离散数学第一学期习题及答案

结论：s r 9.在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：
前提：p q, r q,r s 结论： p
参考答案:
1.
（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0
（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0
（3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0
6. 判断下列各式的类型:
(1)
(2)
yF(x,y).
7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x)) 8.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域 D={3,4};
(b) f (x) 为 f (3) 4, f (4) 3
(c) F (x, y)为F (3,3) F (4,4) 0, F (3,4) F (4,3) 1.
后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释 I 个体域为自然数 N，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。
7.解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释
所以公式类型为永真式
(3) P
q
r
00
0
p∨q 0
p∧r
（p∨q）→(p∧r)
0
1
00
1
0
0
1
01
0
1
0
0
01
1
1
0
0
1
00
1
0
0
1
01
1
1
1
1
10
1
0
0
1
11
1
1
1
所以公式类型为可满足式 5.证明（1）(p→q)∧(p→r)
( p∨q)∧( p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （2）(p∧ q)∨( p∧q) (p∨( p∧q)) ∧( q∨( p∧q) (p∨ p)∧(p∨q)∧( q∨ p) ∧( q∨q) 1∧(p∨q)∧ (p∧q)∧1 (p∨q)∧ (p∧q) 6. （1）主析取范式 ( p→q)→( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q)
m0 m2 m3 ∑(0,2,3)
主合取范式： ( p→q)→( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p)
( p ( q p)) ( q ( q p)) 1 (p q) (p q) M1
∏(1)
(2) 主合取范式为：
(1)在两个个体域中都解释为 xF(x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 xG(x) ，在（a）(b)中均为真命题。 2.解:
(1)F(x): x 能表示成分数
H(x): x 是有理数
命题符号化为: x(F(x) H (x))
(2)F(x): x 是合肥卖菜的人
(4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1
2.
p: 是无理数 1
q: 3 是无理数 0
r: 2 是无理数 1
s: 6 能被 2 整除 1
t: 6 能被 4 整除 0
命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为 1，所以这一段的论述为真。
3. （1）
p q p→q q p q→ p
(1) 前提: xF(x) y((F( y) G( y)) R( y)) , xF(x)
结论: xR(x) (2) 前提: x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)
结论: x(F(x)∧R(x))
参考答案： 1.解：
F(x): 2=(x+ )(x ). G(x): x+5=9.
H(x): x 是外地人
命题符号化为: x(F(x) H (x))
3.解:
(1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比 y 快
命题符号化为: xy((F(x) G( y)) H (x, y))
(2) (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是汽车; H(x,y): x 比 y 快
⑦￢p（3）
⑤⑥拒取式
证明（2）： ①t r ②t
前提引入 ①化简律
③q s
前提引入
④s t
前提引入
⑤q t
③④等价三段论
⑥（q t） (t q) ⑤ 置换
⑦（q t） ⑥化简Leabharlann ⑧q②⑥ 假言推理
⑨q p
前提引入
⑩p
⑧⑨假言推理
(11)p q
⑧⑩合取
8.
证明
①s
附加前提引入
②s p
(F(3,3) F(3,4)) (F(4,3) F(4,4)) (0 1) (1 0) 1 (2) xy(F(x, y) F( f (x), f ( y)))
x((F(x,3) F( f (x), f (3))) (F(x,4) F( f (x), f (4)))) x((F(x,3) F( f (x),4)) (F(x,4) F( f (x),3)))
x1F (x1, x4 ) x2 (H (x3 ) G(x3 , x2 ))
x1x2 (F (x1, x4 ) (H (x3 ) G(x3 , x2 ))) 10.证明(1)
((F(3,3) F( f (3),4)) (F(3,4) F( f (3),3)))
((F(4,3) F( f (4),4)) (F(4,4) F( f (4),3)))
((0 F(4,4)) (F(3,4) F(4,3))) ((1 F(3,4)) (0 F(3,3)))
前提引入
③p
①②假言推理
④p (q r) 前提引入
⑤q r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
9.证明：
①p
结论的否定引入
②p ﹁q
前提引入
③﹁q
①②假言推理
④￢r q
前提引入
⑤￢r
④化简律
⑥r ￢s
前提引入
⑦r
⑥化简律
⑧r ﹁r
⑤⑦ 合取
由于最后一步 r ﹁r 是矛盾式,所以推理正确.
