阿基米德三角形
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ，则称△QAB 为阿基米德三角形．二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线22y px =为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ，，弦AB 的中点为(,)M M M x y ， 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+， 联立两切线方程，解得1212,22y y y y x y p +==，所以1202y y y +=， 又122M y y y +=，所以0M y y =，即QM 平行于x 轴． 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p． 证明：Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=，设AB 方程为x my n =+， 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤． 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ，则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+．证明：设(,)Q x y ，则由性质1有1212,22y y y y x y p +==， 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--，化简得1201202()y y px y y y +=+， 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程．推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹为准线，且QA QB ⊥．性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上，且O 处的切线与AB 平行．证明：由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 显然P 在抛物线上，过P 的斜率为122AB p k y y =+，故P 处的切线与AB 平行．性质5 在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠．证明：作','AA BB 垂直于准线，垂足分别为','A B ，如图，对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=， 又1'FA y k p-=，所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥，又'AA AF =，设'A F 与QA 交于C ， 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠， 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=．证明：222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++， 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++，所以2AF BF QF ⋅=． 三．阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．性质1 AB 过焦点F ，则PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，△PAB 面积的最小值为2p ．性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在椭圆右准线上，且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac． 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在双曲线右准线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac．【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质：对于圆222x y r+=，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+；对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-．。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
抛物线阿基米德三角形常用结论高中
抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。
2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。
其中a、b、c为常数，a≠0。
3. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。
（2）抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F，直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。
二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形，其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。
这三个点一般是由同一圆的直径上得到。
2. 阿基米德三角形的常用结论（1）阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c，其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。
（2）阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c，其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。
其中A为a对应的角度。
三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中，抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。
抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。
