阿基米德三角形

C
N
D
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。 引理3：P为线段QM的中点。
C
M1
N
D
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 证明：设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p( x x1 ) ，过 B 的切线方程为 y2 y p( x x2 ) ，联立方程组得
y1 y2 y y2 ， 1 )， 2p 2
M(
x1 x2 y1 y2 易得 P 点坐 , )， 2 2
( y1 y2 ) 2 y1 y2 , ) ，此点 标为 ( 8p 2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
p 2p 斜率为 = k AB ， y1 y2 y1 y2 2
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
题型类比拓展
题 1（2005 年江西卷，理 22 题） ： 如图，设抛物线 C : y x 的焦点为 F，动点 P 在直线
2
l : x y 2 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切 于 A、B 两点. （1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A （2）证明∠PFA=∠PFB.
4 2 x0 [4 (t 1) 2 ] x0 4(t 1) 2 4 4 2 1 t x0 8tx0 16t 2 对任意 x0 (2, 2) ，要使△ QAB 与△ PDE 的
4 (t 1) 2 8t 面积之比是常数，只需 t 满足 ， 2 2 4(t 1) 16t
p p , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 即为准线；易 2 2
三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|Q
题型类比拓展
题 3（2007 江苏卷，理 19 题） ： 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C (0，c) 任作一直线，与抛物线 y x 相交于 A B 两点．一条垂直于 x 轴的 ，
y1 ， p
显然 k FA ' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|， 由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF， ∴△QAA' △QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA， 同理可证|QB'|=|QF|， ∠QB'B=∠QFB， ∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
2
y
B A
O Q D
F P
E
x
2 2 由已知得 (2 x) (2 2 y ) 2 y 2 ，
化简得曲线 C 的方程： x 4 y （2）假设存在点 P（0，t） （t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
t 1 1 t 是y x t ，直线 PB 的方程是 y x t ，曲线 C 在 2 2 2 x0 x0 点 Q 处的切线 l 的方程为 y x , 它与 y 轴的交点为 2 4 2 x0 x0 F (0, ) ，由于 2 x0 2 ，因此 1 1 4 2
M（x，y）满足 | MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程； （2）动点 Q( x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上， 曲线 C 在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t） （t＜0） ，使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E， 且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值． 若不存在，说明理由．
解题方法研究
x0 t 1 t 1 1 ①当 1 t 0 时， 1 ， ，存在 x0 (2, 2) ，使得 2 2 2 2 即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意 x 1 t x t 1 ②当 t 1 时， 1 0 , 1 0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定 2 2 2 2
x= 由 A、B、C 三点共线知
l
y y y1 y2 1 0 ， 2 y12 y2 y12 x0 2p 2p 2p
即 y1 y1 y2 y1 x0 y2 x0
2
y12 2 py0 ， y y2 将 y= 1 ，y1 y2 2 px 代 2 入得 y0 y p( x x0 ) ，即为 Q 点的轨迹方程.
t 1 y 2 x t , 相交，分别联立方程组 2 y x0 x x0 2 4 1 t y 2 x t ， 2 y x0 x x0 2 4
2 2 x0 4t x0 4t , xE 解得 D，E 的横坐标分别是 xD 2( x0 1 t ) 2( x0 t 1) 2 2 x0 4t x0 t ， 则 xE xD (1 t ) 2 ，又 | FP | 2 x0 (t 1) 4
解得 t=-1，此时△ QAB 与△ PDE 的面积之比为 2，故 存在 t=-1，使△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数 2。
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线． 证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
y1 y2 y y2 ，y= 1 ， 2p 2 ∴ y1 y2 2 px
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
p 利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 ，因此该弦与 y0
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点． 证明：如上图，设 l 方程为
设直线 AB 方程为： x my n ，则
a2 a3 1 a (1 m 2 )( y2 y1 ) 2 ，∴ ( y2 y1 )2 ≤ a 2 ，∴ d ，即 S= ad≤ . 4p 8p 2
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB． 证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线， 连接 QA'、QB'、QF、AF、BF，则 k FA '
结论得证．
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积 等于阿基米德三角形面积的
2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线 所围面积为 S 2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ， 则 S ABI S QAB S QST =
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
直线，对照可得 x0
阿基米德三角形的性质
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿 基米德三角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点． （2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且 阿基米德三角形面积的最小值为 p ． 证明（2） ：若底边过焦点，则 x0
a3 性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ． 8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
x1 x2 y1 y2 由性质 1 知 d | QM | 2 2p
2 y12 y2 2 y1 y2 ( y1 y2 ) 2 = ， 4p 4p 4p
2
验证 kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德
2 2 x1 x2 p y1 y2 p M|= + = 4p 2 2 2 2 | y1 y2 | p 2 p 2 p ≥ + = + =p， 4p 2 4p 2 1 而 S QAB | QM | ( y1 y2 ) 2 2 ≥ | QM | | y1 y2 | ≥ p
2
直线，分别与线段 AB 和直线 l : y c 交于点 P，Q ． y
OB 2 ，求 c 的值； （1）若 OA
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： A C O P
B
QA 为此抛物线的切线；
x Q l
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
阿基米德三角形的性质
ax by c 0 ，且 A( x1 , y1 ) ，
B( x2 , y2 ) ， AB 过点 C ( x0 , y0 ) ， 弦 由
性质 2 可知 Q 点的轨迹方程
l
y0 y p( x x0 ) ，
该方程与 ax by c 0 表示同一条
c bp , y0 ， a a c bp 即弦 AB 过定点 C（ ， ）. a a
yຫໍສະໝຸດ Baidu
F B
l
x
O
P
题型类比拓展
题 2（2006 全国卷 II，理 21 题） ： 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 → → AF ＝λ FB （λ＞0） ．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交 点为Ｍ． →→ （Ⅰ）证明FM · 为定值； AB （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
3 S S QST 2 3 = S ABI S QST ，∴ S ABI 2 S QST ． 2
3 3 S1 S2 2 2 3 3 3 S1 S2 = ( S S1 S2 ) S QST 2 2 2
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0,0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
y1 y p ( x x1 ) y y p( x x ) 2 2 2 y1 2 px1 y 2 2 px 2 2
y1 y2 y1 y2 解得两切线交点 Q( ， )， 2p 2
进而可知 QM ∥x 轴.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行． 证明：由性质 1 知 Q(
解题方法研究
有 S PDE
2 1 1 t ( x0 4t ) 2 | FP | | xE xD | ， 2 2 2 8 (t 1) x0
2 2 x0 4 x0 1 又 S QAB 4 (1 ) 2 4 2 2 2 S QAB ( x0 4)[ x0 (t 1) 2 ] 4 于是 2 S PDE 1 t ( x0 4t ) 2
解： （1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
解题方法研究
MB (2 x,1 y ) | MA MB | (2 x)2 (2 2 y) 2 , OM (OA OB) ( x, y) (0, 2) 2 y