00
11
1
1
01
10
1
1
10
01
0
0
11
10
0
1
所以公式类型为永真式
(p→q)→( q→ p) 1 1 1 1
（2）公式类型为可满足式（方法如上例） （3）公式类型为永真式（方法如上例）
4. (2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ( p∨(p∨q))∨( p∨r) p∨p∨q∨r 1
F(x)：x 是合肥人,G(x)：x 是巢湖人.成假解释
(2)个体域:计算机学院的学生
F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释. 8. 解:(1) xyF(x, y) x(F(x,3) F(x,4))
(1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 4.给定解释 I 如下: (a) 个体域 D 为实数集合 R. (b) D 中特定元素 =0. (c) 特定函数 (x,y)=x y,x,y D . (d) 特定谓词 (x,y):x=y, (x,y):x<y,x,y D . 说明下列公式在 I 下的含义,并指出各公式的真值: (1) xy(G(x, y) F(x, y)) (2) xy(F( f (x, y),a) G(x, y)) 5. 给定解释 I 如下： （a） 个体域 D=N(N 为自然数集合). （b） D 中特定元素 =2. （c） D 上函数 =x+y, (x,y)=xy. （d） D 上谓词 (x,y):x=y. 说明下列各式在 I 下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x) (2) x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
(1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 5. 用等值演算法证明下面等值式： (1)(p→q)∧(p→r) (p→(q∧r)) (2)(p∧ q)∨( p∧q) (p∨q) ∧ (p∧q) 6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
(2) 对于任意两个自然数 x,y,使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0.
6.解:(1)因为 p (q p) p (q p) 1 为永真式；
所以
为永真式；
(2)取解释 I 个体域为全体实数
F(x,y)：x+y=5
所以,前件为任意实数 x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真；
(0 0) (1 1) (1 1) (0 0) 1
9.解:(1) xF(x) yG(x, y) xF(x) yG(t, y) xy(F(x) G(t, y))
(2) x1F(x1, x2 ) (H (x1) x2G(x1, x2 )) x1F (x1, x2 ) (H (x3 ) x2G(x3 , x2 ))
(p→q) q r ( p q) q r
(p q) q r 0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为 0
(3)主合取范式为：
(p (q r))→(p q r)
(p (q r))→(p q r)
( p ( q r)) (p q r)
( p (p q r)) (( q r)) (p q r))
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为 1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
7.
证明：（1）
① (q r)
前提引入
②q r
①置换
③q r
②蕴含等值式
④r
前提引入
⑤q
③④拒取式
⑥p q
前提引入
(1)( p→q)→( q∨p) (2) (p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 7. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p q, (q r),r 结论： p (2)前提：q p,q s,s t,t r 结论：p q
8.在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面推理： 前提：p (q r),s p,q
第二章部分习题及参考答案
1. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命 题的真值:
(1) 对于任意 x,均有 2=(x+ )(x ). (2) 存在 x,使得 x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在合肥卖菜的人不全是外地人. 3. 在一阶逻辑将下列命题符号化:
命题符号化为: y(G( y) x(F(x) H (x, y)))
4.答:(1) 对于任意两个实数 x,y,如果 x<y, 那么 x y. 真值 1.
(2) 对于任意两个实数 x,y,如果 x-y=0, 那么 x<y. 真值 0.
5.答:(1) 对于任意自然数 x, 都有 2x=x, 真值 0.
第一章部分习题及参考答案
1 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) (4)（ r∧s）→(p∧ q)
2．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无 理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。” 3．用真值表判断下列公式的类型： （1）(p→q) →( q→ p) （2）(p∧r) ( p∧ q) （3）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成 真赋值.
试求下列公式在Ｉ下的真值. (1) xyF(x, y)
(3) xy(F(x, y) F( f (x), f ( y)))
9.求下列各式的前束范式。 (1) xF(x) yG(x, y)
(2) x1F(x1, x2 ) (H (x1) x2G(x1, x2 )) 10.在自然数推理系统 F 中,构造下面推理的证明: