去掉尾数后加上或者减去M 倍尾数，若能被7整除，则原数能被7整除。 对于

能否被7整除，可由能否被7整除来确定。 令=7n （n 为整数） 则

对k=1、2、3……、6时的M 的值列表如下：

由上可看出：能被7整除的数有如下特征

K （去掉的未尾位数） M ( n 为 自 然 数 ) M+ M- 1 5+7n 2+7n 2 4+7n 3+7n 3 6+7n 1+7n 4 2+7n 5+7n 5 3+7n 4+7n 6 8+7n 6+7n

(1)去掉末尾数字后，加上（5+7n）倍尾或减去（2+7n）倍尾，若能被7整除，则原数就能被7整除。

（2）去掉末尾两个数后，加上（4+7n）倍或减去（3+7n）倍去掉的尾数，若能被7整除，则原数就能被7整除。

（3）去掉末尾三位数后，加上（6+7n）倍或减去（1+7n）倍去掉的尾数，若能被7整除，则原数就能被7整除等等。

利用截尾法还可以更进一步的探囊取物求能被11、13、17……等质数整除的数的特征。

（原发表于《中学生数学》2002年2月下期）