2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中，阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。
在求解三角函数值时，可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换，从而简化计算。
四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容，在高中数学教学中被广泛应用。
通过对其定义、性质以及应用的深入了解，不仅可以增加数学知识的广度和深度，还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。
希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习，不断提升数学思维能力和解决问题的能力。
抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容，不仅在高中数学教学中被广泛应用，而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。
专题一-阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
例 1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB . 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为221110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ， 222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP xx∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当101000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为： 22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2． 于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l yc 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
圆锥曲线的特征三角形
圆锥曲线的特征三角形
圆锥曲线的特征三角形是阿基米德三角形。
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
阿基米德三角形过任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1,l2相交于P点。
那么△PAB称作阿基米德三角形。
该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
1、过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点。
那么，P必在该焦点所对应的准线上。
2、过某准线与X轴的交点Q做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点。
那么，P必在一条垂直于X 轴的直线上，且该直线过对应的焦点。
1。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 培优点11 阿基米德三角形
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章培优点11 阿基米德三角形三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行.性质3 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P .下面关于△P AB 的描述正确的是A.点P 必在抛物线的准线上B.AP ⊥PBC.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则△P AB 的面积S的最小值为D.PF ⊥AB √√√先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y ＝px＋px0.证明如下：切线方程为y0y＝px＋px0.由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，即点P 在抛物线的准线上，A 正确；所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；综上，PF⊥AB，D正确；思维升华(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB 面积的最大值.由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b).因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，所以当b＝5时，t取得最大值，t max＝5，此时k＝0，能力提升1.若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△P AB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为√A.x－2y－1＝0B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0D.2x－y－2＝0123456设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△P AB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，即x－2y－1＝0.2.我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△P AB(P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②P A⊥PB；③PF⊥A B.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米德三角形”P AB的面积为√抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，依题意，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k2＝1，即k＝±1，当k＝1时，因为△P AB为“阿基米德三角形”，则直线PF的斜率k PF＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，点P必在抛物线的准线x＝－1上，3.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△P AB的面积最大值为√方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，32232(1)k 当k ＝0时，(S △P AB )max ＝32.4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2＝2py (p >0)上有两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线P A ，PB 相交于点P .则下列结论正确的为A.若弦AB 过焦点，则△P AB 为直角三角形且∠APB＝90°B.点P 的坐标是C.弦AB 所在直线的方程为(x 1＋x 2)x －2py －x 1x 2＝0D.△P AB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)√√√联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，所以P A⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确；化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.5.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线－1的斜率为______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_____.所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，所以两切线的交点为P(0，－1)，Q处的切线分别交P A，PB于点M，N.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，由根与系数的关系得x1x2＝－2pb，设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，设点Q (x 0，y 0)，本课结束。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明导言：阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点，形成的小三角形和原大三角形的比例。
这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用，因此我们有必要深入研究它的性质和结论。
本文将通过多个结论的简单证明，来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。
一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部，连接三个顶点到相对边的中点，得到的三个边长相等的小三角形。
它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名，是一种特殊的三角形形态。
阿基米德三角形有许多重要的性质，其中最重要的包括：1）它是一个等边三角形；2）它内部的三个小三角形形成的比例是1：2。
二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1：2。
证明：设等边三角形的边长为a，那么每个小三角形的底边长为a/2，高为a乘以sin(60°)，即a*√3/2。
设三角形的底边为a，那么三个小三角形的面积可以表示为：S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1：1：1，即1：2：1。
2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆，该圆即等边三角形的外接圆。
它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是，r = a/√3。
证明：由于外接圆于三角形的三个顶点相切，所以三角形的高等于外接圆的半径。
因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。
在三角形中，高等于底边长度乘以sin(60°)，即a*√3/2。
所以外接圆的半径r等于a*√3/2，即r = a/√3。
三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。
其中包括：1、物体的密度计算在物理学中，我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。
阿基米德三角形
.
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
.
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
.
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又S
QAB
1 4 (1 2
x02 ) 4
4 x02 2
S
于是
QAB
4
(x02 4)[x02 (t 1)2 ]
S PDE 1 t
(x02 4t)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
阿基米德三角形过定点证明
阿基米德三角形过定点证明阿基米德三角形，又称阿基米德型三角形，是一个具有特殊性质的三角形。
它得名于古希腊数学家阿基米德，他在研究三角形时发现了这种特殊的三角形，因此被称为阿基米德三角形。
阿基米德三角形具有许多有趣的性质和特点，其中最著名的便是它过定点的性质。
在本文中，我将介绍阿基米德三角形过定点的证明，通过详细的分析和论证来阐述这一性质的成因和意义。
首先，让我们先了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是指一个三角形，其边长分别为a、b和c，满足以下条件：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这里的a、b、c为正实数。
这样的三角形被称为阿基米德三角形。
它不仅具有上述条件，还有一个更为特殊的性质，即它可以过一个定点的性质。
具体而言，阿基米德三角形具有过定点的性质，这意味着它的内心、准心和外心共线，且该直线与三角形的某边相交。
这是一个非常有趣的性质，也是阿基米德三角形的一个重要特点。
下面我们将通过几何分析和数学推导来证明这一性质。
首先，我们需要了解一些有关三角形内心、准心和外心的基本知识。
三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三条边的距离分别为r，r，r。
三角形的准心是三条中线的交点，它到三条边的距离分别为m，m，m。
三角形的外心是三条外角平分线的交点，它到三条边的距离分别为R，R，R。
这些概念非常重要，因为它们与阿基米德三角形过定点的性质密切相关。
接下来，我们将初步探讨阿基米德三角形过定点的性质。
首先，我们考虑内心I、准心G和外心O的位置关系。
根据上述定义，我们知道这三个点分别位于三角形的内部、内部和外部。
因此，它们之间存在着一定的位置关系，即内心到准心的距离小于准心到外心的距离，从而内心、准心和外心共线。
这一点非常重要，因为它为我们之后的推导提供了依据。
其次，我们需要推导出内心I、准心G和外心O共线的数学表达式。
这一步需要用到一些几何和代数知识，通过对三角形的边长、角度和中线的关系进行分析，我们可以得到内心、准心和外心在直线上的位置关系。
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
ABI
2S
QST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊阿基米德三角形，听起来是不是有点学术？别担心，我们不会在这里搞得太复杂，咱们轻松聊聊这位古代科学家的聪明才智和他的三角形。
你要知道，阿基米德可是一位传奇人物，他的名字响亮得像是好莱坞明星一样！而他在几何学上搞出来的那些结论，更是让人拍手叫好。
你知道吗，他的三角形理论不仅仅是数学家们的“玩物”，还在我们的日常生活中有不少应用呢！今天就带你一探究竟。
2. 阿基米德三角形的基本概念2.1 什么是阿基米德三角形？首先，咱们得搞明白，什么叫阿基米德三角形。
简单来说，这种三角形的特别之处在于它的边长和角度之间有一些有趣的关系。
比如，三角形的边长是按照一定比例分配的，形成了让人意想不到的美感和和谐感。
就像做菜的时候，盐和糖的比例不对，味道就差得远了。
所以说，阿基米德三角形就像是数学中的“调味品”，它让整个几何学的味道更丰富。
2.2 阿基米德的名言阿基米德有句话说得好：“给我一个支点，我可以撬动整个地球。
”这句话不仅反映了他对物理学的理解，也可以用来形容他的三角形理论。
只要我们掌握了这些基本的关系，就能够在几何的世界里“撬动”更多的结论。
让我们一起来看看他都给我们留下了哪些“支点”吧！3. 常用结论3.1 边长比例的结论首先，阿基米德三角形的一个重要结论是关于边长的比例关系。
如果你有一个三角形，它的边长分别是a、b、c，阿基米德告诉我们，它们之间的关系是很特别的。
例如，假如a:b:c = 1:2:3，那么这个三角形就能形成一个和谐的图形。
就像是一个完美的乐队，所有乐器齐心协力地演奏出动听的旋律。
3.2 面积的秘密接下来，我们要揭开面积的秘密。
阿基米德还发现，三角形的面积和它的边长也有直接的关系。
他曾经通过简单的公式告诉我们，面积的计算方式其实很简单。
只要掌握了基本的边长，就能快速算出面积，简直是小菜一碟！就像你做一碗方便面的过程，准备好材料，简单煮一煮，美味立马到手。
阿基米德折定理
阿基米德折定理阿基米德折定理，是古希腊数学家阿基米德的著名定理，简称“阿基米德三角形定理”。
它概括了三角形的形状规律，说明条件下，三角形三边长之和总大于另外两边长，更精确地说，一个三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c, b+c>a, c+a>b，其中，a、b、c分别是三角形三边的长度。
阿基米德三角形定理被认为是古希腊几何学中最杰出的定理之一，是古希腊数学的精华和珍贵遗产。
阿基米德三角形定理的发现和证明为古希腊几何学的发展做出了巨大的贡献，也是阿基米德变迁和发展的标志性事件。
阿基米德在研究三角形的属性与解决日常生活中的几何问题方面做出了杰出的贡献，是古希腊几何学的创始人。
他认为，三角形三边相等，三角形的内角全都相等，所以三角形三边等腰。
但是，他不能证明三角形三边之和大于另外两边之和，直到他用逻辑推论的方式证明了三角形最大顶点与最大边的关系，也就是所谓的“阿基米德三角形定理”才有了。
阿基米德三角形定理的发现和证明，开创了古希腊几何学的先河，也是古希腊几何学研究的基础。
它不仅被广泛应用于工程学和技术学专业，而且还被应用到日常生活中。
教学中，多以不同媒介形式讲解阿基米德三角形定理，如利用图形、动画、投影等形式更好地演示和理解阿基米德三角形定理的含义，更好地使学生理解其普遍性和实用性，激发学生学习数学的兴趣和动力。
经过长期的发展和研究，在此基础上产生了更深入的三角论。
今天，在不同的数学领域，“阿基米德三角形定理”仍然是学习数学的重要课题。
毫无疑问，阿基米德三角形定理是阿基米德为人类数学文明作出的伟大贡献，它使古老的数学知识得以开花结果，这是现代数学的基础。
阿基米德三角形是直角三角形证明
阿基米德三角形是直角三角形证明阿基米德三角形的定义：角A、B、C构成的正三角形，且∠C为直角。
阿基米德三角形是以古希腊数学家阿基米德命名的。
他注意到三条直线形成一个直角三角形，并发现了可以证明它的定理。
它成为在很多解决三角形的问题时的基础和有用的工具。
一、什么是阿基米德三角形？阿基米德三角形，也称为直角三角形，是一种三个角都直的三角形，每条边的长度分别是 a，b，c。
它可以由两条垂直的直线相交而成，相交点位于顶点。
二、阿基米德三角形的特点1. 顶点：阿基米德三角形有三个顶点：A、B、C，它们位于三条边的交点。
2. 边：阿基米德三角形有三条边：一条以A为一端，以B为另一端组成的边被称为AB，另一条以B为一端，以C为另一端组成的边被称为BC，最后一条以C为一端，以A为另一端的边被称为CA。
3. 角：阿基米德三角形有三个角，分别位于A、B、C。
每个角均有90度（π/2 弧度），它们分别称为 A、B、C的顶角。
三、阿基米德三角形的证明1. 勾股定理：首先，针对阿基米德三角形，阿基米德发现了勾股定理。
这一定理被称为a2 + b2 = c2，它表明在一个直角三角形中，勾股定理可以被用来计算直角三角形的两个邻边的平方和与对角线的平方之和相等。
2. 反証法：其次，反証法也可以被用来证明阿基米德三角形。
反証法也被称为反证法，它可以用来证明该定理是正确的，而不是错误的。
反証法需要考虑若干假设，如果当它们都不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
反証法需要提出一个相反假设，如果该相反假设不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
3. 角度之和：另外，通过使用角度之和法，还可以证明阿基米德三角形。
角度之和定理认为三角形的三个角的和应该等于180度（π弧度）。
在阿基米德三角形中，由于有三个直角，每个直角的角度都可以用90度（π/2 弧度）来表示，这样三个角的和就可以等于180度（π 弧度），这可以作为阿基米德三角形的证明。
阿基米德三角形的性质及其应用
阿基米德三角形的性质及其应用
阿基米德三角形是一种重要的数学概念，由古希腊数学家阿基米德最早提出。
它是个有顶点的三角形，不论其形状是什么，其三条边被称为顶点。
在数学中，它是一种数学形式的四边形，它的每个顶点都有一个对应的角度，用来限制角度的大小。
阿基米德三角形的性质极为丰富，它可以有几何变换的不同属性，如改变顶点
的角度，改变形状，改变边长等。
它有一些著名的性质，如“例外”、“三边子角”、“中间角定理”等。
其中最令人熟悉的是“例外”定理，它指出在一个三角形中，任何两个角的大小总和不超过180度。
阿基米德三角形应用广泛，它有重要的应用价值。
在物理学方面，它用于测量
物体的大小、形状和距离，也可用于判断一个物体的动态和静态重力等。
在力学方面，它可用于计算结构的强度和稳定性，比如桥梁、建筑物等，广泛运用于建筑学，工程学，航空航天等领域。
同时，它还在天文学、生物学、军事学等领域得到应用。
综上所述，阿基米德三角形对许多领域有着重大的影响，它的应用占据着不可
替代的地位。
在基础教育中，学习者应该全面理解和掌握阿基米德三角形的性质和应用，以此来提高自己的知识水平。
阿基米德三角形几何证明
阿基米德三角形几何证明
阿基米德三角形几何证明是指利用阿基米德三角形的性质和定理来证明一些几何命题或求解几何问题。
在几何学中，阿基米德三角形是一种特殊三角形，它的三边与原三角形三边所在直线分别相切于三个半圆。
利用阿基米德三角形的性质和定理，可以证明一些重要的几何命题，例如海伦公式。
以下是阿基米德三角形几何证明：
1.利用阿基米德三角形证明海伦公式：假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，则三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2。
证明
过程可以通过构造三个阿基米德三角形，并利用它们的面积和性质来完成。
2.利用阿基米德三角形求三角形的面积：已知三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，可以构造三个阿基米德三角形，并利用它们的面积和性质来求解三
角形的面积。
3.利用阿基米德三角形证明余弦定理：假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c，角C的余弦值为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
证明过程可以通过
构造三个阿基米德三角形，并利用它们的性质来完成。
总的来说，阿基米德三角形几何证明是一种重要的几何证明方法，它可以用于证明一些重要的几何定理和求解几何问题。
通过利用阿基米德三角形的性质和定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的几何问题。
阿基米德三角形斜率之和
阿基米德三角形斜率之和是-1。
阿基米德三角形是指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
对于任意圆锥曲线均有个特性，过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线L1L2相交于P点，那么PAB称作阿基米德三角形，该三
角形满足以下特性：
1.P点必在抛物线的准线上。
2.三角形为直角三角形。
3.切线互相垂直。
4.过某焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线
L1L2相交于P点，那么有PF⊥AB。
5.过某焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做切线，切点分别为
D、E，连结DE与该焦点F相交，那么该焦点的切线互相垂直，即EF⊥DE。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明阿基米德的“水之舞”在古希腊，有个名叫阿基米德的家伙，他不仅长得帅，而且聪明得让人惊叹。
有一次，国王请他去鉴定一个皇冠是不是纯金做的。
阿基米德拿起皇冠，对着太阳一照，然后大喊：“陛下，这皇冠是纯金做的！”国王听了很高兴，问：“那要是皇冠是假的呢？”阿基米德微微一笑，回答说：“那就证明您是纯金做的了！”这个故事告诉我们，有时候，真理并不总是显而易见的。
就像我们在生活中，有时候需要用一些聪明的办法来解决问题。
今天，我们就来聊聊阿基米德三角形的那些事儿。
咱们得知道什么是阿基米德三角形。
这个三角形是由三条线段组成的，它们首尾相连，形成一个等腰直角三角形。
想象一下，如果我们把一根棍子竖直插入水中，棍子的两端会分别浸入水中和空气中。
这时候，棍子就像是被赋予了魔法一样，能够在水中自由地“跳舞”。
你知道吗？阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我能翘起整个地球。
”这话可不是闹着玩的，它告诉我们，有时候一个小小的想法就能改变世界。
比如说，当我们遇到难题时，如果能找到那个合适的支点，说不定就能轻松解决问题。
那么，阿基米德三角形到底有什么用呢？其实，它的用处可多了去了。
在建筑学中，建筑师们经常利用阿基米德三角形的原理来设计桥梁、大楼等结构。
而在物理学中，阿基米德三角形也有着重要的地位，它可以用来计算物体在液体中的浮力。
话说回来，我们普通人在日常生活中也能发现阿基米德三角形的影子。
比如，我们在做菜的时候，经常会用到一些工具来测量食材的长度。
这些工具其实就是阿基米德三角形的变种，它们能够帮助我们更准确地完成烹饪工作。
当然啦，阿基米德三角形也不是万能的。
有时候，它也会遇到一些麻烦。
比如，当棍子太长或者太短时，它可能就无法像在水中那样自由地“跳舞”了。
这时候，我们就需要借助其他工具或者方法来解决这个问题。
总的来说，阿基米德三角形是一个非常有趣的概念。
它不仅仅是数学上的一个定理，更是我们生活中的一种智慧。
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y1 y2 y y2 ， 1 )， 2p 2
M(
x1 x2 y1 y2 易得 P 点坐 , )， 2 2
( y1 y2 ) 2 y1 y2 , ) ，此点 标为 ( 8p 2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
p 2p 斜率为 = k AB ， y1 y2 y1 y2 2
3 S S QST 2 3 = S ABI S QST ，∴ S ABI 2 S QST ． 2
3 3 S1 S2 2 2 3 3 3 S1 S2 = ( S S1 S2 ) S QST 2 2 2
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0,0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
题型类比拓展
题 1（2005 年江西卷，理 22 题） ： 如图，设抛物线 C : y x 的焦点为 F，动点 P 在直线
2
l : x y 2 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切 于 A、B 两点. （1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A （2）证明∠PFA=∠PFB.
解题方法研究
有 S PDE
2 1 1 t ( x0 4t ) 2 | FP | | xE xD | ， 2 2 2 8 (t 1) x0
2 2 x0 4 x0 1 又 S QAB 4 (1 ) 2 4 2 2 2 S QAB ( x0 4)[ x0 (t 1) 2 ] 4 于是 2 S PDE 1 t ( x0 4t ) 2
4 2 x0 [4 (t 1) 2 ] x0 4(t 1) 2 4 4 2 1 t x0 8tx0 16t 2 对任意 x0 (2, 2) ，要使△ QAB 与△ PDE 的
4 (t 1) 2 8t 面积之比是常数，只需 t 满足 ， 2 2 4(t 1) 16t
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
p 利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 ，因此该弦与 y0
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点． 证明：如上图，设 l 方程为
x= 由 A、B、C 三点共线知
l
y y y1 y2 1 0 ， 2 y12 y2 y12 x0 2p 2p 2p
即 y1 y1 y2 y1 x0 y2 x0
2
y12 2 py0 ， y y2 将 y= 1 ，y1 y2 2 px 代 2 入得 y0 y p( x x0 ) ，即为 Q 点的轨迹方程.
2
y
B A
O Q D
F P
E
x
2 2 由已知得 (2 x) (2 2 y ) 2 y 2 ，
化简得曲线 C 的方程： x 4 y （2）假设存在点 P（0，t） （t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
t 1 1 t 是y x t ，直线 PB 的方程是 y x t ，曲线 C 在 2 2 2 x0 x0 点 Q 处的切线 l 的方程为 y x , 它与 y 轴的交点为 2 4 2 x0 x0 F (0, ) ，由于 2 x0 2 ，因此 1 1 4 2
直线，对照可得 x0
阿基米德三角形的性质
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿 基米德三角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点． （2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且 阿基米德三角形面积的最小值为 p ． 证明（2） ：若底边过焦点，则 x0
y
F B
l
x
O
P
题型类比拓展
题 2（2006 全国卷 II，理 21 题） ： 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 → → AF ＝λ FB （λ＞0） ．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交 点为Ｍ． →→ （Ⅰ）证明FM · 为定值； AB （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
a3 性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ． 8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
x1 x2 y1 y2 由性质 1 知 d | QM | 2 2p
2 y12 y2 2 y1 y2 ( y1 y2 ) 2 = ， 4p 4p 4p
解题方法研究
x0 t 1 t 1 1 ①当 1 t 0 时， 1 ， ，存在 x0 (2, 2) ，使得 2 2 2 2 即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意 x 1 t x t 1 ②当 t 1 时， 1 0 , 1 0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定 2 2 2 2
y1 ， p
显然 k FA ' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|， 由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF， ∴△QAA' △QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA， 同理可证|QB'|=|QF|， ∠QB'B=∠QFB， ∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
设直线 AB 方程为： x my n ，则
a2 a3 1 a (1 m 2 )( y2 y1 ) 2 ，∴ ( y2 y1 )2 ≤ a 2 ，∴ d ，即 S= ad≤ . 4p 8p 2
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB． 证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线， 连接 QA'、QB'、QF、AF、BF，则 k FA '
2
验证 kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德
2 2 x1 x2 p y1 y2 p M|= + = 4p 2 2 2 2 | y1 y2 | p 2 p 2 p ≥ + = + =p， 4p 2 4p 2 1 而 S QAB | QM | ( y1 y2 ) 2 2 ≥ | QM | | y1 y2 | ≥ p
解得 t=-1，此时△ QAB 与△ PDE 的面积之比为 2，故 存在 t=-1，使△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数 2。
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线． 证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
y1 y2 y y2 ，y= 1 ， 2p 2 ∴ y1 y2 2 px
M（x，y）满足 | MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程； （2）动点 Q( x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上， 曲线 C 在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t） （t＜0） ，使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E， 且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值． 若不存在，说明理由．
解： （1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
解题方法研究
MB (2 x,1 y ) | MA MB | (2 x)2 (2 2 y) 2 , OM (OA OB) ( x, y) (0, 2) 2 y
t 1 y 2 x t , 相交，分别联立方程组 2 y x0 x x0 2 4 1 t y 2 x t ， 2 y x0 x x0 2 4
2 2 x0 4t x0 4t , xE 解得 D，E 的横坐标分别是 xD 2( x0 1 t ) 2( x0 t 1) 2 2 x0 4t x0 t ， 则 xE xD (1 t ) 2 ，又 | FP | 2 x0 (t 1) 4
结论得证．
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积 等于阿基米德三角形面积的
2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线 所围面积为 S 2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ， 则 S ABI S QAB S QST =
C
N
D
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。 引理3：P为线段QM的中点。